时空曲率

时空曲率

按照广义相对论的解释，在引力场中，时空的性质是由物体的“质量”分布决定的，物体“质量”的分布状况使时空性质变得不均匀，引起了时空的弯曲。大致上讲，物质密度大的地方，曲率也就大。也就是说，“时空曲率”产生了引力，当光线经过一些“大质量”的天体时，它的路线是弯曲的，它将沿着“大质量”物体所形成的“时空曲面”前进。就像放在软床上的重球使床面弯曲一样。位处时空中的物体其一旦知道时空曲率，位处时空中的物体其运动轨迹也就可以计算出来；也就是说,物体运动得遵循曲率的指示。以地球绕太阳来说，太阳的质量决定它附近时空的曲率，地球受此曲率的影响就会以近乎椭圆形的轨道绕日运行。曲率如果不大，爱因斯坦理论与古典牛顿重力论的结果大致相同。两者若有差异，观测数据都站在广义相对论这一边。尤其是当曲率很大时，牛顿理论就完全不适用。广义相对论的一项重要预测就是时空曲率的振动会造成重力波的存在，牛顿理论就没有这项概念。

空间弯曲

空间弯曲曲率处处不为零的空间称为弯曲空间。初等平面几何所研究的对象是欧几里得空间（欧氏空间）。这种几何的最重要性质之一就是平行线公设：通过给定直线之外的任一点，可作一条直线与给定直线平行。这个公设在弯曲空间中并不适用。天体物理中常遇到的弯曲空间是黎曼空间。它的的一种特例是黎曼弯曲空间。

空间跳跃,又名空间跃进，英文：Space jump，是众多玄幻以及科幻小说中出现的一种超现实技术. 简单的说,宇宙是很大的,已知的最快速度是光速,但是离地球最近的有可能有生命的行星就有20多光年,靠光速显然是不够的,所以我们的YY精神提出了空间跳跃这一说法.大家都在科学杂志上看过虫洞的理论.60多年前，阿尔伯特·爱因斯坦提出了“虫洞”理论。那么，“虫洞”是什么呢？简单地说，“虫洞”是连接宇宙遥远区域间的点，将空间距离想象成为一张地图，A点到B点，然后将两面折叠，在之中点上一点！那个点就是虫洞——穿越空间壁垒的点。空间跳跃就是由人工造出虫洞,并用特殊技术使其稳定,让飞船通过,达到超远距离宇宙旅行的目的.但是以目前的科技来看并不可能,正常发展估计到3000年以后人类才会逐渐掌握这一技术.

曲率变化率的变化率连续逆向造型的A级曲面详解

在整个汽车开发的流程中，有一工程段称为Class A Engineering，重点是在确定曲面的质量可以符合A级曲面的要求。 所谓A级曲面的定义，是必须满足相邻曲面间之间隙在 0.005mm以下（有些汽车厂甚至要求到 0.001mm），切率改变( tangency Change )在 0.16度以下，曲率改变(curvaturechange)在 0.005度以下，符合这样的标准才能确保钣件的环境反射不会有问题。 a-class包括多方面评测标准,比如说反射是不是好看、顺眼等等。当然，G2可以说是一个基本要求,因为g2以上才有光顺的反射效果。但是,即使G3了，也未必是a-class,也就是说有时虽然连续，但是面之间出现褶皱，此时就不是a-class 通俗一点说，class-A就必须是G2以上连接。G3连续的面不一定是CLASS-A 曲面。 汽车业界对于a class要求也有不同的标准，GM要求比TOYOTA ，BMW等等要低一些，也就是说gap和angle要求要松一些。 关于A-class surfaces，涉及曲面的类型的二个基本观点是位置和质量。 位置——所有消费者可见的表面按A-Surface考虑。汽车的console（副仪表台）属于A-surf，内部结构件则是B-surf。 质量——涉及曲面拓扑关系、位置、切线、曲面边界处的曲率和曲面内部的patch结构。 有一些意见认为“点连续”是C类，切线连续是B类，曲率连续是A类。而我想更加适当地定义为 C0、C1和C2，对应于B样条曲线方程和它的1阶导数（相切=C1）和它2阶导数（曲率=C2）。

因此一个A-surf有可能是曲率不连续的，如果那是设计的意图，甚至有可能切线不连续,如果设计意图是一处折痕或锐边,（而通常注塑或冲压不能有锐边，因此A-suuf一定是切线连续(C1)的）。 第二种思想以汽车公司和白车身制造方面的经验为基础，做出对A-surf更深刻的理解。他们按独立分类做出了同样的定义。 物理定义： A-surf是那些在各自的边界上保持曲率连续的曲面。 曲率连续意味着在任何曲面上的任一"点"中沿着边界有同样的曲率半径。 曲面是挺难做到这一点的，切向连续仅是方向的连续而没有半径连续，比如说倒角。点连续仅仅保证没有缝隙，完全接触。 事实上，切连续的点连续能满足大部分基础工业（航空和航天、造船业、BIW等）。基于这些应用，通常并无曲率连续的需要。 A-surf首先用于汽车，并在消费类产品中渐增（牙刷，Palm，手机，洗机机、卫生设备等）。 它也是美学的需要。 *点连续（也称为G0连续）在每个表面上生产一次反射，反射线成间断分布。 *切线连续（也称为G1连续）将生产一次完整的表面反射，反射线连续但呈扭曲状。-*曲率连续（也称为G2连续的，Alias可以做到G3！）将生产横过所有边界的完整的和光滑的反射线。 在老的汽车业有这样一种分类法： A面，车身外表面，白车身；B面，不重要表面，比如内饰表面；C面，不可见表面。这其实就是A级曲面的基础。

曲面曲率计算方法的比较与分析

研究生专业课程报告 题目：曲面曲率直接计算方法的比较 学院：信息学院 课程名称：三维可视化技术 任课教师：刘晓宁 姓名：朱丽品 学号：201520973 西北大学研究生处制

