2020年湖北省襄阳中考数学模拟试卷解析版
中考数学模拟试卷
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.-2的绝对值是（ ）
A. 2
B. -2
C.
D. ±2
2.下列计算中，结果正确的是（ ）
A. x2+x2=x4
B. x2?x3=x6
C. x2-（-x）2=0
D. x6÷x2=a3
3.不等式组的解集正确的是（ ）
A. x＞-5
B. x≤-1
C. -1＜x≤5
D. -5＜x≤-1
4.如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（ ）
A. B. C. D.
5.含30°角的直角三角板与直线l1、l2的位置关系如图所示，已知l1∥l2，∠ACD=∠A，
则∠1=（ ）
A. 70°
B. 60°
C. 40°
D. 30°
6.如图，四边形ABCD是平行四边形，用直尺和圆规
作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若AB=5，BF=6
，则AE的长为（ ）
A. 8
B. 10
C. 11
D. 12
7.若关于x的二次函数y=x2+x-a+与x轴有两个不同的交点，则实数a的取值范围是
（ ）
A. a≥2
B. a≤2
C. a＞2
D. a＜2
搅匀后从中摸出一个球，8.布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，
放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直
线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M
，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论
中错误的是（ ）
A. FB垂直平分OC
B. DE=EF
C. S△AOE：S△BCM=3：2
D. △EOB≌△CMB
10.已知b＜0时，二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象如下列四个图之一所示．根据图象分
析，a的值等于（ ）
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.的算术平方根是______．
12.从-1，2，3，-6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数y=
图象上的概率是______．
13.《孙子算经》是中国的重要数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有
若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱
的，那么乙也共有钱48文，甲、乙两人原来各有多少钱？设甲原有x文钱，乙原
有y文钱，可列方程组是 .
14.飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是
y=60t-．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是______m．
15.如图，在⊙O中，CD⊥AB于E，若∠BAD=30°，且BE=2，
则CD=______．
16.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是
AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿
MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则
A′C长度的最小值是______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17.先化简，再求值：÷（a-），其中a=+1，b=1．
18.为了巩固全国文明城市建设成果，突出城市品质的提升，近年来，我市积极落实节
能减排政策，推行绿色建筑，据统计，我市2016年的绿色建筑面积约为950万平方米，2018年达到了1862万平方米．若2017年、2018年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增，请解答下列问题：
（1）求这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率；
（2）2019年我市计划推行绿色建筑面积达到2400万平方米．如果2019年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2019年我市能否完成计划目标？
19.为了掌握八年级数学考试卷的命题质量与难度系数，命题组教师赴外地选取一个水
平相当的八年级班级进行预测，将考试成绩分布情况进行处理分析，制成如图表（成绩得分均为整数）：
组别成绩分组频数
A47.5～59.52
B59.5～71.54
C71.5～83.5a
D83.5～95.510
E95.5～107.5b
F107.5～1206
根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的a=______，b=______；扇形统计图中的m=______，n=______；
（2）已知全区八年级共有200个班（平均每班40人），用这份试卷检测，108分及以上为优秀，预计优秀的人数约为______人，72分及以上为及格，预计及格的人数约为______人；
（3）补充完整频数分布直方图．
20.如图，小明去观赏一棵千年古银杏树，当走到点A处时，测得
银杏树CD的仰角为30°，当向树前进40米到B处时，又测
得树顶端C的仰角为75°．请求出这棵千年古银杏树的高．（
结果精确到0.1米）．（参考数据：sin75°=，=1.732，
=1.414）
21.已知反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象相交于点A
