2020年四川省遂宁市中考数学试卷及答案解析
2020年四川省遂宁市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．） 1．（4分）﹣5的相反数是（ ） A ．5
B ．﹣5
C ．1
5
D ．?1
5
2．（4分）已知某种新型感冒病毒的直径为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（ ） A ．8.23×10﹣
6
B ．8.23×10﹣7
C ．8.23×106
D ．8.23×107
3．（4分）下列计算正确的是（ ） A ．7ab ﹣5a ＝2b B ．（a +1
a
）2＝a 2+1a 2
C ．（﹣3a 2b ）2＝6a 4b 2
D ．3a 2b ÷b ＝3a 2
4．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．等边三角形
B ．平行四边形
C ．矩形
D ．正五边形
5．（4分）函数y =√x+2
x?1中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ＞﹣2
B ．x ≥﹣2
C ．x ＞﹣2且x ≠1
D ．x ≥﹣2且x ≠1
6．（4分）关于x 的分式方程m x?2
?32?x
=1有增根，则m 的值（ ）
A ．m ＝2
B ．m ＝1
C ．m ＝3
D ．m ＝﹣3
7．（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ，若AF ＝2FD ，则
BE EG
的值为（ ）
A ．1
2
B ．1
3
C ．2
3
D ．3
4
8．（4分）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x ＝﹣1，下列结论不正确的是（ ）
A．b2＞4ac
B．abc＞0
C．a﹣c＜0
D．am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）
9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O 与BC相切于点D，交AB于点E，若CD=√2，则图中阴影部分面积为（）
A．4?π
2B．2?
π
2C．2﹣πD．1?
π
4
10．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：
①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，
②AP＝FP，
③AE=√102AO，
④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，
⑤CE?EF＝EQ?DE．
其中正确的结论有（）
A ．5个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）下列各数3.1415926，√9，1.212212221…，1
7，2﹣π，﹣2020，√43
中，无理数
的个数有 个．
12．（4分）一列数4、5、4、6、x 、5、7、3中，其中众数是4，则x 的值是 ． 13．（4分）已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为 度．
14．（4分）若关于x 的不等式组{x?24＜x?13
2x ?m ≤2?x
有且只有三个整数解，则m 的取值范围
是 ．
15．（4分）如图所示，将形状大小完全相同的“?”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“?”的个数为a 1，第2幅图中“?”的个数为a 2，第3幅图中“?”的个数为a 3，…，以此类推，若
2a 1
+
2a 2
+
2a 3
+?+
2a n
=
n 2020
．（n 为正整数），则n 的值为 ．
三、计算或解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（7分）计算：√8?2sin30°﹣|1?√2|+（12
）﹣
2﹣（π﹣2020）0．
17．（7分）先化简，（
x 2+4x+4x 2?4
?x ﹣2）÷x+2
x?2，然后从﹣2≤x ≤2范围内选取一个合适的
整数作为x 的值代入求值．
18．（8分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别是线段BC 、AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF ．
（1）求证：△BDE≌△F AE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
19．（8分）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B 为CD的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）
（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）
20．（9分）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？
（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B 种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？
最多准备多少钱？
21．（9分）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点
A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函
数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
22．（10分）端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
（1）本次参加抽样调查的居民有人．
（2）喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为度．根据题中信息补全条形统计图．（3）若该居民小区有6000人，请你估计爱吃D种粽子的有人．
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D棕子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，
