大学微积分l知识点总结(一)

大学微积分l 知识点总结

【第一部分】大学阶段准备知识 1、不等式：

ab 2b

a ≥+

ab

2b a 22≥+

3abc 3c b a ≥++ ()n n

21n 21...a a a n a ...a a ≥+++

abc 3c b a 333≥++

2b a 2b a ab b

1a 12

2

2+≤+≤≤+

b a b a b -a +≤±≤

()

n

n 21n 21n 21n x ...x x y p p x ...x x x ...x x y ?

?

?

??+++=+++???=的最大值为：则为常数，且扩展：若有

柯西不等式：设a 1、a 2、...a n ，b 1、b 2、...b n 均是实数，则有：

()()()()()()()()()

22221222212n n 2211......a a b a ...b a b a n n b b b a +++++≤+++

()时取等号

为常数，当且仅当，n ...3,2,1i b a i i ==λλ

2、函数周期性和对称性的常用结论

1、若f （x+a ）=±f （x+b ），则f （x ）具有周期性；若f （a+x ）=±f （b-x ），

则f （x ）具有对称性。

口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性” 2、周期性

（1）若f （x+a ）=f （b+x ），则T=|b-a| （2）若f （x+a ）=-f （b+x ），则T=2|b-a| （3）若f （x+a ）=±1/f （x ），则T=2a

（4）若f （x+a ）=【1-f （x ）】/【1+f （x ）】，则T=2a （5）若f （x+a ）=【1+f （x ）】/【1-f （x ）】，则T=4a 3、对称性

（1）若f （a+x ）=f （b-x ），则f （x ）的对称轴为x=（a+b ）/2

（2）若f （a+x ）=-f （b-x ）+c ，则f （x ）的图像关于（（a+b ）/2，c/2）对称

引申双向不等式： 两侧均在ab ≥0或ab ≤0时取等号

—

4、函数图象同时具备两种对称性，即两条对称轴，两个对称中心，一条对称轴和一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。

（1）若f （x ）的图像有两条对称轴x=a 和x=b ，则f （x ）必定为周期函数，其中一个周期为2|b-a|。

（2）若f （x ）的图像有两个对称中心（a ，0）和（b ，0），（a ≠b ），则f （x ）必定为周期函数，其中一个周期为2|b-a|。

（3）若f （x ）的图像有一个对称轴x=a 和一个对称中心（b ，0），（a ≠b ），则f （x ）必定为周期函数，其中一个周期为4|b-a|。

3、三角函数

l n sin =

?正弦 l m cos =?余弦 m n

tan =

?正切

n m cot =?余切 m l sec =?正割 n l

csc =

?余割 倒数关系：

?=?cot 1tan ?=?csc 1sin ?=

?sec 1

cos

商的关系： ??=?=??csc sec tan cos sin ??

=?=??sec csc cot sin cos 平方关系：

1

cot 11tan 11cos sin 2222=?+=?+=?+?

平常针对不同条件的两个常用公式：

1cot tan 1cos sin 22=???=?+?

一个特殊公式：

()()()()

θθθθ-sin sin sin -sin sin sin ?+?=?+?

二倍角公式：

A

A

A A A A A A

A A 2222tan -1tan 22tan sin 2-1sin -cos 2cos cos sin 22sin =

==?=

L m

n

α

—

半角公式：

()()sina cosa 1cosa

-1sina 2a cot sina cosa -1cosa 1sina 2a tan cosa 12

1

2a cos cosa -12

1

2a sin 22+=

=???

??=

+=???

??+=??? ??=??? ?? 三倍角公式：

?

?

?

?????? ??+?=?

??

?????? ??+?=?

??

?????? ??+?=a -3tan a 3tan tana a 3tan a -3cos a 3cos cosa 4a 3cos a -3sin a 3sin sina 4a 3sin ππππππ 万能公式：

?

?

? ???

?? ??=

??? ??+?

?? ??=

?

?? ??+?

??

??=

2a tan -12a tan 2tana 2a tan 12a tan -1cosa 2a tan 12a tan 2sina 2222

两角和公式：

()()()()()()β

β

βββββ

βββββββββββtan tan 1tan -tan -tan tan tan -1tan tan tan sin sin cos cos -cos sin sin -cos cos cos sin cos -cos sin -sin sin cos cos sin sin ??+?=

???+?=

+???+??=?????=+?????=???+??=+? 和差化积公式：

()()?

???????????

+=+21-cos 21sin 2sin sin ?θ?θ?θ ()()?

???????????

+=21-sin 21cos 2sin -sin ?θ?θ?θ ()()?

???????????

+=+21-cos 21cos 2cos cos ?θ?θ?θ ()()()?

??????????

?

