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2019 北京市西城区高二数学(下)期末

2019 北京市西城区高二数学(下)期末
2019 北京市西城区高二数学(下)期末

2019北京市西城区高二(下)期末

数 学

2019.7

本试卷共5页,共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题纸上,在试卷上作答无效。 一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.

1. 复数

2

1i

?的共轭复数是( ) (A )1i + (B )1i ? (C )1i ?+ (D )1i ??

2. 已知()cos f x x =,则()f x '=( )

(A )x cos (B )x cos ? (C )x sin (D )x sin ?

3. 用0,1,2,3,4,5这6个数字,可以组成没有重复数字的四位数的个数是( ) (A )360

(B )300

(C )240

(D )180

4. 曲线3y x x =+在点(0,0)处的切线方程为( ) (A )2y x =?

(B )y x =?

(C )2y x =

(D )y x =

5. 已知函数()f x 在R 上有导函数,()f x 图象如图所示, 则下列不等式正确的是( )

(A )()()()f a f b f c '''<< (B )()()()f b f c f a '''<< (C )()()()f a f c f b '''<<

(D )()()()f c f a f b '''<<

6. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,要求必须有女生,那么不同的选派方案种数为( ) (A )14

(B )24 (C )28 (D )48

甲 :

0.3 0.3 0.8

乙 0.7

: 0.6 0.4

0.7 0.4

: 0.5

y

O

10. 算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具,为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中,以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字,如下图:

表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推,遇零则置空,如下图:

6728

6708

如果把5根算筹以适当的方式全部放入右面的表格中,那么

可以表示的三位数的个数为()

(A)46(B)44(C)42(D)40

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 11. 已知函数e x

y x

=,则=')1(f _______.

12. 二项式261

(2)x x

?的展开式中的常数项是_______.(用数字作答)

13. 若复数z 满足i 12i z ?=+,则||z =_________.

14. 能说明“若(0)=0f ',则0x =是函数()y f x =极值点”为假命题的一个函数是

______________.

15. 北京市某银行营业点在银行大厅悬挂着不同营业时间段服务窗口个数的提示牌,如图所示.

设某人到达银行的时间是随机的,记其到达银行时服务窗口的个数为X ,则()E X =______________.

16. 容器中有,,A B C 3种粒子,若相同种类的两颗粒子发生碰撞,则变成一颗B 粒子;不同种类的两颗粒子发生碰撞,会变成另外一种粒子. 例如,一颗A 粒子和一颗B 粒子发生碰撞则变成一颗C 粒子.

现有A 粒子10颗,B 粒子8颗,C 粒子9颗,如果经过各种两两碰撞后,只剩1颗粒子. 给出下列结论: ① 最后一颗粒子可能是A 粒子 ② 最后一颗粒子一定是C 粒子

③ 最后一颗粒子一定不是B 粒子 ④ 以上都不正确

其中正确结论的序号是________.(写出所有正确结论的序号)

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分13分)

已知函数3

21()3

f x x x bx =

?+,且(2)3f '=?. (Ⅰ)求b ;

(Ⅱ)求()f x 的单调区间.

某工厂生产一种汽车的元件,该元件是经过A 、B 、C 三道工序加工而成的,A 、B 、C 三道工序加工的元件合格率分别为

12、23、3

4

.已知每道工序的加工都相互独立,三道工序加工都合格的元件为一等品;恰有两道工序加工合格的元件为二等品;其它的为废品,不进入市场. (Ⅰ)生产一个元件,求该元件为二等品的概率;

(Ⅱ)若从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测,求至少有2个元件是一等品的概率.

19.(本小题满分13分)

已知函数()()e x f x x a =+. (Ⅰ)求()f x 的单调区间;

(Ⅱ)求()f x 在区间[0,4]上的最小值.

20.(本小题满分13分)

某校在学年期末举行“我最喜欢的文化课”评选活动,投票规则是一人一票,高一(1)班44名学生和高一(7)班45名学生的投票结果如下表(无废票):

该校把上表的数据作为样本,把两个班同一学科的得票之和定义为该年级该学科的“好感指数”. (Ⅰ)如果数学学科的“好感指数”比高一年级其他文化课都高,求a 的所有取值;

(Ⅱ)从高一(1)班投票给政治、历史、地理的学生中任意选取3位同学,设随机变量X 为投票给地理学科的人数,求X 的分布列和期望;

(Ⅲ)当a 为何值时,高一年级的语文、数学、外语三科的“好感指数”的方差最小?(结论不要求证明)

已知函数()e ln x f x a x x =??.