（2，6），和点B（4，m）．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）直接写出不等式≤ax+b的解集和△AOB的面积．
22.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC
于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径
作⊙O．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC=30°，⊙O的直径为4，求阴影部分面积．
23.随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，某公司根据市场需求代理
A，B两种型号的净水器，其中A型净水器每台的利润为400元，B型净水器每台的利润为500元．该公司计划再一次性购进两种型号的净水器共100台，其中B型净水器的进货量不超过A型净水器的2倍，设购进A型净水器x台，这100台净水器的销售总利润为y元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）该公司购进A型、B型净水器各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
（3）实际进货时，厂家对A型净水器出厂价下调a（0＜a＜150）元，且限定公司最多购进A型净水器60台，若公司保持同种净水器的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台净水器销售总利润最大的进货方案．
24.如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别
是AC、AB边上点，连接EF．
（1）图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF=3S△EDF，求AE的长；
（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M 处，且使MF∥CA．
①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；
②求EF的长；
（3）如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN=1，CE=，求的值．
25.如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，
其中点A（0，1），点B（-9，10），AC∥x轴，点P是直
线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别
交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的
坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：|-2|=2，故选：A．
根据负数的绝对值是它的相反数，即可解答．
本题考查了绝对值，解决本题的关键是明确负数的绝对值是它的相反数．
2.【答案】C
【解析】解：A．x2+x2=2x2，故本选项不符合题意；
B．x2?x3=x5，故本选项不符合题意；
C．x2-（-x）2=0，正确；
D．x6÷x2=a4故本选项不符合题意；
故选：C．
分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法以及合并同类项，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：，
由①得：x≤-1，
由②得：x＞-5，
则不等式组的解集为-5＜x≤-1．
故选：D．
求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、圆柱的左视图是矩形，不符合题意；
B、圆锥的左视图是等腰三角形，符合题意；
C、三棱柱的左视图是矩形，不符合题意；
D、长方体的左视图是矩形，不符合题意．
故选：B．
根据左视图是从物体左面看所得到的图形，分别得出四个几何体的左视图，即可解答．本题主要考查简单几何体的三视图；考查了学生的空间想象能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：∵∠ACD=∠A=30°，
∴∠CDB=∠A+∠ACD=60°，
∵l1∥l2，
∴∠1=∠CDB=60°，
故选：B．
先根据三角形外角性质得到∠CDB的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠1的度数．
本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
6.【答案】A
【解析】解：∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG=∠DAG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAG，
∴∠BAG=∠AEB，
∴AB=BE=5，
由作图可知：AB=AF，
∠BAE=∠FAE，
∴BH=FH=3，BF⊥AE，
由勾股定理得：AH=EH=4，
∴AE=8，
故选：A．
先求AB=BE=5，利用勾股定理求AH=EH=4，得AE=8．
本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、角平分线的作法和定义、等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握平行加角平分线可得等腰三角形，属于常考题型．
7.【答案】C
【解析】解：由题意得，1-4×（-a+）＞0，
解得，a＞2，
故选：C．
根据二次函数与一元二次方程的关系，由b2-4ac＞0，解不等式即可得出答案．
考查二次函数与一元二次方程的关系，由根的判别式可以确定抛物线与x轴的交点个数，数形结合能更好理解题意．
8.【答案】A
【解析】解：画树状图得：
则共有9种等可能的结果，两次都摸到白球的有4种情况，
∴两次都摸到白球的概率为，
