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曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)

曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)
曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)

第十一章解题方法归纳

一、曲线积分与曲面积分的计算方法

1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下:

(1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分.

(2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时,常用到如下一些结论: (1)若积分曲线L 关于y 轴对称,则

1

(,)2(,)L

L f x f x y ds f x y ds f x ??=?

???

?对为奇函数对为偶函数 1

0 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ??=?????对为奇函数

对为偶函数

1

0 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ??=?????对为偶函数

对为奇函数

其中1L 是L 在右半平面部分.

若积分曲线L 关于x 轴对称,则

1

(,)2(,)L

L f y f x y ds f x y ds f y ??=?

???

?对为奇函数对为偶函数 1

0 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ??=?????对为偶函数

对为奇函数

1

0 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ??=?????对为奇函数

对为偶函数

其中1L 是L 在上半平面部分.

(2)若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称,则 ()()=??L

L

f x ds f y ds .

(3)若积分曲面∑关于xOy 面对称,则

1

0 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑

∑??

=?????

??对为奇函数对为偶函数

1

0 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑??

=???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在xOy 面上方部分.

若积分曲面∑关于yOz 面对称,则

1

0 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑

∑??

=?????

??对为奇函数

对为偶函数

1

0 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑??

=???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在yOz 面前方部分.

若积分曲面∑关于zOx 面对称,则

1

0 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑

∑??

=?????

??对为奇函数

对为偶函数

1

0 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑??

=???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在zOx 面右方部分.

(4)若曲线弧()

:()()αβ=?≤≤?=?

x x t L t y y t ,则

[

(,)(),()()β

α

αβ=

f x y ds f x t y t

若曲线弧:()()θαθβ=≤≤L r r (极坐标),则

[

(,)()cos ,()sin β

αθθθθθ=?

?L

f x y ds f r r

若空间曲线弧():()()()αβ=??

Γ=≤≤??=?

x x t y y t t z z t ,则

[

(,,)(),(),()()β

α

αβΓ

=

?f x y z ds f x t y t z t

(5)若有向曲线弧()

:(:)()αβ=?→?=?

x x t L t y y t ,则

[][]{}(,)(,)(),()()(),()()β

α

''+=+?

?

L

P x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt

若空间有向曲线弧():()(:)()αβ=??

Γ=→??=?

x x t y y t t z z t ,则

(,,)(,,)(,,)Γ

++?

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz

[][][]{}(),(),()()(),(),()()(),(),()()β

α

'''=++?

P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt

(6)若曲面:(,)((,))xy z z x y x y D ∑=∈,则

[

(,,),,(,)xy

D f x y z dS f x y z x y ∑

=??

??

其中xy D 为曲面∑在xOy 面上的投影域.

若曲面:(,)((,))yz x x y z y z D ∑=∈,则

[

(,,)(,),,yz

D f x y z dS f x y z y z ∑

=??

??

其中yz D 为曲面∑在yOz 面上的投影域.

若曲面:(,)((,))zx y y x z x z D ∑=∈,则

[

(,,),(,),zx

D f x y z dS f x y x z z ∑

=??

??

其中zx D 为曲面∑在zOx 面上的投影域.

(7)若有向曲面:(,)z z x y ∑=,则

(,,)[,,(,)]xy

D R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑

=±????(上“+”下“-”

) 其中xy D 为∑在xOy 面上的投影区域.

若有向曲面:(,)x x y z ∑=,则

(,,)[(,),,]yz

D P x y z dydz P x y z y z dydz ∑

=±????(前“+”后“-”

) 其中yz D 为∑在yOz 面上的投影区域.

若有向曲面:(,)y y x z ∑=,则

(,,)[,(,),]zx

D Q x y z dzdx Q x y x z z dzdx ∑

=±????(右“+”左“-”

) 其中zx D 为∑在zOx 面上的投影区域. (8)d d +?L

P x Q y 与路径无关d d 0?

+=?

c

P x Q y (c 为D 内任一闭曲线)

(,)?=+du x y Pdx Qdy (存在(,)u x y ) ???

=??P Q

y x

其中D 是单连通区域,(,),(,)P x y Q x y 在D 内有一阶连续偏导数.

(9)格林公式

(,)(,)??

??+=- ????

????L D Q P P x y dx Q x y dy dxdy x y 其中L 为有界闭区域D 的边界曲线的正向,(,),(,)P x y Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数.

(10)高斯公式

(,,)(,,)(,,)P Q R P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy dv x y z ∑Ω??

???++=++ ??????????? 或 (cos cos cos )P Q R P Q R dS dv x y z αβγ∑Ω??

???++=++ ?????

??????

其中∑为空间有界闭区域Ω的边界曲面的外侧,(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在

Ω上具有一阶连续偏导数,cos ,cos ,cos αβγ为曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.

