因式分解复习课

因式分解复习课

一、填空

（1）=+-442m m ___________； （2）=--24102x x _ __________；

（3）=+-22127y xy x _________；（4）=--+2222156156ay x b y b ax ___ ____；

（5）=-+1842x x ________ _________________；

二、把下列各式分解因式

（1）()()y x y x ---3 （2）()()2243a b b a --+

（3）a x a x ---22 （4）y y x 84422+--

（5）()()832322

2-+-+x x x x 三、解答题

（1） 若,0414522=+

-+-x y xy x 求y x ,的值。

（2） 已知33.0,67.0==y x ，求y x xy y x --++222的值。

四、分解因式

1、（m+1）(m-1)-(1-m)

2、2

241y x +

-

3、6xy 2-9x 2y-y 3

4、(2a-b)2+8ab

5、2222c b ab a -+-

6、x a a x 2222---

7、342+-x x 8、24822--x x

9、y xy y x 3652-+ 10、1002924+-x x

10、 321x x x +++

11、 25410xy x y +++

12、 22323ax x ax -+- 12、 222

(1)()xy z z x y +++

五、解答下列问题

1、已知，8=+n m ，15=mn 求22n mn m +-的值

2、已知;，012=-+a a 求201122

3++a a 的值

六、解答下列问题（6分）

38、计算：=+--???---20191832222222___________.

鲁教版初二(上)数学第39讲：因式分解方法(1)(学生版)

因式分解方法（1） __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.理解因式分解的定义； 2. 掌握提取公因式法.公式法.分组分解法等因式分解方法，能把简单多项式分解因式. 1.分解因式 （1）把一个多项式化成几个整式的__________,这种变形叫做把这个多项式分解因式。 （2）因式分解与整式乘法是互逆关系。 注意：因式分解与整式乘法的区别和联系: ①整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式； ②因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘。 2.提公共因式法 （1）如果一个多项式的各项含有________,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。如: ab＋ac＝a（b＋c）（2）概念内涵: ①因式分解的最后结果应当是“积”； ②公因式可能是单项式,也可能是多项式； ③提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: ma＋mb－mc＝m（a＋b－c） 3.运用公式法 （1）如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。 （2）主要公式： ①平方差公式：____________________ ②完全平方公式: ____________________ (3)易错点： 因式分解要分解到底。如就没有分解彻底。 4.因式分解的思路与解题步骤: (1)先看各项有没有公因式,若有,则先______________； (2)再看能否使用公式法；

因式分解专项练习题(含答案)

因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式 （1）3p2﹣6pq （2）2x2+8x+8 2．将下列各式分解因式 （1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2． 3．分解因式 （1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 4．分解因式： （1）2x2﹣x （2）16x2﹣1 （3）6xy2﹣9x2y﹣y3 （4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2 5．因式分解： （1）2am2﹣8a （2）4x3+4x2y+xy2 6．将下列各式分解因式： （1）3x﹣12x3（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 7．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3 （2）（x+2y）2﹣y2 8．对下列代数式分解因式： （1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（x﹣3）+1 9．分解因式：a2﹣4a+4﹣b2 10．分解因式：a2﹣b2﹣2a+1 11．把下列各式分解因式： （1）x4﹣7x2+1 （2）x4+x2+2ax+1﹣a2 （3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+1 12．把下列各式分解因式： （1）4x3﹣31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x﹣9；（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2．

因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式 （1）3p2﹣6pq；（2）2x2+8x+8 分析：（1）提取公因式3p整理即可； （2）先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 解答：解：（1）3p2﹣6pq=3p（p﹣2q）， （2）2x2+8x+8，=2（x2+4x+4），=2（x+2）2． 2．将下列各式分解因式 （1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2． 分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可； （2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 解答：解：（1）原式=xy（x2﹣1）=xy（x+1）（x﹣1）； （2）原式=3a（a2﹣2ab+b2）=3a（a﹣b）2． 3．分解因式 （1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2． 分析：（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续分解； （2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解． 解答：解：（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），=（x﹣y）（a2﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）； （2）（x2+y2）2﹣4x2y2，=（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），=（x+y）2（x﹣y）2． 4．分解因式： （1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2． 分析：（1）直接提取公因式x即可； （2）利用平方差公式进行因式分解； （3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解； （4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可． 解答：解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；