故选：A．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得两次都摸到白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9.【答案】D
【解析】解：∵矩形ABCD中，O为AC中点，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，
∵FO=FC，
∴FB垂直平分OC，故A正确；
∵△BOC为等边三角形，FO=FC，
∴BO⊥EF，BF⊥OC，
∴∠CMB=∠EOB=90°，
∴BO≠BM，
∴△EOB与△CMB不全等；故D错误；
易知△ADE≌△CBF，∠1=∠2=∠3=30°，
∴∠ADE=∠CBF=30°，∠BEO=60°，
∴∠CDE=60°，∠DFE=∠BEO=60°，
∴∠CDE=∠DFE，
∴DE=EF，故B正确；
易知△AOE≌△COF，
∴S△AOE=S△COF，
∵S△COF=2S△CMF，
∴S△AOE：S△BCM=2S△CMF：S△BCM=，
∵∠FCO=30°，
∴FM=，BM=CM，
∴=，
∴S△AOE：S△BCM=3：2，故C正确；
综上可知结论中错误的是选项D，
故选：D．
利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论A选项正确；在△EOB和△CMB中，对应直角边不相等，则两三角形不全等可得选项D错误；可证明∠CDE=∠DFE由此可得选项B正确；可通过面积转化进而可得选项C正确．
本题综合性比较强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实相当于四个证明题，属于常考题型．
10.【答案】C
【解析】解：由图可知，第1、2两个图形的对称轴为y轴，所以x=-=0，
解得b=0，
与b＜0相矛盾；
第3个图，抛物线开口向上，a＞0，
经过坐标原点，a2-1=0，
解得a1=1，a2=-1（舍去），
对称轴x=-=-＞0，
所以b＜0，符合题意，
故a=1，
第4个图，抛物线开口向下，a＜0，
经过坐标原点，a2-1=0，
解得a1=1（舍去），a2=-1，
对称轴x=-=-＞0，
所以b＞0，不符合题意，
综上所述，a的值等于1．
故选C．
根据抛物线开口向上a＞0，抛物线开口向下a＜0，然后利用抛物线的对称轴或与y轴的交点进行判断，从而得解．
本题考查了二次函数y=ax2+bx+c图象与系数的关系，a的符号由抛物线开口方向确定，难点在于利用图象的对称轴、与y轴的交点坐标判断出b的正负情况，然后与题目已知条件b＜0比较．
11.【答案】
【解析】解：∵=3，
∴的算术平方根是：．
故答案是：．
根据平方根、算术平方根的定义即可求解．
本题考查平方根及算术平方根的知识，难度不大，关键是掌握平方根及算术平方根的定义．
12.【答案】
【解析】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，点（m，n）恰好在反比例函数y=图象上的有：（2，3），
（-1，-6），（3，2），（-6，-1），
∴点（m，n）在函数y=图象上的概率是：=．
故答案为：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（m，n）恰好在反比例函数y=图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
根据甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果
乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文，可以列出方程组，从而可以解答本题．
【解答】
解：由题意可得，
，
故答案为：．
14.【答案】24
【解析】解：当y取得最大值时，飞机停下来，
则y=60t-1.5t2=-1.5（t-20）2+600，
此时t=20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．
因此t的取值范围是0≤t≤20；
即当t=16时，y=576，
所以600-576=24（米）
故答案是：24．
由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当y取得最大值时，t也取得最大值，求得t的取值范围即可，结合取值范围求得最后4s滑行的距离．
此题考查二次函数的实际运用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法是解题关键．
15.【答案】4
【解析】解：∵∠BAD=30°，BE=2，
∴∠C=∠BAD=30°．
∵CD⊥AB，
∴∠CEB=90°，CD=2CE，
∴BC=2BE=4，
∴CE===2，
∴CD=2CE=4．
故答案为：4．
先根据圆周角定理求出∠C的度数，再由CD⊥AB可知∠CEB=90°，CD=2CE，由直角三角形的性质求出BC的长，根据勾股定理求出CE的长，进而可得出结论．
本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
16.【答案】-1
【解析】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时
，即A′在MC上时，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，
∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD=MD=，
∴FM=DM×cos30°=，
∴MC==，
∴A′C=MC-MA′=-1．
故答案为：-1．
根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．
此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A′点位置是解题关键．
17.【答案】解：原式=-÷
=-?
=-，
当a=+1，b=1时，原式=-=-．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：（1）设这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率为x，
