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基本不等式证明题型归纳

基本不等式证明题型归纳
基本不等式证明题型归纳

与求值相关的数学问题和与不等式相关的数学问题是高中数学中大的两个考察方向,而基本不等式作为不等式问题的重要组成部分,贯穿高中数学中圆锥曲线、数列、函数、三角函数等多个知识点,所有掌握基本不等式的基本题型,对解决与基本不等式相关的问题显得尤为重要。现笔者对基本不等式常出现的题型予以总结,以供师生参考。

题型一

基于简单变换的基本不等式问题

此类题型以求和的取值范围转化为积为定值求解,求积的取值范围问题转化为和为定值求解为突破口,借助构造思想,构造为可以使用基本不等式的形式;常见的构造变换方法有凑项变换、拆项变换、系数变换、平方变换、常量代换、三角代换等。

思路点拨

以上8题借助常见的转换形式,往和为定值或者积为定值的方向转化即可。

不等式知识点与题型总结

不等式 一、知识点: 1. 实数的性质: 0>-?>b a b a ;0<-??<,a b b a . 传递性 a b >且b c a c >?>. 加法性质 a b a c b c >?+>+;a b >且c d a c b d >?+>+. 乘法性质 ,0a b c ac bc >>?>;0a b >>,且00c d ac bd >>?>>. 乘方、开方性质 0,n n a b n N a b *>>∈?>;0,n n a b n N a b *>>∈?>. 倒数性质 11,0a b ab a b >>? <. 3. 常用基本不等式: 条 件 结 论 等号成立的条件 a R ∈ 20a ≥ 0a = ,a R b R ∈∈ 2 2 2a b ab +≥,2()2 a b ab +≤, 22 2()22a b a b ++≥ a b = 0,0>>b a 基本不等式: 2a b ab +≥ 常见变式: 2≥+b a a b ; 21 ≥+a a a b = 0,0>>b a 22112 2 2b a b a ab b a +≤ +≤≤+ a b = 4.利用重要不等式求最值的两个命题: 命题1:已知a ,b 都是正数,若ab 是实值P ,则当a=b= 时,和a +b 有最小值2 . 命题2:已知a ,b 都是正数,若a +b 是实值S ,则当a=b=2 s 时,积ab 有最大值42s . 注意:运用重要不等式求值时,要注意三个条件:一“正”二“定”三“等”,即各项均为正数,和或积 为定值,取最值时等号能成立,以上三个条件缺一不可. 5.一元二次不等式的解法:设a>0,x 1x 2是方程ax 2+bx+c=0的两个实根,且x 1≤x 2,则有

(完整版)基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)

基本不等式 一. 基本不等式 ①公式:(0,0)2 a b a b +≥≥≥,常用a b +≥ ②升级版:22222a b a b ab ++??≥≥ ??? ,a b R ∈ 选择顺序:考试中,优先选择原公式,其次是升级版 二.考试题型 【题型1】 基本不等式求最值 求最值使用原则:一正 二定 三相等 一正: 指的是注意,a b 范围为正数。 二定: 指的是ab 是定值为常数 三相等:指的是取到最值时a b = 典型例题: 例1 .求1(0)2y x x x =+<的值域 分析:x 范围为负,提负号(或使用对钩函数图像处理) 解:1()2y x x =--+- 00x x <∴->Q 1 2x x ∴-+≥=-1 2x x ∴+≤ 得到(,y ∈-∞

例2 .求12(3)3 y x x x =+>-的值域 解:123 y x x =+- (“添项”,可通过减3再加3,利用基本不等式后可出现定值) 12(3)63 x x =+-+- 330x x >∴->Q 12(3)3x x ∴ +-≥- 6y ∴≥, 即)6,y ?∈+∞? 例3.求2sin (0)sin y x x x π=+<<的值域 分析:sin x 的范围是(0,1),不能用基本不等式,当y 取到最小值时,sin x 不在范围内 解:令sin (0,1)t x t =∈, 2y t t =+ 是对钩函数,利用图像可知: 在(0,1)上是单减函数,所以23t t + >,(注:3是将1t =代入得到) (3,)y ∴∈+∞ 注意:使用基本不等式时,注意y 取到最值,x 有没有在范围内, 如果不在,就不能用基本不等式,要借助对钩函数图像来求值域。