曲面曲率直接计算方法的比较 1、摘要 曲面曲率的计算是图形学的一个重要内容，一般来说，曲面的一阶微分量是指曲面的切平面方向和法向量，二阶微分量是指曲面的曲率等有关量.它们作为重要的曲面信息度量指标, 在计算机图形学, 机器人视觉和计算机辅助设计等领域发挥了重要的作用.此文对曲面上主曲率的2种直接估算方法（网格直接计算法和点云直接计算法）进行了论述, 并进行了系统的总结与实验, 并给出了其在颅像重合方面的应用。 关键词曲面曲率、主曲率、点云、三角网格 2、引言 传统的曲面是连续形式的参数曲面和隐式曲面, 其微分量的计算已经有了较完备的方法.随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的长足进步, 以及图形工业对任意拓扑结构光滑曲面造型的需求日益迫切, 离散形式的曲面———细分曲面、网格曲面和点云曲面正在逐渐成为计算机图形学和几何设计领域的新宠.于是, 对这种离散形式的曲面如何估算微分量, 就成为一个紧迫的课题。 CT扫描技术获得的原始点云和网格数据通常只包含物体表面的空 间三维坐标信息及其三维网格信息，没有明确的几何信息，而在点云和网格的简化、建模、去噪、特征提取等数据处理和模式识别中，常需要提前获知各点的几何信息，如点的曲率、法向量等，也正基于此，点云和网格的几何信息提取算法一直是研究的热点。点的法向量和曲

率通常采用离散曲面的微分几何理论来计算，由于离散曲面分为网格和点集两种形式，其法向量和曲率计算也分为两类: 一类是基于网格的法向量和曲率计算，另一类是基于散点的法向量和曲率计算。由于基于三角网的点云几何信息计算精度一般比较低，通常采用直接计算法。在点云几何信息提取中，常采用基于散乱点的点云几何信息计算方法，该类方法主要是通过直接计算法和最小二乘拟合算法获取点云的局部n 次曲面，然后根据曲面的第一基本形式和第二基本形式求解高斯曲率和平均曲率，而点云的局部曲面表示有两种: 一是基于法向距离的局部曲面表示，二是基于欧几里德距离的局部曲面表示。本节中针对近几年来国际上提出的对三角网格曲面估算离散曲率的直接估算法，从数学思想与表达形式等方面进行系统的归纳与总结. 3、三角网格曲面的曲率的计算及代码实现 为了叙述清楚起见, 引入统一的记号.k 1和k 2表示主曲率,曲面的主曲率即过曲面上某个点具有无穷个曲线，也就存在无穷个曲率（法曲率），其中存在一条曲线使得该曲线的曲率为极大，这个曲率为极大值k 1，垂直于极大曲率面的曲率为极小值k 2。这两个曲率的属性为主曲率。它们代表着法曲率的极值。主曲率是法曲率的最大值和最小值。 H 表示平均曲率,是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直的正交曲率的平均值。如果一组相互垂直的正交曲率可表示为K1、K2，那么平均曲率则为：H= (K1 +K 2 ) / 2。 K 表示曲面的高斯曲率, 两个主曲率的乘积即为高斯曲率，又称

曲率

曲率： . 1 ;0.) 1(lim M s M M :.,13202a K a K y y ds d s K M M s K tg y dx y ds s =='+''==??='?'???= =''+=→?的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：α ααα α 定积分的近似计算： ???----+++++++++-≈ ++++-≈ +++-≈ b a n n n b a n n b a n y y y y y y y y n a b x f y y y y n a b x f y y y n a b x f )](4)(2)[(3)(])(2 1 [)()()(1312420110110 抛物线法：梯形法：矩形法： 定积分应用相关公式： ??--==?=?=b a b a dt t f a b dx x f a b y k r m m k F A p F s F W )(1)(1 ,2 2 2 1均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功： 空间解析几何和向量代数：

。 代表平行六面体的体积为锐角时， 向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。 与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθ??,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(22 2 2 2 2 2 212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k j i b a c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u AB AB AB j z z y y x x M M d z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z z y y x x z z y y x x u u ??==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+?=-+-+-== （马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面： 同号） （、抛物面：、椭球面：二次曲面： 参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程： 1 1 3,,2221 1};,,{,1 302),,(},,,{0)()()(122 222222 22222 222 22220000002 220000000000=+-=-+=+=++?? ? ??+=+=+===-=-=-+++++= =++=+++==-+-+-c z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt z z nt y y mt x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D Cz By Ax d c z b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A 多元函数微分法及应用

如何计算抛物线点处的曲率和曲率半径

用物理方法计算抛物线某点处的曲率和曲率半径 对于一般的弧来说，各点处曲率可能不同，但当弧上点A处的曲率不为零时，我们可以设想在弧的凹方一侧有一个圆周，它与弧在点A相切（即与弧有公切线），这样的圆就称为弧上A点处的曲率圆。 对于函数图形某点的曲率和曲率半径，在数学上我们需要用到求二阶导数的方法。 今天我想简单说一种有趣的方法，将该问题用物理的思维来解决，无需求导便能够知道抛物线某点处的曲率和曲率半径。这种方法不属于主流方法，因此不能用它代替常规方法。介绍此方法的目的，只是为了让大家对抛物线及抛体运动和圆周运动乃至整个曲线运动本质上的联系有更加深刻的认识。 举一个最简单的例子：y=-x2，我们作出它的图像 设图像上存在一点A（a，-a2），求该点的曲率和曲率半径。 我们假设一质点从顶点O开始做平抛运动，恰经过A（a，-a2）。 接下来，我们可以算出该点处质点的速度大小：先得到下落时间，接着算出水平速度和竖直速度分量，再合成。质点在该点处速度大小为v=√(g/2+2a2g）。 接下来，我们利用角度关系，将A处的加速度（即重力加速度g）沿速度方向和垂直于速度方向分解，如下图：