0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═k
x
（k≠0）
于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．
（1）求双曲线y =k x
（k ≠0）和直线DE 的解析式． （2）求△DEC 的面积．
24．（10分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 边上的一点，以AD 为直径的⊙O 交BC 于点E ，交AC 于点F ，过点C 作CG ⊥AB 交AB 于点G ，交AE 于点H ，过点E 的弦EP 交AB 于点Q （EP 不是直径），点Q 为弦EP 的中点，连结BP ，BP 恰好为⊙O 的切线．
（1）求证：BC 是⊙O 的切线． （2）求证：EF
?=ED ?． （3）若sin ∠ABC ═3
5，AC ＝15，求四边形CHQE 的面积．
25．（12分）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过A （1，0），B （3，0），C （0，6）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M 与对称轴l 上的点N 关于x 轴对称，直线AN 交抛物线于点D ，直线BE 交AD 于点E ，若直线BE 将△ABD 的面积分为1：2两部分，求点E 的坐标． （3）P 为抛物线上的一动点，Q 为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P ，使A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．） 1．（4分）﹣5的相反数是（ ） A ．5
B ．﹣5
C ．1
5
D ．?1
5
【解答】解：﹣5的相反数是5， 故选：A ．
2．（4分）已知某种新型感冒病毒的直径为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（ ） A ．8.23×10﹣
6
B ．8.23×10﹣
7
C ．8.23×106
D ．8.23×107
【解答】解：0.000000823＝8.23×10﹣
7． 故选：B ．
3．（4分）下列计算正确的是（ ） A ．7ab ﹣5a ＝2b B ．（a +1
a
）2＝a 2+1a 2
C ．（﹣3a 2b ）2＝6a 4b 2
D ．3a 2b ÷b ＝3a 2
【解答】解：7ab 与﹣5a 不是同类项，不能合并，因此选项A 不正确； 根据完全平方公式可得（a +1
a ）2＝a 2+
1
a 2
+2，因此选项B 不正确； （﹣3a 2b ）2＝9a 4b 2，因此选项C 不正确； 3a 2b ÷b ＝3a 2，因此选项D 正确； 故选：D ．
4．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．等边三角形
B ．平行四边形
C ．矩形
D ．正五边形
【解答】解：A 、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意； B 、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形．故本选项不合题意； C 、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意； D 、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意． 故选：C ．
5．（4分）函数y =√x+2
x?1中，自变量x 的取值范围是（ ）
A ．x ＞﹣2
B ．x ≥﹣2
C ．x ＞﹣2且x ≠1
D ．x ≥﹣2且x ≠1
【解答】解：根据题意得：{x +2≥0
x ?1≠0
解得：x ≥﹣2且x ≠1． 故选：D ．
6．（4分）关于x 的分式方程m x?2
?
32?x
=1有增根，则m 的值（ ）
A ．m ＝2
B ．m ＝1
C ．m ＝3
D ．m ＝﹣3
【解答】解：去分母得：m +3＝x ﹣2， 由分式方程有增根，得到x ﹣2＝0，即x ＝2， 把x ＝2代入整式方程得：m +3＝0， 解得：m ＝﹣3， 故选：D ．
7．（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ，若AF ＝2FD ，则
BE EG
的值为（ ）
A ．1
2
B ．1
3
C ．2
3
D ．3
4
【解答】解：由AF ＝2DF ，可以假设DF ＝k ，则AF ＝2k ，AD ＝3k ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB ＝CD ，
∴∠AFB ＝∠FBC ＝∠DFG ，∠ABF ＝∠G ， ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABF ＝∠CBG ，
∴∠ABF ＝∠AFB ＝∠DFG ＝∠G ， ∴AB ＝CD ＝2k ，DF ＝DG ＝k ， ∴CG ＝CD +DG ＝3k ，
∵AB ∥DG ， ∴△ABE ∽△CGE ， ∴
BE EG
=
AB CG
=
2k 3k
=2
3
，
故选：C ．
8．（4分）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x ＝﹣1，下列结论不正确的是（ ）
A ．b 2＞4ac
B ．abc ＞0
C ．a ﹣c ＜0
D ．am 2+bm ≥a ﹣b （m 为任意实数）
【解答】解：由图象可得：a ＞0，c ＞0，△＝b 2﹣4ac ＞0，?b
2a
=?1， ∴b ＝2a ＞0，b 2＞4ac ，故A 选项不合题意， ∴abc ＞0，故B 选项不合题意， 当x ＝﹣1时，y ＜0， ∴a ﹣b +c ＜0，
∴﹣a +c ＜0，即a ﹣c ＞0，故C 选项符合题意， 当x ＝m 时，y ＝am 2+bm +c ， 当x ＝﹣1时，y 有最小值为a ﹣b +c ， ∴am 2+bm +c ≥a ﹣b +c ，
∴am 2+bm ≥a ﹣b ，故D 选项不合题意， 故选：C ．
9．（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，点O 在AB 上，经过点A 的⊙O 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，若CD =√2，则图中阴影部分面积为（ ）
A．4?π
2B．2?