华师大版-数学-八年级上册-因式分解法 重难点突破

初中-数学-打印版 因式分解法重难点突破 一、会用因式分解法解特殊的一元二次方程 突破建议 1．首先注重课堂的引入，从实际问题出发，贴近学生的生活，激发学生的学习兴趣．2．对于方程的解法给孩子们思考的空间，让他们从已有的知识出发，用配 方法和公式法寻求方程的解，教师不要过于主观的马上给出因式分解法，剥夺了孩子思考的空间，使学习过于被动． 3．引导孩子观察方程的结构，从如果，则有或的结论得到启发，主动 思考解决问题的过程，利用提取公因式的方法可以将方程化为两个一次项的乘积为零的形式． 4．通过一系列的相互联系的问题串，将学生零散的思维系统化，通过例题的进一步训练，学生加深对方法的理解，归纳出因式分解法解一元二次方程的一般步骤，突破难点． 二、学会观察方程特征，选用适当方法解决一元二次方程 突破建议 例解下列方程： （1）；（2） . 解析：题目（1）学生可能会回答将括号打开，然后利用配方法或公式法，也有些学生会观察到如果将当作一个整体，利用提取公因式的方法直接就化为两个一次式乘积为零的 形式． 题目（2）的方程需要先进行移项，将方程化为右侧等于零的结构，然后得到一个平方差的结构，利用平方差公式将一元二次方程化为两个一次式的乘积为零的结构． 在解题的过程中，通过对例题的完成，加深学生对解方程方法的理解： 1．学生能够体会到解一元二次方程的方法是不唯一的． 2．配方法和公式法适用于所有的方程，而因式分解法对并不适用于所有的方程． 3．遇到方程应该注意观察方程的结构，选择合理的方法，降低计算量，提高准确性．4．虽然方法不同，但是三种方法的基本思想都是降次． 初中-数学-打印版

第九讲 因式分解 (添拆项与最值)

第八讲 因式分解（添拆项与最值） 知识点回顾： 1、因式分解：因式分解就是把一个多项式变为几个整式的积的形式。 2、因式分解的方法： （1）提公因式法，即ma+mb+mc=m(a+b+c)； （2）运用公式法，平方差公式： ()()b a b a b a -+=-2 2 ； 完全平方公式：222b ab a ++=()2 b a +和)(b a b ab a -= +-2 222 （3）十字相乘法：对于二次三项式2x Px q ++，若能找到两个数a 、b ，使, ,a b p a b q +=???=? 则就有22()()()x Px q x a b x ab x a x b ++=+++=++． 注：若q 为正，则a ，b 同号；若q 为负，则a ，b 异号； 立方和差公式： 典型例题： 例1（1）计算 29982 +2998×4+4= 。 （2）若442 -+x x 的值为0，则51232 -+x x 的值是________。 例2：分解因式： 2 2 288a axy a y x -+ 4a 2(x -y )+9b 2(y -x ) 例3：已知a –b = 1 ，252 2 =+b a 求ab 和a+b 的值。 例4 代数式2x 2+4x+5有最 值，是 ；﹣x 2 +3x 有最 值，是 例 5 题目：分解因式：x 2﹣120x +3456． 分析：由于常数项数值较大，则常采用将 x 2﹣120x 变形为差的平方的形式进行分解，这样简便易行． （1）x 2﹣140x +4875 （2）4x 2﹣4x ﹣575． 三、强化训练： 1、已知x +y =6，xy =4，则x 2 y +xy 2 的值为 . 2、分解因式： (2a -b )2-(a +b )2 -3ma 3+6ma 2-3ma a 2(m -n )+b 2 (n -m ) 4416n m - （8）4224817216b b a a +- 4、已知：a=2999，b=2995，求65522 2 -+-+-b a b ab a 的值。 5、利用因式分解计算 ?? ? ??-??? ??-??? ??-??? ??-??? ?? -2222211......511411311211n 6、已知a 为任意整数，且()2 2 13a a -+的值总可以被n 整除(n 为自然数，且n 不等于1)，则n 的值为 。 7、已知x(x-1)-(y x -2 )=-2, xy y x -+2 2 2的值。 8、把下列各式分解因式： （1）4x 3﹣31x +15； （2）2a 2b 2+2a 2c 2+2b 2c 2﹣a 4﹣b 4﹣c 4； （3）x 5+x +1； （4）x 3+5x 2+3x ﹣9；