+=21-sin 21sin 2-cos -cos ?θ?θ?θ ()()B A B A B A B A B A tan tan 1tan cos cos sin tan tan ?-+=

?+=

+ ()()tanB tanA 1B -A tan cos cosA -sin tan -tan ?+=

?=B B A B A

积化和差公式： ()()[]

()()[]

()()[]

21

-sin sin cos sin 21

-cos cos cos cos 21-cos -cos -sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβα++=?++=?+=? 口诀：奇变偶不变，符号看象限

()()原式得证

，，由题，证：设，其中证明：222

2

22b a x x b cos x a sin 1x b x a sin x b cos x a x bsin acos sin x bsin acos b

a

tan sin b a bsin acoa +=∴=

==???

??+??? ???

??

??+=+∴+?=+=++=+M M A A A A M A A A M M A A A

4、数学归纳法

数学上证明与自然数N 有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。

例如：前n 个奇数的总和是n 2，那么前n 个偶数的总和是：n 2+n

最简单和最常见的数学归纳法证明方法是证明当n 属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法由下面两步组成：

①递推的基础：证明当n=1时表达式成立

②递推的依据：证明如果当n=m 时成立，那么当n=m+1时同样成立 （1）第一数学归纳法

①证明当n 取第一个值n 0时命题成立，n 0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况

②假设n=k （k ≥n 0，k 为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立 （2）第二数学归纳法

对于某个与自然数有关的命题P （n ） ①验证n=n 0时P （n ）成立

②假设n 0≤n ＜k 时P （n ）成立，并在此基础上，推出P （k+1）成立 （3）倒推归纳法

①验证对于无穷多个自然数n 命题P （n ）成立

②假设P （k+1）成立，并在此基础上，推出P （n ）成立 （4）螺旋式归纳法

对两个与自然数有关的命题 ①验证n=n 0时P （n ）成立

②假设P （k ）（k ＞n 0）成立，能推出Q （k ）成立，假设Q （k ）成立，能推出P （k ）

成立。

5、初等函数的含义

概念：初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算以及有限次数函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。

【有理运算：加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方】

【基本初等函数：对数函数、指数函数、幂函数、三角函数、反三角函数】

6、二项式定理：即二项展开式，即（a+b ）n 的展开式

()n

n n k k -n k n 1-n 1n n 0n n b ...b a ...b a a C b a C C C ++?++?+=+

称为二次项系数

其中k

n C

表示

项，用项，它是第叫做二次项展开式的通1k k k -n k

n 1k b a ++?T C

()()[]()k 1k -n k 1-k 1-k -n ...1-n n 1

-k n k

n +?

=???=

C C ！其中，

7、高等数学中代换法运用技巧

①倒代换

把原式中的一个变元或原式中的一部分用另一个变元的倒数来代替，此种方法被称为“倒代换”法 ②增量代换

若题目中已知x ＞m ，则引入辅助元x=m+a （a ＞0），再将辅助元代入题中解题。此种代换方法称为“增量代换法” ③三角代换

222222a x x a a x +--、、

④双代换

n n

n y

x ∞→lim

8、其他一些知识点

（1）0不是正数，不是负数。是自然数。0是偶数，偶数分为：正偶数、负偶数和0

（2）正偶数称为“双数” （3）正常数：常数中的正数

（4）质数：又称“素数”。一个大于1的自然数，如果除了1和它自身以外，不能被其他自然数整除的数，否则称为“合数”。最小的质（素）数是2。1既不是素数，也不是合数。

（5）exp ：高等数学中，以自然对数e 为底的指数函数 （6）在数学符号中，sup 表示上界；inf 表示下界 （7）≡：表示恒等于

（8）0的阶乘是1.阶乘是一个递推定义，递推公式为：n ！=n （n-1）！因为1的阶乘为1，即1！=1×0！，故0！=1

【第二部分】函数与极限

常用结论（等价无穷小很重要）

()nx

1x 1n +≥+

()

x n 11x 1n

1+

≤+

x

1e x +≥

()时成立＜1x x 1e x -11

x +≥≥ ()x ln x 1x

x 1≤≤++

e n 11n

＜??? ??+

e 1

n 1-1n

＜??? ??

其中，e

n 11n

→???

??+，e 为初等函数，又称“幂指函数”，e 即根据此公式得到，e ≈2.718

1n 1-1n

2→???

??

：引入两个辅助元进行代换

()()

61n 21n n n ...21222++=

+++

()2

33321n n n ...21???

?

