(完整版)圆的切线的证明复习(教案)
专题复习----圆的切线证明教案
积石山县吹麻滩中学秦明礼
一、温习梳理
1、切线的定义:直线和圆有公共点时，这条直线叫圆的切线。
2、切线的性质:圆的切线于过切点的半径。
3、切线的判定:⑴和圆只有公共点的直线是圆的切线。
⑵到圆心距离半径的直线是圆的切线。
⑶经过半径的外端并且于这条半径的直线是圆的切线。
4、证明直线与圆相切，一般有两种情况：
⑴已知直线与圆有公共点，则连，证明。
⑵不知直线与圆有公共点，则作，证明垂线段的长等于。
二、课前检测:
1.如图，AC为⊙O直径，B为AC延长线上的一点，BD交⊙O于点D，
∠BAD=∠B=30°
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）请问：BC与BA有什么数量关系？写出这个关系式，并说明理由。
三、活动于探究:
1．如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点.求证：GE是⊙O的切线.
2．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于D ，
DE ⊥AC 于E ．求证：DE 是⊙O 的切线．
3．如图，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与PA 相切于点C ． (1) 求证：直线PB 与⊙O 相切；
(2) PO 的延长线与⊙O 交于点E ．若⊙O 的半径为3，PC=4．求弦CE 的长．
O
A
E
B C
D
4．如图，RT ?ABC 中，∠ABC=90O ，以 AB 为直径作⊙O 交边于点D ，E 是BC 边的中点，连接DE ． （1）求证：直线DE 是⊙O 的切线； （2）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ， 求tan ∠ACO 的值．
四、反馈检测:
如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC ． 求证：DE 是⊙O 的切线．
五、小结回顾：
1、本节课我们学习了：圆的切线的判定。
2、证明圆的切线的基本思路是：如果切点已知，需连接圆心做半径，证明半径和要证的切线垂直即可。而要证明垂直则需三种方法——平行、互余、全等。
B
C
E
B
A
O
F
D
(完整版)证明圆的切线经典例题
证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有: 一、若直线I过O O上某一点A，证明I是O O的切线，只需连OA，证明OA丄I 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直? 例1 如图，在厶ABC中，AB=AC ,以AB为直径的O O交BC于D ,交AC于E, B为切点的切线交0D延长线于F. 求证：EF与O 0相切. 证明：连结OE, AD. ?/ AB是O 0的直径， ??? AD 丄BC. 又??? AB=BC , ???/ 3= / 4. —— ? BD=DE，/ 1 = / 2. 又??? OB=OE , OF=OF , ???△ BOF ◎△ EOF ( SAS) ???/ OBF= / OEF. ??? BF与O O相切， ?OB 丄BF. ???/ OEF=9O°. ?EF与O O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的
例2 如图，AD 是/ BAC 的平分线, 求证：PA 与O O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ?/ AD 是/ BAC 的平分线， ???/ DAB= / DAC. ?/ PA=PD , ???/ 2= / 1+ / DAC. ???/ 2= / B+ / DAB , ???/ 1 = / B. ?/ AE 是O O 的直径, ? AC 丄 EC ,/ E+ / EAC=90°. ???/ 1 + / EAC=90°. 即OA 丄PA. ? PA 与O O 相切. ?/ PA=PD , ???/ PAD= / PDA. 又???/ PDA= / BDE, 证明二：延长AD 交O O 于E ,连结 ?/ AD 是/ BAC 的平分线, ? BE=CE , ? OE 丄 BC. ???/ E+/ BDE=90 0. ?/ OA=OE , ???/ E=/ 1. P P 为BC 延长线上一点，且 PA=PD.
圆证明切线的练习题
圆证明切线的练习题 1. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点 于D，DE⊥AC，E是垂足. 求证：DE是⊙O的切线；如果AB=5,tan∠B=的长. 2．如图，△ABC中，AB=AE，以AB为直径作⊙O交BE 于C，过C作CD⊥AE于D， 1C ,求CE B DC的延长线与AB的延长线交于点P . 求证：PD是⊙O的切线；若AE=5，BE=6，求DC的长. 3.在Rt△ABC 中，∠C=90 ? ， BC=9， CA=12，∠ABC的平分线 BD交AC于点D， DE⊥DB交AB于点E，⊙O是△BDE的外接圆， 交BC于点F 求证:AC是⊙O的切线; 联结EF，求 4.已知：如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BC于点E，EF⊥AC于F交AB的延长线于G. 求证：FG是⊙O的切线；求AD的长.