(完整)因式分解练习题精选(含提高题)

因式分解习题精选 一、填空：（30分） 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是＿ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x Λ则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()2 2)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。 15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（8分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ）

七年级数学下册 3.1 多项式的因式分解《因式分解》重点难点解读素材 (新版)湘教版

《因式分解》重点难点解读 分解因式与前面学习的整式和后一章的分式联系极为密切，它是在整式运算的基础上进行的，它的理论根据是多项式乘法的逆变形下面对这章知识进行归纳和总结，以期对同学们的学习有所帮助． 一．知识结构 二．正确理解分解因式的概念 1．定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式分解因式． 2．注意事项： 要正确理解分解因式的概念，必须注意以下几点： （1）分解因式的对象必须是多项式，如把25a bc 分解成5a abc 就不是分解因式，因为25a bc 不是多项式；再如：把 211x -分解为11(1)(1)x x +-也不是分解因式，因为211x -是分式，不是整式． （2）分解因式的结果必须是积的形式，如21(1)1x x x x +-=+-就不是分解因式，因为结果(1)1x x +-不是积的形式． （3）分解因式结果中每个因式都必须是整式，如：221(1)x x x x -=-就不是分解因式，因为21(1)x x -是分式，不是整式． 三．搞清分解因式与整式乘法的关系 分解因式与整式乘法是两种相反方向的变形过程，即它们互为逆过程，互为逆关系，例如： ()m a b c ++ ma mb mc ++因此，我们可以利用整式乘法来检验分解 因式的结果是否正确． 四．注意掌握分解因式的一般方法 1．提公因式法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而把多项式化成两个整式乘积的形式，这种分解因式的方法叫提公因式法． 分解因式 整式乘法

这种方法实质上是逆用乘法分配律． 要正确应用提公因式法，必须注意以下几点： （1）准确找出多项式中各项的公因式，方法如下： 首先公因式的系数是多项式中各项系数的最大公约数； 其次字母取各项中都含有的；相同字母的指数取次数最低的，如：多项式 222291812x y x y x y z -+，各项系数的最大公约数是3，各项中都含有的字母是,,x y z ，x 的指数取最低的２，y 的指数取最低的１因此公因式是2 3x y ． （2）如果多项式首项是“－”号，一般应先提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的；在提出“－”号时，多项式的各项都要变号，如： 2222279(279)x y xy x y xy -+=--=9(3)xy x y --． （3）当某项全部提出后，剩下的是1，而不是0，如：2 (1)m mn m m m n +-=+-，而不能发生2()m mn m m m n +-=+的错误． 2．运用公式法 把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解，这种分解因式的方法叫运用公式法． （1）平方差公式 22()()a b a b a b -=+-，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 运用平方差公式，应注意： ①熟记公式特征：公式的右边是这两个二项式的积，且这两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数，公式的左边是这两项的平方差，且是左边相同的一项的平方减去互为相反数的一项的平方． ②注意公式中字母的广泛含义，即可以表示单项式，也可以表示多项式，如： 22()()[()()][()()]2(2)4x y x y x y x y x y x y x y xy --+=-++--+=-=-（其中x y -相当于公式中的a ，x y +相当于公式中的b ）． （2）完全平方公式 2222()a ab b a b ±+=±，即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 运用平方差公式，应注意： ①熟记公式特征：右边是两数和（或差）的平方，左边是前平方（2a ）、后平方（2b ）、二倍之积在中央（ab 2±）． ②注意公式中字母的广泛含义，即可以表示单项式，也可以表示多项式，如： 222()4()4[()2](2)x y x y x y x y ---+=--=--，（其中x y -相当于公式中的a ，2相当于公式中的b ）．

