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2017年湖北省襄阳市襄州区中考数学模拟试卷含答案解析

2018年湖北省襄阳市襄州区中考数学模拟试卷

一、选择题:(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确的选项序号在答题卡上涂黑作答.

1.﹣2的相反数是()

A.﹣2 B.2 C.0

2.下列运算正确的是()

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A.B.C.D.

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3.把不等式组的解集在数轴上表示出来,正确的是()

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A.B.C.

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D.

4.如图所示的几何体是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体,它的俯视图是()

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A.B.C.D.

5.一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根,则m应满足的条件是()

A.m>1 B.m=1 C.m<1 D.m≤1

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6.在菱形ABCD中,E是BC边上的点,连接AE交BD于点F,若EC=2BE,则的值是()

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A.B.C.D.

7.某校九年级开展“光盘行动”宣传活动,各班级参加该活动的人数统计结果如下表,对于

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8.已知下列命题:

①在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A>∠B,则sinA>sinB;

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②四条线段a,b,c,d中,若=,则ad=bc;

③若a>b,则a(m2+1)>b(m2+1);

④若|﹣x|=﹣x,则x≥0.

其中原命题与逆命题均为真命题的是()

A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④

9.如图,把矩形ABCD沿EF对折,若∠1=50°,则∠AEF等于()

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A.50°B.80°C.65°D.115°

10.如图,AB是⊙O的直径,点D、E是半圆的三等分点,AE、BD的延长线交于点C,若CE=2,则图中阴影部分的面积是()

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A.π﹣B.πC.π﹣D.π

二、填空题:(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)请将每小题正确答案写在答题卡上对应的横线上.

11.分解因式:3x2﹣27=.

12.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm(1μm=0.000001m)的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它们含有大量的有毒、有害物质,对人体健康危害很大.2.5μm用科学记数法可表示为m.

13.如图所示,直线AB,CD相交于点O,OM⊥AB,若∠MOD=30°,则∠COB=

度.

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14.分式方程的解是.

15.如图,若?ABCD的周长为36cm,过点D分别作AB,BC边上的高DE,DF,且DE=4cm,DF=5cm,?ABCD的面积为cm2.

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16.⊙O的半径为5,弦BC=8,点A是⊙O上一点,且AB=AC,直线AO与BC交于点D,则AD的长为.

三.解答题:(本大题共有9个小题,共72分)解答应写出演算步骤或文字说明,并将答案写在答题卡上对应的答题区域内.

17.先化简:,然后从﹣2≤x≤2的范围内选择一个合适

的整数作为x的值代入求值.

18.为响应习总书记“足球进校园”的号召,我区在各中学举行了“足球在身边”知识竞赛活动,各类获奖学生人数的比例情况如图所示,其中获得三等奖的学生共50名,请结合图中信息,解答下列问题:

(1)获得一等奖的学生人数为;

(2)在本次知识竞赛活动中,A,B,C,D四所学校表现突出,现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛,请用画树状图或列表的方法求恰好选到A,B两所学校的概率.

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19.如图,初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度,他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°.朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的仰角为60°,已知A点的高度AB为2米,台阶AC的坡度为1:

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(即AB:BC=1:),且B,C,E三点在同一条直线上,请根据以上条件求出树DE 的高度.(测量器的高度忽略不计)

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20.如图,为美化校园环境,某校计划在一块长为60米,宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道,设通道宽为a米.

(1)当通道宽a为10米时,花圃的面积=;

(2)通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于3:5?如果可以,试求出此时通道的宽.

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21.如图,一次函数y=kx﹣1的图象与反比例函数的图象相交于A、

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B两点.已知点A的坐标是(﹣2,1),△AOB的面积为.

(1)求反比例函数和一次函数的解析式;

(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.

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22.如图,直线MN交⊙O于A,B两点,AC是直径,AD平分∠CAM交⊙O于D.(1)过D作DE⊥MN于E(保留作图痕迹);

(2)证明:DE是⊙O的切线;

(3)若DE=6,AE=3,求弦AB的长.

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23.某商家经销一种绿茶,用于装修门面已投资3000元.已知绿茶每千克成本50元,经研y kg x/kg

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(1)请根据上表,写出y与x之间的函数关系式(不必写出自变量x的取值范围);(2)求w与x之间的函数关系式(不必写出自变量x的取值范围),并求出x为何值时,w 的值最大?