不等式常见题型归纳和经典例题讲解

《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解 1.常见题型分类(加粗体例题需要作答) 1.下列不等式中,是一元一次不等式的是( ) A.x 1 +1>2 B.x 2>9 C.2x +y ≤5 D.21 (x -3)<0 2.若51)2(12>--+m x m 是关于x 的一元一次不等式,则该不等式的解集为 . a 与6的和小于5; x 与2的差小于-1; 1.a ,b 两个实数在数轴上的对应点如图所示:用“<”或“>”号填空: a __________ b ; |a |__________|b |; a +b __________0 a - b __________0; a +b __________a -b ; ab __________a . 2.已知实数a 、b 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子正确的是( ) A 、ab >0 B 、a b > C 、a -b >0 D 、a +b > 0 1.与2x <6不同解的不等式是( ) A.2x +1<7 B.4x <12 C.-4x >-12 D.-2x <-6 ): (这类试题在中考中很多见) 1.(2010湖北随州)解不等式组110334(1)1 x x +?-???--???-≥?? : 此类试题易错知识辨析

(1)解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况. 如不等式ax b >(或ax b <)(0a ≠)的形式的解集: 当0a >时,b x a >(或b x a <) 当0a <时,b x a <(或b x a >) 当0a <时,b x a <(或b x a >) 4 若不等式(a +1)x >a +1的解集是x <1,则a 必满足( ). (A)a <0 (B)a >-1 (C)a <-1 (D)a <1 5 若m >5,试用m 表示出不等式(5-m )x >1-m 的解集______. 6.如果不等式(m -2)x >2-m 的解集是x <-1,则有( ) A.m >2 B.m <2 C.m =2 D.m ≠2 7.如果不等式(a -3)x <b 的解集是x < 3-a b ,那么a 的取值范围是________. 1.不等式3(x -2)≤x +4的非负整数解有几个.( ) A.4 B.5 C.6 D.无数个 2.不等式4x - 41141+

《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解

? x + 1 ?? 2 3 《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解 1.常见题型分类(加粗体例题需要作答) 定义类 1.下列不等式中,是一元一次不等式的是( ) A. 1 x +1>2 B.x 2>9 C.2x +y ≤5 D. 1 2 (x -3)<0 2.若 (m - 2) x 2m +1 - 1 > 5 是关于 x 的一元一次不等式,则该不等式的解集为 . 用不等式表示 a 与 6 的和小于 5; x 与 2 的差小于-1; 数轴题 1.a ,b 两个实数在数轴上的对应点如图所示:用“<”或“>”号填空: a __________ b ; |a |__________|b |; a +b __________0 a -b __________0; a +b __________a -b ; ab __________a . 2.已知实数 a 、b 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子正确的是( ) A 、ab >0 B 、 a > b C 、a -b >0 D 、a +b >0 同等变换 1.与 2x <6 不同解的不等式是( ) A.2x +1<7 B.4x <12 C.-4x >-12 借助数轴解不等式(组): (这类试题在中考中很多见) ?1 - ≥ 0 1.(2010 湖北随州)解不等式组 ? 3 ??3 - 4( x - 1) < 1 D.-2x <-6 2.(2010 福建宁德)解不等式 2 x - 1 - 5x + 1 3 2 ?1 - 2( x -1) > 1, ? 3.(2006 年绵阳市) ? x 1 - ≥ x. 含参不等式: 此类试题易错知识辨析 ≤1,并把它的解集在数轴上表示出来.

