高二上学期数学期末考试卷含答案
【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，总分值60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合要求的．
1．命题〝假设2x =，那么2
320x x -+=〞的逆否命题是〔 〕
A 、假设2x ≠，那么2320x x -+≠
B 、假设2320x x -+=，那么2x =
C 、假设2320x x -+≠，那么2x ≠
D 、假设2x ≠，那么2
320x x -+=
2．〝直线l 垂直于ABC △的边AB ，AC 〞是〝直线l 垂直于ABC △的边BC 〞的 〔 〕
A 、充分非必要条件
B 、必要非充分条件
C 、充要条件
D 、既非充分也非必要条件
3 ．过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．假设AB 中点M 到抛物线
准线的距离为6，那么线段AB 的长为〔 )
A 、6
B 、9
C 、12
D 、无法确定
4．圆
042
2=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 ( ) A 、023=-+y x B 、043=-+y x C 、043=+-y x D 、023=+-y x
5．圆心在抛物线x
y 22=上，且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是
〔 〕 A 、0
122
2
=+--+y x y x B 、041
222=-
--+y x y x C 、0
122
2
=+-++y x y x
D 、
041222=+
--+y x y x
6．在空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标为分别为(0,0,2)，(2,2,0)，
(0,2,0)，(2,2,2)．那么该四面体在xOz 平面的投影为〔 〕
A 、
B 、
C 、
D 、
7．双曲线22
2
21(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线平行于直线:250l x y ++=，双曲线的一个焦
点在直线l 上，那么双曲线方程为〔 〕
A 、221205x y -=
B 、221520x y -=
C 、2233125100x y -=
D 、22
33110025x y -=
8．变量,x y 满足约束条件
??
?
??≥-≤+-≤-+010120
5x y x y x ，那么y
x 的最小值是〔 〕
A 、1
B 、4
C 、2
3 D 、09．a, b, c 均
为直线，α, β为平面，下面关于直线与平面关系的命题：
〔1〕任意给定一条直线a 与一个平面α，那么平面α内必存在无数条与a 垂直的直线；
〔2〕任意给定的三条直线a, b, c ，必存在与a, b, c 都相交的直线； 〔3〕α//β，βα??b a , ，必存在与a, b 都垂直的直线；
〔4〕βαβαβα??=⊥b a c , , , ，假设a 不垂直c ，那么a 不垂直B 、 其中真命题的个数为〔 〕 A 、 1
B 、
2
C 、3
D 、4
10．抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线()22
221x y a b a b -=>0,>0的右焦点，且两
条曲线的交点的连线过点F ，那么该双曲线的离心率为〔 〕 A 2 B 、2 C 2＋1 D 2－1
P
A
B
C
D
E
11．抛物线方程为x y 82
=，直线l 的方程为02=+-y x ，在抛物线上有一动点P 到y 轴
的距离为1d ，P 到l 的距离为2d ，那么21d d +的最小值为〔 〕 A 、232- B 、222- C 、22 D 、222+ 12．双曲线
1342
2=-y x 的左右焦点分别为21,F F ，O
为坐标原点，P 为双曲线右支上一
点，21PF F ?的内切圆的圆心为Q ，过2F 作PQ 的垂线，垂足为B ，那么OB 的长度为〔 〕
A 、7
B 、4
C ．3
D 、2
【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，总分值20分．
13．双曲线1
322
=-y x 的两条渐近线的夹角为
14．2019某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y
须满足约束条
件
??
?
??≤≤-≥-6252x y x y x ，那么该校招聘的教师最多是 名．
15．如图，⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，
BC AP =，?=∠30CBA ,D 、E 分别是BC 、AP 的中点.
那么异面直线AC 与DE 所成角的正切值为 . 16．一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥如右图，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如
图，圆锥底面面积是这个球面面积的3
16，那么较大圆锥与较
小圆锥的体积之比为___________
【三】解答题：本大题共5小题，共70分．解答须写出相应文字说明、证明过程和演算步骤．
17．(总分值12分) 在平面直角坐标系xoy 中，点P 到两点M ()0,3-、N ()
0,3的距
离之和等于4．设点P 的轨迹为C 、 (1) 写出轨迹C 的方程；
(2) 设直线y=1
2
x+1 与C 交于A 、B 两点， 求|AB|的长。
18．(总分值 14分) 如下图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，又//AD BC ，
AD DC ⊥，
且33PD BC AD ===.