1、因式分解

第1讲 因式分解(1) 【竞赛导航】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 本讲主要涉及用提公因式法和公式法分解因式. 一、提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数取各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 二、把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有： 平方差公式：a 2-b 2=(a +b )(a -b ) 完全平方公式： a 2 ±2a b+b 2=(a ±b )2 推广公式：a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2 立方和、立方差公式: a 3±b 3=(a ±b )( a 2 μa b+b 2) 和（差）的立方公式：33223)(33b a b ab b a a ±=±+± 补充：欧拉公式： a 3+b 3+c 3 = (a +b +c )(a 2+b 2+c 2-ab -ac -bc ) +3abc ])()())[((2 1222a c c b b a c b a -+-+-++=+3abc 特别地：（1）当a +b +c =0时，有a 3+b 3+c 3=3abc （2）当0=c 时，欧拉公式变为两数立方和公式。 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。 用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。 【典例解析】 例1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213；（2）)(2)(2)(223a b ab a b a b a a ---+- 例2. 计算：1368 987521136898745613689872681368987123?+?+?+? 例3. 不解方程组23532 x y x y +=-=-???，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。

因式分解重难点

《因式分解》 一、教学分析 1．教学内容分析 因式分解是人教版初中《数学》八年级第15章的第4节。因式分解与上一节整式的乘除和下一章分式联系极为密切，它是因数分解的延伸和推广，是多项式乘法的逆运算，在分式通分和约分，一元二次方程和函数中有广泛的应用．本节的提公因式法是最常用，最基本也是最重要的分解方法之一，是后继学习其他分解方法的基础。因此，本节起着承上启下的作用。 2、教学对象分析 学生已有整式的乘除、因数分解等知识的基础，通过观察类比得到因式分解意义，通过与电子白板的整合教学，相互合作交流，归纳确定公因式的步骤及提公因式的分解方法。在积极倡导下，学生通过动脑、动手、动口，亲身经历体验数学学习的过程。根据由具体到一般的思维方式，符合学生的认知规律。 3、教学环境分析 充分地运用媒体、加大了一堂课的教学容量，极大提高了学生的学习兴趣，提高教学效率。通过与电子白板的整合，可以很好地体现教师在教学过程中的思路和策略。 二、教学目标 （1）初步了解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法是相反方向的变形. （2）会找公因式. （3）会用提取公因式法分解因式. （4）体会数学知识之间是相互联系的，是可以相互转化的. （5）进一步培养学生观察、分析、归纳的能力.并向学生渗透对比的数学思想方法． 三、教学重点、难点 重点：因式分解的概念，提公因式法. 难点：因式分解与整式乘法的相互关系，确定公因式. 理由是理解因式分解的概念的本质属性是学习整节因式分解的灵魂，提公因式法是因式分解最基本最常用的方法。难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，利用它们之间的关系进行因式分解的思想。理由是学生由乘法到因式分解的变形是一个逆向思维。在前一节整式乘法的较长时间的学习，造成思维定势，学生容易产生“倒摄抑制”作用，阻碍新概念的形成。公因式的确定，学生往往不能正确确定公因式，数应取各项系数的最大公约数，字母应取各项都有的字母，并取它们的最低次幂。

第四讲因式分解(一)

第四讲 因式分解(一) 一、分组分解 例1：分解因式 1.322392727x ax xa a -+- 2.221 1 94n n y x x -+- 练习： 1.已知ABC ?的三边满足4222240a b c a c b +--=，试判定ABC ?的形状. 2.已知正整数a 、b 、c 满足27a ab ac bc --+=，求a c -的值 3.已知正数a 、b 、c 满足ab a b bc b c ac c a a ++=++=++=， 求 (1)(1)(1)a b c +++的值 例2：分解因式： 1.22536x xy x y y ++++ 2.2231092x xy y x y --++-

