立体几何多面体与外接球问题专项归纳--[1]

立体几何多面体与外接球问题专项归纳

1、一个四棱柱的底面是正方形,侧棱与底面垂直,其长度为4,棱柱的体积为16,棱柱的各顶点在一个球面上,则这个球的表面积是()

ππππ

2、一个正四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为()ππ3ππ

;

3.在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比.

4.一个正四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( ) π π

3π π

~

历届高考外接球内切球问题

1. （陕西理?6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）

A ．

4

3

3 B ．33 C ． 43 D ．123

答案 B

2. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若

12AB AC AA ===,120BAC ∠=?，则此球的表面积等于 。

解:在ABC ?中2AB AC ==,120BAC ∠=?,可得3BC =由正弦定理,可得ABC ?

/

外接圆半径r=2,设此圆圆心为O '，球心为O ，在RT OBO '?中，易得球半径5R =

故此球的表面积为2

420R ππ=.

3．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱

柱的体积为 ． 答案 8

4.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为

A ．

3 B ．13π C ．2

3

π D ．3 答案 A

^

【解析】此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形，所以由8=

1a =，故选A 。

5.已知正方体外接球的体积是π3

32

，那么正方体的棱长等于（ ）

2 B.

332 C.3

2

4 D.334

答案 D

6.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )

A. 1∶3

B. 1∶3

C. 1∶33

D. 1∶9

、

答案 C

7.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98

，底面周长为3，则这个球的体积为 ． 答案

3

4π

8. （2007天津理?12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱

的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ． 答案 14π —

9.（2007全国Ⅱ理?15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。如果正四

棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2.

答案 2+

10.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，则此正六棱 锥的侧面积是________．

【

答案 67

11.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考） 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中

三角形(正四面体的截面)的面积是 . 答案

2

￥

12.（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 （ ） A ．π3 B ．π2

C ．

3

16π

D ．以上都不对

答案C

&

13.(吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为23

3，则它的外接球的表面积为（ ）

A ．π3

8

B ．2π

C ．4π

D ．π3

4

答案C

1、答案:C &

解:由题意知,该棱柱是一个长方体,其长、宽、高分别为2,2,4.所以其外接球的半径R 4416

++6所以球的表面积是S =4πR 2=24π.

A B C

D

(

2、答案:A 以四面体的棱长为正方体的面对角线构造正方体,则正方体内接于球,正方体棱长

为1,则体对角线长等于球的直径,即2R

所以S 球=4πR 2=3π.

3、解

将半球补成整个的球（见题中的图）,同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体,构成的长方体刚好是这个球的内接长方体,那么这个长方体的体对角线便是它的外接球的直径.设原正方体棱长为a ,球的半径为R ,则根据长方体的对角线性质,得(2R )2=a 2+a 2+(2a )2,即4R 2=6a 2.

所以R a .

从而V 半球=2π3R 3=3

2π3?

????

3, V 正方体=a 3.

因此V 半球∶V 正方体3∶a 3

∶2. 4

答案:A

解析:以PA ,PB ,PC 为棱作长方体,则该长方体的外接球就是三棱锥P -ABC 的外接球,所以球的

半径R =2,所以球的表面积是S =4πR 2=16π.