(3)若在第一个月里,按使w获得最大值的销售单价进行销售后,在第二个月里受物价部门干预,销售单价不得高于80元,要想在全部收回装修投资的基础上使第二个月的利润至少达到1700元,那么第二个月时里应该确定销售单价在什么范围内?

24.如图,在三角形ABC中,点O是AC边上一动点,过点O作直线MN∥BC,设MN 交∠BCA的平分线于点E,交∠ACD的平分线于点F.

(1)求证:OE=OF;

(2)当点O运动到何处时,四边形AECF会变成矩形?并证明你的结论;

(3)若AC边上存在点O,使四边形AECF是正方形,AB与EC相交于点P,与EF相交

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于点D,若BC=2,AE=,求BP的长.

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25.综合与探究:如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,过点B作线段BC⊥x轴,交直线y=﹣2x于点C.

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(1)求该抛物线的解析式;

(2)求点B关于直线y=﹣2x的对称点B′的坐标,判定点B′是否在抛物线上,并说明理由;(3)点P是抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交线段B′C于点D,是否存在这样的点P,使四边形PBCD是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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参考答案与试题解析

一、选择题:(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确的选项序号在答题卡上涂黑作答.

1.﹣2的相反数是()

A.﹣2 B.2 C.0

【考点】相反数.

【分析】根据相反数的意义,只有符号不同的数为相反数.

【解答】解:﹣2的相反数是2,

故选:B.

2.下列运算正确的是()

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A.B.C.D.

【考点】二次根式的混合运算.

【分析】根据同类二次根式的合并、二次根式的除法运算,和平方的知识,结合选项即可得出答案.

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【解答】解:A、≠,故本选项错误;

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B、3+≠3,故本选项错误;

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C、=3,故本选项错误;

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D、==2,故本选项正确;

故选D.

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3.把不等式组的解集在数轴上表示出来,正确的是()

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A.B.C.

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D.

【考点】在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组.

【分析】根据不等式组取解集的方法找出不等式组的解集,表示在数轴上即可.

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【解答】解:,

由②得:x<3,

则不等式组的解集为﹣2≤x<3,

表示在数轴上,如图所示:

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4.如图所示的几何体是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体,它的俯视图是()

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A.B.C.D.

【考点】简单组合体的三视图.

【分析】俯视图是从上面看到的图形.

【解答】解:从上面看,左边和中间都是2个正方形,右上角是1个正方形,

故选D.

5.一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根,则m应满足的条件是()

A.m>1 B.m=1 C.m<1 D.m≤1

【考点】根的判别式.

【分析】根据根的判别式,令△≥0,建立关于m的不等式,解答即可.

【解答】解:∵方程x2﹣2x+m=0总有实数根,

∴△≥0,

即4﹣4m≥0,

∴﹣4m≥﹣4,

∴m≤1.

故选:D.

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6.在菱形ABCD中,E是BC边上的点,连接AE交BD于点F,若EC=2BE,则的值

是()

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A.B.C.D.

【考点】相似三角形的判定与性质;菱形的性质.

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【分析】根据菱形的对边平行且相等的性质,判断△BEF∽△DAF,得出=,再根据

BE与BC的数量关系求比值.

【解答】解:如图,

∵在菱形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC,

∴△BEF∽△DAF,

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∴=,

又∵EC=2BE,

∴BC=3BE,即AD=3BE,

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∴==,

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7.某校九年级开展“光盘行动”宣传活动,各班级参加该活动的人数统计结果如下表,对于

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【考点】极差;算术平均数;中位数;众数.

【分析】分别计算该组数据的众数、平均数、中位数及极差后,选择正确的答案即可.

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【解答】解:A.=(52+60+62+54+58+62)÷6=58;故此选项正确;

B.∵6个数据按大小排列后为:52,54,58,60,62,62;

∴中位数为:(60+58)÷2=59;故此选项错误;

C.极差是62﹣52=10,故此选项错误;

D.62出现了2次,最多,∴众数为62,故此选项错误;

故选:A.

8.已知下列命题:

①在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A>∠B,则sinA>sinB;

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②四条线段a,b,c,d中,若=,则ad=bc;

③若a>b,则a(m2+1)>b(m2+1);

④若|﹣x|=﹣x,则x≥0.