π
2C．2﹣πD．1?
π
4
【解答】解：连接OD，过O作OH⊥AC于H，如图，∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB＝45°，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴四边形ODCH为矩形，
∴OH＝CD=√2，
在Rt△OAH中，∠OAH＝45°，
∴OA=√2OH＝2，
在Rt△OBD中，∵∠B＝45°，
∴∠BOD＝45°，BD＝OD＝2，
∴图中阴影部分面积＝S△OBD﹣S扇形DOE
=12×2×2?45×π×2
180
＝2?1
2π．
故选：B．
10．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：
①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，
②AP＝FP，
③AE=√102AO，
④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，
⑤CE?EF＝EQ?DE．
其中正确的结论有（）
A．5个B．4个C．3个D．2个【解答】解：如图，连接OE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，
∴∠BOC＝90°，
∵BE＝EC，
∴∠EOB＝∠EOC＝45°，
∵∠EOB＝∠EDB+∠OED，∠EOC＝∠EAC+∠AEO，
∴∠AED+∠EAC+∠EDO＝∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB＝90°，故①正确，连接AF．
∵PF⊥AE，
∴∠APF＝∠ABF＝90°，
∴A，P，B，F四点共圆，
∴∠AFP＝∠ABP＝45°，
∴∠P AF＝∠PF A＝45°，
∴P A＝PF，故②正确，
设BE＝EC＝a，则AE=√5a，OA＝OC＝OB＝OD=√2a，
∴AE
AO =
√5a
√2a
=
√10
2
，即AE=
√10
2AO，故③正确，
根据对称性可知，△OPE≌△OQE，
∴S△OEQ=1
2S四边形OPEQ＝2，
∵OB＝OD，BE＝EC，∴CD＝2OE，OE⊥CD，
∴EQ
DQ =
OE
CD
=
1
2
，△OEQ∽△CDQ，
∴S△ODQ＝4，S△CDQ＝8，
∴S△CDO＝12，
∴S正方形ABCD＝48，故④错误，
∵∠EPF＝∠DCE＝90°，∠PEF＝∠DEC，∴△EPF∽△ECD，
∴EF
ED =
PE
EC
，
∴EQ＝PE，
∴CE?EF＝EQ?DE，故⑤正确，
故选：B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）下列各数3.1415926，√9，1.212212221…，1
7
，2﹣π，﹣2020，√4
3中，无理数
的个数有3个．
【解答】解：在所列实数中，无理数有1.212212221…，2﹣π，√4
3这3个，故答案为：3．
12．（4分）一列数4、5、4、6、x、5、7、3中，其中众数是4，则x的值是4．【解答】解：根据众数定义就可以得到：x＝4．
故答案为：4．
13．（4分）已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为 36 度． 【解答】解：设此多边形为n 边形， 根据题意得：180（n ﹣2）＝1440， 解得：n ＝10，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10＝36°． 故答案为：36．
14．（4分）若关于x 的不等式组{x?24＜x?13
2x ?m ≤2?x
有且只有三个整数解，则m 的取值范围是
1＜m ≤4 ．
【解答】解：解不等式
x?24
＜
x?13
，得：x ＞﹣2，
解不等式2x ﹣m ≤2﹣x ，得：x ≤m+2
3
， 则不等式组的解集为﹣2＜x ≤
m+23
， ∵不等式组有且只有三个整数解， ∴1≤
m+2
3
＜2， 解得1≤m ＜4， 故答案为：1≤m ＜4．
15．（4分）如图所示，将形状大小完全相同的“?”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“?”的个数为a 1，第2幅图中“?”的个数为a 2，第3幅图中“?”的个数为a 3，…，以此类推，若
2a 1
+
2a 2
+
2a 3
+?+
2a n
=
n 2020
．（n 为正整数），则n 的值为 4039 ．
【解答】解：由图形知a 1＝1×2，a 2＝2×3，a 3＝3×4， ∴a n ＝n （n +1）， ∵2a 1+
2a 2
+
2a 3
+?+
2a n
=
n 2020
， ∴
21×2
+
2
2×3
+23×4
+?+
2
n(n+1)=
n
2020
，
∴2×（1?12+12?13+13?14+??+1n ?1n+1）=n
2020， ∴2×（1?