证明： 1 A EF 的值. AC 5．如图，点A、B、F在?O上，?AFB?30?，OB的延长线交直线AD于点D，过点 B作BC?AD于C，?CBD?60?，连接AB. 求证：AD是?O 的切线； 若AB?6，求阴影部分的面积. 6．已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上的一点，D是⊙O上的一点，且AD平分∠FAE，ED⊥AF交AF 的延长线于点C．判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； A 若AF∶FC=5∶3，AE=16，求⊙O的直径AB的长． 7．如图，以等腰?ABC中的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作DE?AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线； 8.如图，已知R t△ABC，∠ABC＝90°，以直角边 AB为直径作O，交斜边AC于点D，连结BD．
高中数学圆的方程典型例题
高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 22)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++= =AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
直线与圆知识点及经典例题
圆的方程、直线和圆的位置关系 【知识要点】 一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 (一)圆的标准方程这个方程叫做圆的标准方程。 说明： 1 、若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是。 2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了 圆，所以，只要三个量确定了且〉0,圆的方程就给定了。 就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定，可以根据条件，利用待定系数法来解决。 (二)圆的一般方程 将圆的标准方程, 展开可得。可见,任何一个圆的方程都可以写成: 问题：形如的方程的曲线是不是圆 将方程左边配方得： (1)当〉0时，方程(1 )与标准方程比较，方程表示以为圆心,以为半径的圆。, (3)当v 0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形。 圆的一般方程的定义： 当〉0时，方程称为圆的一般方程? 圆的一般方程的特点： ( 1 )和的系数相同,不等于零； ( 2)没有xy 这样的二次项。 (三)直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类 ( 1 )相离--- 求距离；(2) 相切--- 求切线；( 3)相交--- 求焦点弦长。 2、直线与圆的位置关系判断方法： 几何方法主要步骤： ( 1)把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆心和半径 ( 2)利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 (3)作判断：当d>r时，直线与圆相离；当 d = r时，直线与圆相切；当d
圆的切线之经典练习题
圆的切线之----- A 班经典练习题 班级 姓名 一、选择题： 1、“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（ ） A 、经过半径外端点的直线是圆的切线； B 、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线； C 、垂直于半径的直线是圆的切线； D 、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2、如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝900，点O 在BC 上，以O 为圆心的⊙O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ， 若AB ＝a ，AC ＝b ，则⊙O 的半径为（ ） A 、ab B 、 ab b a + C 、b a ab + D 、2 b a + 3、如图，正方形ABCD 中，AE 切以BC 为直径的半圆于E ，交CD 于F ，则CF ∶FD ＝（ ） A 、1∶2 B 、1∶3 C 、1∶4 D 、2∶5 4、如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，连结AB ，在AB 、PB 、PA 上分别取一点D 、E 、F ，使AD ＝BE ，BD ＝AF ，连结DE 、DF 、EF ，则∠EDF ＝（ ） A 、900－∠P B 、900－ 21∠P C 、1800－∠P D 、450－2 1 ∠P ? 第3题图 O F E D C B A ? 第4题图 P O F E D B A ?第6题图 C O E D B A 二、填空题： 5、已知PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 是切点，∠APB ＝780，点C 是⊙O 上异于A 、B 的任一点，则∠ACB ＝ 。 6、如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，BC 与以AD 为直径的⊙O 相切于点E ，AB ＝9，CD ＝4，则四边形ABCD 的面积为 。 7、如图，⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，点D 、E 、F 为切点，若AD ＝6，BD ＝4，则△ABC 的面积为 。 8、如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是和⊙O 相切于点B 的切线，过⊙O 上A 点的直线AD ∥OC ， 若OA ＝2，且AD ＋OC ＝6，则CD ＝ 。
关于圆的切线的练习题经典
圆的切线 1、直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离 用数量关系表示是：如果O 0的半径为r,圆心0到直线I的距离为d,那么: (1)直线I和O O相交1 d
例4、已知：如图所示，AB为半圆0的直径，直线 MN于点E, BE交半圆于点F, AD=3cm BE=7cm (1 )求0 0的半径； (2)求线段DE的长. 例5、如图所示，AB为O 0的直径，BC CD为O 0的切线, 求证：AD// 0C 例6、已知如图所示，在梯形ABCD中, AD// BC, / D=90°, AD+ BC=AB以AB为直径作O 0, 求证：O 0和CD相切. 例7如图，AB是半圆0的直径，AD为弦， (1)求证：BC是半圆0的切线； (2)若0C // AD , 0C 交BD 于E, BD=6 , 例8、如图，AB为O 0的直径，弦CD丄AB于点M，过点B作BE // CD，交AC?的延长线于点E,连结BC. (1) 求证：BE为O 0的切线； 1 (2) 如果CD=6 , tan/ BCD= ，求O 0 的直径. 2 例9如图，AB为O 0的直径，BC切O 0于B, AC交O 0于P, CE=BE , E在BC上.求证：PE是O 0的切线. B E
初中数学-证明圆的切线经典例题