(11)斯托克斯公式

dydz dzdx dxdy

Pdx Qdy Rdz x y z P Q R

Γ

???

++=??????

其中Γ为曲面∑的边界曲线,且Γ的方向与∑的侧(法向量的指向)符合右手螺旋法则,,,P Q R 在包含∑在内的空间区域内有一阶连续偏导数.

1. 计算曲线积分或曲面积分的步骤: (1)计算曲线积分的步骤:

1)判定所求曲线积分的类型(对弧长的曲线积分或对坐标的曲线积分); 2)对弧长的曲线积分,一般将其化为定积分直接计算;

对坐标的曲线积分:

① 判断积分是否与路径无关,若积分与路径无关,重新选取特殊路径积分; ② 判断是否满足或添加辅助线后满足格林公式的条件,若满足条件,利用格林公式计算(添加的辅助线要减掉);

③ 将其化为定积分直接计算.

④ 对空间曲线上的曲线积分,判断是否满足斯托克斯公式的条件,若满足条件,利用斯托克斯公式计算;若不满足,将其化为定积分直接计算.

(2)计算曲面积分的步骤:

1)判定所求曲线积分的类型(对面积的曲面积分或对坐标的曲面积分); 2)对面积的曲面积分,一般将其化为二重积分直接计算;

对坐标的曲面积分:

① 判断是否满足或添加辅助面后满足高斯公式的条件,若满足条件,利用高斯公式计算(添加的辅助面要减掉);

② 将其投影到相应的坐标面上,化为二重积分直接计算. 例1 计算曲线积分2

+=++?L

dx dy

I x y x

,其中L 为1+=x y 取逆时针方向. 解 2222111++===++++++?

???L

L L L dx dy dx dy dx dy

I x y x x x x

由于积分曲线L 关于x 轴、y 轴均对称,被积函数2

1

1==+P Q x 对x 、y 均为偶函数,因此

220,

011==++??L L dx

dy

x x

故 2

0+==++?

L

dx dy

I x y x

『方法技巧』 对坐标的曲线积分的对称性与对弧长的曲线积分对称性不同,记清楚后再使用.事实上,本题还可应用格林公式计算.

例 2 计算曲面积分2()∑

=+++??I ax by cz n dS ,其中∑为球面

2222++=x y z R .

解 2()∑

=+++??I ax by cz n dS

2222222(222222)∑

=+++++++++??a x b y c z n abxy acxz bcyz anx bny cnz dS

由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知

0∑

======????????????xydS xzdS yzdS xdS ydS zdS

又由轮换对称性知

222∑

==??????x dS y dS z dS 故 2222222∑

=+++????????I a x dS b y dS c z dS n dS

22222()∑

=+++????a b c x dS n dS

222

2

2222()43

π∑

++=

+++??a b c x

y z dS R n

2222

2222222244[()]33ππ∑

++=+=+++??a b c R R dS R n R a b c n

『方法技巧』 对面积的曲面积分的对称性与对坐标的曲面积分的对称性不同,理解起来更容易些.若碰到积分曲面是对称曲面,做题时可先考虑一下对称性.

例3 计算曲面积分222()∑

++??x y z dS ,其中∑为球面2222++=x y z ax .

解 2222

()22()2∑

++=

=-+????????x y z dS axdS a x a dS a dS

222402248ππ∑

=+==??a dS a a a

『方法技巧』 积分曲面∑是关于0-=x a 对称的,被积函数-x a 是-x a 的奇函数,因此()0∑

-=??x a dS

例4 计算曲线积分2222

+?L

x y L 为圆周222(0)+=>x y a a 的逆

时针方向.

解法1 直接计算. 将积分曲线L 表示为参数方程形式

cos :(:02)sin θ

θπθ

=?→?

=?x a L y a

代入被积函数中得

22232222

[cos sin cos cos sin (sin )]π

θθθθθθθ=--+?

?L

a d x y

223

2

2

3

220

2sin cos 2sin (1sin )π

π

θθθθθθ==-??

a d a

d

32433

20

13118(sin sin )8224222

πππθθθπ??=-=-= ????

a

d a a

解法2 利用格林公式

222222

22

11()=

-=

++?

?

??L

L

D

xy dy x ydx x y dxdy a

a x y 其中222:+≤D x y a ,故

2222322

0011

2

πθρρρπ==+?

??a L

d d a a x y

『方法技巧』 本题解法1用到了定积分的积分公式:

2

1

3

2

23

sin 13312422

πθθπ

--???-=?--??-??n n n n n n d n n n n n 为奇数为偶数

解法2中,一定要先将积分曲线222+=x y a 代入被积函数的分母中,才能应用格林公式,否则不满足,P Q 在D 内有一阶连续偏导数的条件.

例5 计算曲线积分22

()()+--+?