1n+1）=n 2020， 1?1
n+1=n
4040， 解得n ＝4039，
经检验：n ＝4039是分式方程的解， 故答案为：4039．
三、计算或解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（7分）计算：√8?2sin30°﹣|1?√2|+（12
）﹣
2﹣（π﹣2020）0．
【解答】解：原式＝2√2?2×1
2
?（√2?1）+4﹣1 ＝2√2?1?√2+1+4﹣1 =√2+3． 17．（7分）先化简，（
x 2+4x+4x ?4
?x ﹣2）÷x+2
x?2，然后从﹣2≤x ≤2范围内选取一个合适的
整数作为x 的值代入求值． 【解答】解：原式＝[(x+2)2(x+2)(x?2)
?（x +2）]?
x?2x+2
＝（
x+2x?2
?
x 2?4
x?2）?
x?2
x+2
=?x 2+x+6x?2?x?2x+2
=?
(x+2)(x?3)x?2?x?2x+2
＝﹣（x ﹣3） ＝﹣x +3， ∵x ≠±2， ∴可取x ＝1， 则原式＝﹣1+3＝2．
18．（8分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别是线段BC 、AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF ． （1）求证：△BDE ≌△F AE ；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
【解答】证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是线段AD的中点，
∴AE＝DE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△BDE≌△F AE（AAS）；
（2）∵△BDE≌△F AE，
∴AF＝BD，
∵D是线段BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF为矩形．
19．（8分）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B 为CD的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）
（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）
【解答】解：过点E、F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M、N，
由题意得，EC＝20，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，CB＝DB＝EM＝FN，AB＝60，∴AM＝AB﹣MB＝60﹣20＝40，
在Rt△AEM中，
∵tan∠AEM=AM EM，
∴EM=
AM
tan∠AEM
=40
tan67°
≈16.9，
在Rt△AFN中，
∵tan∠AFN=AN FN，
∴AN＝tan40°×16.9≈14.2，
∴FD＝NB＝AB﹣AN＝60﹣14.2＝45.8，
答：2号楼的高度约为45.8米．
20．（9分）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？
（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A 、B 两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B 种花苗，B 种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？
【解答】解：（1）设A 、B 两种花苗的单价分别是x 元和y 元，则{3x +5y =2104x +10y =380，解
得{x =20y =30
， 答：A 、B 两种花苗的单价分别是20元和30元；
（2）设购买B 花苗x 盆，则购买A 花苗为（12﹣x ）盆，设总费用为w 元， 由题意得：w ＝20（12﹣x ）+（30﹣x ）x ＝﹣x 2+10x +240（0≤x ≤12），
∵1＜0．故w 有最大值，当x ＝5时，w 的最小值为265，当x ＝12时，w 的最小值为216， 故本次购买至少准备216元，最多准备265元． 21．（9分）阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y ＝a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0，a 1、b 1、c 1是常数）与y ＝a 2x 2+b 2x +c 2（a 2≠0，a 2、b 2、c 2是常数）满足a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y ＝2x 2﹣3x +1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y ＝2x 2﹣3x +1可知，a 1＝2，b 1＝﹣3，c 1＝1，根据a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，求出a 2，b 2，c 2就能确定这个函数的旋转函数． 请思考小明的方法解决下面问题： （1）写出函数y ＝x 2﹣4x +3的旋转函数．
