第十一章解题方法归纳
一、曲线积分与曲面积分的计算方法
1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下:
(1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分.
(2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时,常用到如下一些结论: (1)若积分曲线L 关于y 轴对称,则
1
(,)2(,)L
L f x f x y ds f x y ds f x ??=?
???
?对为奇函数对为偶函数 1
0 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ??=?????对为奇函数
对为偶函数
1
0 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ??=?????对为偶函数
对为奇函数
其中1L 是L 在右半平面部分.
若积分曲线L 关于x 轴对称,则
1
(,)2(,)L
L f y f x y ds f x y ds f y ??=?
???
?对为奇函数对为偶函数 1
0 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ??=?????对为偶函数
对为奇函数
1
0 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ??=?????对为奇函数
对为偶函数
其中1L 是L 在上半平面部分.
(2)若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称,则 ()()=??L
L
f x ds f y ds .
(3)若积分曲面∑关于xOy 面对称,则
1
0 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑
∑??
=?????
??对为奇函数对为偶函数
1
0 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑??
=???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在xOy 面上方部分.
若积分曲面∑关于yOz 面对称,则
1
0 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑
∑??
=?????
??对为奇函数
对为偶函数
1
0 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑??
=???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在yOz 面前方部分.
若积分曲面∑关于zOx 面对称,则
1
0 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑
∑??
=?????
??对为奇函数
对为偶函数
1
0 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑??
=???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在zOx 面右方部分.
(4)若曲线弧()
:()()αβ=?≤≤?=?
x x t L t y y t ,则
[
(,)(),()()β
α
αβ=?L
f x y ds f x t y t
若曲线弧:()()θαθβ=≤≤L r r (极坐标),则
[
(,)()cos ,()sin β
αθθθθθ=?
?L
f x y ds f r r
若空间曲线弧():()()()αβ=??
Γ=≤≤??=?
x x t y y t t z z t ,则
[
(,,)(),(),()()β
α
αβΓ
=
?f x y z ds f x t y t z t
(5)若有向曲线弧()
:(:)()αβ=?→?=?
x x t L t y y t ,则
[][]{}(,)(,)(),()()(),()()β
α
''+=+?
?
L
P x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt
若空间有向曲线弧():()(:)()αβ=??
Γ=→??=?
x x t y y t t z z t ,则
(,,)(,,)(,,)Γ
++?
P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
[][][]{}(),(),()()(),(),()()(),(),()()β
α
'''=++?
P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt
(6)若曲面:(,)((,))xy z z x y x y D ∑=∈,则
[
(,,),,(,)xy
D f x y z dS f x y z x y ∑
=??
??
其中xy D 为曲面∑在xOy 面上的投影域.
若曲面:(,)((,))yz x x y z y z D ∑=∈,则
[
(,,)(,),,yz
D f x y z dS f x y z y z ∑
=??
??
其中yz D 为曲面∑在yOz 面上的投影域.
若曲面:(,)((,))zx y y x z x z D ∑=∈,则
[
(,,),(,),zx
D f x y z dS f x y x z z ∑
=??
??
其中zx D 为曲面∑在zOx 面上的投影域.
(7)若有向曲面:(,)z z x y ∑=,则
(,,)[,,(,)]xy
D R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑
=±????(上“+”下“-”
) 其中xy D 为∑在xOy 面上的投影区域.
若有向曲面:(,)x x y z ∑=,则
(,,)[(,),,]yz
D P x y z dydz P x y z y z dydz ∑
=±????(前“+”后“-”
) 其中yz D 为∑在yOz 面上的投影区域.
若有向曲面:(,)y y x z ∑=,则
(,,)[,(,),]zx
D Q x y z dzdx Q x y x z z dzdx ∑
=±????(右“+”左“-”
) 其中zx D 为∑在zOx 面上的投影区域. (8)d d +?L
P x Q y 与路径无关d d 0?