其中原命题与逆命题均为真命题的是()

A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④

【考点】命题与定理.

【分析】先对原命题进行判断,再根据互逆命题的定义写出逆命题,然后判断逆命题的真假即可.

【解答】解:①在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A>∠B,则sinA>sinB,原命题为真命题,逆命题是:在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA>sinB,则∠A>∠B,逆命题为真命题;

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②四条线段a,b,c,d中,若=,则ad=bc,原命题为真命题,

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逆命题是:四条线段a,b,c,d中,若ad=bc,则=,逆命题为真命题;

③若a>b,则a(m2+1)>b(m2+1),原命题为真命题,

逆命题是:若a(m2+1)>b(m2+1),则a>b,逆命题为真命题;

④若|﹣x|=﹣x,则x≥0,原命题为假命题,

逆命题是:若x≥0,则|﹣x|=﹣x,逆命题为假命题.

故选A.

9.如图,把矩形ABCD沿EF对折,若∠1=50°,则∠AEF等于()

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A.50°B.80°C.65°D.115°

【考点】平行线的性质;翻折变换(折叠问题).

【分析】由把矩形ABCD沿EF对折,根据矩形的性质,可得AD∥BC,由折叠的性质,可得∠BFE=∠2,又由∠1=50°,即可求得∠BFE的度数,然后根据两直线平行,同旁内角互补,即可求得∠AEF的度数.

【解答】解:∵把矩形ABCD沿EF对折,

∴AD∥BC,∠BFE=∠2,

∵∠1=50°,∠1+∠2+∠BFE=180°,

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∴∠BFE==65°,

∵∠AEF+∠BFE=180°,

∴∠AEF=115°.

故选D.

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10.如图,AB是⊙O的直径,点D、E是半圆的三等分点,AE、BD的延长线交于点C,若CE=2,则图中阴影部分的面积是()

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A.π﹣B.πC.π﹣D.π

【考点】扇形面积的计算.

【分析】连接DE、OE、OD,可得△OAE、△ODE、△OBD、△CDE都是等边三角形,由此可求出扇形OBE的圆心角的度数和圆的半径长;由于∠AOE=∠BOD,则AB∥DE,

S△ODE=S△BDE;根据阴影部分的面积=S

扇形OAE ﹣S△OAE+S

扇形ODE

求解即可.

【解答】解:连接OE、OD,点D、E是半圆的三等分点,∴∠AOE=∠EOD=∠DOB=60°

∵OA=OE=OD=OB

∴△OAE、△ODE、△OBD、△CDE都是等边三角形,

∴AB ∥DE ,S △ODE =S △BDE ;

∴图中阴影部分的面积=S 扇形OAE ﹣S △OAE +S 扇形ODE =×2﹣

×22=π﹣

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故选A .

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二、填空题:(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)请将每小题正确答案写在答题卡上对应的横线上.

11.分解因式:3x 2﹣27= 3(x+3)(x ﹣3) . 【考点】提公因式法与公式法的综合运用.

【分析】观察原式3x 2﹣27,找到公因式3,提出公因式后发现x 2﹣9符合平方差公式,利用平方差公式继续分解. 【解答】解:3x 2﹣27, =3(x 2﹣9), =3(x+3)(x ﹣3). 故答案为:3(x+3)(x ﹣3).

12.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm (1μm=0.000001m )的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它们含有大量的有毒、有害物质,对人体健康危害很大.2.5μm 用科学记数法可表示为 2.5×10﹣6 m .

【考点】科学记数法—表示较小的数.

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a ×10﹣n ,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【解答】解:2.5μm=0.0000025m=2.5×10﹣6m , 故答案为:2.5×10﹣6.

13.如图所示,直线AB ,CD 相交于点O ,OM ⊥AB ,若∠MOD=30°,则∠COB= 120 度.

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【考点】垂线;对顶角、邻补角.

【分析】根据余角、邻补角的定义计算.

【解答】解:∵直线AB ,CD 相交于点O ,∠BOC 与∠BOD 是邻补角, ∴∠MOD=30°, 又OM ⊥AB , ∴∠BOM=90°,

∴∠BOD=90°﹣30°=60°.

∴∠BOC=180°﹣60°=120°.

故答案为:120

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14.分式方程的解是x=﹣2.