??+=+++ ()1

-a a

-a s a ...a a s 1n n 2+=

+++=

()()()()

()

1-n 2-n 1-n n n b ...b a a b -a b -a +++=

1-m 2-m 1-m m

1m 1b ...b a a b

-a b

-a ++?+=

()()()()

()

b

x v x x x x x x a x u lim b a b x v lim 0a x u lim 0

===→→→，则为常数、，＞若

()[]

()

e x

f 1x f 1

→+

一些重要数列的极限：

()x ln x 1→+ x 1-e x → xlna 1-a x →

()x 1-x 1?→+? x arcsinx → x arctanx →

另一些重要的数列极限：

()0k 0n

1

lim k n ＞=∞→ ()为常数＜

1q 0q lim n n =∞→ ()1a 1a lim n n ＞=∞→ ()为常数！a 0n a lim n

n =∞→ 1n lim n n =∞

→ x sinx 0x →→时， x tanx → 2

x 2

1cosx -1→

列举一些趋向于0的函数：

()

0lnn

10

n a 1a 0c -n b

0b 0a 0q 1q b n

a

n →→→→④，＞③，＞，＞②，＜①

柯西极限存在准则：

柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理。给出了极限收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在这样的正整数N ，使得当m ＞N ，n ＞N 时就有|x n -x m |

＜ε。这个准则的几何意义表示，数列｛X n }收敛的充分必要条件是：该数列中足够靠后的任意两项都无限接近。

夹逼定理的两个条件：①左右极限存在；②左右极限相等 【极限计算的技巧总结（不包含教材介绍的方法以及公式）：】 （1）洛比达法则

设函数f(x ）和F(x ）满足下列条件： ①x →a 时，lim f(x)=0,lim F(x)=0;

②在点a 的某去心邻域内f(x ）与F(x ）都可导，且F(x ）的导数不等于0; ③x →a 时，lim (f'(x)/F'(x)）存在或为无穷大 则 x →a 时，lim (f(x)/F(x))=lim (f'(x)/F'(x)) （2）等价无穷小

一般要将变量的取值变为趋向于0的代数式，如x —∞，令t=1/x 无穷小的概念：

①高阶无穷小：当A lim =0时，如果lim （B/A)=0,就说B 是比A 高阶的无穷小 ②低阶无穷小：当A lim =0时，如果lim （B/A)=∞,就说B 是比A 低阶的无穷小 ③如果lim （B/A)=K （K ≠0,1），就说B 是A 的同阶非等价无穷小 ④等价无穷小：lim （B/A ）=1，就说B 为A 的等价无穷小 （3）斯托尔茨定理

设数列n y 单调增加到无穷大，则

1

1

lim lim

--∞→∞

→--=n n n n n n n n y y x x y x ()[]()a x g f x g f x f x x x x =??

????=→→00lim lim )().4(是连续函数：

（5）求两个数列之商的极限，在两数列都具有高次项的情况下，可以直接比较最高次项而忽略较低次项，该原理仅仅限于无穷数列，对于有穷数列不能直取。 （6）分母趋近于0，而分子不为0，其极限不存在或无穷

2

c

411lim lim ,lim (lim lim ,2

411lim ,...7111++=

+=+===+=++=

+++=-∞

→∞

→∞

→-∞

→∞

→-∞→A A C A x c x A x x x x c x c

x c c c x n n n n n n n n n n n n n n n ，所以，知对（☆）两侧求极限可设☆）

所以证明：）（

（8）在计算极限题目中，若题目中同时出现x sin 、x arcsin 、或者x cos 、arcsosx 时，令t=x sin 或x cos

（9）在求极限的过程中如果遇到n 次项等高次项而无法解题时，一般可以通过

借助x e 进行消去高次项的运算，有的也可以使用泰勒公式。

（10）计算极限时出现出现)tan(tan x 或者)sin(sin x 的形式，应用泰勒公式计算。

（11）三个重要的结果

a

a a a a n a a

a a a a a a a

n

a a a a a n n n n

n n n n n n n n n n

n n n ====?==+++=∞

→+∞→∞

→∞

→∞→∞→lim ,lim

,...,3,2,10...lim ),0(lim ...lim ,lim 1

2121则，＞③若则＞②若则①若

（12）有的题目涉及递推公式、数列问题

如：n

n n S S n S --++++=

-22

32 (2523211)

32n 解题思路： 函数的连续性和间断点问题

（1）如何讨论并确定函数的连续性？

①若该函数是初等函数，则该函数在其定义域区间均连续 ②若是一元函数，则可对其求导，其导数在某点上有意义则函数在该点必然连续（可导必连续）

③求助极限，函数在该点极限等于函数在该点函数值，计算时注意左右极限 （2）间断点问题 间断点的分类：

[][]段连续

上按在区间断点，则函数上仅有有限个第一类间在区间如果函数断点

的第二类间称为函数不存在时，的左右极限至少有一个在③若存在

左右极限均第一类间断点的特点是点统称第一类间断点。可去间断点和跳跃间断称为跳跃度

的跳跃间断点，为函数则称。但②若已经不是原函数。

处连续，此时在的函数值，使在充定义或改变的可去间断点，只需补为函数可去间断点。若的

，则称为但处没有定义或者有定义在而①若b a x f b a x f x f x x x x x f x f x f x f x x x f x f x f x f x f x f x f x x x f x x x f x f x x x f A x f x x x f A x f x x x x x x ,)(,)()()()()()