950（1+x）2=1862，
解得，x1=0.4，x2=-2.4（舍去），
即这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率为40%；
（2）由题意可得，
1862（1+40%）=2606.8，
∵2606.8＞2400，
∴2019年我市能完成计划目标，
即如果2019年仍保持相同的年平均增长率，2019年我市能完成计划目标．
【解析】（1）根据题意可以列出相应的方程从而可以求得这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率；
（2）根据（1）中的增长率可以求得实际到2019年绿色建筑的面积，然后与计划的作比较，即可解答本题．
本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，运用方程的思想解答问题．
19.【答案】8 10 10 25 1200 6800
【解析】解：（1）∵被调查的总人数为2÷5%=40（人），
∴a=40×20%=8，b=40-（2+4+8+10+6）=10，
m%=×100%=10%，n%=×100%=25%，即m=10、n=25；
故答案为：8、10、10、25；
（2）预计优秀的人数约为200×40×15%=1200（人），
预计及格的人数约为200×40×（1-5%-10%）=6800（人），
故答案为：1200、6800；
（3）补全频数分布直方图如下：
（1）根据第一组的频数和频率结合频率=频数÷总数，可求出总数，继而可分别得出a、b的值，根据百分比的概念可得m、n的值．
（2）根据总人数乘对应的百分比分别求出各空的答案．
（3）根据（1）中a、b的值即可补全图形．
本题主要考查频数分布直方图及频率分布表的知识，难度不大，解答本题的关键是掌握频率=频数÷总数．
20.【答案】解：设CD=x米．
在Rt△ACD中，∵∠A=30°，
∴tan30°=，
∴AD=x，
∴BD=AD-AB=x-40，
在Rt△BCD中，tan75°=，
∴=，
解得x≈70.6，
答：这棵千年古银杏树的高为70.6米．
【解析】通过解直角△ACD得到：AD=CD；通过解直角△BCD得到BD=
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：（1）把A（2，6）代入y=得k=2×6=12，
∴反比例函数解析式为y=；
把B（4，m）代入y=得4m=12，解得m=3，则B（4，3），
把A（2，6），B（4，3）分别代入y=ax+b，
得，
解得，
∴一次函数解析式为y=-x+9；
（2）不等式≤ax+b的解集为2≤x≤4或x＜0；
设一次函数图象与y轴交于C点，则C（0，9），
∴S△AOB=S△BOC-S△AOC
=×9×4-×9×2
=9．
【解析】（1）先把A点坐标代入y=其出k得到反比例函数解析式；再利用反比例函
数解析式确定B（4，3），然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）结合函数图象，写出一次函数图象不在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围可得不等式≤ax+b的解集；求出一次函数图象与y轴交点C的坐标，根据三角形面
积公式，利用S△AOB=S△BOC-S△AOC进行计算．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
22.【答案】（1）证明：连接OD，如图所示．
在Rt△ADE中，点O为AE的中心，
∴DO=AO=EO=AE，
∴点D在⊙O上，且∠DAO=∠ADO．
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAO，
∴∠ADO=∠CAD，
∴AC∥DO，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，即OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的直径为4，
∴AE=4，DO=AO=EO=AE=2，
∵∠ABC=30°，
∴∠CAD=∠DAO=30°，
∴CD=AD，DE=AE=2，AD===2，
∴CD=，AC===3，
∵tan∠ABC=，
∴BC=3，
∴阴影部分面积=S△ABC-S梯形ODCA-S扇形ODE
=AC?BC-（OD+AC）?CD-
=×3×3-（2+3）×-
=2-π．
【解析】（1）连接OD，由AE为直径、DE⊥AD可得出点D在⊙O上且∠DAO=∠ADO，根据AD平分∠CAB可得出∠CAD=∠DAO=∠ADO，由“内错角相等，两直线平行”可得出AC∥DO，再结合∠C=90°即可得出∠ODB=90°，进而即可证出BC是⊙O的切线；
（2）由题意得出AE=4，DO=AO=EO=AE=2，由直角三角形的性质得出CD，DE，由
勾股定理求出AD，AC，由三角函数求出BC，由三角形面积、梯形面积和扇形面积公式即可得出答案．
本题考查了切线的判定和性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、锐角三角函数、三角形面积、梯形面积和扇形面积公式等知识；本题综合性强，属于中考常考题型．
23.【答案】解：（1）根据题意，y=400x+500（100-x）=-100x+50000；
（2）∵100-x≤2x，
∴x≥，
∵y=-100x+50000中k=-100＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正数，
∴x=34时，y取得最大值，最大值为46600，
答：该公司购进A型净水器34台、B型净水器66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；
（3）据题意得，y=（400+a）x+500（100-x），即y=（a-100）x+50000，
，
①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，
∴当x=34时，y取最大值，
即公司购进34台A型净水器和66台B型净水器的销售利润最大．