令A点处质点速度方向与水平方向的夹角为θ，可得垂直于速度方向的加速度分量为gcosθ。我们可以求出cosθ=v0/v=1/√(1+4a2)，那么垂直于速度方向的加速度分量就等于g/√(1+4a2)。 我们想象一下在A点处有个圆与抛物线切于A，且该圆为抛物线A点处的曲率圆，半径为r。 根据圆周运动向心加速度计算式a=v2/r，得到gcosθ=g/√(1+4a2)=(g/2+2a2g）/r。 从而可以求出r=(1/2+2a2)√(1+4a2) 我们用微积分可求出该函数图象某点处曲率半径为：R=|{1+[y’(x)]2}3/2/y”|(x)。 在A点，导数为-2a，二阶导数为-2，所以上式就等于(1+4a2)3/2/2=(1/2+2a2)√(1+4a2)。 与上面算出的半径相等！ 因而，曲率半径K=1/r=2/(1+4a2)3/2 抛体运动和圆周运动都是曲线运动，但在高中课本里它们是分开学习的，大家或许曲线运动学得都不错，但或许很少有人想过抛体运动和圆周运动的内在联系。 高中阶段数学还没有曲率半径的概念，写本文的目的并不在于提前灌输曲率知识，也并不代表这种求法能够替代微积分。表面上看，这是一种新的数学求法，但实质上是以数学的形式为物理服务，目的是让大家看到抛体运动和圆周运动这两种曲线运动并不是割裂开的，它们内部有着非常大的联系，甚至可以说本质是相同的，我们甚至可以将抛体运动视为由无数个圆周运动组合而成！

利用弯矩-曲率(M-Φ)曲线评价截面性能

利用弯矩-曲率(M-Φ)曲线评价截面性能
Revision No. : v1.0 Revision Date : 2010.1. Program Version : Civil2010 V.7.8.0 R1 Mail to : jwlee@https://www.docsj.com/doc/0b7847018.html,

00. 目录
01. 概要 3 02. 建模 5 03. 材料本构模型 6
1. 混凝土本构 2. 钢材本构
04. 矩形截面的性能评价 8
1. 输入钢筋 2. 弯矩-曲率关系 3. 查看结果
05. 任意形状截面的性能评价 11
1. 1 2. 3.
输入钢筋 弯矩-曲率关系 查看结果
06. 计算书 15
07. 弯矩-曲率曲线在桥梁抗震设计中的应用 07 弯矩 曲率曲线在桥梁抗震设计中的应用 18
1. 按简化方法验算E2地震作用下的墩顶位移 2. 按非线性分析方法验算桥墩塑性铰区域的塑性转动能力
操作例题 | 利用截面的弯矩-曲率(M-Φ)曲线评价截面性能
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01. 概要
在非线性抗震分析中经常要使用截面的非线性滞回特性，梁或柱截面的非线滞回性特性可以使用截 面的弯矩-曲率关系或荷载-位移关系曲线来描述。
弯矩-曲率曲线(Moment Curvature Curve)作为评价截面的抗震性能被广泛应用于钢筋混凝土截面 的抗震分析中。
与Pushover分析和动力弹塑性分析相比，利用截面尺寸和实配钢筋获得截面的弯矩-曲率曲线，使 用该曲线评价截面的抗震性能的方法，不仅简单而且节省分析时间。
Midas程序中提供了七种混凝土材料本构模型和四种钢材材料本构模型。用户定义了截面尺寸并输 入钢筋后，选择相应的材料本构模型，程序就会提供理想化的截面弯矩-曲率关系，并提供截面的 一些关键特性，例如屈服特性值、极限特性值。
本技术资料介绍了弯矩－曲率曲线的使用方法以及使用该曲线评价截面的性能的方法。
程序中提供的混凝土和钢材的材料本构模型如下。
1. 混凝土 1) Kent & Park Model 2) Japan Concrete Standard Specification Model 3) Japan Roadway Specification Model 4) Nagoya Highway Corporation Model 5) Trilinear Concrete Model 6) China Concrete Code (GB50010-02) 7) Mander Model
2. 钢材 1) Menegotto-Pinto Model 2) Bilinear Model 3) Asymmetrical Bilinear Steel Model 4) Trilinear Steel Model
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曲率连续讲解

上图中，从左到右依次为G0—G4的过度面

最外侧是G4

注意看平面和过度面的连接处 G0—G4连续性的名称分别叫做：G0-位置连续；G1-切线连续；G2-曲率连续；G3-曲率变化率连续；G4-曲率变化率的变化率连续 用这些术语描述曲面的连续性。曲面连续性可以理解为相互连接的曲面之间过渡的光滑程度。提高连续性级别可以使表面看起来更加光滑、流畅。 连续性类型： G0-位置连续

图中的两组线都是位置连续，他们只是端点重合，而连接处的切线方向和曲率均不一致。这种连续性的表面看起来会有各很尖锐的接缝，属于连续性种级别最低的一种。

图中的两组曲线属于切线连续，他们不仅再连接处端点，而且切线方向一致(可以看到连接的两条线段梳子图的刺在接触点位置是在一条直线上的)。用过其他PC插图软件的拥护，比如COREDRAW，实际上通常得到的都是这种连续性的曲线。 这种连续性的表面不会有尖锐的连续性接缝，但是由于两种表面在连接处曲率突变，所以在视觉效果上依然会有很明显的差异，会有一种表面中断的感觉。 通常用倒角工具生产的过度面都属于这种连续性级别。因为这些工具通常使用圆周与两各表面切点间的一部分作为倒角面的轮廓线，圆的曲率是固定的，所以结果会产生一个G1连续的表面。如何想生成更高质量的过度面，还是需要自己动手。

图中的两组曲线属于曲率线续。顾名思义，他们不但符和上述两种连续性的特征，而且在接点处的曲率也是相同的。如图中所示，两条曲线相交处的梳子图的刺长度和方向都是一致的（可以为0）。 这种连续性的曲面没有尖锐接缝，也没有曲率的突变，视觉效果光滑流畅，没有突然中断的感觉（可以用斑马线测试）。 这通常是制作光滑表面的最低要求。也是制作A级面的最低标准。