（2）若函数y ＝5x 2+（m ﹣1）x +n 与y ＝﹣5x 2﹣nx ﹣3互为旋转函数，求（m +n ）2020的值．
（3）已知函数y ＝2（x ﹣1）（x +3）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 、B 、C 关于原点的对称点分别是A 1、B 1、C 1，试求证：经过点A 1、B 1、C 1的二次函数与y ＝2（x ﹣1）（x +3）互为“旋转函数”．
【解答】解：（1）由y ＝x 2﹣4x +3函数可知，a 1＝1，b 1＝﹣4，c 1＝3， ∵a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0， ∴a 2＝﹣1，b 2＝﹣4，c 2＝﹣3，
∴函数y ＝x 2﹣4x +3的“旋转函数”为y ＝﹣x 2﹣4x ﹣3；
（2）∵y ＝5x 2+（m ﹣1）x +n 与y ＝﹣5x 2﹣nx ﹣3互为“旋转函数”， ∴{m ?1=?n n ?3=0， 解得：{m =?2
n =3
，
∴（m +n ）2020＝（﹣2+3）2020＝1．
（3）证明：当x ＝0时，y ＝2（x ﹣1）（x +3））＝﹣6， ∴点C 的坐标为（0，﹣6）． 当y ＝0时，2（x ﹣1）（x +3）＝0， 解得：x 1＝1，x 2＝﹣3，
∴点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（﹣3，0）． ∵点A ，B ，C 关于原点的对称点分别是A 1，B 1，C 1， ∴A 1（﹣1，0），B 1（3，0），C 1（0，6）．
设过点A 1，B 1，C 1的二次函数解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣3）， 将C 1（0，6）代入y ＝a （x +1）（x ﹣3），得：6＝﹣3a ， 解得：a ＝﹣2，
过点A 1，B 1，C 1的二次函数解析式为y ＝﹣2（x +1）（x ﹣3），即y ＝﹣2x 2+4x +6． ∵y ＝2（x ﹣1）（x +3）＝2x 2+4x ﹣6，
∴a 1＝2，b 1＝4，c 1＝﹣6，a 2＝﹣2，b 2＝4，c 2＝6， ∴a 1+a 2＝2+（﹣2）＝0，b 1＝b 2＝4，c 1+c 2＝6+（﹣6）＝0，
∴经过点A 1，B 1，C 1的二次函数与函数y ＝2（x ﹣1）（x +3）互为“旋转函数”． 22．（10分）端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对A 、B 、C 、D 四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
（1）本次参加抽样调查的居民有 600 人．
（2）喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为72度．根据题中信息补全条形统计图．（3）若该居民小区有6000人，请你估计爱吃D种粽子的有2400人．
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D棕子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率．
【解答】解：（1）240÷40%＝600（人），
所以本次参加抽样调查的居民有60人；
（2）喜欢B种口味粽子的人数为600×10%＝60（人），
喜欢C种口味粽子的人数为600﹣180﹣60﹣240＝120（人），
所以喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角的度数为360°×120
600
=72°；
补全条形统计图为：
（3）6000×40%＝2400，
所以估计爱吃D种粽子的有2400人；
故答案为600；72；2400；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的结果数为3，
所以他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率=3
12
=14．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，
0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═k
x
（k≠0）
于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．
（1）求双曲线y=k
x（k≠0）和直线DE的解析式．