(),()()()(lim ),()(lim )()()()()()()(,)(lim 000000000000000

==-=≠=====≠==-

++

+

-

→+

→→-+（3）一致连续与不一致连续

0)''()'(''''''00x )('''x x )()''()'(''''''0.0x )(εδδεεδεδε≥----∈??x f x f x x x x x f x x x f x f x f x x x x x x f ，但是＜，尽管、存在，总＞，无论对多么小的＞上，存在定义在集合不一致连续：设函数小。的绝对值就可以任意地分靠近，相应函数值差

位置怎样，只要二者充和中的两点定义表明，无论上一致连续。在，则称＜时，就有＜且满足、当）＞（＞上，若定义在集合：设函数一致连续（均匀连续）

?????==???→?=-

+→→→A x f A x f A x f x x x x x x )(lim )(lim )(lim 00

0充要条件 【第三部分】导数与微分

法线斜率和切线斜率相乘等于-1（切线与法线垂直）

()'u ...'u 'u 'u ...u u n 21n 21+++=+++

()'u ...u u ...u '...u u u ...u 'u 'u ...u u n 21n 21n 21n 21?++?+=???

反函数求导：反函数导数×原函数导数=1 或写成：

y y x x dy

dx 1dx

dy

===

常见的函数的导数（基础函数求导）：

()()为常数c 0'c = ()1-x 'x ααα?= ()lna a 'a x x ?=

()x

x

e

'e = (

)

lna x 1'log x

a ?=

()x

1

'lnx = ()x

1'ln x

= ()cosx 'sinx = ()-sinx 'cosx =

()x sec x tan 1'tan 22=+=x ()x -csc 'cotx 2=

()tanx secx 'secx ?= ()cotx -cscx 'cscx ?= ()2

x

-11'arcsinex =

()2

x

-11-

'arccosx =

()2x 11'arctanx +=

()2

x

11

-'arccotx +=

()的求导方法特殊复合函数：）（x v

x u y =：

()()

??? ?

?

+?=→=→→?u vu'ln v u 'y e

y u v ln v x u

x 转化

y=f （x ）亦称为“零阶导数”（函数的零阶导数就是其本身）

隐函数：F （x ，y ）=0，y=f （x ）带入即可得到F 【x ，f （x ）】=0，满足该恒等式即为隐函数

国际数学通用标记：

[]()()[]{}[]()()[]{}

[]()()[]{}[]()()[]{}

内二次可导、在、的区间上连续

、的二阶导数在、上可导、在、上的连续函数

、是、b a x f x f b a b a x f x f b a b a x f x f b a b a x f x f b a 2

2====D C D C 易错点：求导时，不能将y 与f （x ）等同。二者导数未必一致 【带有绝对值的函数该如何求导？】

带有绝对值的函数脱掉绝对值符号后是一个分段函数，应当分段求导。特别应注意的是，分段点的导数严格来讲，应当按定义来求。 【经典题型总结】

（1）设函数f （x ）在x ≠0时可导，且对任何非零数x ，y 均有f(x ·y)=f(x)+f(y),又f(1)存在。证明当x ≠0时，f(x)可导。

证：令x=1，由f(x ·y)=f(x)+f(y)得：f(y)=f(1)+f(y)，所以：f(1)=0 对任何x ≠0，由题设及导数定义知，

()[]x

)(-)1()(lim x )(1lim x )()(lim 0x 0x 0x △△△△△△△△△x f x x f x f x f x x f x f x x f ??

????

++=-+=-+→→→

的时候处处可导不等于所以函数在△）△△0)()1('1

x

x )1(-x 1(x 1lim

0x x f f x

f f =+?=→

)1(,,(0221221

212112

22

=+-+==+?+?+y a dt

dy

a dt y d e x a a y a dx

dy

x a dx dy x a dx y d x t 方程化成如下的形式：证明可将为常数）中令）在方程（ t

t t e e dt dy dt dx dt dy dx dt dt dy dx y d e dt dy dx dt dt dy dx dy ---???? ???=?=?=?=?='1'';22证：

t t t t t e dt

dy e dt y d e e dt dy e dt y d 222222)(-----?-?=??-?=

)1(0

)(2122

2122222=+-+=++-=---y a dt

dy

a dt y d y a e dx

dy e a e dx dy e dx y d e t t t t t

所以：原式

???

????

?????

??-1

3dy dx dx d ）化简：（ dx dy dy dx dy d dy dx dx d ????

????????? ???=???????

????? ??=--11

解：原式 223

1

222

dy x

d dy dx dy dx dy x d dy dx ????