第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率

第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率 §5 曲面上的曲率概念 利用上一节所作的准备，围绕曲面弯曲状况的刻画，本节将引入曲面上的基本的和重要的曲率概念，并简要讨论相关的几何体． 一．主曲率 定义1 曲面 S 上的点 P 处的法曲率关于切方向的两个最值，分别称为曲面 S 在点 P 处的主曲率；使得法曲率达到最值的两个切方向，分别称为曲面 S 在点 P 处的主方向． 注记1 ① Weingarten 变换的特征值和特征方向，分别是曲面的主曲率和主方向． ② 当两个主曲率 κ1(P ) ≠ κ2(P ) 时，曲面在点 P 处有且仅有正交的两组主方向，每一组的单位化向量分别就是Weingarten 变换的单位正交特征向量．而当两个主曲率 κ1(P ) = κ2(P ) 时，曲面在点 P 处的任何非零切向都是主方向，Weingarten 矩阵 ω(P ) = κ1(P )I 2 ，即 Ω(P ) = κ1(P )g (P ) ． 主曲率和主方向的计算，自然归结为Weingarten 变换的特征值和特征方向的计算，也就是Weingarten 矩阵的特征值和特征方向的计算．即： ① 对于主曲率的算法，当易知Weingarten 矩阵 ω 之时，方程为 (4.3) 式，或直接写为 (5.1) |ω - λI 2 | = 0 ； 等价地，当易知系数矩阵 Ω 和 g 之时，其方程可变形为 (5.2) |Ω - λg | = 0 ． ② 对于主方向的算法，各种等价算式为 a = a i r i ≠ 0 为主方向，即非零切方向 a 1:a 2 为主方向 ? ?λ , ?(a 1, a 2)ω = λ(a 1, a 2) , (a 1, a 2) ≠ (0, 0) ? ?λ , ?(a 1, a 2)Ω = λ(a 1, a 2)g , (a 1, a 2) ≠ (0, 0) ? det. ????(a 1, a 2 )Ω (a 1, a 2)g = 0

(完整版)张量分析中文翻译

张量 张量是用来描述矢量、标量和其他张量之间线性 关系的几何对象。这种关系最基本的例子就是点积、 叉积和线性映射。矢量和标量本身也是张量。张量可 以用多维数值阵列来表示。张量的阶（也称度或秩） 表示阵列的维度，也表示标记阵列元素的指标值。例 如，线性映射可以用二位阵列--矩阵来表示，因此该 阵列是一个二阶张量。矢量可以通过一维阵列表示， 所以其是一阶张量。标量是单一数值，它是0阶张量。 张量可以描述几何向量集合之间的对应关系。例 如，柯西应力张量T 以v 方向为起点，在垂直于v 终点方向产生应力张量T(v)，因此，张量表示了这两个 向量之间的关系，如右图所示。 因为张量表示了矢量之间的关系，所以张量必 须避免坐标系出现特殊情况这一问题。取一组坐标 系的基向量或者是参考系，这种情况下的张量就可 以用一系列有序的多维阵列来表示。张量的坐标以 “协变”（变化规律）的形式独立，“协变”把一种 坐标下的阵列和另一种坐标下的阵列联系起来。这 种变化规律演化成为几何或物理中的张量概念，其 精确形式决定了张量的类型或者是值。 张量在物理学中十分重要，因为在弹性力学、流体力学、广义相对论等领域中，张量提供了一种简洁的数学模型来建立或是解决物理问题。张量的概念首先由列维-奇维塔和格莱格里奥-库尔巴斯特罗提出，他们延续了黎曼、布鲁诺、克里斯托费尔等人关于绝对微分学的部分工作。张量的概念使得黎曼曲率张量形式的流形微分几何出现了替换形式。 历史 现今张量分析的概念源于卡尔?弗里德里希?高斯在微分几何的工作，概念的 制定更受到19世纪中叶代数形式和不变量理论的发展[2]。“tensor ”这个单词在 1846年被威廉·罗恩·哈密顿[3]提及，这并不等同于今天我们所说的张量的意思。 [注1]当代的用法是在1898年沃尔德马尔·福格特提出的[4]。 “张量计算”这一概念由格雷戈里奥·里奇·库尔巴斯特罗在1890年《绝对微分几何》中发展而来，最初由里奇在1892年提出[5]。随着里奇和列维-奇维塔1900年的经典著作《Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications 》（绝对微分学的方法及其应用）出版而为许多数学家所知[6]。 在20世纪，这个学科演变为了广为人知的张量分析，1915年左右，爱因斯坦的广义相对论理论中广泛应用了这一理论。广义相对论完全由张量语言表述。爱因斯坦曾向几何学家马塞尔·格罗斯曼学习过张量方法，并学得很艰苦。[7]1915 年到1917年之间，列维·奇维塔 在与爱因斯坦互相尊重互相学习的氛围下，对爱因斯坦的张量表述给与了一些指正。 “我很佩服你的计算方法的风采，它必将使你在数学大道上策马奔腾，然而我们却只能步履蹒跚。”阿尔伯特·爱因斯坦，意大利相对论数学家[8]。 柯西应力张量是一个二阶张量。该张量的元素在三维笛卡尔坐标系下组成如下矩 阵： 312()()()111213212223313233 T T T =e e e σσσσσσσσσσ??=???????????? 该矩阵的各列表示作用在 e 1,e 2,e 3方向正方体表面上的应力（单位面积上的力）。