L x y dx x y dy

x y ,其中L 为沿cos π=y x 由点

(,)ππ-A 到点(,)ππ--B 的曲线弧.

解 直接计算比较困难.

由于 2222

,+-+==++x y x y

P Q x y x y ,222222()?--?==?+?P x y xy Q y x y x 因此在不包含原点(0,0)O 的单连通区域内,积分与路径无关.

取圆周222

2π+=x

y 上从(,)ππ-A 到点(,)ππ--B 的弧段'L 代替原弧段L ,

其参数方程为:cos 5:(:)4

4

sin θ

π

π

θθ

?=?'-

?

=??x L y ,代入被积函数中得 222

()()1

()()2π'

+--=+--+??

L

L x y dx x y dy x y dx x y dy x y

544

[(cos sin )(sin )(cos sin )cos ]π

πθθθθθθθ-=

+---?d

54

4

3

2ππθπ-=-=-

?d

『方法技巧』 本题的关键是选取积分弧段'L

,既要保证'L 简单,又要保证不经过坐标原点.

例6 计算曲面积分∑

++??xdydz ydzdx zdxdy ,其中∑1

=

的法

向量与各坐标轴正向夹锐角的侧面.

解 由于曲面∑具有轮换对称性,∑

==??????xdydz ydzdx zdxdy ,∑投影到

xOy 面的区域{

}

(,)

1=≤xy D x y ,故

233(1∑

++==??????xdydz ydzdx zdxdy zdxdy dxdy

2

1

(12

20

3(13(1==????

xy

D dxdy dx

dy 14

01(12

=

?dx

41

1

(1)30

--=

?t t dt 『方法技巧』 由于积分曲面∑具有轮换对称性,因此可以将,dydz dzdx 直接转换为dxdy ,∑只要投影到xOy 面即可.

例7 计算曲面积分222()()()∑

-+-+-??x y dydz y z dzdx z x dxdy ,其中∑为锥

面222=+z x y 在0≤≤z h 部分的上侧.

解 利用高斯公式. 添加辅助面2221:()∑=+≤z h x y h ,取下侧,则

222

()()()∑

-+-+-??x y dydz y z dzdx z x dxdy 1

2

22()()()∑+∑=

-+-+-??x y

dydz y z dzdx z x dxdy

1

222()()()∑--+-+-??x y dydz y z dzdx z x dxdy

1

23()Ω

∑=---?????dxdydz h x dxdy 23()Ω

=-+-?????xy

D dxdydz h x dxdy

其中Ω为∑和1∑围成的空间圆锥区域,xy D 为∑投影到xOy 面的区域,即

{}222(,)=+≤xy D x y x y h ,由xy D 的轮换对称性,有

2

22

1()2=

+????xy

xy

D D x dxdy x y dxdy 故 222()()()∑

-+-+-??x y dydz y z dzdx z x dxdy

22211

3()32π=-+-+????xy

xy

D D h h h dxdy x y dxdy

23

2

340011

24

πππθρρπ=-+-=-??h h h h d d h

『方法技巧』 添加辅助面时,既要满足封闭性,又要满足对侧的要求.本题由于积分锥面取上侧(内侧),因此添加的平面要取下侧,这样才能保证封闭

曲面取内侧,使用高斯公式转化为三重积分时,前面要添加负号.

例8 计算曲线积分()()()-+-+-?L

z y dx x z dy x y dz ,其中221

:2?+=?

-+=?x y L x y z 从z 轴的正向往负向看,L 的方向是顺时针方向.

解 应用斯托克斯公式计算. 令22:2(1)∑-+=+≤x y z x y 取下侧,∑在

xOy 面的投影区域为{}22(,)1=+≤xy D x y x y ,则

()()()∑

???

-+-+-=???---?

??

L

dydz dzdx dxdy z y dx x z dy x y dz x y z z y

x z

x y

222π∑

==-=-????xy

D dxdy dxdy

『方法技巧』 本题用斯托克斯公式计算比直接写出曲线L 的参数方程代入要简单,所有应用斯托克斯公式的题目,曲面∑的选取都是关键,∑既要简单,又要满足斯托克斯的条件,需要大家多加练习.

二、曲线积分与曲面积分的物理应用

1.曲线积分与曲面积分的物理应用归纳如下: (1) 曲线或曲面形物体的质量. (2) 曲线或曲面的质心(形心). (3) 曲线或曲面的转动惯量. (4) 变力沿曲线所作的功. (5) 矢量场沿有向曲面的通量. (6) 散度和旋度.

2. 在具体计算时,常用到如下一些结论: (1)平面曲线形物体 (,)ρ=?L

M x y ds

空间曲线形物体 (,,)ρ=?L

M x y z ds

曲面形构件 (,,)ρ∑

=??M x y z dS

(2) 质心坐标

平面曲线形物体的质心坐标: (,)(,),

(,)(,)ρρρρ=

=

????L L L

L

x x y ds y x y ds x y x y ds

x y ds

空间曲线形物体的质心坐标:

(,,)(,,)(,,),

,

(,)(,)(,)ρρρρρρ=

=

=

????