? ??-=???? ???????? ??-=---

高阶导数：

（1）高阶导数的运算法则

()()

()()

()()

()

()

()

()

()

()()()()

()()

()()

k k -n n

k k

n n 0n

n 11-n 1

n 0n 0

n n n n n n n v u v

u ...v u

v u uv c u c u c v u v u ∑==+++=?=?+=+C C C C ③为常数其中②①

（2）【浅谈高阶导数的求法】 高阶导数求法一般包括6种方法，即①根据高阶导数定义求之；②利用高阶导数公式求之；③利用莱布尼茨公式求之；④用复合函数的求导法则求之；⑤用泰勒公式求之；⑥交叉法，等等。

①定义法：运用求导公式，求导法则求导，n 阶导数一般比较其规律性 ②高阶求导公式：把高阶求导公式化为代函数之和，分别求之 ③莱布尼茨公式求导：当所求导数的函数是两个函数的乘积时，宜用莱布尼茨公式求之。特别地，当其中一个函数的高阶导数为0，可以用此公式求之；两个因子中，其中有一个函数的各阶导数有明显的规律性时，可以用此公式。 ④复合函数求导法：复合函数求导法则还可以推广到多次复合的情形。在求导时，能从外层向内层逐层求导，一直求到对自变量求导数为止。若存在单值反函数，常用复合函数求导法则，求其反函数的高阶导数。

【名词释义】单值反函数：若对定义域每一个自变量x ，其对应的函数值f （x ）是唯一的，则称f （x ）是单值函数。反过来，对于任何一个函数值y ，都有唯一的一个自变量x 与之相对应，则此时称y=f （x ）为单值反函数。 ⑤泰勒公式求导法

()()()()()()()()120

-0f 31-60f ...7x -5x 3x -x x f 0f sinx x x f 6610

864

63==∴++==，！

！！

！！解：

，利用泰勒公式求Θ

证明题：

①证明一函数（隐函数）处处可导：则应先根据题意找出几个关键的点，然后根

据导数的基本公式：x

x f -x x f lim 0x △）

（）△（△+→进行判定

—

②证明f （x ）=a ，即证F （x ）=f （x ）-a=0

（3）部分初等函数的高阶导数

()()()()[]()()()()()()[]()()()()()()()()()()()()?

?

? ?

??+=?

?? ?

??+=??=+??==?=??=+2n x cos cosx 2n x sin sinx x 1-n 1-lnx x 11-n 1-ln e

e lna a a 1-n -...1-x x n n n

-1-n n n

-1-n n

x

1x

n

x

n

x n

x

n

-n

ππααααα

！！

()[]()

()()b ax f a b ax f n n n +?=+线性复合公式：

一阶导数：切线斜率

二阶导数：曲线曲率

关于曲线凹凸性的两个定理及应用

[][])

(')

()()(',)()2()(')

()()(',)(1b

x a 21

212121

212121x f x x x f x f x f b a x f x f x x x f x f x f b a x f x ＜＜

上是凹的，则的图形在若＞＞上是凸的，则的图形在）若（＜＜＜设----

【经典题型总结】

（1）设 f ’’’（t ）存在且f ’’（t ）≠0，求33dx

y

d

()()()()()()

()()[]()()()[]()()[]32233

2222

t ''f t ''''t 'f 't ''f 1dt

dx dx y d dt d dx y d t ''f 1't 'f 't dt

dx dx y d dt d dx

y d t t ''f t ''f t t ''f t 'f -t ''f t t 'f dx dy f -=??????=???? ??=∴==

???

? ??=∴=?=?+=Θ

解答：

X=f ’（t ） Y=t ·f ’（t ）-f （t ）

—

（2）函数的二阶导数等于原函数，求该函数表达式

()

[]

()()()()x

-x x

-x x -x x -x x

-x x -x 21x

-2x 121x x -x

-2x -x x

2

x

222

22222e

-e e e cthx e e e -e thx 2e e chx 2e -e shx chx

c shx c y e c e c y ,b

2a

-c 2b c b

2e a -2e b y e b a y y b

2e a -2e b y e b a y y e b a y y b lnb tx a y y ln dx t a y dy

dx a y dy a

y dx

dy

a y p a 2

a

y 21p 21dy

y dp p y ''y dy

dp p ,dy dp p dx dy dy dp dx dp 'y'y 'y'p 'y +=+=+==+=+===??=?=++??=?=++?=+++=++?=+±±=+±+±=+±=+=?=?==?∴?=?==