曲率变化率的化率连续逆向造型的A级曲面详解

在整个汽车开发的流程中，有一工程段称为 Class A Engineering，重点是在确定曲面的质量可以符合A级曲面的要求。 所谓A级曲面的定义，是必须满足相邻曲面间之间隙在 0.005mm 以下（有些汽车厂甚至要求到 0.001mm），切率改变 ( tangency Change )在0.16度以下，曲率改变 (curvature change) 在0.005 度以下，符合这样的标准才能确保钣件的环境反射不会有问题。 a-class包括多方面评测标准,比如说反射是不是好看、顺眼等等。当然，G2可以说是一个基本要求,因为g2以上才有光顺的反射效果。但是,即使G3了，也未必是a-class,也就是说有时虽然连续，但是面之间出现褶皱，此时就不是a-class 通俗一点说，class-A就必须是G2以上连接。G3连续的面不一定是CLASS-A曲面。 汽车业界对于a class要求也有不同的标准，GM要求比TOYOTA ，BMW等等要低一些，也就是说gap和angle要求要松一些。 关于A-class surfaces，涉及曲面的类型的二个基本观点是位置和质量。 位置——所有消费者可见的表面按A-Surface考虑。汽车的console（副仪表台）属于A-surf，内部结构件则是B-surf。 质量——涉及曲面拓扑关系、位置、切线、曲面边界处的曲率和曲面内部的patch结构。 有一些意见认为“点连续”是C类，切线连续是B类，曲率连续是A类。而我想更加适当地定义为C0、C1和C2，对应于B样条曲线方程和它的1阶导数（相切=C1）和它2阶导数（曲率=C2）。 因此一个A-surf有可能是曲率不连续的，如果那是设计的意图，甚至有可能切线不连续,如果设计意图是一处折痕或锐边,（而通常注塑或冲压不能有锐边，因此A-suuf一定是切线连续(C1)的）。 第二种思想以汽车公司和白车身制造方面的经验为基础，做出对A-surf更深刻的理解。他们按独立分类做出了同样的定义。 物理定义：A-surf是那些在各自的边界上保持曲率连续的曲面。 曲率连续意味着在任何曲面上的任一"点"中沿着边界有同样的曲率半径。 曲面是挺难做到这一点的，切向连续仅是方向的连续而没有半径连续，比如说倒角。

proe 曲面曲率

分析曲面曲率 模块概述 使用曲面特征设计产品时，曲面间的过渡扮演着重要的角色。曲面边的曲率连续性条件确定这些过渡的平滑程度。 在本模块中，您将学习如何分析曲面的曲率以及如何使用基于双向曲率的图形和着色曲率图形来确定曲面是否具有曲率连续性。此外，您将学习曲率连续曲面的创建方法。 目标 成功完成此模块后，您即可知道如何： ?分析曲面理论。 ?定义曲率和曲率连续性。 ?分析曲线的曲率。 ?分析曲面的曲率。 ?使用截面分析曲率。 ?使用法线分析曲率。 ?使用曲面的着色曲率。 ?使用着色截面曲率。 ?创建曲率连续曲面。

曲面分析理论 您可使用专用工具分析曲面模型，例如连续性、扭曲以及视觉特性。 ?其目标是为了创建高质量的曲面。 ?分析曲面的原因： o预期的平滑度和连续性 o预期的曲率 o无扭曲或扭结 o适合于制造过程 ?常用分析选项： o快速 o已保存 o特征 查看着色曲率

“保存的分析”对话框 剖面分析 曲面分析理论 Pro/ENGINEER 提供了许多不同的工具，以满足不同的建模要求。您可根据自己的目标使用特定工具分析曲面模型，例如连续性、扭曲以及视觉特性。

分析曲面的原因 创建曲面时，目标是创建具有高质量的曲面。请考虑以下分析曲面的原因： ?创建具有预期平滑度和连续性的曲面。可使用分析工具检验相切和曲率连续性。 ?创建具有预期曲率的曲面。可检查是否存在不需要的高曲率区域，这些区域表示曲面有问题。例如，曲面中的扭结会使曲率显示为突然增大，借助Pro/ENGINEER 的分析工具可轻松找出此类扭结。 ?创建无扭曲的曲面。扭结或小曲面片是曲面模型中常见的问题。在创建实体零件或创建制造序列时，它们可能在添加厚度时引起一些问题。 ?创建适合于制造过程的曲面。许多操作(例如创建加工序列) 都会将曲面侧考虑在内。曲面模型中的面组应具有相应的正法向侧。 常用分析选项 使用Pro/ENGINEER 的模型分析工具时有三个选项可用： ?快速(Quick) - 允许计算测量而不保存分析或在模型树中创建特征。关闭对话框后此分析消失。 ?已保存(Saved) - 允许保存测量以备今后使用。关闭对话框后此分析保留。可以为分析指定一个唯一名称，以使以后它对您有意义。 可通过单击“分析”(Analysis) > “保存的分析”(Saved Analysis)来启用、禁用或编辑保存的分析的显示。已保存分析更新为模型几何更改。“保存的分析”对话框如左下图所示。 ?特征(Feature) - 允许将分析作为一种特征保存在模型树中。该分析更新为模型几何更改。 定义曲率 曲面的曲率定义为与1/R 成正比，其中R 为曲面在指定位置的半径。

弯矩曲率计算示例

弯矩曲率计算示例 (现代预应力混凝土结构，杜拱辰，1986年，中国建筑工业出版社，P254) 弯矩曲率分析一般分两个阶段进行：梁未开裂；梁已开裂。第一阶段一般假定为弹性阶段。第二阶段材料的应力应变关系是非线性的。 如图所示的梁截面尺寸，2mm 784=p A ，2mm 402=s A ，混凝土的应 力应变关系为二次抛物线，即 ??? ? ???????? ??-=2002εεεεσc c f ；为简化计算及说明过程，假定预应力高强高筋的极限强度和其屈服强度相等，即 MPa 15402.0==p pu f f ；普通钢筋的屈服强度为MPa 400=y f ；预应力筋 的有效应力为MPa 1000=pe f ；MPa 1025?==s p E E ；MPa 35=c f ； MPa 7.3=t f ；MPa 108.24?=c E ,求下列各个阶段的弯矩及曲率： （1） 初始阶段，即外弯矩为零，MPa 1000=pe f ； （2） 预应力筋水平处混凝土的应变为零； （3） 裂缝出现，即混凝土达到其抗拉强度MPa 7.3=t f ；

（4） 梁截面顶纤维混凝土压应变达到＝0.001 （5） 梁截面顶纤维混凝土压应变达到＝0.002 （6） 梁截面顶纤维混凝土压应变达到＝0.003 并将各阶段的弯矩、曲率、预应力及非预应力筋的应力列表并绘制出截面在加载直到破坏为止全过程的弯矩曲率图。 求解过程如下 （1）初始阶段： 采用毛截面特征值和pe p e f A P =来计算截面的应力和应变，截面几何特征：23mm 10180?=A ，49mm 104.5?=I ，kN 7841000784=?==pe p e f A P 有效预加力kN 784=e P 及偏心矩mm 180=e 对截面引起的应力和相应的应变如图所示： 当外力矩（包括自重）0=M 时，截面曲率： 600 10)436.0123.0(3-?+-=?=-0.993rad/mm 106-? 非预应力筋的压应力＝MPa 8.77389.010235-=??-=-s s E ε