练习：分解因式 1.2225326x xy y x y +--+ 2.226136x xy y x y +-++- 二、换方法分解因式 例3：分解因式 1.(1)(2)(3)(4)24x x x x ++++- 2.2(1)(2)(3)(6)x x x x x +++++ 练习：分解因式 1.2(1)(3)(5)12x x x -+++ 2.2(61)(21)(31)(1)x x x x x ----+ 3.42424(41)(31)10x x x x x -++++ 例4：分解因式 432653856x x x x +-++

例5：分解因式 2222222x y y z z x x z y x z y xy -+-+++ 练习：分解因式 1.22223345a b c ab ac bc +++++ 2.222222444222a b a c b c a b c ++--- 例6：分解因式 2()(2)(1)x y zxy x y xy +++-+- 练习：分解因式 1.21(1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y +++-++-+- 2.444()x y x y +++

因式分解练习题(超经典)

因式分解习题 一、填空： 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是__________. 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有___________________________ ，其结果是 _______________________________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x Λ则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_________。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ________。 15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（8分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6 B 、m=2，k=12 C 、m=—4，k=—12 D m=4，k=12 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 三、分解因式： 1、234352x x x -- 2、2633x x - 3、22)2(4)2(25x y y x --- 4、x x -5 5、24369y x - 6、811824+-x x 四、代数式求值

因式分解难题解析

因式分解难题解析 詹码论坛站长 在因式分解时，有时会用到以下两个公式： n n n-1n-2n-2n-1 a-b=(a-b)(a+a b++ab+b) m m m-1m-2m-2m-1 a+b=(a+b)(a-a b+-b a+b)(m 为奇数） 下面精选了十个实例进行讲解。 01 x3-xy2+x2z-xz2-2xyz+y2z+yz2 分析： 一眼就可看出，这是3次的齐次多项式。 一般选中一个未知数作为主元，统帅其他未知数，主元应按降序排列并分组。x3-xy2+x2z-xz2-2xyz+y2z+yz2 = x3-xy2-xz2+yz2 +x2z-2xyz+y2z =x(x2-y2)-z2(x-y)+z(x2-2xy+y2) =x(x-y)(x+y)-z2(x-y)+z(x-y)2 =(x-y)(x2+xy-z2+zx-zy) 此题若不进行科学分组会很困难。 02 22 +-++- 282143 x xy y x y 分析：此题一看就应该知道用双十字相乘法分解。 解： x y 常数项 1 4 -1 1 - 2 3

22282143x xy y x y +-++-=(x+4y-1)(x-2y+3) 注意：先看前三项，是否与x 、y 两列相配，再看常数项是否与数字相配，然后再看x 、常数项是否与x 的系数相配，最后看y 、常数项是否与y 的系数相配。 作业： ① 12233+++-b a ab b a 提示：先分组再变形最后用十字相乘法。 2222222 2 2 2 2 2 ()()1()()()1()()()1(1)(1) ab a b a b ab a b a b a b a ab ab b a b a ab ab b =-+++=+-+++=-++++=-+++原式 难度较大。 ② 22xy y x y ++-- 提示：x 2的系数看成0，然后再用双十字相乘法。 x y 1 1 －2 0 1 1 原式＝（x ＋y －2）（y ＋1） 也可用分组法，以x 为主元。 03 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 分析： 这个题目一看，映入眼帘的就是3个括号。 瞧瞧 括号里 的 b+c 、 c-a 、a+b ，看看这3项是否有某种联系 前两项相加得不出 第3项，但我们发现，后2项相加正好等于第1项。 所以，这个题目中的第1项如果分成两部分，一部分配给第2项，一部分配给第3项会是不坏的注意。 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b )+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 作业： ① 3 356x x --

因式分解专题复习及讲解(很详细)