==±????双曲余切，双曲正切双曲余弦，

双曲正弦其中，

亦可写为：得通解：，令，可得②，可得①通解为：是任意常数）（其中，即，即则是任意常数展开：，解：设

（3）f （x ）、g （x ）都可导，且满足：①f （x ）=g ’（x ）、f ’（x ）=g （x ） ②f （0）=0；

g （0）=1。证明：g 2（x ）-f 2（x ）=1 证：由上可知，f ’’（x ）=f （x ）

()()()()()()()1

x f -x g e 2

1e 21x g e 2

1-e 21x f 10'f e c -e c x f 0c c 00f c c e c e c x f 22x

-x x

-x x -1x 12121-x

2x 1=∴+=

=∴===+∴=+=同理，，又，，为任意常数）

、（其中）（设ΘΘ

【微分：】自变量的改变量等于自变量的微分

导数又称“微商”。

()()dx

x f'dy dx x 'f dx x dy x dx ?=∴?=?=?=→=A A △△Θ

微分四则运算：

设u=u （x ）、v=v （x ）在点x 处均可微，则u ±v 、u×v 、u/v （v ≠0）在x 处都可微，且： ()()()()()()

0v v dv -v 1d 0v v dv u -du v u d 3c du c u c d dv

u du v duv 2dv du v u d 122

≠=??

?

??≠??==??

? ???=??+?=±=±特别地，是常数特别地，）（）（v

截距的性质：截距不是距离，所以截距是有正负的

()()()x ''f dx y

d dx dy dx d dx 'dy ''y ''y x 'f''y'2

2==

??? ??====：证明

拐点：在数学上，拐点是指改变曲线向上或者向下方向的点。直观地说，拐点是使切线穿越曲线的点（即曲线的凹凸分界点）。若该曲线的图形函数在拐点有二阶导数，则二阶导数必为零或者不存在 驻点：函数的导数为0的点称为函数的驻点 可导、可微、连续、极限之间的关系？ 可导 <==> 可微

可导(可微） ==> 连续 ==> 极限存在 <==> 左极限、右极限都存在且相等 （箭头反方向的话不一定成立）

可导 ==> 左导数、右导数都存在且相等

连续 ==> 左连续且右连续 + 极限值等于函数值 连续 <==> 极限存在且等于函数值

极限存在 <==> 左极限、右极限都存在且相等

在某点处（左、右）极限是否存在与该点处函数是否有定义无关

【第四部分】微分中值定理及导数的应用

（1）费马定理

设f （x ）在点x 0处取到极值，且f ’（x 0）存在，则f （x 0）=0。 （2）罗尔定理

如果函数f(x)满足：在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导;在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ

（3）拉格朗日中值定理

如果函数 f(x) 满足:（1）闭区间[a,b]上连续（2）开区间(a,b)内可导。那

么:在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ

如果函数f(x)及F(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续;（2）在开区间(a,b)内可导;（3）对任一x ∈(a,b)，F'(x)≠0。那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立。 （5）泰勒公式与麦克劳林公式

泰勒公式：若函数f(x)在开区间(a ，b)有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于(x-x.)多项式和一个余项的和:

f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!·(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!·(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!·(x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!·(x-x.)^(n+1),这里ξ在x 和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。

麦克劳林公式：若函数f(x)在开区间(a ，b)有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x 多项式和一个余项的和: f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!·x^(n+1),这里0<θ<1. 两个重要且特殊的麦克劳林公式：

()()()n x ...x x 1x -1x

-11n x 1-...x -x x -1x 1x

11n 21

-n n

321-R R +++++==+?+++=+=+

（6）函数的单调区间与极值

单调区间：

设f （x ）在区间I （I 可以是开区间，可以是闭区间，也可以是半开半闭区间）上连续，在区间I 内部可导

①若x ∈I 内部，f ’（x ）≥0，则f （x ）在区间I 上递增 ②若x ∈I 内部，f ’（x ）≤0，则f （x ）在区间I 上递减

③若x ∈I 内部，f ’（x ）≡0，则f （x ）在区间I 上是一个常值函数 极限与极值： 判定极限的方法：

f ’（x ）=0，f ’’（x ）≠0，则f （x ）一定是极限 ①f ’（x ）=0，f ’’（x ）＜0，则f （x ）取极大值 ②f ’（x ）=0，f ’’（x ）＞0，则f （x ）取极小值

【误点解析】：使用洛必达法则之后极限不存在，不能直接说原极限不存在

双阶乘：相隔的两个数相乘：如5！！=5×3×1 不动点：g （t ）=t 的点叫做不动点 f （x ） g （x ） f （x ） = g （x ）

f ’（x ） =

g ’（x ） f ’’（x ） = g ’’（x ） ...

f (n)（x ）=

g (n)（x ）

满足此条件，即可证明f （x ）、g （x ）在x 0处n 阶相切

曲率：

()

2

3

2'y 1'

'y k 1+=

）曲率公式为：（

()

????