(Ⅰ)当1a =?时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)若()f x 在区间(0,1)上存在极值点,求a 的取值范围.

22.(本小题满分14分)

已知函数ln ()(1)x

f x a x x

=

+?. (Ⅰ)若0a =,求()f x 的极值;

(Ⅱ)若在区间()∞+,1上()0f x <恒成立,求a 的取值范围; (Ⅲ)判断函数()f x 的零点个数.(直接写出结论)

2019北京市西城区高二(下)期末数学参考答案

一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.

1. B

2. D

3. B

4. D

5. A

6. A

7. C

8. B

9. D 10. B 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 11. 0 12. 60

14. 3()f x x = 或()1f x =等,答案不唯一 15. 3.5625 16. ①③

注:16题选对一个正确结论得3分,错选不得分. 三、解答题:本大题共6小题,共80分. 17. (本小题满分13分)

解:(Ⅰ)由已知2()2f x x x b '=?+, ……………………3分

所以 (2)443f b '=?+=?,

所以 3b =?. ……………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知2()23f x x x '=??,

解()0f x '>,得1x

解()0f x '<,得13x ?<<. ……………………9分 所以函数()f x 的单调递增区间为(,1)?∞?,(3,)+∞,单调递减区间为(1,3)?.

……………………13分

18. (本小题满分13分)

解:(Ⅰ)不妨设元件经,,A B C 三道工序加工合格的事件分别为,,A B C .

所以1()2P A =

,2()3P B =,3()4P C =.1()2P A =,1()3P B =,1

()4

P C =. …………2分

设事件D 为“生产一个元件,该元件为二等品”. 由已知,,A B C 是相互独立事件.

根据事件的独立性、互斥事件的概率运算公式,

()()P D P ABC ABC ABC =++()()()P ABC P ABC P ABC =++ ………………6分

123123123(1)(1)(1)234234234=???+???+???

11.24=

所以生产一个元件,该元件为二等品的概率为

11

24

. ……………………8分 (Ⅱ)生产一个元件,该元件为一等品的概率为

1231

2344

p =

??=. ……………………9分 设事件E 为“任意取出3个元件进行检测,至少有2个元件是一等品”,则

22

33131()()()444

P E C =?+ ……………………12分

1056432

=

=

. 所以至少有2个元件是一等品的概率为

5

32

. ……………………13分 19.(本小题满分13分)

解:(Ⅰ)()e ()e (1)e x x x f x x a x a '=++=++. ……………………2分

由()0f x '>,解得1x a >??; 由()0f x '<,解得1x a

所以函数()f x 的单调减区间为(,1)a ?∞??,单调增区间为(1,)a ??+∞. ………4分 (Ⅱ)① 当14a ??≥,即5a ≤?时,

()f x 在[0,4]上单调递减,

所以4min ()(4)(4)e .f x f a ==+ ……………………7分 ② 当10a ??≤,即1a ≥?时, ()f x 在[0,4]上单调递增,

所以min ()(0).f x f a == ……………………10分

③ 当51a ?<

所以1min 1

()(1)e .e a a f x f a ??+=??=?=?

……………………13分

综上,当5a ≤?时,4min ()(4)e f x a =+;当1a ≥?时,min ()f x a =;当51a ?<

1().e a f x +=?

20.(本小题满分13分)

解:(Ⅰ)由已知14a b += ,所以14b a =?. ……………………1分

依题意, 966,

967,a b +>+??+>+? ……………………3分

即 966,

967(14),a a +>+??+>+??

解得 69a <<,又a ∈N ,

所以 7a =,8a =. ……………………4分 (Ⅱ)由已知,随机变量X 是高一(1)班同学中投票给地理学科的人数,

所以0,1,2X =. ……………………5分

3

6385

(0)14

C P X C ===, ……………………6分

21623

8

15

(1)28C C P X C ===, ……………………7分 12

623

8

3

(2)28C C P X C ===. ……………………8分 9分

51533()0121428284

E X =?

+?+?=. ……………………10分

(Ⅲ)7a =或8a =. ……………………13分 21.(本小题满分14分)

解:(Ⅰ) 当1a =?时,()e ln x f x x x =+?,0x >.

所以1

()e 1x f x x

'=+

?, ……………………2分 所以 (1)e 1f =?,(1)e f '=,

曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(e 1)e(1)y x ??=?,

整理得 e 10.x y ??= ……………………4分 (Ⅱ)因为()e ln x f x a x x =??,0x >.