【考点】分式方程的解.

【分析】观察可知原方程变形后最简公分母为(x﹣1),方程两边同时乘以最简公分母,把分式方程转化为整式方程求解.

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【解答】解:由原分式方程可得:

+=1,

方程两边都乘以最简公分母(x﹣1),得:2x+1=x﹣1,

解得:x=﹣2,

检验:当x=﹣2时,x﹣1=﹣3≠0,

∴原分式方程的解为:x=﹣2,

故答案为:x=﹣2.

15.如图,若?ABCD的周长为36cm,过点D分别作AB,BC边上的高DE,DF,且DE=4cm,DF=5cm,?ABCD的面积为40cm2.

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【考点】平行四边形的性质.

【分析】由?ABCD的周长为36cm,可得AB+BC=18cm①,又由过点D分别作AB,BC

边上的高DE,DF,且DE=4cm,DF=5cm,由等积法,可得4AB=5BC②,继而求得答案.【解答】解:∵?ABCD的周长为36cm,

∴AB+BC=18cm①,

∵过点D分别作AB,BC边上的高DE,DF,且DE=4cm,DF=5cm,

∴4AB=5BC②,

由①②得:AB=10cm,BC=8cm,

∴?ABCD的面积为:AB?DE=40(cm2).

故答案为:40.

16.⊙O的半径为5,弦BC=8,点A是⊙O上一点,且AB=AC,直线AO与BC交于点D,则AD的长为2或8.

【考点】垂径定理;勾股定理.

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【分析】根据题意画出图形,连接OB,由垂径定理可知BD=BC,在Rt△OBD中,根据

勾股定理求出OD的长,进而可得出结论.

【解答】解:如图所示,连接OB,

∵⊙O的半径为5,弦BC=8,AB=AC,

∴AD⊥BC,

∴BD=BC=4,

在Rt△OBD中,

∵BD2+OD2=OB2,即42+OD2=52,

解得,OD=3,

∴当如图1所示时,AD=OA﹣OD=5﹣3=2;

当如图2所示时,AD=OA+OD=5+3=8,

故答案为:2或8.

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三.解答题:(本大题共有9个小题,共72分)解答应写出演算步骤或文字说明,并将答案写在答题卡上对应的答题区域内.

17.先化简:,然后从﹣2≤x≤2的范围内选择一个合适

的整数作为x的值代入求值.

【考点】分式的化简求值.

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算,约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果,把x=﹣2代入计算即可求出值.

【解答】解:原式=?﹣=﹣=,

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当x=﹣2时,原式==7.

18.为响应习总书记“足球进校园”的号召,我区在各中学举行了“足球在身边”知识竞赛活动,各类获奖学生人数的比例情况如图所示,其中获得三等奖的学生共50名,请结合图中信息,解答下列问题:

(1)获得一等奖的学生人数为30人;

(2)在本次知识竞赛活动中,A,B,C,D四所学校表现突出,现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛,请用画树状图或列表的方法求恰好选到A,B两所学校的概率.

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【考点】列表法与树状图法;扇形统计图.

【分析】(1)根据三等奖所在扇形的圆心角的度数求得总人数,然后乘以一等奖所占的百分比即可求得一等奖的学生数;

(2)列表将所有等可能的结果列举出来,利用概率公式求解即可.

【解答】解:(1)∵三等奖所在扇形的圆心角为90°,

∴三等奖所占的百分比为25%,

∵三等奖为50人,

∴总人数为50÷25%=200人,

∴一等奖的学生人数为200×(1﹣20%﹣25%﹣40%)=30人,

故答案为30人;

2

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故恰好选到A、B两所学校的概率为P==.

19.如图,初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度,他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°.朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的仰角为60°,已知A点的高度AB为2米,台阶AC的坡度为1:

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(即AB:BC=1:),且B,C,E三点在同一条直线上,请根据以上条件求出树DE 的高度.(测量器的高度忽略不计)

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【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题;解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

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【分析】由于AF⊥AB,则四边形ABEF为矩形,设DE=x,在Rt△CDE中,CE=

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==x,在Rt△ABC中,得到=,求出BC,在Rt△AFD中,求出AF,由

AF=BC+CE即可求出x的长.