〔1〕在网格中画出四棱准P ABCD -的正视图； 〔2〕求证：平面PAD ⊥平面PCD ；
〔3〕在棱PB 上是否存在一点E ，使得//AE 平 面PCD ，假设存在，求PE
EB 的值. 假设不存在，
请说明理由
19．(总分值 14分) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点
()
03A ,，直线24l y x =-：.设圆的半径为1，圆心在l 上.
(1) 假设圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求
切线的方程；
(2) 假设圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐
标
a 的取值范围.
20．(总分值14分) 椭圆C:22
2
21(0)x y a b a b +=>>的焦点是(3,0)、3,0)，且椭圆经过
点
2
(2,
。
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆右顶点M ，求证：直
P
C B
A
D
线l 恒过定点．
21．(总分值16分) 椭圆C ：2222
1(0)y x a b a b +=>>
，其四个顶点组成的
菱形的面积是O 为坐标原点，假设点A 在直线2=x 上，点B 在椭圆C 上，且
OA OB ⊥.
〔1〕 求椭圆C 的方程； 〔2〕求线段AB 长度的最小值； 〔3〕试判断直线AB 与圆2
22x y +=的位置关系，并证明你的结论.
答案及说明
选择题：CACDD AACBC BD
填空题：13．3π
；14．13；15．7；16．3:1
解答题：
17．(总分值12分)解：〔1〕设P 〔x ，y 〕 ∵MN PN PM =>=+324
由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以M 、N 为焦点，长半轴为2的椭圆. ……2分
它的短半轴
1,
b ==故曲线C
的方程为2
2
1
4y x +=． (4)
分
〔2〕设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足2
2141?+=???
=+?y x y kx ……………………5分
消去y 并整理得22
(4)230k x kx ++-=，
故
1212
2223
44k x x x x k k +=-
=-++，． (7)
分
当
1
2k =±
时，
12417
x x +=
，
121217
x x =-
．……………………8分
2222
212121()()(1)()AB x x y y k x x =-+-=+-，…………………9分
而
22212112()()4x x x x x x -=+-2322443413
4171717??=+?=，………………10分
所以465AB =
．……………………………………………………………12分
18．〔总分值14分〕〔1〕解：四棱准P ABCD -的正视图如下图.
………………2分
〔2〕证明：因为 PD ⊥平面ABCD ，AD ?平面ABCD ， 所以 PD AD ⊥. ………………6分 因为 AD DC ⊥，PD CD D =，PD ?平面PCD ，CD ?平面PCD ，
所以AD ⊥平面PCD . ………………7分 因为 AD ?平面PAD ，所以 平面PAD ⊥平面
PCD . ………………8分
〔3〕分别延长,CD BA 交于点O ，连接PO ，在棱
PB 上取一点
E ，使得1
2PE EB =
.下证//AE 平面PCD .
………………10分
因为 //AD BC ，3BC AD =，
所以 13OA AD OB BC ==
，即
1
2OA AB =.
所以 OA PE
AB EB =
. 所以//AE OP . ………………12分
因为OP ?平面PCD ，AE ?平面PCD ， 所以 //AE 平面PCD . ………………14分
19.〔总分值14分〕解：〔1〕联立：??