基本不等式题型总结

基本公式 (1)R b a ab a a ∈≥+、,222(2)ab b a 2≥+,一定二正三相等(3 )b a a b b a b a 1122222+≥≥+≥+,当b a =时,等号成立(4)33abc c b a ≥++推广: n n n x x x n x x x 2121≥+++,0>i x 题型 (1)对勾函数:x b ax y +=当x b ax =时,函数取得极值点 (2)1的代换 当题目中有b a b a 11、、、时。例1:正数n m 、满足12=+n m ,求m n 11+的最小值解:223212)21111+≥+++=+?+=+m n n m n m m n m n ()(

(3)xy y x 、、型 例2:已知2=++xy y x ,求y x +最小值①因式分解(提取公因式)2 3232113 )1)(1(2 -≥+∴≥+++=++∴=++y x y x y x xy y x 又②求谁留谁 22208)(4)())(2(4)())(2(44)(2222-≥+≥-+++∴+-≥+∴+-=≥+∴≥+y x y x y x y x y x y x xy y x xy y x 解得: ③?判别法:0 ≥?2 320 )2(40 22 )(,22-≥≥--=?=-+-∴=-+∴-=+=z z z z zy y z y y z z y x y x z 解得则令④技巧、完全对称为最值 解得:原式完全对称和式子中2322 22-==+=∴=∴x x x y x y x

(4)xy y x 、、22型①完全对称 ②求谁留谁 ③?判别法:0≥?④配方,三角换元例3:已知1422=++xy y x 求y x +2的最大值配方: 1)2(41522=++x y x ;则:12(21522=++x y x )(换元: ]2,0[cos 2;sin 215πθθθ∈=+=。x y x θθθsin 15 1cos ,sin 152-==∴y x )sin(58cos sin 15 32?θθθ+=+=+∴y x 510 22≤+∴y x

不等式证明的常用基本方法

证明不等式的基本方法 导学目标:1.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式. [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式:如果a ,b ,c>0,那么_________________________,当且仅当a =b =c 时等号成立. 2.基本不等式(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1,a 2,…,a n ,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即a 1+a 2+…+a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ,当且仅当__________________时等号成立. 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法:比较法是证明不等式最基本的方法,具体有作差比较和作商比较两种,其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小. (2)综合法:从已知条件出发,利用定义、______、______、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫综合法.也叫顺推证法或由因导果法. (3)分析法:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的________条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立为止,这种证明方法叫分析法.也叫逆推证法或执果索因法. (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法. ②反证法的特点 先假设原命题不成立,再在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实等矛盾. (5)放缩法 ①定义:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值________或________,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法. ②思路:分析观察证明式的特点,适当放大或缩小是证题关键. 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t =a +2b ,s =a +b 2+1,则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 0;②a 2+b 2≥2(a -b-1);③a 2+3ab>2b 2;④,其中所 有恒成立的不等式序号是 ② . ②【解析】①a=0时不成立;②∵a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,成立;③a=b=0时不成立;④a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有②.

2020年高考文科数学《不等式》题型归纳与训练

A. a a>b>0,由不等式性质知:->->0,所以< >- 7 2 ∵x-x=4a-(-2a)=6a=15,∴a=15 62 2020年高考文科数学《不等式》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一一元二次不等式解法及其应用 例1若a>b>0,cB.D.< c d c d d c d c 【答案】D 【解析】由c0,又 d c a b a b d c d c 例2关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x,x),且x-x=15,则a=() 1221 A.515 B.C.D.24 15 2 【答案】A 【解析】∵由x2-2ax-8a2<0(a>0),得(x-4a)(x+2a)<0,即-2a0的解集是___________. 【答案】(-3,2)?(3,+∞) 【解析】不等式可化为(x+3)(x-2)(x-3)>0采用穿针引线法解不等式即可. 例4已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是. 【答案】(-2 2 ,0) 【解析】由题意可得f(x)<0对于x∈[m,m+1]上恒成立,