②a=100时，a-100=0，y=50000，
即公司购进A型净水器数量满足≤x≤60的整数时，均获得最大利润；
③当100＜a＜150时，a-100＞0，y随x的增大而增大，
∴当x=60时，y取得最大值．
即公司购进60台A型净水器和40台B型净水器的销售利润最大．
【解析】（1）根据“总利润=A型净水器每台利润×A型净水器数量+B型净水器每台利润×B型净水器数量”可得函数解析式；
（2）根据“B型净水器的进货量不超过A型净水器的2倍且净水器量为整数”求得x 的范围，再结合（1）所求函数解析式及一次函数的性质求解可得；
（3）根据a的取值范围以及一次函数的性质，利用分类讨论的方法可以解答本题．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分类讨论的方法解答．
24.【答案】解：（1）如图①，
∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，
∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，
∴S△AEF=S△DEF，
∵S四边形ECBF=3S△EDF，
∴S△ABC=4S△AEF，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∵∠EAF=∠BAC，
∴Rt△AEF∽Rt△ABC，
∴=（）2，即（）2=，
∴AE=；
（2）①四边形AEMF为菱形．理由如下：
如图②，∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点
M处，
∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE，
∵MF∥AC，
∴∠AEF=∠MFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=EM=MF=AF，
∴四边形AEMF为菱形；
②连结AM交EF于点O，如图②，
设AE=x，则EM=x，CE=4-x，
∵四边形AEMF为菱形，
∴EM∥AB，
∴△CME∽△CBA，
∴==，即==，解得x=，CM=，
在Rt△ACM中，AM===，
∵S菱形AEMF=EF?AM=AE?CM，
∴EF=2×=；
（3）如图③，作FH⊥BC于H，
∵EC∥FH，
∴△NCE∽△NFH，
∴CN：NH=CE：FH，即1：NH=：FH，
∴FH：NH=4：7，
设FH=4x，NH=7x，则CH=7x-1，BH=3-（7x-1）=4-7x，
∵FH∥AC，
∴△BFH∽△BAC，
∴BH：BC=FH：AC，即（4-7x）：3=4x：4，解得x=，
∴FH=4x=，BH=4-7x=，
在Rt△BFH中，BF==2，
∴AF=AB-BF=5-2=3，
∴=．
【解析】本题考查了三角形的综合题：熟练掌握折叠的性质和菱形的判定与性质；灵活构建相似三角形，运用勾股定理或相似比表示线段之间的关系和计算线段的长．解决此类题目时要各个击破．
（1）先利用折叠的性质得到EF⊥AB，△AEF≌△DEF，则S△AEF=S△DEF，则易得
S△ABC=4S△AEF，再证明Rt△AEF∽Rt△ABC，然后根据相似三角形的性质得到=（）
2，再利用勾股定理求出AB即可得到AE的长；
（2）①通过证明四条边相等判断四边形AEMF为菱形；
②连结AM交EF于点O，如图②，设AE=x，则EM=x，CE=4-x，先证明△CME∽△CBA
得到==，解出x后计算出CM=，再利用勾股定理计算出AM，然后根据菱形的面
积公式计算EF；
（3）如图③，作FH⊥BC于H，先证明△NCE∽△NFH，利用相似比得到FH：NH=4：7，设FH=4x，NH=7x，则CH=7x-1，BH=3-（7x-1）=4-7x，再证明△BFH∽△BAC，利用
相似比可计算出x=，则可计算出FH和BH，接着利用勾股定理计算出BF，从而得到AF 的长，于是可计算出的值．
25.【答案】解：（1）∵点A（0，1）．B（-9，10）在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x+1，
（2）∵AC∥x轴，A（0，1）
∴x2+2x+1=1，
∴x1=-6，x2=0，
∴点C的坐标（-6，1），
∵点A（0，1）．B（-9，10），
∴直线AB的解析式为y=-x+1，
设点P（m，m2+2m+1）
∴E（m，-m+1）
∴PE=-m+1-（m2+2m+1）=-m2-3m，
∵AC⊥EP，AC=6，
∴S四边形AECP
=S△AEC+S△APC
=AC×EF+AC×PF
=AC×（EF+PF）
=AC×PE
=×6×（-m2-3m）
=-m2-9m
=-（m+）2+，
∵-6＜m＜0
∴当m=-时，四边形AECP的面积的最大值是，
此时点P（-，-）；
（3）∵y=x2+2x+1=（x+3）2-2，
∴P（-3，-2），
∴PF=y F-y P=3，CF=x F-x C=3，
∴PF=CF，
∴∠PCF=45°
同理可得：∠EAF=45°，
∴∠PCF=∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件的Q，
设Q（t，1）且AB=9，AC=6，CP=3
∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，
∴，
∴，
∴t=-4或t=-8（不符合题意，舍）
∴Q（-4，1）
②当△CQP∽△ABC时，
∴，
∴，
∴t=3或t=-15（不符合题意，舍）
∴Q（3，1）
【解析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，几何图形面积的求法（用割补法），解本题的关键是求函数解析式.
（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）设点P（m，m2+2m+1），表示出PE=-m2-3m，再用S四边形AECP=S△AEC+S△APC=
AC×PE，建立函数关系式，求出极值即可；
（3）先判断出PF=CF，再得到∠PCA=∠EAC，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况计算即可.