初中数学-证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 证明：连结OE，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ⌒⌒ ∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的
例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切. 证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE. ∵AD是∠BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE,
∴∠1+∠PAD=900 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. 证明一：连结OD. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C. ∵OB=OD， ∴∠1=∠B. ∴∠1=∠C. ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC， ∴DM⊥OD. ∴DM与⊙O相切 证明二：连结OD，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=AC, ∴∠1=∠2. ∵DM⊥AC， ∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD， ∴∠1=∠3. ∴∠3+∠4=900. D C
证明圆的切线经典例题
证明圆的切线方法及例题 ： 有 证明圆的切线常用的方法 O A，证明OA⊥l 就行了，简称“连 一、若直线l 过⊙O 上某一点A，证明l 是⊙O 的切线，只需连 半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D，交AC 于E，B 为切点的切线交OD 延长线于 F. E F 与⊙O 相切. 求证： O E，AD. 证明： 连结 ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4. ⌒⌒ ∴BD=DE ，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF= ∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=90 0. ∴EF 与⊙O 相切. 说明： 此题是通过证明三角形全等证明垂直的 1
P A=PD. B C 延长线上一点，且 例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P为 P A 与⊙O 相切. 求证： 结EC. 作直径AE，连 证明一： ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB= ∠DAC. ∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+ ∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=90 0 . ∴∠1+∠EAC=90 0. 即OA ⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切. 结OA ，OE. 延长AD 交⊙O 于E，连 证明二： ∵AD 是∠BAC 的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=90 0. ∵OA=OE ， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA= ∠BDE, ∴∠1+∠PAD=90 即OA ⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切 合运 综 用. 此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识 的 说明： 2
关于圆的切线的练习题 经典
m e r b e g o 圆的切线 一、1、直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离. 用数量关系表示是：如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，那么：（1）直线l 和⊙O 相交d
t h 例4、已知：如图所示，AB 为半圆O 的直径，直线MN 切半圆于点C ，AD⊥MN 于点D ，BE⊥MN 于点E ，BE 交半圆于点F ，AD=3cm ，BE=7cm ， （1）求⊙O 的半径；（2）求线段DE 的长. 例5、如图所示，AB 为⊙O 的直径，BC 、CD 为⊙O 的切线，B 、D 为切点， 求证：AD∥OC，. 例6、已知如图所示，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠D=90°，AD ＋BC=AB ，以AB 为直径作⊙O，求证：⊙O 和CD 相切. 例7如图，AB 是半圆O 的直径，AD 为弦，∠DBC=∠A ． （1 ）求证：BC 是半圆O 的切线； （2）若OC ∥ AD ，OC 交BD 于E ，BD=6，CE=4，求AD 的长． 例8、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，过点B 作BE ∥CD ，交AC 的延长 线于点E ，连结BC ． （1）求证：BE 为⊙O 的切线； （2）如果CD=6，tan ∠BCD= ，求⊙O 的直径．1 2 例9如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，CE=BE ，E 在BC 上. 求证：PE 是⊙O 的切线．
2019届中考数学圆的切线证明综合试题新人教版.docx
2019 届中考数学圆的切线证明综合试题新人教版我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线. 在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l 过⊙ O上某一点 A，证明 l 是⊙ O的切线，只需连OA，证明 OA⊥ l 就行了，简称“连 半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例 1 如图，在△ ABC中， AB=AC，以 AB为直径的⊙ O交 BC于 D，交 AC于 E，B 为切点的切线交 OD 延长线于 F. 求证： EF与⊙ O相切 . 证明：连结 OE， AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴ AD⊥ BC. 又∵ AB=BC， ∴∠ 3=∠ 4. ⌒ ⌒ ∴ BD=DE，∠ 1=∠ 2. 又∵ OB=OE， OF=OF， ∴△ BOF≌△ EOF（ SAS） . ∴∠ OBF=∠ OEF. ∵ BF与⊙ O相切， ∴OB⊥ BF. ∴∠ OEF=90. ∴EF与⊙ O相切 . 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例 2如图，AD是∠ BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证： PA与⊙ O相切 . 证明一：作直径 AE，连结 EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠ DAB=∠ DAC.