?f(m+1)=2m2+3m<0 ,则函数y=4x-2+1的最大值. x<,∴5-4x>0,∴y=4x-2+=- 5-4x+?+3≤-2+3=1 1 【解析】因为y=x(8-2x)= 1 . 【答案】9,+∞) ?f(m)=2m2-1<02 即?,解得-0,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到2x+(8-2x)=8为定值,故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即可. 例3函数y= x2+7x+10 x+1 (x>-1)的值域为。 [ 【解析】 当x>-1,即x+1>0时,y≥2(x+1)? 4 +5=9(当且仅当x=1时取“=”号). x+1 2

高中数学基本不等式题型总结

专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式:)0,0a b a b +≥>> (1)基本不等式成立的条件: ; (2)等号成立的条件:当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)()24a b ab +≤(),a b R ∈;(2))+0,0a b a b ≥>>; 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>,且34x y +=,则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>,且34x y +=,则4x x y +的最小值为 . 【变式2】(2013年天津)设2,0a b b +=>, 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】(2012河西)已知正实数,a b 满足 211a b +=,则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=,则2a b ab ++的最小值为 .

【例3】已知0,0x y >>,且280x y xy +-=,则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=,则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>,若不等式 212m a b a b +≥+总能成立,则实数m 的最大值为 . 【例6】(2013年天津市第二次六校联考)()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点,O 为坐标原点,且△AOB 为直角三角形,则 2212a b +的最小值为 .

【例7】(2012年南开二模)若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长,则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点,且满足 120PF PF ?=,则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=,则11x y +的最小值是( ) A .6 B .5 C .3+ D . 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+,若120,0x x >>,且()()121f x f x +=,则()12f x x +的最小值为 .

不等式常见考试题型总结

不等式常见考试题型总结 Prepared on 22 November 2020

《不等式》常见考试题型总结一、高考与不等式 高考试题,有关不等式的试题约占总分的12% 左右,主要考查不等式的基本知识,基本技能,以及学生的运算能力,逻辑思维能力,分析问题和解决问题的能力.选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式,还可能与函数、方程等内容相结合的小综合.解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。不等式常与下列知识相结合考查: ①不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合,一般多以选择题的形式出现,有时也与充要条件、函数单调性等知识结合,且试题难度不大; ②解不等式的试题主要在解答中出现,常常是解含参不等式较多,且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题; ③证明不等式是理科考查的重点,经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何,甚至还可能与平面向量等结合起来考查. 二、常见考试题型 (1)求解不等式解集的题型 (分式不等式的解法,根式不等式的解法,绝对值不等式的解法,含参不等式的解法,简单的一元高次不等式的解法) (2)不等式的恒成立问题 (不等式恒成立问题的常规处理方式常应用函数方程思想,分离变量法,数形结合 法) (3)不等式大小比较 常用方法: 1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; 2.作商(常用于分数指数幂的代数式); 3.分析法;

4.平方法; 5.分子(或分母)有理化; 6.利用函数的单调性; 7.寻找中间量或放缩法 ; 8.图象法。 (4)不等式求函数最值 技巧一:凑项 例:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二:凑系数 例. 当 时,求(82)y x x =-的最大值。 技巧三: 分离 例. 求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。 技巧四:换元 例. 求2710 (1)1x x y x x ++= >-+的值域。 技巧五:函数的单调性 (注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数()a f x x x =+的单调性。) 例:求函数22 4 y x = +的值域。 技巧六:整体代换 (多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。) 例:(1)已知0,0x y >>,且19 1x y +=,求x y +的最小值。 (2)若+ ∈R y x ,且12=+y x ,求y x 11+的最小值 (3)已知+ ∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ,求y x +的最小值