曲率及曲率变化率

一、曲率 曲率定义为一定弦长的曲线轨道（如30M ）对应之园心角θ（度/30米）。度数大，曲率大，半径小。反之，度数小，曲率小，半径大。轨检车通过曲线时（直线亦如此），测量车辆每通过30米后车体方向角的变化值，同时测量车体相对两转向架中心连线转角的变化值，即可计算出轨检车通过30米曲线后的相应圆心角θ变化值。 测量曲率的传感器分布如图4-12。摇头速率陀螺YAW ，测量车体摇头角速率； 位移计DT1测量车体一位端的心盘处与一位转向架构架间的相对位移；位移计DT2、DT3测量车体二位端心盘前后两侧与二位转向架构架之间的相对位移；光电编码器TACH 提供速度距离信息,由于一阶模拟滤波器在处理模拟时间域信号时，其频率特性是固定不变的，但在处理YAW 所表示的空间域频率信号时，其频率特性就是变化的了。因此，一阶模拟滤波器输出信号经采样，进入计算机还需进行数字滤波处理。数字滤波的作用，是对一阶模拟滤波器引起的频率特性变化进行校正，使得模拟滤波和数字滤波混合处理后，在设计的通带范围内，空间域幅值特性不受列车运行速度的影响。 曲率测量的信号流程如图4-13。摇头速率陀螺输出信号经B(s)一阶模拟滤波处理后，进入计算机，再进行数字处理。)(z C 为一阶数字滤波器。)(z C 的输出，是单位采样距离对应的车体方向角x c ??/φ。用安装于一位转向架构架和车体间的位移计DT1测量一位转向架构架与车体间的位移d 1。用安装于二位转向架构架和车体间的位移计DT2和DT3，测量二位转向架构架和车体间的位移d 2。由d 1和d 2计算出单位采样距离相应的车体与两转向架中心连线间相对夹角x ct ??/φ。通过 x c ??/φ和x ct ??/φ的结合计算出两转向架中心连线对应于单位采样距离的方向

曲率属性的应用

曲率属性的应用 刻画断裂/裂缝及其它地质特征的地震曲率属性 Satinder Chopra 和Kurt Marfurt 著曹鉴华译 原文链接：http://www.cseg.ca/publications/recorder/2007/11nov/nov2007-seismic-curvature.pdf 地震属性对于地震解释来说能够起到非常强大的帮助作用，例如在地震属性上断裂和河道表现为不同的图像特征，由此地质科学家就能用来揭示沉积环境和构造变形的历史。迄今为止，地震属性已经应用了差不多40年了，一些重要属性并没有得到显著发展或者获得认可，直到上世纪90年代初三维地震技术开始广泛应用。Bahorich和Farmer在1995年提出的相干属性已经称为了一种常规的解释手段，现在大部分解释系统上都提供了该技术。 曲率属性在90年代中期引入到解释流程中，计算方式为用层面计算，其结果显示与露头资料上存在的断裂有很紧密的联系（Lisle，1994；Roberts，2001）。最近体曲率属性开始流行起来，解释人员可以从沿层面属性上识别出小的扰曲、褶皱、凸起、差异压实特征，这些在常规解释时是无法追踪的、相干上也呈现为连续高相干特征。本文将讨论地震曲率属性及其实际应用。 通常意义上曲率是用来表征层面上某一点处变形弯曲的程度。层面变形弯曲越厉害，曲率值就会越大。如果将这些构造变形如扰曲、褶皱等定量结果与更常规的断裂图像结合起来，地质科学家就能利用井控下的构造变形模型来预测古应力和有利于天然裂缝分布的区域。曲率属性除了可用于刻画断裂和裂缝外，还能对一些地质特征进行呈现，后面将有叙述。 对于一个二维的曲线而言，曲率可以定义为某一点处正切曲线形成的圆周半径的导数。（如图1）如果曲线弯曲褶皱厉害，曲率值就比较大，而对于直线不管水平或倾斜其曲率就是零。一般背斜特征时定义曲率值为正值，向斜特征定义曲率值为负值。

张量分析中文翻译(最新整理)

柯西应力张量是一个二阶张量。该张量的元素在三维笛

，其中新的基矢量按照如下公式由旧的基矢量变换得到，

指数之间的变换规律如下： 11111111,,,,11,,,,=n n n m n n m n n m n m i i i j j j j i i i j j i i j j T R R R R T ++++???∧???--????????????（）（）这样的张量称为阶或类型为（n,m-n ）型的张量[4].这样的讨论产生了张量的一般定义。 定义：（n,m-n ）型的张量是多线性映射的分配，即： 对于基f=(e 1,...,e N ) 是如此，如果应用如下基变换 多维阵列变成“协变”规律形式 11111111,,,,11,,,,[f,]=[f ] n n n m n n m n n m n m i i i j j j j i i i j j i i j j T R R R R R T ++++??????--????????????（）（）多维阵列定义张量满足“协变”规律，这个可以追溯到里奇的早期工作。如今，这种定义在一些物理和工程书籍中仍然经常使用。 张量场 在许多实际应用当中，特别是微分几何和物理领域，通常把张量的元素考虑成为函数形式。事实上，这只是Ricci 早期的工作。在当今的数学术语里面，这样的对象称为张量场，但是它们通常仅仅指的的张量本身。 本文当中的“协变”规律的定义采用一种不同的形式，张量场的基底由基础空间的坐标所决定，而且，“协变”规律的定义通过坐标函数的偏导数来表示， ，定义如下坐标变换 多线性映射 有一种定义张量的方法是站在多维阵列的角度的，从被定义对象基独立性和几何对象的本质来看，这种定义方法并不明显。尽管这种方法也可以说明变化规律对基独立性的觉得作用，但有时还是首选张量更本质的定义。一种方法是张量定义成多线性映射。这种方法中（n,m ）类型的张量被定义成一种映射。 copies copies :, n m T V V V V R **???????????→ 式中V 表示向量空间，V *表示该向量空间对应的共轭向量空间，其中的变元是线性的。 通过把多线性映射（n,m ）型的张量T 应用到V 的基{e 1}和V *的基共轭基{ε1}中，即： 1111(,,,,)i in i in j jm j jm T T e e εε??????≡??????