∵PA=PD， ∴∠ 2=∠ 1+ ∠ DAC. ∵∠ 2=∠ B+∠ DAB， ∴∠ 1=∠ B. 又∵∠ B=∠ E， ∴∠ 1=∠ E ∵ AE是⊙ O的直径， ∴ AC⊥ EC，∠ E+∠EAC=90. ∴∠ 1+∠ EAC=90. 即 OA⊥ PA. ∴PA 与⊙ O相切 . 证明二：延长 AD交⊙ O于 E，连结 OA， OE. ∵AD是∠ BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥ BC. ∴∠ E+∠ BDE=90. ∵OA=OE， ∴∠ E=∠ 1. ∵PA=PD，∴∠ PAD=∠ PDA. 又∵∠ PDA=∠ BDE, ∴∠ 1+∠ PAD=90 即 OA⊥ PA. ∴ PA与⊙ O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例 3 如图， AB=AC，AB 是⊙ O的直径，⊙ O交 BC于 D， DM⊥ AC于 M 求证： DM与⊙ O相切 . 证明一：连结 OD. ∵A B=AC， ∴∠ B=∠ C.
圆切线证明的方法
切线证明法 切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径 切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径． 【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30o．求证：DC是⊙O的切线．思路：要想证明DC是⊙O的切线，只要我们连接OC，证明∠OCD ＝90o即可． 证明：连接OC，BC．
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90o． 1AB＝OB． ∵∠CAB＝30o，∴BC＝ 2 1OD．∴∠OCD＝90o． ∵BD＝OB，∴BC＝ 2 ∴DC是⊙O的切线． 【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线． 【例2】如图2，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接OC，弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线． 思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另 一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的 性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O的切线，只要证明∠ODC＝90o即可． 证明：连接OD． ∵OC∥AD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．
中考圆的切线证明题(学生版)
C E A B O P 圆的切线证明（四） 1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F. 求证：EF 与⊙O 相切. （2011中考）2.如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，过A 作OP 的垂线AB ，垂足为点C,交⊙O 于点B,延长BO 与⊙O 交于点D ，与PA 的延长线交于点E,(1)求证：PB 为⊙O 的切线；（2）若tan ∠ABE=2 1 ,求sin ∠E. 》
3 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 【 4如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. D ，
5 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D 在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线 | 6 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. ( 求证：PC是⊙O的切线.
】 7 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F. 求证：CE与△CFG的外接圆相切. 8. （2006北京中考）已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的 ！ 延长线上，，∠CAD=30°. (1)求证：AD是⊙O的切线； (2)若OD⊥AB，BC=5，求AD的长.
9.（2007北京中考）已知：如图，A 是O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于B 点，OC BC =，1 2 AC OB = ． " （1）求证：AB 是O 的切线； （2）若45ACD ∠=°，2OC =，求弦CD 的长． < 9.（2008北京中考）已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠． （1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长． 10.（2009北京中考）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M,经过B,M 两点的⊙O 交BC 于点G,交AB 于点F,FB 恰为⊙O 的直径. * （1）求证：AE 与⊙O 相切； （2）当BC=4,cosC=1 3 时，求⊙O 的半径. O A B C D A
中考复习专题圆切线证明
中考复习专题圆切线证明 知识考点： 1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。 2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。 精典例题： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线
交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.
例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线 例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. 求证：PC是⊙O的切线. 例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F. 求证：CE与△CFG的外接圆相切.