证明不等式的几种常用方法

证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法,即比较法、综合法和分析法外,在不等式证明中,不仅要用比较法、综合法和分析法,根据有些不等式的结构,恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易.下面几种方法在证明不等式时也经常使用. 一、反证法 如果从正面直接证明,有些问题确实相当困难,容易陷入多个元素的重围之中,而难以自拔,此时可考虑用间接法予以证明,反证法就是间接法的一种.这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”,所谓的“正难则反”就是这个道理. 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,在使用反证法时,必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论,缺少任何一种可能,则反证法都是不完全的. 用反证法证题的实质就是从否定结论入手,经过一系列的逻辑推理,导出矛盾,从而说明原结论正确.例如要证明不等式A>B,先假设A≤B,然后根据题设及不等式的性质,推出矛盾,从而否定假设,即A≤B不成立,而肯定A>B成立.对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式,若正面难以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法往往立见奇效. 例1 设a、b、c、d均为正数,求证:下列三个不等式:①a+b<c+d; ②(a+b)(c+d)<ab+cd;③(a+b)cd<ab(c+d)中至少有一个不正确. 反证法:假设不等式①、②、③都成立,因为a、b、c、d都是正数,所以

不等式①与不等式②相乘,得:(a +b)2<ab +cd ,④ 由不等式③得(a +b)cd <ab(c +d)≤( 2 b a +)2 ·(c +d), ∵a +b >0,∴4cd <(a +b)(c +d), 综合不等式②,得4cd <ab +cd , ∴3cd <ab ,即cd <31 ab . 由不等式④,得(a +b)2<ab +cd < 34ab ,即a 2+b 2<-3 2 ab ,显然矛盾. ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确. 例2 已知a +b +c >0,ab +bc +ca >0,abc >0,求证:a >0,b >0, c >0. 证明:反证法 由abc >0知a ≠0,假设a <0,则bc <0, 又∵a +b +c >0,∴b +c >-a >0,即a(b +c)<0, 从而ab +bc +ca = a(b +c)+bc <0,与已知矛盾. ∴假设不成立,从而a >0, 同理可证b >0,c >0. 例3 若p >0,q >0,p 3+q 3= 2,求证:p +q ≤2. 证明:反证法 假设p +q >2,则(p +q)3>8,即p 3+q 3+3pq (p +q)>8, ∵p 3+q 3= 2,∴pq (p +q)>2. 故pq (p +q)>2 = p 3+q 3= (p +q)( p 2-pq +q 2), 又p >0,q >0 ? p +q >0, ∴pq >p 2-pq +q 2,即(p -q)2 <0,矛盾.

高三数学不等式题型总结全

不等式的解题归纳 第一部分 含参数不等式的解法 例1解关于x 的不等式022 ≤-+k kx x 例2.解关于x 的不等式:(x-2 x +12)(x+a)<0. 例3、若不等式13 64222 2<++++x x k kx x 对于x 取任何实数均成立,求k 的取值范围. 例4若不等式ax 2+bx+1>0的解集为{x ︱-3--++m f m f θθ恒成立,求实数m 的取值范围.

【课堂练习】 1、已知(2a -1) 2 x -(a-1)x-1<0的解集为R ,求实数a 的取值范围. 2、解关于x 的不等式:.0)2(2 >+-+a x a x 3、解关于x 的不等式:.012 <-+ax ax 【课后练习】 1.如果不等式x 2-2ax +1≥2 1 (x -1)2对一切实数x 都成立,a 的取值范围是 2.如果对于任何实数x ,不等式kx 2-kx +1>0 (k>0)都成立,那么k 的取值范围是 3.对于任意实数x ,代数式 (5-4a -2a )2 x -2(a -1)x -3的值恒为负值,求a 的取值范围 4.设α、β是关于方程 2x -2(k -1)x +k +1=0的两个实根,求 y=2α +2 β关于k 的解析式,并求y 的取值范围 第二部分 绝对值不等式 1.(2010年高考福建卷)已知函数f (x )=|x -a |. (1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |-1≤x ≤5},求实数a 的值; (2)在(1)的条件下,若f (x )+f (x +5)≥m 对一切实数x 恒成立,求实数m 的取值范围.