【解答】解:∵AF⊥AB,AB⊥BE,DE⊥BE,

∴四边形ABEF为矩形,

∴AF=BE,EF=AB=2

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设DE=x,在Rt△CDE中,CE===x,

在Rt△ABC中,

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∵=,AB=2,

∴BC=2,

在Rt△AFD中,DF=DE﹣EF=x﹣2,

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∴AF===(x﹣2),

∵AF=BE=BC+CE.

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∴(x﹣2)=2+x,

解得x=6.

答:树DE的高度为6米.

20.如图,为美化校园环境,某校计划在一块长为60米,宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道,设通道宽为a米.

(1)当通道宽a为10米时,花圃的面积=800;

(2)通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于3:5?如果可以,试求出此时通道的宽.

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【考点】一元二次方程的应用.

【分析】(1)根据所给出的图形和矩形的面积公式进行计算即可;

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(2)根据整个的面积减去花圃的面积等于通道的面积占整个面积的,求出a的值,即可

得出答案.

【解答】解:(1)由图可知,花圃的面积为:(40﹣2×10)(60﹣2×10)=800(平方米).

故答案为:800;

(2)根据题意得:

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60×40﹣(40﹣2a)(60﹣2a)=×60×40,

解得:a1=5,a2=45(舍去).

答:通道的面积与花圃的面积之比能等于3:5,此时通道的宽为5米.

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21.如图,一次函数y=kx﹣1的图象与反比例函数的图象相交于A、

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B两点.已知点A的坐标是(﹣2,1),△AOB的面积为.

(1)求反比例函数和一次函数的解析式;

(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.

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【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

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【分析】(1)把A(2,1)分别代入一次函数y=kx﹣1的图象与反比例函数,求出k、

m的值即可得出其解析式;

(2)在y=kx﹣1中,当x=0时,y=﹣1,设直线与y轴相较于点C,则OC=1,设点B的横

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坐标为n,根据△AOB的面积为求出n的值,根据函数图象即可得出结论.

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【解答】解:(1)据题意,反比例函数的图象经过点A(﹣2,1),

∴有m=xy=﹣2,

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∴反比例函数解析式为,

∵直线y=kx﹣1经过点A(﹣2,1),

∴﹣2k﹣1=1,得k=﹣1,

∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣1;

(2)在y=kx﹣1中,当x=0时,y=﹣1,设直线与y轴相较于点C,则OC=1,

设点B的横坐标为n,

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∵△AOB的面积为,

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∴×1×(2+n)=,解得n=1,

∴一次函数的值小于反比例函数的值时,﹣2<x<0或x>1.

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22.如图,直线MN交⊙O于A,B两点,AC是直径,AD平分∠CAM交⊙O于D.(1)过D作DE⊥MN于E(保留作图痕迹);

(2)证明:DE是⊙O的切线;

(3)若DE=6,AE=3,求弦AB的长.

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【考点】切线的判定.

【分析】(1)根据垂直平分线的判定方法即可解决.

(2)连接OD,欲证明DE是⊙O的切线,只要证明∠ODC=90°即可.

(3)连接CD,作OF⊥AB于点F,设AF=x,则EF=OD=x+3,在Rt△AOF中,利用勾股定理列出方程即可.

【解答】解:(1)①以点D为圆心适当的长为半径画弧交MN于G、H,

②再分别以G、H为圆心大于GH为半径画弧,两弧交于点K,

③连接DK与MN交于点E,

直线DE就是所求.

(2)证明:连接OD,

∵OA=OD,

∴∠OAD=∠ODA,

∵∠OAD=∠DAE,

∴∠ODA=∠DAE,

∴DO∥MN,

∵DE⊥MN,

∴∠ODE=∠DEM=90°,

即OD⊥DE,

∵D在⊙O上,∴DE是⊙O的切线.

(3)连接CD,作OF⊥AB于点F,

∵OF⊥AB,OD⊥DE,DE⊥AB,

∴∠OFE=∠ODE=∠DEF=90°,

∴四边形DEFO为矩形,

∴OF=DE=6,OD=EF,

设AF=x,则EF=OD=x+3,

在Rt△AOF中,(x+3)2=62+x2,

解得,x=4.5,

∴AF=4.5,

∴AB=2AF=9.