?

?

L

L

L

L

L

L

x x y z ds

y x y z ds

z x y z ds

x y z x y ds

x y ds

x y ds

曲面形物体的质心坐标:

(,,)(,,)(,,),,(,,)(,,)(,,)ρρρρρρ∑

=

=

=

????????????x x y z dS

y x y z dS

z x y z dS

x y z x y z dS

x y z dS

x y z dS

当密度均匀时,质心也称为形心.

(3) 转动惯量

平面曲线形物体的转动惯量:22(,),(,)ρρ==??x y L

L

I y x y ds I x x y ds

空间曲线形物体的转动惯量:

2222()(,,),()(,,)ρρ=+=+??x y L

L

I y z x y z ds I z x x y z ds

22()(,,)ρ=+?z L

I x y x y z ds

曲面形物体的转动惯量:

2222()(,,),()(,,)ρρ∑

=+=+????x y I y z x y z dS I z x x y z dS

22()(,,)ρ∑

=+??z I x y x y z dS

其中(,)ρx y 和(,,)ρx y z 分别为平面物体的密度和空间物体的密度.

(4) 变力沿曲线所作的功

平面上质点在力F (,)=P x y i +(,)Q x y j 作用下,沿有向曲线弧L 从A 点运动到B 点,F 所做的功

(,)(,)=+?AB

W P x y dx Q x y dy

空间质点在力F (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 作用下,沿有向曲线

弧L 从A 点运动到B 点,F 所做的功

(,,)(,,)(,,)=++?AB

W P x y z dx Q x y z dy R x y z dz

(2) 矢量场沿有向曲面的通量

矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 通过有向曲面∑指定侧的通量

(,,)(,,)(,,)∑

Φ=++??P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy

(3) 散度和旋度

矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 的散度

div A ???=

++???P Q R x y z

矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 的旋度

rot A (

)??=-??R Q y z i ()??+-??P R z x

j +()??-??Q P x y k x y z P

Q

R

?

??=??? 1. 曲线积分或曲面积分应用题的计算步骤: (1)根据所求物理量,代入相应的公式中; (2)计算曲线积分或曲面积分.

例9 设质点在场力F {}

2,=

-k y x r 的作用下,沿曲线π:cos 2=L y x 由(0,)2

π

A 移动到(,0)2

π

B ,求场力所做的功.

(其中=r k

解 积分曲线L 如图所示. 场力所做的功为

(,)(,)=+?AB

W P x y dx Q x y dy 22=-?

AB y x

k dx dy r r

i

j k

令22,==-y x P Q r r ,则22224

()(0)?-?==+≠??P k x y Q

x y y r x

即在不含原点的单连通区域内,积分与路径无关. 另取由A 到B 的路径:

1πππ

:cos ,sin (:0)222

θθθ=

=→L x y 1022222

π(sin cos )d 2πθθθ=-=-+=?

?L y x W k dx dy k k r r 『方法技巧』 本题的关键是另取路径1L ,一般而言,最简单的路径为折线路径,比如AO OB ,但不可以选取此路径,因为,P Q 在原点处不连续. 换句话说,所取路径不能经过坐标原点,当然路径1L 的取法不是唯一的.

例10 设密度为1的流体的流速v 2=xz i sin +x k ,曲面∑

是由曲线

(12)0

??=≤≤?

=??y z x 饶z 轴旋转而成的旋转曲面,其法向量与z 轴正向的夹角为锐角,求单位时间内流体流向曲面∑正侧的流量Q .

解 旋转曲面为222:1(12)∑+-=≤≤x y z z ,令1∑为平面1=z 在∑内的部分取上侧,2∑为平面2=z 在∑内的部分取下侧,则12∑+∑+∑为封闭曲面的内侧,故

(,,)(,,)(,,)∑

=++??Q P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy

2sin ∑

=+??xz dydz xdxdy

12

1

2

222sin sin sin ∑+∑+∑∑∑=

+-+-+??????xz dydz xdxdy xz dydz xdxdy xz dydz xdxdy

12

2sin sin Ω∑∑=---???????z dxdydz xdxdy xdxdy

2

2

2

2

2

2

2

2

21

12

5

sin sin +≤++≤+≤=--

+

???

??

??

x y z

x y x y z dz

dxdy xdxdy xdxdy

2

221

128

(1)0015

ππ=-+-+=-

?z z dz 『方法技巧』 本题的关键是写出旋转曲面∑的方程,其次考虑封闭曲面的侧,以便应用高斯公式,最后用截痕法计算三重积分,用对称性计算二重积分.

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