因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2 =(a+b)(a-b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 ； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2 )； (4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2 )． 下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 ； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2 -ab-bc-ca)； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

因式分解专项练习题

因式分解专项练习题 （一）提取公因式 一、分解因式 1、2x 2y －xy 2、6a 2b 3－9ab 2 3、 x （a －b ）＋y （b －a ） 4、9m 2n-3m 2n 2 5、4x 2-4xy+8xz 6、-7ab-14abx+56aby 7、6m 2n-15mn 2+30m 2n 2 8、-4m 4n+16m 3n-28m 2n 9、x n+1-2x n-1 10、a n -a n+2+a 3n 11、p(a-b)+q(b-a) 12、a(b-c)+c-b 13、(a-b)2(a+b)+(a-b)(a+b)2= 14、ab ＋b 2－ac －bc 15、3xy(a-b)2+9x(b-a) 16、(2x-1)y 2+(1-2x)2y 17、6m(m-n)2-8(n-m)3 18、15b(2a-b)2+25(b-2a)3 19、a 3-a 2b+a 2c-abc 20、2ax ＋3am －10bx －15bm 21、m （x －2）－n （2－x ）－x ＋2 22、（m －a ）2＋3x （m －a ）－（x ＋y ）（a －m ） 23、 ab(c 2+d 2)+cd(a 2+b 2) 24、(ax+by)2+(bx-ay)2 25、-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 26、 a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 二、应用简便方法计算 1、4.3×199.8＋7.6×199.8－1.9×199.8 2、9×10100-10101 3、2002×-2001× 4、1368 987521136898745613689872681368987123?+?+?+? 三、先化简再求值 （2x ＋1）2（3x －2）－（2x ＋1）（3x －2）2－x （2x ＋1）（2－3x ）（其中， 32x =） 四、在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意正整数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。 课后作业： 1.分解因式：(1)ab+b 2-ac-bc (2)ax 2 -ax-bx+b (3)ax+1-a-x (4)x 4-x 3+4x-4 2.分解因式： (1)6m(m-n)2-8(n-m)3 (2)15b(2a-b)2+25(b-2a)3 (3)a 3-a 2b+a 2c-abc (4)4ax+6am-20bx-30bm （5）-+-41222332m n m n mn

第9讲 因式分解(一)

第九讲 因式分解（一） 知识模块一、因式分解的概念 知识梳理： 因式分解m 因式分解整式乘积+1=x (1+ 1 x )不是因式分解 例1．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A ．3ab (a +b )=3a 2b +3ab 2 B ．2x 2+4x =2x 2(1+ 2x ) C ．a 2?4b 2=(a +2b )( a ?2 b ) D ．3x 2?6xy +3x =3x (x ?2y )+3x 例2．（1）一个多项式分解因式的结果是(b 3+2)(2?b 3)，那么这个多项式是（ ） A ．b 6?4 B ．4?b 6 C ．b 6+4 D ．?b 6?4 （2）若多项式x 2+ax +b 可因式分解为(x +1)(x ?2)，求a +b 的值为 。 知识模块二、提公因式法

例3．(1)因式分解：8x3y2+12xy3z =4xy2( )+4xy2( ) =4xy2( + ). （2）因式分解：?14abc?7ab+49ab2c= 。 例4．（1）因式分解：2a(b+c)?3(b+c) =( )? (b+c)? ( )? (b+c) =( ? )? (b+c) （2）因式分解：3x(a?b)?6y(b?a)= ； （3）因式分解：m(x+y)+n(x+y)?x?y= ； （4）因式分解：x(a?b)2n+y(b?a)2n+1= ； 知识模块三、公式法 知识梳理 公式法：逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法。（1）平方差公式：a2?b2=(a+b)(a?b)； （2）完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2?2ab+b2=(a?b)2； （3）完全立方公式：a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3；a3?3a2b+3ab2?b3=(a?b)3；（4）立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2?ab+b2)； （5）立方差公式：a3?b3=(a?b)(a2+ab+b2)。 例5．（1）因式分解：4a2?9 =( )2?( )2 =( + ) ( ? ) （2）因式分解：?a2+4ab?4b2 =?( ) =?[( )2?2( )?( )+( )2] =?( )2； （3）因式分解：?x3?2x2?x= ；

