[核心必知]
1.众数、中位数、平均数 (1)众数的定义:
一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数,一组数据的众数可以是一个,也可以是多个.
(2)中位数的定义及求法:
把一组数据按从小到大的顺序排列,把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数.
(3)平均数: ①平均数的定义:
如果有n 个数x 1、x 2、…、x n ,那么x =x 1+x 2+…+x n
n
,叫作这n 个数的平均数.
②平均数的分类:
总体平均数:总体中所有个体的平均数叫总体平均数. 样本平均数:样本中所有个体的平均数叫样本平均数. 2.标准差、方差 (1)标准差的求法:
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s 表示.
s =
1
n
x 1-x
2
+x 2-x
2
+…+x n -x
2
].
(2)方差的求法:
标准差的平方s 2
叫作方差.
s 2=1
n
[(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2].
其中,x n 是样本数据,n 是样本容量,x 是样本均值. (3)方差的简化计算公式:
s 2=1
n
[(x 21+x 22+…+x 2n )-n x 2
]
=1
n
(x21+x22+…+x2n)-x2.
3.极差
一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差.
4.数字特征的意义
平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势,极差、方差刻画了一组数据的离散程度.
[问题思考]
1.一组数据的众数一定存在吗?若存在,众数是唯一的吗?
提示:不一定.若一组数据中,每个数据出现的次数一样多,则认为这组数据没有众数;不是,可以是一个,也可以是多个.
2.如何确定一组数据的中位数?
提示:(1)当数据个数为奇数时,中位数是按从小到大顺序排列的中间位置的那个数.
(2)当数据个数为偶数时,中位数为排列在最中间的两个数的平均值.
讲一讲
1.据报道,某公司的33名职工的月工资(单位:元)如下:
(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元,董事长的工资从5 500元提升到30 000元,那么新的平均数、中位数、众数又是什么?(精确到元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平,结合此问题谈一谈你的看法.
[尝试解答] (1)平均数是x=1 500+
4 000+3 500+2 000×2+1 500+1 000×5+500×3+0×20
33
≈1 500+591=2 091(元).
中位数是1 500元,众数是1 500元.