?-=-=421x y x y ，得圆心为：C(3，2)．……1分[来源:
学科网ZXXK]
设切线为：3+=kx y ，d ＝1
1|
233|2
==+-+r k k ，得：
43
0-
==k k 或．
故所求切线为：
343
+-
==x y y 或
． ……6分
〔2〕设点M(x ，y)，由MO MA 2=，知：2
2222)3(y x y x +=-+，……8分 化简得：
4)1(2
2=++y x ， ……10分 即：点M 的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D 、
又因为点M 在圆C 上，故圆C 圆D 的关系为相交或相切． ……11分 故：1≤|CD|≤3，其中
2
2)32(-+=a a CD ． ……12分
解之得：0≤a ≤12
5 ． ……14分
20.〔总分值14
分〕解：〔1〕椭圆C 的方程为22
2
21(0)x y a b a b +=>>
∴ 22
3a b -=，
24a ==
所以所求椭圆C 的方程为2
21
4x y += (4)
分
〔2〕方法一〔1〕由题意可知，直线l 的斜率为0时，不合题意. (2)不妨设直线l 的方程为
x ky m =+．
由2
2
,14x ky m x y =+???+=?? 消去x 得
222(4)240k y kmy m +++-=. …………………7分
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，那么有122
24km
y y k +=-+……①,
212244m y y k -=+………② ………………… 8分
因为以AB 为直径的圆过点M ，所以0MA MB ?=． 由1122(2,),(2,)MA x y MB x y =-=-，得1212(2)(2)0x x y y --+=． 将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式， 得2
21212(1)(2)()(2)0k
y y k m y y m ++-++-=. ……… ③ ……………………12分
将①②代入③，得 225161204m m k -+=+，解得6
5m =
或2m =〔舍〕．
综上，直线l 经过定点6(,0).
5 (14)
分
方法二证明：(1) 当k 不存在时，易得此直线恒过点6(,0)
5.…………7分
〔2〕当k 存在时.设直线l y kx m =+的方程为，1122(,),(,)A x y B x y ，(2,0)M .
由22
14
x y y kx m ?+=???=+?，可得
222(41)84120k x kmx m +++-=. 2216(41)0k m ?=-+>
1228,
41km
x x k -+=+ ……①
21224441m x x k -=+ ……. ② …………………9分 由题意可知
0MA MB ?=,1122(2,),(2,),MA x y MB x y =-=- 1122,.
y kx m y kx m =+=+
可得 1212(2)(2)0x x y y -?-+=. …………………10分 整理得
221212(2)()(1)40
km x x k x x m -+++++= ③
把①②代入③整理得 22
2121650,41k km m k ++=+ 由题意可知
22121650,k km m ++=
解得
6
2,.
5m k m k =-=- 〔i 〕 当2,(2)m k y k x =-=-即时，直线过定点〔2,0〕不符合题意，舍掉.……12分
〔ii 〕 65m k =-时，即6()5y k x =-，直线过定点6
(,0)
5，经检验符合题意. 综上所述，直线l 过定点6
(,0)
5 .…………………14分
21.〔总分值16分〕21、解：〔1〕由题意
22242c e a ab ?==?
?
?=?
，解得
22
4,2a b ==. 故椭圆C 的标准方程为22
1
42y x +=. ……………4分
〔2〕设点A ，B 的坐标分别为00(2,),(,)t x y ，其中00≠y ，
因为OA OB ⊥，所以0OA OB ?=，即0020+=x ty ， ……………5分 解得
02=-
x t y ，又220024+=x y ，
所以222
00||(2)()=-+-AB x y t =2
200002(2)()-++x x y y =222
0002044+++x x y y =222
00020
42(4)42--+++y y y y =22002
084(04)2++<≤y y y ，……………8分
因为2200208
4(04)2+≥<≤y y y ，当且仅当204=y 时等号成立，所以
2
||8AB ≥， 故线段AB 长度的最小值为22 ……………9分
〔3〕直线AB 与圆
22
2x y +=相切. ……………10分 证明如下：设点A,B 的坐标分别为00(,)x y ，(2,)t ，其中00y ≠. 因为OA OB ⊥，所以0OA OB ?=，即0020x ty +=，解得0
2x t y =-
. ……………11分
直线AB 的方程为
00(2)2y t
y t x x --=
--，
即0000()(2)20y t x x y y tx ----+=， ……………12分
圆心O 到直线AB
的距离d =
……………13分
由
220024
y x +=，
02x t y =-
，故
d =
== ，
所以 直线AB 与圆
222x y +=相切. ……………16分