二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径” 例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点. 求证：AC与⊙D相切. 例8 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900. 求证：CD是⊙O的切线. [习题练习] 例1如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD．
圆的切线综合练习题与答案(2018)
第1页共3页 、选择题（答案唯一，每小题 3 分） 1. 下列说法中，正确的是（） 3. 如图，线段 AB 是O O 的直径，点C, D 为O O 上的点，过点 C 作O O 的切线交AB 的延长线 于 点 E ,若/ E = 50°，则/ CDB 等于（） A . 20° B . 25° C . 30° D . 40° 4. 如图，等腰直角三角形 ABC 中，AB= AC = 8, O 为BC 的中点，以O 为圆心作半圆，使它与 AB, AC 都相切，切点分别为 D, E ,则O O 的半径为（） A. 8 B . 6 C . 5 D . 4 5. 如图，CD 是O O 的直径，弦 AB 丄CD 于点G 直线EF 与O O 相切于点D,则下列结论中不 一定 正确的是（） A . AG= BG B . AB// EF C . AD// BC D . / ABC=Z ADC .填空题（每小题3分） 6. 如图，在O O 中，弦AB= OA P 是半径OB 的延长线上一点，且 PB= OB 贝U PA 与O O 的 7. 如图，△ ABC 的一边AB 是O O 的直径，请你添加一个条件，使 BC 是O O 的切线，你所 添加的条件为 __________________ . 8. 如图，AB 是O O 的直径，O 是圆心，BC 与O O 切于点B, CO 交O O 于点D,且BC = 8, CD= 4, 那么O O 的半径是 ______________ . 切线的判定与性质练习题 A .与圆有公共点的直线是圆的切线 C.经过切点的直线是圆的切线 D 2. 如图，AB 是O O 的直径，AC 切O O 于A , 度数为（） A . 70° B . 35° C B .经过半径外端的直线是圆的切线 .圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线 BC 交O O 于点D,若/ C = 70°，则/ AOD 勺 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题
圆的切线证明题
细说如何证明圆的切线 1、证切线---------------90°（垂直） 2、有90°------------------证全等 3、有⊥------------------证∥，错过来 4、利用角+角=90° 关注：等腰（等边）三线合一；中位线；直角三角形 1（2011中考）.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E,(1)求证：PB为⊙O的切线； 2已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC交⊙O于D，求证：CD是⊙O的切线。 3如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切. D 4(2008年厦门市)已知：如图，中，，以为直径的交于点，于点． （1）求证：是的切线； 5已知：如图⊙O是△ABC的外接圆，P为圆外一点，PA∥BC，且A为劣弧的中点，割线PBD过圆心，交⊙0于另一点D，连结CD． (1)试判断直线PA与⊙0的位置关系，并证明你的结论． (2)当AB=13，BC=24时，求⊙O的半径及CD的长．
D B C 6 如图，点 B 、C 、D 都在半径为 6 的⊙O 上，过点 C 作 AC∥BD 交 OB 的延长线于点 A ，连接 CD ，已知∠ CDB=∠OBD=30°．(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)求弦 BD 的长；(3)求图中阴影部分的面积． 7.（2010 北京中考）已知：如图，在△ABC 中， 是 AB 边上一点，圆 O 过 D 、、 三点， DOC =2 ACD =90 。 (1) 求证：直线 AC 是圆 O 的切线； (2) 如果 ACB =75 ，圆 O 的半径为 2，求 BD 的长。 8、（2011?北京）如图，在△ABC ，AB=AC ，以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC 、BC 于点 D 、E ，点 F 在 AC 的 延长线上，且∠CBF=∠CAB ．（1）求证：直线 BF 是⊙O 的切线； 9 已知⊙O 的半径 OA⊥OB ，点 P 在 OB 的延长线上，连结 AP 交⊙O 于 D ，过 D 作⊙O 的切线 CE 交 OP 于 C ， 求证：PC ＝CD 。 10 （2013 年广东省 9 分）如图，⊙O 是 Rt△ABC 的外接圆，∠ABC=90°，弦 BD=BA ，AB=12，BC=5，BE⊥DC 交 DC 的延长线于点 E. （1）求证：∠BCA=∠BAD ；（3）求证:BE 是⊙O 的切线。 11（7 分）（2013?珠海）如图，⊙O 经过菱形 ABCD 的三个顶点 A 、C 、D ，且与 AB 相切于点 A （1）求证：BC 为⊙O 的切线； （2）求∠B 的度数．
中考复习专题——圆切线证明