因式分解练习题(中考精选)

班级_____________________ 姓名____________________ 考场号____________ 考号___________ ----------------------------------------------------密--------------------------------封--------------------------------线------------------------------------------------ 一、选择题 1. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A ．224x y + Ｂ．221x y -+ Ｃ．224x y -+ Ｄ．224x y -- 2. 下列分解因式正确的是（ ） A ． )1(222--=--y x x x xy x B ． )32(322---=-+-x xy y y xy xy C ． 2)()()(y x y x y y x x -=--- D ． 3)1(32--=--x x x x 3. 把代数式2 9xy x -分解因式，结果正确的是（ ） Ａ．2 (9)x y - Ｂ．2 (3)x y + Ｃ．(3)(3)x y y +- Ｄ．(9)(9)x y y +-、 4. (3)(3)a y a y -+是下列哪一个多项式因式分解的结果（ ） Ａ．22 9a y + Ｂ．229a y -+ Ｃ．22 9a y - Ｄ．22 9a y -- 5. 一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为小敏做得不够完整的一题是（ ） Ａ．32 (1)x x x x -=- Ｂ．222 2()x xy y x y -+=- Ｃ．2 2 ()x y xy xy x y -=- Ｄ．2 2 ()()x y x y x y -=-+ 6. 若关于x 的多项式2 6x px --含有因式3x -，则实数p 的值为（ ） A ．5- B ．5 C ．1- D ．1 7. 下列因式分解错误的是（ ） A ．22 ()()x y x y x y -=+- B ．2 2 69(3)x x x ++=+ C ．2 ()x xy x x y +=+ D ．2 2 2 ()x y x y +=+ 8. 将整式2 9x -分解因式的结果是（ ） A ．2(3)x - B ．(3)(3)x x +- C ．2(9)x - D ．(9)(9)x x +- 9. 若1=x ，2 1 = y ，则2244y xy x ++的值是（ ）． Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．23 Ｄ．2 1 10. 下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ） （A ）xy x -2 （B ）xy x +2 （C ）22y x + （D ）22y x - 二、填空题 11. 因式分解： 2(2)(3)4x x x +++-= ． 12. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原 理是：如对于多项式44x y -，因式分解的结果是22 ()()()x y x y x y -++，若取x =9，y =9时，则各 个因式的值是：()x y - =0，()x y +=18，22 ()x y +=162，于是就可以把“018162”作为一个六位 数的密码．对于多项式3 2 4x xy -，取x =10，y =10时，用上述方法产生的密码是： (写出一个即可)． 13. 如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若 干张，如果要拼一个长为(a ＋2b)、宽为(a ＋b)的大长方形，则需要C 类卡片 张． 14. 若2 44(2)()x x x x n ++=++，则_______n =． a b b b a a C B A