+=?
c
P x Q y (c 为D 内任一闭曲线)
(,)?=+du x y Pdx Qdy (存在(,)u x y ) ???
=??P Q
y x
其中D 是单连通区域,(,),(,)P x y Q x y 在D 内有一阶连续偏导数.
(9)格林公式
(,)(,)??
??+=- ????
????L D Q P P x y dx Q x y dy dxdy x y 其中L 为有界闭区域D 的边界曲线的正向,(,),(,)P x y Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数.
(10)高斯公式
(,,)(,,)(,,)P Q R P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy dv x y z ∑Ω??
???++=++ ??????????? 或 (cos cos cos )P Q R P Q R dS dv x y z αβγ∑Ω??
???++=++ ?????
??????
其中∑为空间有界闭区域Ω的边界曲面的外侧,(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在
Ω上具有一阶连续偏导数,cos ,cos ,cos αβγ为曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.
(11)斯托克斯公式
dydz dzdx dxdy
Pdx Qdy Rdz x y z P Q R
Γ
∑
???
++=??????
其中Γ为曲面∑的边界曲线,且Γ的方向与∑的侧(法向量的指向)符合右手螺旋法则,,,P Q R 在包含∑在内的空间区域内有一阶连续偏导数.
1. 计算曲线积分或曲面积分的步骤: (1)计算曲线积分的步骤:
1)判定所求曲线积分的类型(对弧长的曲线积分或对坐标的曲线积分); 2)对弧长的曲线积分,一般将其化为定积分直接计算;
对坐标的曲线积分:
① 判断积分是否与路径无关,若积分与路径无关,重新选取特殊路径积分; ② 判断是否满足或添加辅助线后满足格林公式的条件,若满足条件,利用格林公式计算(添加的辅助线要减掉);
③ 将其化为定积分直接计算.
④ 对空间曲线上的曲线积分,判断是否满足斯托克斯公式的条件,若满足条件,利用斯托克斯公式计算;若不满足,将其化为定积分直接计算.
(2)计算曲面积分的步骤:
1)判定所求曲线积分的类型(对面积的曲面积分或对坐标的曲面积分); 2)对面积的曲面积分,一般将其化为二重积分直接计算;
对坐标的曲面积分:
① 判断是否满足或添加辅助面后满足高斯公式的条件,若满足条件,利用高斯公式计算(添加的辅助面要减掉);
② 将其投影到相应的坐标面上,化为二重积分直接计算. 例1 计算曲线积分2
+=++?L
dx dy
I x y x
,其中L 为1+=x y 取逆时针方向. 解 2222111++===++++++?
???L
L L L dx dy dx dy dx dy
I x y x x x x
由于积分曲线L 关于x 轴、y 轴均对称,被积函数2
1
1==+P Q x 对x 、y 均为偶函数,因此
220,
011==++??L L dx
dy
x x
故 2
0+==++?
L
dx dy
I x y x
『方法技巧』 对坐标的曲线积分的对称性与对弧长的曲线积分对称性不同,记清楚后再使用.事实上,本题还可应用格林公式计算.
例 2 计算曲面积分2()∑
=+++??I ax by cz n dS ,其中∑为球面
2222++=x y z R .
解 2()∑
=+++??I ax by cz n dS
2222222(222222)∑
=+++++++++??a x b y c z n abxy acxz bcyz anx bny cnz dS
由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知
0∑
∑
∑
∑
∑
∑
======????????????xydS xzdS yzdS xdS ydS zdS
又由轮换对称性知
222∑
∑
∑
==??????x dS y dS z dS 故 2222222∑
∑
∑
∑
=+++????????I a x dS b y dS c z dS n dS
22222()∑
∑
=+++????a b c x dS n dS
222
2
2222()43
π∑
++=
+++??a b c x
y z dS R n
2222
2222222244[()]33ππ∑
++=+=+++??a b c R R dS R n R a b c n
『方法技巧』 对面积的曲面积分的对称性与对坐标的曲面积分的对称性不同,理解起来更容易些.若碰到积分曲面是对称曲面,做题时可先考虑一下对称性.