证明不等式的基本方法(20200920095256)

12. 4 证明不等式的基本方法 T 懈不评式证明的基車方诜:比较法,综合建、井析媒 ttMK MMM ■■座用它们证明一些简 厲的不等式. Kiff <年斋号悄况来看.本讲尼岛号血埶的一个热点一 fO 灿讪卜将芸号僧::1;与躺碓不零式结, 证 期不等式:2>M 破立,探索性问題结合,ttaAMML 厲中档題團L E 基础知识过关 [知识梳理] 1. 证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 2. 三个正数的算术-几何平均不等式 (1) 定理:如果a , b , c € R +那么a + ?+1需辰,当且仅当a = b = c 时,等号 a + b + c Q 成立.即三个正数的算术平均 3 不小于它们的几何平均Vabc. (2) 基本不等式的推广 对于n 个正数a i , a 2, , , a ,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数, 即a 〔 + 汁‘ + 》^a 1a 2,—,当且仅当 a 1 = a 2 =, = a n 时,等号成立. n 3. 柯西不等式 (1)设 a , b , c , d 均为实数,则(a 2 + b 2)(c 2 + d 2)>(ac + bd)2,当且仅当 ad = bc 时等号成立. f n 「n J 「n ' ⑵若a i, b(i € N *)为实数,贝则 18 15 A l^a b i 2,当且仅当 I "八=1丿 T =1丿 (当a i = 0时,约定b i = 0, i = 1,2, , , n)时等号成立. (3) 柯西不等式的向量形式:设 a B 为平面上的两个向量,则|如3》|a ? (3当 且仅当a, 3共线时等号成立. 善纲解谨 君向预测 b^_ b2_ a 1 a 2 b n =a ;

基本不等式题型归纳

基本不等式题型归纳 【重点知识梳理】 1.基本不等式:2a b ab +≤ (1)基本不等式成立的条件:0a >,0b >. (2)等号成立的条件:当且仅当a b =时,等号成立. 2.几个重要的不等式:(1)222a b ab +≥(,a b R ∈); (2) 2b a a b +≥(0ab >); (3)2( )2a b ab +≤(,a b R ∈); (4)2222()()a b a b +≥+(,a b R ∈). 3.算术平均数与几何平均数 设0a >,0b >,则,a b 的算术平均数为 2 a b +,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知0a >,0b >,则 (1)如果积ab 是定值p ,那么当且仅当a b =时,a b +有最小值是2p .(简记:积定和最小) (2)如果和a b +是定值p ,那么当且仅当a b =时,ab 有最大值是2 4 p .(简记:和定积最大) 题型一览 1、已知0a >,0b >,且41a b +=,则ab 的最大值为_______,则 1ab 的最小值为_______; 2、已知21x y +=,则24x y +的最小值为_______ 3、设03x <<,则函数4(52)y x x =-的最大值为_______ 4、若0x >,则4x x + 的最小值为_______;若0x <,则4x x +的最大值为_______ 5、若2x > ,则12x x +-的最小值为_______;若2x < ,则12 x x +-的最大值为_______ 若函数1()(2)2f x x x x =+ >-在 x a =处有最小值,则a =_______ 6、已知,a b R +∈,且22a b +=,则 12a b +(2a b b a +)的最小值为_______,此时,a b 的值分别是_______ 7、已知0x >,0y >,2 12x y +=(22x y xy +=或220x y xy +-=),则2x y +的最小值为_______