中考复习专题--------圆的切线的判定与性质 知识考点： 1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。 2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。 精典例题： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. 例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线 例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. 求证：PC是⊙O的切线. 例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F. 求证：CE与△CFG的外接圆相切. 二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径” 例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点. 求证：AC与⊙D相切. 例8 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900. 求证：CD是⊙O的切线. [习题练习] 例1如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD． 例2已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC?交于点E，求证：△DEC为等腰三角形． 例3如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB?的延长线于D，求证：AC=CD． ?? ，BF和 AB AF 例4如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，
中考九年级证明圆的切线例题方法
本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！ 切线证明法 一、若直线 l 过⊙O 上某一点 A ，证明 l 是⊙O 的切线，只需连 OA ，证明 OA ⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直” ，难点在于如何证明两线垂直 . 例 1 如图，在△ ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙ O 交 BC 于D ，交 AC 于 E ， B 为切点的切线交 OD 延长线于 F. 说明： 例 2 如图， AD 是∠ BAC 的平分线， 求证： PA 与⊙ O 相切 . 证明一： 作直径 AE ，连结 EC. ∵AD 是∠ BAC 的平分线， ∴∠ DAB= ∠ DAC. ∵PA=PD ， 求证： EF 与⊙O 相切. 证明： 连结 OE ， AD. ∵AB 是⊙ O 的直径， ∴AD ⊥ BC. 又∵ AB=BC ， ∴∠ 3=∠ 4. ∴B ⌒ D=D ⌒ E ，∠ 1=∠ 2. 又∵ OB=OE ， OF=O F ， ∴△ BOF ≌△ EOF （SAS ）. ∴∠ OBF= ∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥ BF. ∴EF 与⊙O 相切. 此题是通过证明三角形全等证明 P 为BC 延长线上一点，且 PA=PD.
本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！ ∴∠ 2=∠1+∠ DAC. ∵∠ 2=∠B+ ∠ DAB ， ∴∠ 1=∠ B. 又∵∠ B= ∠E ， ∴∠ 1=∠ E ∵AE 是⊙O 的直径， ∴ AC ⊥ EC ，∠ E+ ∠ EAC=90 0 . ∴∠ 1+∠ EAC=90 0. 即 OA ⊥ PA. ∴PA 与⊙O 相切. ∵PA=PD ， ∴∠ PAD= ∠PDA. 又∵∠ PDA= ∠BDE, ∴∠ 1+∠PAD=90 0 即 OA ⊥ PA. ∴PA 与⊙O 相切 此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用 如图， AB=AC ，AB 是⊙ O 的直径，⊙ O 交 BC 于 D ，DM ⊥AC 于 M 求证： DM 与⊙ O 相切. 证明二： 延长 AD 交⊙O 于 E ，连结 ∵A ⌒D 是⌒∠ BAC 的平分线， ∴ BE=CE ， ∴ OE ⊥BC. ∴∠ E+∠ BDE=90 0. ∵ OA=OE ， ∴∠ E=∠ 1. 说明： 例3
中考数学专题复习 圆压轴八大模型题-圆外一点引圆的切线和直径的垂线
圆压轴题八大模型题（六） 泸州市七中佳德学校 易建洪 引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题 的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。 类型5 圆外一点引圆的切线和直径的垂线 如图， 点P 是⊙O 外的一点，过点P 作PA 与⊙O 相切于点A ，PO ⊥BO 于点O ，交AB 于点C. (1)求证：CP ＝AP ； (2)延长BO 交⊙O 于点D ，连结AD ，过点P 作PE ⊥AB 于点E ，找出与△BOC 相似的三角形. (3)若⊙O ，OC ＝1，求PA 的长. 【分析】(1)如图3连接OA 得OA ＝OB ,∴∠OAB ＝∠B ,由等角的余角相等得∠PCA ＝∠PAC ,∴PC ＝P A. (2)由∠APE ＝∠CPE ＝∠B 得：△BOC ∽△BAD ∽△PCE ≌△PAE . (3)在Rt △OPA 中，设PC ＝PA ＝x ，则有（x ＋1）2＝1＋x 2 .解得PA ＝x ＝2. 基本图形及其变式图 1. 如图1~6，PA 与圆O 相切于点A ，PD ⊥BO （或BO 的延长线）于点D ，直线AB 与PD 相交于点C ，求证：PA ＝P C. 图1 图(1) 图3 图(2) 图(3) 图2