例3 计算曲面积分222()∑
++??x y z dS ,其中∑为球面2222++=x y z ax .
解 2222
()22()2∑
∑
∑
∑
++=
=-+????????x y z dS axdS a x a dS a dS
222402248ππ∑
=+==??a dS a a a
『方法技巧』 积分曲面∑是关于0-=x a 对称的,被积函数-x a 是-x a 的奇函数,因此()0∑
-=??x a dS
例4 计算曲线积分2222
+?L
x y L 为圆周222(0)+=>x y a a 的逆
时针方向.
解法1 直接计算. 将积分曲线L 表示为参数方程形式
cos :(:02)sin θ
θπθ
=?→?
=?x a L y a
代入被积函数中得
22232222
[cos sin cos cos sin (sin )]π
θθθθθθθ=--+?
?L
a d x y
223
2
2
3
220
2sin cos 2sin (1sin )π
π
θθθθθθ==-??
a d a
d
32433
20
13118(sin sin )8224222
πππθθθπ??=-=-= ????
a
d a a
解法2 利用格林公式
222222
22
11()=
-=
++?
?
??L
L
D
xy dy x ydx x y dxdy a
a x y 其中222:+≤D x y a ,故
2222322
0011
2
πθρρρπ==+?
??a L
d d a a x y
『方法技巧』 本题解法1用到了定积分的积分公式:
2
1
3
2
23
sin 13312422
πθθπ
--???-=?--??-??n n n n n n d n n n n n 为奇数为偶数
解法2中,一定要先将积分曲线222+=x y a 代入被积函数的分母中,才能应用格林公式,否则不满足,P Q 在D 内有一阶连续偏导数的条件.
例5 计算曲线积分22
()()+--+?
L x y dx x y dy
x y ,其中L 为沿cos π=y x 由点
(,)ππ-A 到点(,)ππ--B 的曲线弧.
解 直接计算比较困难.
由于 2222
,+-+==++x y x y
P Q x y x y ,222222()?--?==?+?P x y xy Q y x y x 因此在不包含原点(0,0)O 的单连通区域内,积分与路径无关.
取圆周222
2π+=x
y 上从(,)ππ-A 到点(,)ππ--B 的弧段'L 代替原弧段L ,
其参数方程为:cos 5:(:)4
4
sin θ
π
π
θθ
?=?'-
→
?
=??x L y ,代入被积函数中得 222
()()1
()()2π'
+--=+--+??
L
L x y dx x y dy x y dx x y dy x y
544
[(cos sin )(sin )(cos sin )cos ]π
πθθθθθθθ-=
+---?d
54
4
3
2ππθπ-=-=-
?d
『方法技巧』 本题的关键是选取积分弧段'L
,既要保证'L 简单,又要保证不经过坐标原点.
例6 计算曲面积分∑
++??xdydz ydzdx zdxdy ,其中∑1
=
的法
向量与各坐标轴正向夹锐角的侧面.
解 由于曲面∑具有轮换对称性,∑
∑
∑
==??????xdydz ydzdx zdxdy ,∑投影到
xOy 面的区域{
}
(,)
1=≤xy D x y ,故
233(1∑
∑
∑
++==??????xdydz ydzdx zdxdy zdxdy dxdy
2
1
(12
20
3(13(1==????
xy
D dxdy dx
dy 14
01(12
=
?dx
41
1
(1)30
--=
?t t dt 『方法技巧』 由于积分曲面∑具有轮换对称性,因此可以将,dydz dzdx 直接转换为dxdy ,∑只要投影到xOy 面即可.