曲面曲率计算方法的比较与分析

. 研究生专业课程报告 题目：曲面曲率直接计算方法的比较 学院：信息学院 课程名称：三维可视化技术 任课教师：刘晓宁 姓名：朱丽品 学号： 201520973 西北大学研究生处制

曲面曲率直接计算方法的比较 1、摘要 曲面曲率的计算是图形学的一个重要内容，一般来说，曲面的一阶微分量是指曲面的切平面方向和法向量，二阶微分量是指曲面的曲率等有关量.它们作为重要的曲面信息度量指标, 在计算机图形学, 机器人视觉和计算机辅助设计等领域发挥了重要的作用.此文对曲面上主曲率的2种直接估算方法（网格直接计算法和点云直接计算法）进行了论述, 并进行了系统的总结与实验, 并给出了其在颅像重合方面的应用。 关键词曲面曲率、主曲率、点云、三角网格 2、引言 传统的曲面是连续形式的参数曲面和隐式曲面, 其微分量的计算已经有了较完备的方法.随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的长足进步, 以及图形工业对任意拓扑结构光滑曲面造型的需求日益迫切, 离散形式的曲面———细分曲面、网格曲面和点云曲面正在逐渐成为计算机图形学和几何设计领域的新宠.于是, 对这种离散形式的曲面如何估算微分量, 就成为一个紧迫的课题。 CT扫描技术获得的原始点云和网格数据通常只包含物体表面的空间三维坐标信息及其三维网格信息，没有明确的几何信息，而在点云和网格的简化、建模、去噪、特征提取等数据处理和模式识别中，常需要提前获知各点的几何信息，如点的曲率、法向量等，也正基于此，点云和网格的几何信息提取算法一直是研究的热点。点的法向量

和曲率通常采用离散曲面的微分几何理论来计算，由于离散曲面分为网格和点集两种形式，其法向量和曲率计算也分为两类: 一类是基于网格的法向量和曲率计算，另一类是基于散点的法向量和曲率计算。由于基于三角网的点云几何信息计算精度一般比较低，通常采用直接计算法。在点云几何信息提取中，常采用基于散乱点的点云几何信息计算方法，该类方法主要是通过直接计算法和最小二乘拟合算法获取点云的局部n 次曲面，然后根据曲面的第一基本形式和第二基本形式求解高斯曲率和平均曲率，而点云的局部曲面表示有两种: 一是基于法向距离的局部曲面表示，二是基于欧几里德距离的局部曲面表示。 本节中针对近几年来国际上提出的对三角网格曲面估算离散曲率的直接估算法，从数学思想与表达形式等方面进行系统的归纳与总结. 3、三角网格曲面的曲率的计算及代码实现 为了叙述清楚起见, 引入统一的记号.k 1和k 2表示主曲率,曲面的主曲率即过曲面上某个点具有无穷个曲线，也就存在无穷个曲率（法曲率），其中存在一条曲线使得该曲线的曲率为极大，这个曲率为极大值k 1，垂直于极大曲率面的曲率为极小值k 2。这两个曲率的属性为主曲率。它们代表着法曲率的极值。主曲率是法曲率的最大值和最小值。 H 表示平均曲率,是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直的正交曲率的平均值。如果一组相互垂直的正交曲率可表示为K 1、K 2，

如何使用MATLAB作张量运算

2012年第05期 吉林省教育学院学报 No.05，2012 第28卷JOURNAL OF EDUCATIONAL INSTITUTE OF JILIN PROVINCE Vol .28（总293期） Total No .293 收稿日期：2012—03—05 作者简介：张明洪（1966—），男，湖北枝江人，三峡旅游职业技术学院，讲师，研究方向：计算机教育、休闲服务与管理的教学与研究。 浅论如何使用MATLAB 作张量运算 张明洪 （三峡旅游职业技术学院，湖北宜昌443100） 摘要：本文介绍并分析了如何使用MATLAB 作张量的创建以及缩并、乘积、求导等运算的方法和步骤。关键词：MATLAB ；张量；张量创建；张量运算中图分类号：O183 文献标识码：A 文章编号：1671—1580（2012）05—0054—02 一、引言 张量作为物理或几何的具体对象，充分反映了 这些现象的物理和几何属性，是这些现象的一种数学抽象，在分析力学、固体力学、流体力学、几何学、电磁场理论和相对论等方面有着广泛的应用。张量（tensor ）是几何与代数中的基本概念之一，从代数角度讲，张量是数量、向量、矩阵的自然推广，在为n 空间中的N 阶张量有n N 个分量，下面是n =2时的张量示意图： T （T 1，T 2） 标量（阶N =0） 矢量（阶N =1） T 11T 12T 21 T ( ) 22 矩阵（阶N =2）张量（阶N =3） 可见，零阶张量可用一个数表示，一阶张量可用一行数组表示，二阶张量可用矩阵表格表示，三阶张量可用“立体矩阵”表示，更高阶的张量不能用图形表示，正因为如此，关于张量的推演计算有时会很复杂繁琐。利用MATLAB 可以使复杂繁琐的推演计算变得简单方便。由于难以见到相关的文献，在此作简要的介绍，以方便读者学习。二、张量运算函数命令 MATLAB 是通过调用MAPLE 的张量包（ten-sor ）进行运算的，格式为：＞＞maple （‘函数名’），或者借用procread 指令把整段MAPLE 程序送往MAPLE 计算。本文采用第一种方法。在进行张量 运算之前，先要调用MAPLE 张量包，命令为＞＞maple （'with （tensor ）'）。 张量包中的符号运算函数如下：Christoffel1：第 一类Christoffel 符号， Christoffel2：第二类Christoffel 符号， Einstein ：Einstein 张量，Jacobian ：坐标变换的雅可比矩阵， Killing_eqns ：Killing ’s 方程，Levi_Civi-ta ：伪张量，Lie_diff ：对矢量的Lie 导数，Ricci ：Ricci 张量， Ricciscalar ：Ricci 标量，Riemann ：Riemann 张量， RiemannF ：Riemann 曲率张量，Weyl ：Weyl 张量，Act ：对张量元素进行操作，Antisymmetrize ：反称张 量， change _basis ：基变换，commutator ：矢量转换，compar ：张量比较，conj ：复共轭，connexF ：系数连接，contract ：缩并，convertNP ：黎曼张量换成Menwmann －Penrose 形式，cov_diff ：协变微分，create ：创建张量对象， d1metric ：第一偏导数，d2metric ：第二偏导数，directional_diff ：方向导数，displayGR ：列出广义相对论的一个对象， display_allGR ：列出广义相对论的所有对象， dual ：对张量指标进行双重操作，entermet-ric ：输入张量元素，exterior _diff ：外微分，exterior _ prod ：外乘，frame ：标架，geodesic_eqns ：测地线的Eu-lar －Lagrange 方程，get_char ：得到张量的指标，get_compts ：得到张量的元素，get_rank ：求张量的秩，init ：初始化， invars ：黎曼曲率张量不变量，invert ：张量（2阶）的逆， lin _com ：张量线性合并，lower ：降指标，Npcurve ：曲率张量，Debever 形式的，npspin ： Mewmann －Penrose 旋量，partial _diff ：张量的偏导数， permute_indices ：指标排列，petrov ：4次多项式分· 45·