所以e ()e 1x x

a x x a

f x x x

??'=??=, ……………………6分

依题意,()f x '在区间(0,1)上存在变号零点. ……………………7分 因为0x >,设()e x g x x x a =??,所以()g x 在区间(0,1)上存在变号零点. ……8分 因为()e (1)1x g x x '=+?, ……………………9分 所以,当(0,1)x ∈时,e 1x >,11x +>,所以e (1)1x x +>,即()0g x '>,

所以()g x 在区间(0,1)上为单调递增函数, ……………………12分 依题意, (0)0,(1)0,g g ? 即0,

e 10.a a ??

……………………13分

解得 0e 1a <

解:(Ⅰ)当0a =时,定义域为{|0}x x >.

因为ln ()x f x x =

,所以2

1ln ()x

f x x ?'=. ……………………1分 令()0f x '=,解得e x =,

所以()f x 在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+)∞上单调递减. ……………3分 所以()f x 有极大值,极大值为1

(e)e

f =

;没有极小值. ……………………4分 (Ⅱ)因为0x >,所以在(1,)+∞上()0f x <恒成立,即2ln 0x ax ax +?<在(1,)+∞恒成立. ……………………5分

设2()ln .g x x ax ax =+?

①当0a ≥时,(2)ln 220g a =+>,不符合题意. ……………………7分 ②当0a <时,

2121

()2ax ax g x ax a x x

?+'=+?=

. ……………………8分 令()0g x '=,即2210ax ax ?+=,

因为方程2210ax ax ?+=的判别式280a a ?=?>,两根之积

1

02a

<. 所以()0g x '=有两个异号根. 设两根为12,x x ,且120x x <<, ……………………9分

i )当21x >时,

所以()g x 在区间2(1,)x 上单调递增,在区间2(,+)x ∞上单调递减,

所以2()(1)0g x g >=,不符合题意; ……………………10分 ii )当21x ≤时,(1)0g '≤,即1a ≤?时,

()g x 在(1,)+∞单调递减,所以当(1,)x ∈+∞时,()(1)0g x g <=,符合题意.

综上,1a ≤?. ……………………11分(Ⅲ)当0a ≥或1

a =?时,()f x 有1个零点;当0a <且1a ≠?时,函数()f x 有2个零点.

……………………14分

16题提示:

1、最后剩下的可能是A粒子

10颗A粒子两两碰撞,形成5颗B粒子;

9颗C粒子中的8个两两碰撞,形成4颗B粒子;

所有的17颗B粒子两两碰撞,剩下一颗B粒子;

这个B粒子与剩下的一颗C粒子碰撞形成A粒子。

2、最后剩下的可能是C粒子

10颗A粒子中的9颗与9颗C粒子两两碰撞,形成9颗B粒子;

所有的17颗B粒子两两碰撞,最后剩一颗B粒子;

这个B粒子与剩下的一颗A粒子碰撞形成C粒子。

3、最后剩下的不可能是B粒子

A、B、C三种粒子每一次碰撞有以下6种可能的情况:

A与A碰撞,会产生一颗B粒子,减少两颗A粒子;(B多1个,AC共减少两个)

B与B碰撞,会产生一颗B粒子,减少两颗B粒子;(B少1个,AC总数不变)

C与C碰撞,会产生一颗B粒子,减少两颗C粒子;(B多1个,AC共减少两个)

A与B碰撞,会产生一颗C粒子,减少A、B各一颗粒子。(B少1个,AC总数不变)

A与C碰撞,会产生一颗B粒子,减少A、C各一颗粒子。(B多1个,AC共减少两个)

B与C碰撞,会产生一颗A粒子,减少B、C各一颗粒子。(B少1个,AC总数不变)

可以发现如下规律:

(1)从B粒子的角度看:每碰撞一次,B粒子的数量增多一个或减少一个。题目中共有27颗粒子,经过26次碰撞剩一颗粒子,整个过程变化了偶数次,由于开始B粒子共有8颗,所以26次碰撞之后,剩余的B粒子个数必为偶数,不可能是1个。所以,最后剩下的不可能是B粒子。

(2)从A、C粒子的角度看:每次碰撞之后,A、C粒子总数或者不变、或者减少两个。题目中A、C粒子之和为19个,无论碰撞多少次,A、C粒子都没了是不可能的。所以,剩下的最后一颗粒子一定是A或C.

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