例7 计算曲面积分222()()()∑
-+-+-??x y dydz y z dzdx z x dxdy ,其中∑为锥
面222=+z x y 在0≤≤z h 部分的上侧.
解 利用高斯公式. 添加辅助面2221:()∑=+≤z h x y h ,取下侧,则
222
()()()∑
-+-+-??x y dydz y z dzdx z x dxdy 1
2
22()()()∑+∑=
-+-+-??x y
dydz y z dzdx z x dxdy
1
222()()()∑--+-+-??x y dydz y z dzdx z x dxdy
1
23()Ω
∑=---?????dxdydz h x dxdy 23()Ω
=-+-?????xy
D dxdydz h x dxdy
其中Ω为∑和1∑围成的空间圆锥区域,xy D 为∑投影到xOy 面的区域,即
{}222(,)=+≤xy D x y x y h ,由xy D 的轮换对称性,有
2
22
1()2=
+????xy
xy
D D x dxdy x y dxdy 故 222()()()∑
-+-+-??x y dydz y z dzdx z x dxdy
22211
3()32π=-+-+????xy
xy
D D h h h dxdy x y dxdy
23
2
340011
24
πππθρρπ=-+-=-??h h h h d d h
『方法技巧』 添加辅助面时,既要满足封闭性,又要满足对侧的要求.本题由于积分锥面取上侧(内侧),因此添加的平面要取下侧,这样才能保证封闭
曲面取内侧,使用高斯公式转化为三重积分时,前面要添加负号.
例8 计算曲线积分()()()-+-+-?L
z y dx x z dy x y dz ,其中221
:2?+=?
-+=?x y L x y z 从z 轴的正向往负向看,L 的方向是顺时针方向.
解 应用斯托克斯公式计算. 令22:2(1)∑-+=+≤x y z x y 取下侧,∑在
xOy 面的投影区域为{}22(,)1=+≤xy D x y x y ,则
()()()∑
???
-+-+-=???---?
??
L
dydz dzdx dxdy z y dx x z dy x y dz x y z z y
x z
x y
222π∑
==-=-????xy
D dxdy dxdy
『方法技巧』 本题用斯托克斯公式计算比直接写出曲线L 的参数方程代入要简单,所有应用斯托克斯公式的题目,曲面∑的选取都是关键,∑既要简单,又要满足斯托克斯的条件,需要大家多加练习.
二、曲线积分与曲面积分的物理应用
1.曲线积分与曲面积分的物理应用归纳如下: (1) 曲线或曲面形物体的质量. (2) 曲线或曲面的质心(形心). (3) 曲线或曲面的转动惯量. (4) 变力沿曲线所作的功. (5) 矢量场沿有向曲面的通量. (6) 散度和旋度.
2. 在具体计算时,常用到如下一些结论: (1)平面曲线形物体 (,)ρ=?L
M x y ds
空间曲线形物体 (,,)ρ=?L
M x y z ds
曲面形构件 (,,)ρ∑
=??M x y z dS
(2) 质心坐标
平面曲线形物体的质心坐标: (,)(,),
(,)(,)ρρρρ=
=
????L L L
L
x x y ds y x y ds x y x y ds
x y ds
空间曲线形物体的质心坐标:
(,,)(,,)(,,),
,
(,)(,)(,)ρρρρρρ=
=
=
????
?
?
L
L
L
L
L
L
x x y z ds
y x y z ds
z x y z ds
x y z x y ds
x y ds
x y ds
曲面形物体的质心坐标:
(,,)(,,)(,,),,(,,)(,,)(,,)ρρρρρρ∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
????????????x x y z dS
y x y z dS
z x y z dS
x y z x y z dS
x y z dS
x y z dS
当密度均匀时,质心也称为形心.