七年级因式分解专题复习

《因式分解综合训练》例题精讲与同步练习 因式分解综合训练 一、 本节的重点是因式分解的综合训练，重点和难点均在于四种因式分解方法的灵活运用。四种方法分别是：提公因式法、运用公式法、分组分解法、形如x 2+（p +q ）x +pq 的二次三项式的因式分解（也就是十字相乘法）。 1. 因式分解时要注意四种方法的使用次序：①先提公因式②再运用公式③再用十字相 乘法④最后考虑分组分解法 2. 三项式通常用公式法或十字相乘法分解因式； 四项或四项以上的式子通常用分组分解法。 3. 因式分解一定要彻底，不可半途而废。 4. 因式分解最终结果一定要进行整理： 如果有同类项，应当合并； 如果在相同因式，如：（x +y ）（x +y ）（x －y ）应当写成（x +y ）2（x －y ）； 如果有中括号应当去掉中括号…… 总之应当满足最简原则！ 二、例题分析（例题较难，练习题会相对容易些） 例2 分解因式：－2x 3+4x 2－10x 解：原式=－2x （x 2－2x +5） 此题中公因式为－2x ，因此括号中所有项均要变号 例3 分解因式：－7（m －n ）3+21（n －m ）2－28（n －m ）3 解：原式=7（n －m ）3+21（n －m ）2－28（n －m ）3 =7（n －m ）2[])(43)(m n m n --+- 这里易误把公因式当成（n －m ）2 =7（n －m ）2（－3n +3m +3） 这里产生了新的公因式：－3 =－21（n －m ）2（n －m －1） 例4 分解因式：－x 2－4y 2+4xy 解：原式=－（x 2－4xy +4y 2） 注意因式分解的思维顺序：先提公因式 =－（x －2y ）2 例5 分解因式：－3x 7+24x 5－48x 3 解：原式= －3x 3（x 4－8x 2+16） 先提公因式 = －3x 3（x 2－4）2 x 4－8x 2+16可用完全平方公式分解 = －3x 3[]2 )2)(2(-+x x x 2－4还可以用平方差继续分解 = －3x 3（x +2）2（x －2）2 例6 分解因式：9m 2－6m +1－n 2 解：原式=（9m 2－6m +1）－n 2 =（3m －1）2－n 2 =（3m +n －1）（3m －n －1） 例7 ax 2+ay 2－2axy －az 2 解：原式=a （x 2+y 2－2xy －z 2） 先提公因式 = a [（x 2+y 2－2xy ）－z 2] 四项式用分组分解法进行分解 =a [（x －y ）2－z 2] = a （x －y +z ）（x －y －z ）

7寒假课程初北师大版二数学第7讲：因式分解(1) 【学生版】

第七讲 因式分解概念及基本方法 知识点一 因式分解 【例题】下列式子中，因式分解正确的有 。（可以多选） A. B. C. D. E. x 4-1=(x 2+1)(x 2-1) F. 3x 2-6xy+3x=3x(x-2y) 知识点二：提公因式法 【例题】把下列各式分解因式 （1）8x 3y 2 +12xy 3 z =4xy 2( )+4xy 2 ( ) ) 11(1))(()21(4414 )3(43222 2 2x x x y x y x y x x x x y y y y -=--+=--=+---=--

=4xy2( + ) (2)2a(b+c)-3(b+c) =( )(b+c)-( )(b+c) =( - )(b+c) (3)12abc-9a2b2= (4)(x+3)2-(x+3)= 【例题】因式分解： （1）（x+y）2-3(x+y)= （2）x(a-b)2n+y(b-a)2n+1= （3）x(m-x)(m-y)-m(m-x)(m-y)= （4）m(x+y)+n(x+y)-x-y= 【练习】将－axy－ax2y2＋2axz提公因式后，另一因式是( ) A．xy＋x2y2－2xz B．－y＋x2y－2z C．y－xy2＋2z D．y＋xy2－2z 【练习】多项式－6ab2＋18ab2－12a3b2c的公因式是( ) A.－6ab2c B．－ab2 C．－6ab2 D．－6a3b2c 【练习】分解因式: （1）4q（1-p）3+2（p-1）2 （2）3m（x-y）-n（y-x） 知识点三：公式法

(1) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (2) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． (3)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (4)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； 【例题】把下列各式因式分解 （1）4a2-9 =( )2-( )2 =( + ）（ - ） (2)(x+m)2-(x+n)2 = [( )+( )][( )-( )] = (3)4x2+12x+9 =( )2+2( )( )+( )2 =( )2 (4)-a2+4ab-4b2 =-( ) =-[(a)2-2( )( )+( )2] =-( )2 【例题】把x3-2x2y+xy2分解因式，结果正确的是（） A.x(x+y)(x-y) B.x(x2-2xy+y2) C.x(x+y)2 D.x(x-y)2 【练习】分解因式： （1）x3-xy2= （2）27x2+18x+3=