基于曲率分级的形状编码及识别方法

第41卷 第11期2018年11月计 算 机 学 报CHINESEJOURNAL OF COM PUTERS Vol.41No.11Nov.2018 收稿日期：2016-05-29；在线出版日期：2017-08-29.本课题得到国家自然科学基金（61402077，61432003，61328206，11171052，61876030）、教育部新世纪优秀人才支持计划（NCET -11-0048）资助.贾 棋，女，1983年生，博士，副教授，中国计算机学会（CCF ）会员，主要研究方向为数字图像处理、计算机视觉.E -mail ：j ia q i ＠https://www.docsj.com/doc/0b7847018.html,.于美玉，女，1992年生，硕士研究生，主要研究方向为计算机视觉.樊 鑫（通信作者），男，1977年生，博士，教授，主要研究领域为计算机视觉、图像处理.E -mail ：xin.fan ＠https://www.docsj.com/doc/0b7847018.html,.高新凯，男，1993年生，硕士研究生，主要研究方向为计算机视觉.郭 禾，男，1955年生，博士，教授，主要研究领域为并行与分布式计算、计算机视觉.基于曲率分级的形状编码及识别方法 贾 棋 于美玉 樊 鑫 高新凯 郭 禾（大连理工大学国际信息与软件学院 辽宁大连 116621）摘 要 形状识别是计算机识别领域中的基本问题，可以广泛地应用于对象识别、图像检索、图像配准、目标追踪等各个领域.现在的形状识别方法主要利用形状轮廓上采样点的相关性形成特征描述子，在实际应用中由于缩放、旋转、仿射、射影等变换，无法获取采样点之间的对应关系，形状匹配时间长，识别率低.为了克服基本的特征描述子的局限性，该文提出了一种基于曲率分级的形状编码方法.首先，将射影不变量引入到形状的基本表示中，以保证形状描述在各种变换下的稳定性；其次，以形状轮廓段为基本编码单位，对基本的描述子进行聚类编码；最后，为了使编码结果更好地代表形状轮廓信息，作者采用一种对轮廓段曲率分级的方式，将不同曲率级别的编码用max ＿p oolin g 的方式提取特征作为形状的最终编码.在通用数据库上的实验表明，该方法可以有效地识别在射影变换下的形状，识别率高达98％，较基本的特征描述子提高了近10％，与其它基于编码的方法相比也有一定的优势. 关键词 形状识别；射影变换；轮廓段；特征编码中图法分类号TP391 DOI 号10.11897／SP.J.1016.2018.02453Sha p eCodin g and Reco g nition M ethodBasedonCurvatureClassification JIA Qi YU M ei -Yu FAN Xin GAO Xin -Kai GUO He （InternationalSchool o f In f ormation Science ＆En g ineerin g ，DalianUniversit y o f Technolo gy ，Dalian ，Liaonin g 116621）Abstract Sha p e is an advanced visual feature of ima g e because it can be used to re p resent the structure and attitudeoftheob j ect.Thesecharacteristicsarenotavailableinob j ectcolorandtexture.Based on these advanta g es these advanta g es ，sha p e is widel y considered for ob j ect reco g nition.Sha p e reco g nition is a fundamental p roblem in com p ute vision communit y and is becomin g more p ractical and g ettin g moreattention ，itcouldbeusedinvariousareas ，suchasob j ectreco g nition ，ima g e retrieval ，tar g et trackin g and ima g ere g istration.At p resent ，M ostofthe existin g a pp roaches mainl y focus on desi g nin g low level sha p e descri p tors.Sha p e reco g nition is usuall y considered as a classification p roblem.Given a set oftrainin g sha p es and cate g or y label of each trainin g sha p e ，sha p e reco g nition method needs to determine which cate g or y a testin g sha p e belon g s to.These traditional a pp roaches have similar classification p rocesses as mostofthemarebasedonmatchin g sha p e descri p tors of two different sha p es.Thus sha p e descri p tor is a ke y p oint in reco g nition task.For these a pp roaches ，the y have similar p rocesses to extract sha p e descri p tors ，First ，the critical p oints ofthesha p esareextractedandthentherelevanceofcontour p ointsis com p uted ，in g eneral ，the relevance would be re g arded as features of these p oints.Finall y ，sha p e features are re p resented as the features of each p oint.After g ettin g the sha p e descri p tors ，The corres p ondences between q uer y sha p e and trainin g sha p es are crucial for matchin g al g orithms.M atchin g strate g ies ，suchas Hun g arianal g orithm ，d y namic p ro g rammin g al g orithm ，arewidel y usedinfeaturematchin g . 万方数据