???++=+=''y 'y 1y ''y 'y 1'y -x 22

2ηξ）曲率的中心坐标为：（

(

)

'

''1k 1)3(2

3

2y y R +==

曲率半径

（4）圆的各个位置的曲率是相同的，都是半径的倒数

反函数：如果函数的导数不为0，那么该函数在定义域区间上有反函数 ☆【例谈微分中值定理辅助函数的构造模式与方法一】☆

辅助函数是解决许多数学问题的有效工具，中值定理及推导过程中用到了演绎、分析分类等数理逻辑方法和一些具体的方法。如构造辅助函数等等，下面就介绍几种重要的构造辅助函数的方法。

（1）凑导数法

例如：设函数f （x ）在【a 、b 】上连续，在（a 、b ）内可导，证明：存在ξ∈（a 、b ），使得2ξ【f （b ）-f （a ）】=（b 2-a 2）·f ’（ξ）

证明：令F （x ）=x 2【f （b ）-f （a ）】-（b 2-a 2）·f （x ）即可 （2）几何直观法

例如：如果f （x ）在【0、1】上可导，且0＜f （x ）＜1，对于任何x ∈（0,1）都有f ’（x ）≠1，试证在（0,1）有且仅有一点ξ，使得f （ξ）=ξ

证：①令g （x ）=f （x ）-x

②再用反证法证明其唯一性 （3）常数值法（K ）

在构造函数时，若表达式关于端点处的函数值具有对称性，通常用常数K 值法来构造辅助函数。这种方法一般选取所政等式中含ξ的部分作为K ，即将常数部分分离出来令其得K ，恒等式变形，令一端为a 与f （a ）的代数式，另一端为b 与f （b ）的代数式，将所证等式中的端点值（a 或b ）改为变量x ，移项即为辅助函数F （x ）。再用中值定理，待定系数法等方法确定K 。一般来说，当问题涉及到高阶导数时，往往考虑多次运用中值定理，更多时要考虑运用泰勒公式。

例如：设f （x ）在【a 、b 】上连续，在（a 、b ）上可导。0＜a ＜b 。试证明

）（）（）（），使等式、（存在一点ξξξ'f ln a f -b f b a a

b

??=∈

证：）。故得证

（，所以）（，）（）（）（，得辅助函数：令）（）

（）（令ξξξ

ξξ'f 'f 0'lnx

-x f x x b lna

-a ln )(,ln ln a f -b f ?==

=∴?==?=?--=

K K

F K F K f b K b f a

b K

（4）倒推法

这种证明方法从要证的结论出发，借助与逻辑关系导出已知的条件和结论。 例如：设f （x ）在【a 、b 】（0＜a ＜b ）上连续，在（a ，b ）内可导，且

ξ

ξξξ）

（）（，使）内至少存在一点，。证明：在（）（，）（f -'f b a a b f b a f ===

证：构造函数：f ’（ξ）·ξ+f （ξ）=0即可 （5）乘积因子法

对于某些要证明的结论，往往出现函数的导数与函数之间关系的证明。直接构造函数往往比较困难，将所证的结论两端同时乘以或除以一个恒为正或负的函数，证明的结论往往不受影响。

因子是常数）是一个很好的（λλx e

例如：若f （x ）在【a 、b 】上连续，在（a 、b ）内可导，且f （a ）=f （b ）

）（）（），使，（证明：ξλξξf 'f b a .0?=∈?= ）（）（）

（，然后令证：结论两侧同时乘以x f e -x 'f e x e x -x

-x

-??=λλλλF

（6）介值法

证明中，引入辅助函数g （x ）=f （x ）-η·x 。将原问题转化为【a 、b 】内可导函数g （x ）的最大值或最小值至少有1个必在内点达到，从而可通过g （x ）在【a ，b 】上的可导条件，直接运用费马定理完成证明。

例如：证明若f （x ）在【a ，b 】上可导，则f （x ）可取到f （a ）与f （b ）之间的一切值

[][]。得证

）（）（，使得所以一定存在一点）也不是（））的最大值。同理，，（）（（）不是（即）（）＞（）时，（使得当＞由极限性质知，＞）

（）（，即）＞（不妨设）＜（）（的性质，有由）（）（上可导，且、）在（）的性质，（由）（）（，令）（），（证明：ηηηηη=∴=∈∈?==∈?+

→+000s a x x 'f .0x 'f x b g b a x x g a g a g x g a x .00

a

-x a g -x g lim 0a 'g .0b '穏a 'g -x 'f x 'g b a x g x f x

-x f x g b 'f a 'f 1U S

（7）分离变量法

拉格朗日与柯西中值定理常用来解决多个中值的问题。以两个中值的情况为例说明如下：

若要证明存在ξ、η∈（a ，b ），使得f （a ，b ，ξ，η）=0.则通常应将

函数f （a ，b ，ξ，η）=0改写成“变量分离”的形式，即h （a ，b ）=δ（ξ）·δ（η）或者h （a ，b ）=δ（ξ）+δ（η）的形式，然后观察δ（ξ）、δ（η）是否分别拉格朗日公式的右侧。