(3) 转动惯量
平面曲线形物体的转动惯量:22(,),(,)ρρ==??x y L
L
I y x y ds I x x y ds
空间曲线形物体的转动惯量:
2222()(,,),()(,,)ρρ=+=+??x y L
L
I y z x y z ds I z x x y z ds
22()(,,)ρ=+?z L
I x y x y z ds
曲面形物体的转动惯量:
2222()(,,),()(,,)ρρ∑
∑
=+=+????x y I y z x y z dS I z x x y z dS
22()(,,)ρ∑
=+??z I x y x y z dS
其中(,)ρx y 和(,,)ρx y z 分别为平面物体的密度和空间物体的密度.
(4) 变力沿曲线所作的功
平面上质点在力F (,)=P x y i +(,)Q x y j 作用下,沿有向曲线弧L 从A 点运动到B 点,F 所做的功
(,)(,)=+?AB
W P x y dx Q x y dy
空间质点在力F (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 作用下,沿有向曲线
弧L 从A 点运动到B 点,F 所做的功
(,,)(,,)(,,)=++?AB
W P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
(2) 矢量场沿有向曲面的通量
矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 通过有向曲面∑指定侧的通量
(,,)(,,)(,,)∑
Φ=++??P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy
(3) 散度和旋度
矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 的散度
div A ???=
++???P Q R x y z
矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 的旋度
rot A (
)??=-??R Q y z i ()??+-??P R z x
j +()??-??Q P x y k x y z P
Q
R
?
??=??? 1. 曲线积分或曲面积分应用题的计算步骤: (1)根据所求物理量,代入相应的公式中; (2)计算曲线积分或曲面积分.
例9 设质点在场力F {}
2,=
-k y x r 的作用下,沿曲线π:cos 2=L y x 由(0,)2
π
A 移动到(,0)2
π
B ,求场力所做的功.
(其中=r k
解 积分曲线L 如图所示. 场力所做的功为
(,)(,)=+?AB
W P x y dx Q x y dy 22=-?
AB y x
k dx dy r r
i
j k
令22,==-y x P Q r r ,则22224
()(0)?-?==+≠??P k x y Q
x y y r x
即在不含原点的单连通区域内,积分与路径无关. 另取由A 到B 的路径:
1πππ
:cos ,sin (:0)222
θθθ=
=→L x y 1022222
π(sin cos )d 2πθθθ=-=-+=?
?L y x W k dx dy k k r r 『方法技巧』 本题的关键是另取路径1L ,一般而言,最简单的路径为折线路径,比如AO OB ,但不可以选取此路径,因为,P Q 在原点处不连续. 换句话说,所取路径不能经过坐标原点,当然路径1L 的取法不是唯一的.
例10 设密度为1的流体的流速v 2=xz i sin +x k ,曲面∑
是由曲线
(12)0
??=≤≤?
=??y z x 饶z 轴旋转而成的旋转曲面,其法向量与z 轴正向的夹角为锐角,求单位时间内流体流向曲面∑正侧的流量Q .
解 旋转曲面为222:1(12)∑+-=≤≤x y z z ,令1∑为平面1=z 在∑内的部分取上侧,2∑为平面2=z 在∑内的部分取下侧,则12∑+∑+∑为封闭曲面的内侧,故
(,,)(,,)(,,)∑
=++??Q P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy
2sin ∑
=+??xz dydz xdxdy
12
1
2
222sin sin sin ∑+∑+∑∑∑=
+-+-+??????xz dydz xdxdy xz dydz xdxdy xz dydz xdxdy
12
2sin sin Ω∑∑=---???????z dxdydz xdxdy xdxdy
2
2
2
2
2
2
2
2
21
12
5
sin sin +≤++≤+≤=--
+
???
??
??
x y z
x y x y z dz
dxdy xdxdy xdxdy
2
221
128
(1)0015
ππ=-+-+=-
?z z dz 『方法技巧』 本题的关键是写出旋转曲面∑的方程,其次考虑封闭曲面的侧,以便应用高斯公式,最后用截痕法计算三重积分,用对称性计算二重积分.