基本不等式知识点和基本题型

基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式(均值不等式) 若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 (1)若* ,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab 总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值; 当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值; 特别说明:以上不等式中,当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件:“一正,二定,三相等” 5、常用结论 (1)若0x >,则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”) (2)若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) (3)若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) (4)若R b a ∈,,则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ (5)若* ,R b a ∈,则22111 2 2b a b a ab b a +≤ +≤≤+ 特别说明:以上不等式中,当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式 (1)若,,,a b c d R ∈,则22222 ()()()a b c d ac bd ++≥+ (2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有:2222222 1231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ (3)设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数,则有22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一:利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数,证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数,求证:ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=,求证:2 2 2 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈,且1a b c ++=,求证:abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 已知,,a b c R + ∈,且1a b c ++=,求证:1111118a b c ??????---≥ ??????????? 6、选修4—5:不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222 1a b c b c a ++≥. 7、选修4—5:不等式选讲: 已知0>≥b a ,求证:b a ab b a 2 23322-≥- 题型二:利用不等式求函数值域

专题:基本不等式常见题型归纳

专题:基本不等式 基本不等式求最值 利用基本不等式求最值:一正、二定、三等号. 三个不等式关系: (1)a ,b ∈R ,a 2 +b 2 ≥2ab ,当且仅当a =b 时取等号. (2)a ,b ∈R + ,a +b ≥2ab ,当且仅当a =b 时取等号. (3)a ,b ∈R , a 2+ b 2 2 ≤( a +b 2 )2 ,当且仅当a =b 时取等号. 上述三个不等关系揭示了a 2 +b 2 ,ab ,a +b 三者间的不等关系. 其中,基本不等式及其变形:a ,b ∈R + ,a +b ≥2ab (或ab ≤( a +b 2 )2 ),当且仅当a =b 时 取等号,所以当和为定值时,可求积的最值;当积为定值是,可求和的最值. 【题型一】利用拼凑法构造不等关系 【典例1】已知1>>b a 且7log 3log 2=+a b b a ,则 1 12 -+b a 的最小值为 . 练习:1.若实数,x y 满足0x y >>,且22log log 1x y +=,则22 x y x y +-的最小值 为 . 2.若实数,x y 满足1 33(0)2 xy x x +=<< ,则313x y + -的最小值为 . 3.已知0,0,2a b c >>>,且2a b +=,则 2ac c c b ab +-+ 的最小值为 . 【典例2】已知x ,y 为正实数,则4x 4x +y +y x +y 的最大值为 . 【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 变式:1.若,a b R +∈,且满足22 a b a b +=+,则a b +的最大值为_________. 2.设0,0>>y x ,822=++xy y x ,则y x 2+的最小值为_______ 3.设R y x ∈,,142 2 =++xy y x ,则y x +2的最大值为_________

(完整版)高中数学基本不等式题型总结

The shortest way to do many things is 专题 基本不等式 编者:高成龙 专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式:) 0,0a b a b +≥>>(1)基本不等式成立的条件: ; (2)等号成立的条件:当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1);(2);()24a b ab +≤(),a b R ∈)+0,0a b a b ≥>>【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知,且,则的最小值为 .0,0x y >>34x y +=41x y +【变式1】已知,且,则的最小值为 .0,0x y >>34x y +=4x x y +【变式2】(2013年天津)设, 则的最小值为 .2,0a b b +=>1||2||a a b +【例2】(2012河西)已知正实数满足,则的最小值为 . ,a b 211a b +=2a b +【变式】已知正实数满足,则的最小值为 . ,a b 211a b +=2a b ab ++

【例3】已知,且,则的最小值为 . 0,0x y >>280x y xy +-=x y +【例4】已知正数满足,则的最小值为 .,x y 21x y +=8x y xy +【例5】已知,若不等式总能成立,则实数的最大值为 . 0,0a b >>212m a b a b +≥+m 【例6】(2013年天津市第二次六校联考)与圆相交于两点,()1,0by a b +=≠22 1x y +=,A B 为坐标原点,且△为直角三角形,则的最小值为 . O AOB 22 12a b +