【典例】 （2018湖北随州）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，CN 为⊙O 的切线，OM ⊥AB 于点O ，分别交AC 、CN 于D 、M 两点． （1）求证：MD ＝MC ； （2）若⊙O 的半径为5，AC ＝4，求MC 的长． 【分析】（1）连接OC ，利用切线的性质证明即可； （2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可． 解：（1）连接OC ，∵CN 为⊙O 的切线， ∴OC ⊥CM ，∠OCA ＋∠ACM ＝90°， ∵OM ⊥AB ，∴∠OAC ＋∠ODA ＝90°， ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ， ∴∠ACM ＝∠ODA ＝∠CDM ， ∴MD ＝MC ； （2）由题意可知AB ＝5×2＝10，AC ＝4， ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°， ∴BC ＝， ∵∠AOD ＝∠ACB ，∠A ＝∠A ，∴△AOD ∽△ACB ， ∴，即，可得：OD ＝， 设MC ＝MD ＝x ，在Rt △OCM 中，由勾股定理得：（x ＋）2 ＝x 2 ＋52 ， 解得：x ＝， 即MC ＝． 【点拨】 图(4) 图(5) 图(6) 图6-1 图a
九年级圆经典例题分析总结
《圆》经典例题分析总结 经典例题透析 1．垂径定理及其应用 在圆这一章中，涉及垂径定理的有关知识点很多，如弓形中的有关计算、切线的性质、判定定理等，也是在各地中考中经常出现的一个考点.应用垂径定理可以进行线段的垂直、平分以及弓形面积的计算等. 1．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面. (1)请你补全这个输水管道的圆形截面图； (2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径. 总结升华：在解答有关圆的问题时，常需要运用图中已知条件寻找线段之间、角之间、弧之间的关系，从中探索出如等腰三角形、直角三角形等信息，从而达到解决问题的目的，此题还可以进一步求出阴影部分的周长或面积等. 举一反三： 【变式1】“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为( ) A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸
2．圆周角及其应用 圆周角与圆心角是本章中最常用的角，在中考中经常出现，一般单独考查它的题目不多，都是隐含在其他题目中. 2．如图所示，△ABC内接于⊙O，点D是CA延长线上一点，若∠BOC=120°，∠BAD等于( ) A.30° B.60° C.75° D.90° 举一反三： 【变式1】如图所示，⊙O的内接四边形ABCD中，AB=CD，则图中与∠1相等的角有________________. 【变式2】如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，BC=4cm. (1)说明AC⊥OD；(2)求OD的长.
九年级数学证明圆的切线专题
证明圆的切线专题 证明一条直线是圆的切线,主要有两个思路： 1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径： 2,是利用切线的判判定定理,证明这条直线经过一条半径的外端,并且和这条半径垂直. 1不常用,一般常用2. 1. 如图，在Rt ABC ?中， 90C ?∠=，点D 是AC 的中点，且90A CDB ?∠+∠=,过点,A D 作O ，使圆心O 在AB 上，O 与AB 交于点E ． （1）求证：直线BD 与O 相切； （2）若:4:5,6AD AE BC ==,求O 的直径． 2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90o，O 、D 分别为AB 、BC 上的点，经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ，且D 为EF 的中点。 （1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切 （2）（4分）当AD=23，∠CAD=30o时，求AD 的长。 3. 如图，已知CD 是ΘO 的直径，AC ⊥CD ，垂足为C ，弦DE ∥OA ，直线AE 、CD 相交于点B ． (1)求证：直线AB 是OO 的切线； (2)如果AC =1，BE =2，求tan ∠OAC 的值． 4. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）如果BC =8，AB =5，求CE 的长。
5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ACB 的平分线交AB 于点O ，以O 为圆心的⊙O 与AC 相切于点 D ． （1）求证：⊙O 与BC 相切；（2）当AC=3，BC=6时，求⊙O 的半径 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠A DC ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AD=4，BC=9，求⊙O 的半径R ． 7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是 ?AB 的中点，连接PA ，PB ，PC ． （1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AP AC 3=； （2）如图②，若25 24sin =∠BPC ，求PAB ∠tan 的值． 8.如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD 与AB E ，DE=EC ，过点B 的切线与AD 的延长线交于F ，过E 作EG ⊥BC 于G ，延长GE 交AD 于H ．（1）求证：AH=HD ； （2）若cos ∠C= 4/5，，DF=9，求⊙O 的半径 O P 第22题图①C B A 第22题图② O P C B A