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23.某商家经销一种绿茶,用于装修门面已投资3000元.已知绿茶每千克成本50元,经研y kg x/kg

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(1)请根据上表,写出y与x之间的函数关系式(不必写出自变量x的取值范围);(2)求w与x之间的函数关系式(不必写出自变量x的取值范围),并求出x为何值时,w 的值最大?

(3)若在第一个月里,按使w获得最大值的销售单价进行销售后,在第二个月里受物价部门干预,销售单价不得高于80元,要想在全部收回装修投资的基础上使第二个月的利润至少达到1700元,那么第二个月时里应该确定销售单价在什么范围内?

【考点】二次函数的应用.

【分析】(1)设y=kx+b,待定系数法求解即可得;

(2)根据:“总利润=每千克利润×销售量”列出函数关系式,配方可得其最值情况;

(3)由(2)知,第二个月利润需达到1700+550即W=2250才能满足题目条件,解方程可得x的值,根据二次函数性质可得x的取值范围.

【解答】解:(1)设y=kx+b,

将(70,100),(75,90)代入上式,

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得:

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解得:,

则y=﹣2x+240,

(2)w=(x﹣50)y

=(x﹣50)(﹣2x+240)

=﹣2x2+340x﹣9000

=﹣2(x﹣85)2+2450,

=2450;

当x=85时,w

最大

(3)由(2)知,第1个月还有3000﹣2450=550元的投资成本没有收回.

则要想在全部收投资的基础上使第二个月的利润达到1700元,

即w=2250才可以,

可得方程:﹣2(x﹣85)2+2450=2250

解得:x1=75,x2=95

根据题意x2=95不合题意,应舍去,

当x=80时,y=2400,

∵﹣2<0,

∴当x<85时,w随x的增大而增大,

当w≥2250,且销售单价不高于80时,75≤x≤80.

答:当销售单价为75≤x≤80元时,在全部收回投资的基础上使第二个月的利润不低于1700元.

24.如图,在三角形ABC中,点O是AC边上一动点,过点O作直线MN∥BC,设MN 交∠BCA的平分线于点E,交∠ACD的平分线于点F.

(1)求证:OE=OF;

(2)当点O运动到何处时,四边形AECF会变成矩形?并证明你的结论;

(3)若AC边上存在点O,使四边形AECF是正方形,AB与EC相交于点P,与EF相交

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于点D,若BC=2,AE=,求BP的长.

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【考点】四边形综合题.

【分析】(1)直接利用平行线的性质结合结合角平分线的性质得出∠OCE=∠BCE,

∠OCF=∠GCF,即可得出EO=CO,FO=CO求出答案即可;

(2)利用已知得出AO+CO=EO+FO,即AC=EF,进而利用矩形的判定方法得出答案;(3)利用正方形的性质得出∠ACB=90°,OE∥BC,进而得出△BPC∽△DAF,

△BPC∽△DAF,再利用相似三角形的性质得出答案.

【解答】证明:(1)∵MN∥BC,

∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠GCF,

又∵CE平分∠BCO,CF平分∠GCO,

∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠GCF,

∴∠OCE=∠OEC,∠OCF=∠OFC,

∴EO=CO,FO=CO,

∴EO=FO;

(2)解:当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.

∵当点O运动到AC的中点时,AO=CO,

又∵EO=FO,∴四边形AECF是平行四边形,

∵FO=CO,∴AO=CO=EO=FO,

∴AO+CO=EO+FO,即AC=EF,

∴四边形AECF是矩形.

(3)解:如备用图:设AB与EF交于点D,过点P作PQ⊥BC于点Q,

当四边形AECF是正方形时,

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∵AE=EC=AF=,∠AEC=∠ECF=90°,∠AOC=90°,AO=OC,

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∴∠ACE=∠BCE=∠AFE=45°,AC=,

∴∠ACB=90°,OE∥BC,

∴∠ADO=∠ABC,

∴△BPC∽△DAF

而BC=2,

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∴tan∠B=,

∴∠B=60°,∠BAC=30°,

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∴AB=2BC=4,AD=AB=2

设BQ=x,则,BP=2x,CQ=PQ=2﹣x,

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而△BPC∽△DAF,,

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∴PC=x,

在Rt△PQC中,PQ2+CQ2=PC2,

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得,

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解得(不合题意,舍去)

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∴BP=2BQ=.

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25.综合与探究:如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,过点B作线段BC⊥x轴,交直线y=﹣2x于点C.

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