[]故得证

又即使应用拉格朗日定理得：和对令）（变为：证明：将待证明结论转使得：），（），则存在。（，）＞（例如：设)

()(')('ln ln )

()()

(')(1ln ln ),(')()(),()()(),(')

(1

)('ln )(,)()(')

(')()()(-b f ln

)()()()('g b a b x a 0)('g 0x g )()()()()

()

()

(ξξξξξξξξξξξξξg g f a

b a b a f b f g g a b f a b a f b f b a x g x f x g x g x G x g g g f a g b g m a f g a f b f x a g b g a g b g x g a g b g ?=

----?=--=--∈??=

==??

?

???=-∈≤≤≠Θ ☆【例谈微分中值定理辅助函数的构造模式与方法二】☆

（1）使用罗尔定理时用“积分法”或“解微分方程法”构造辅助函数。使用“积分法”构造辅助函数的基本步骤：①将结论等式中的ξ换成x ；②对第一步的结果进行变形，使两边求积分；③两边求不定积分；④把第三步的结果化成C=F （x ）的形式，其中C 为任意常数，且f （x ）中不含有C ；⑤最后的F （x ）就是所要构造的辅助函数。

[][][])

(')(0

)(')()()()('0)(),(),(0)(),(,x ),()()()

()()(),()()(ln ln )ln(a -,)

()

('a )(')(x )(')()(')(),(0)('1a ,,x f 1ξξ

ξξξξξξξξξξξξξξ

ξξf a

b f f b f b a F F b a b F a F b a b a F x f x b x F x f x b x F x f x b

c x f c x b x f x f x b x f a

x

b x f f a b f f a

b f b a a f b a b a a a a a a -==?-+?-?-==∈==?-=?-=?-=∴=+-=-?-=?-=?-==-所以：所以：，使得在所以由罗尔定理知，存且内可导，上连续，在）在（因为证：设求得辅助函数为：两边积分得：再变形为

，得到都换成的分析：将结论等式中，使内至少存在一点证明在，且＞内可导，其中上连续，在）在（例如：设

（2）使用拉格朗日定理用“单边积分法”构造辅助函数。所谓的单边积分法就是：

①若所要证明的等式中只含有ξ，就是把有ξ的函数式与常数项分离到两边，将ξ换成x 后进行单侧积分求出原函数即为辅助函数。

②若所要证明的等式中含有ξ和η，就把含有ξ的函数式与含有η的函数式分离到等式两边，将ξ换成x 后进行单侧积分求出原函数即为辅助函数；将η换成x 后进行单侧积分求出原函数即为另一辅助函数。

[][]2

222)()(')()()(,)()(')()())((')()(),,,)

()(,)()()

()(,)()()('x )

()(')()()(b a ),(,)(0ξξξξξξξξξξξξξξξf f a b ab a bf b af f f a a f b b f a b F a F b F b a b a x

x f x F x x f x F x x f x F c x x f dx x x f x xf f f a b ab a bf b af b a b a x f a b -?=

--∴-?=--=-∈===+=?--=

--∈?即：使（存在中值定理的条件，所以上满足拉格朗日

在则证明：设所求辅助函数为：，进行单侧积分，得，将右端换成分析：等式左端为常数），使，（存在内可导，试证明

上连续，在在，且已知＞＞例如：设

（3）使用柯西中值定理时用“上下积分法”构造辅助函数

有些问题把结论等式中的ξ换成x 后移到等式一边，若是分式且不能进行单边积分求原函数，可以考虑对分式的分子和分母分别进行积分，求各自的原函数，称为“上下积分法”。

例如：设f(x)在【a ，b 】上连续，在（a ，b ）内可导。且a ＞0.存在ξ、η∈（a,b),使f ’(ξ)=)('2)('ηη

ξf b

a f ?+=

分析：所给要证等式含有ξ和η的等式已经在等号两边。将ξ换成x 后进行

单侧积分求出原函数f(x),即为一辅助函数；另将η换成x 后得到x

x f 2)

('b a ）（+,

分别对分子分母进行积分求出原函数（a+b ）f （x ）和x 2，作为可使用柯西定理的两个辅助函数。

证明：因为f(x)在[]b a ,上连续，在（a ，b ）内可导，且a ＞0，所以f （x ）在[]b a ,上满足拉格朗日定理的条件，存在ξ和η∈（a ，b ）

使a

b a f b f f --=

)

()()('ξ

又对f(x)和x 2使用柯西定理有：存在η∈（a ，b ），使

η

η2)

(')()(22f a b a f b f =--

即：

)('2)()(ηη

f b

a a

b a f b f ?+=--