【例7】(2012年南开二模)若直线始终平分圆的周长,()2200,0ax by a b -+=>>22 2410x y x y ++-+=则的最小值为 . 11a b +【例8】设分别为具有公共焦点的椭圆和双曲线的离心率,为两曲线的一个公共点,且满足 12,e e 12,F F P ,则的最小值为 120PF PF ?= 22214e e +【例9】已知,则的最小值是( )0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=11x y + A .6 B .5 C . D .3+【例10】已知函数,若,且,则的最小值为 .()4141 x x f x -=+120,0x x >>()()121f x f x +=()12f x x +

不等式知识点总结及题型归纳

不等式的基本知识 一、解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集: 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、,ac b 42 -=?,则 不等式的解的各种情况如下表: 0>? 0=? 0a )的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}2 1 x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 2、简单的一元高次不等式的解法: 标根法:其步骤是: 1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正; 2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回; 3)根据曲线显现()f x 的符号变化规律,写出不等式的解集。()()()如:x x x +--<11202 3

3、分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0() ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? 4、不等式的恒成立问题:常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 二、线性规划 1、用二元一次不等式(组)表示平面区域 二元一次不等式Ax +By +C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,),把它的坐标(y x ,)代入Ax +By +C ,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C >0表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当C ≠0时,常把原点作为此特殊点) 3、线性规划的有关概念: ①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量x 、y 的约束条件,这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式,故又称线性约束条件. ②线性目标函数: 关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式,叫线性目标

一元一次不等式题型归纳总结经典

一元一次不等式和一元一次不等式组题型归纳 201509 姓名: 授课时间: 一.对一元一次不等式定义的理解 1.下列各式中,是一元一次不等式的是( ) A、5+4>8 B、12-x C、x 2≤5 D、x x 31 -≥0 2.下列式子①3x =5;②a >2;③3m -1≤4;④5x +6y ;⑤a +2≠a -2;⑥-1>2中,不等式有( )个 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 3.下列说法,错误的是( ) A、33-πx 的解集是1-πx B、-10是102-πx 的解 C、2πx 的整数解有无数多个 D、2πx 的负整数解只有有限多个 4.下列不等关系中,正确的是( ) A 、 a 不是负数表示为a >0; B 、x 不大于5可表示为x >5 C 、x 与1的和是非负数可表示为x +1>0; D 、m 与4的差是负数可表示为m -4<0 二.已知范围,求正确的结论 5.若a 为有理数,则下列结论正确的是( ) A. a >0 B. -a ≤0 C. a 2>0 D. a 2+1>0

6.若a >b ,且c 是有理数,则下列各式正确的是( ) ①ac >bc ②ac <bc ③ac 2>bc 2 ④ac 2≥bc 2 A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7.若a b C、2a <2b D 、a 3>b 2 8.如果0ππn m ,那么下列结论不正确的是( ) A 、99--n m π B 、n m --φ C 、m n 1 1 φ D 、 1φm n 9.m 为任意实数,下列不等式中一定成立的是( ) A、π3m m B、π2-m 2+m C、m m -φ D、a a 35φ 10.已知πππb a 1,0-0,则a,ab,ab 2之间的大小关系是( ) A 、2ab ab a φφ B、a ab ab φφ2C、φab 2ab a φ D、2ab a ab φφ 11.若x x -=-44,则x 的取值范围是( ) A、4πx B、4≤x C、4φx D、4≥x 12.b a ,表示的数如图所示,则11---b a 的的值是( ) A、b a - B、2-+b a C、b a --2 D、b a +- 13.下列表达中正确的是() A 、若x 2>x ,则x <0 B 、若x 2>0,则x >0 C 、若x <1则x 2<x D 、若x <0,则x 2>x 14.如果不等式ax <b 的解集是x <a b ,那么a 的取值范围是( ) A 、a ≥0 B 、a ≤0 C 、a >0 D 、a <0 15.如果a <-2,那么a 与a 1 的大小关系是_______ 三.根据绝对值性质解不等式 16.如果x x 2121-=-,则x 的取值范围是 ( ) A 、21 >x B 、21≥x C 、21≤x D 、21

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