高等数学中不等式的证明方法
高等数学中不等式的证明方法
摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此，
不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为
专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种
方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解
决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神，
创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。
关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理
Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints. Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（https://www.docsj.com/doc/0118151750.html, 毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics .It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics .This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by
derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem . We can
resolve the problems identified through these methods. It can bring up our innovative spirit and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient
,
Keyword: Higher Mathematics; Inequality; Extreme value Monotonicity; Integral Mean Value
Theorem
文章来自：全刊杂志赏析网(https://www.docsj.com/doc/0118151750.html,) 原文地址：
https://www.docsj.com/doc/0118151750.html,/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm
【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的
不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。
【关键词】不等式；中值定理；泰勒公式；辅助函数；柯西 施瓦茨；凹凸性
在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不
等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证
明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公
式法、函数的凹凸性法、柯西 施瓦茨不等式。
1 中值定理定理法
利用中值定理（罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的方法来证明不等式首先要熟记各个中值定理的应用条件，可将原不等式通过变形找到一个辅助函数，使其在所给区间上满足中值定理的条件，证明的关键是处理好ξ点，分析函数或其导数在该点的性质即可得到所要结论，在证明过程中也会出现反复应用同一定理或同时应用几个定理进行证明的情况。
例1 设e4e2(b-a)。
解：对函数ln2x在［a,b］上应用拉格朗日中值定理，得ln2b-ln2a=2lnξξ(b-a)，a<ξ设φ(x)=lnxx，φ′(x)=1-lnxx2当x>e时，φ′(x)<0，所以φ(x)单调减少，从而φ(ξ)>φ(e2)，即lnξξ>lne2e2=2e2，故ln2b-ln2a>4e2(b-a)。
也可利用函数的单调性证明，可设φ(x)=ln2x-4e2x
例2 设不恒为常数的函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，证明在（a,b）内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)>0。
解：因f(x)不恒为常数且f(a)≠f(b)，故至少存在一点c∈(a,b),使得f(c)≠f(a)=f(b)。
若f(c)>f(a)则在［a,c］上f(x)满足拉格朗日中值定理条件，因此至少存在一点ξ∈(a,c) (a,b)，使得f′(ξ)=1c-a［f(c)-f(a)］>0。
若f(c)
2 利用辅助函数的单调性证明
辅助函数方法比较常用，其主要思想是将不等式通过等价变形，找到一个辅助函数，通过求导确定函数在所给区间上的单调性，即可证明出结论。常用的方法是，直接将不等号右端项移到不等号左端，另不等号右端为零，左端即为所求辅助函数。
例3 试证：当x>0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2。
解：设f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，易知f(1)=0。
又f′(x)=2xlnx-x+2-1x，f′(1)=0, f′(x)=2lnx+1+1x2,f′(1)=2>0
f (x)=2(x2-1)x3可见，当00，因此有当00。又由f′(1)=0及f′(x)是单调增加的函数推知，当00，因此进一步有f(x)≥f(1)=0(00时，(x2-1)lnx≥(x-1)2。
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例4 设b>a>e，证明ab>ba。
分析：要证ab>ba，只需证blna>alnb或lnaa>lnbb
解一：令f(x)=xlna-alnx(x≥a),因为f′(x)=lna-ax>1-ax≥0(x≥a)
所以f(x)在x≥a时单调增加。因此当bφa时，有f(b)>f(a)=0，即有blna>alnb，也即ab>ba 。
解二：令f(x)=lnxx,x>e,则有f′(x)=1-lnxx2<0(x>e)，因此f(x)单调减少，故当b>a>e时，有lnaa>lnbb即ab>ba。
3 利用泰勒展开式证明
泰勒展开式的证明常用的是将函数f(x)在所给区间端点或一些特定点（如区间的中点，零点）进行展开，通过分析余项在ξ点的性质，而得出不等式。另外若余项在所给区间上不变号，也可将余项舍去而得到不等式。
例5 设f(x)在［0，1］上具有二阶可导函数，且满足条件|f(x)|≤a,|f(x)|≤b,其中a,b都是非负常数，c是（0，1）内任意一点，证明|f′(x)|≤2a+b2 。
分析: 已知f(x)二阶可导，应考虑用二阶泰勒展开式。本题涉及证明|f′(x)|≤2a+b2，应在特定点x=c处将f(x)按泰勒公式展开。
解：对f(x)在x=c处用泰勒公式展开，得
f(x)=f(c)+f′(c)(x-c)+f′(ξ)2!(x-c)2（1）
其中ξ=c+θ(x-c),0<θ<1，在（1）式中令x=0，有
f(0)=f(c)+f′(c)(0-c)+f′(ξ)2!c2, 0<ξ 1
在（1）式中令x=1，有f(1)=f(c)+f′(c)(1-c)+f′(ξ)2!c2, 0
上述两式相减得
f(1)-f(0)=f′(c)12! ［f′(ξ2)(1-c)2-f′(ξ1)c2］, 于是
|f′(c)|=|f(1)-f(0)-12 ［f′(ξ2)(1-c)2-f′(ξ1)c2］|
≤|f(1)|+|f(0)|+12|f′(ξ2)| (1-c)2+12 |f′(ξ1)|c2
≤2a+b2［(1-c)2+c2］, 又因当c∈(0,1)时，有
(1-c)2+c2≤1 故|f′(c)|≤2a+b2
因这里ξ与x有关，可将其记为ξ(x)，那么当令x分别取0和1时，对应的ξ可分别用ξ1和ξ2表示。
4 柯西 施瓦茨不等式
(〖jf(z〗baf(x)g(x)dx)2〖jf)〗≤〖jf(z〗baf2(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗bag2(x)dx〖jf)〗
柯西 施瓦茨不等式是一个常用的不等式，在证明过程中我们可以直接利用常用不等式进行证明，即方便又快捷。
例6 设f(x)在区间［a,b］上连续，且f(x)>0,证明〖jf(z〗baf(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba1f(x)dx ≥(b-a)2 。〖jf)〗
证明：(〖jf(z〗baf(x)1f(x)dx)2〖jf)〗≤〖jf(z〗baf(x))2 dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba（1f(x))2dx 〖jf)〗
即得〖jf(z〗baf(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba1f(x)dx≥(b-a)2〖jf)〗
5 利用函数图形的凹凸性进行证明
函数的凹凸性证明方法首要是找到辅助函数f(x)，利用函数f(x)在所给区间［a,b］的二阶导数确定函数的凹凸性。
f′(x)>0 函数为凹的,则f(a)+f(b)>2f(a+b2)；
f′(x)<0 函数为凸的,则f(a)+f(b)<2f(a+b2)，从而证明出结论。
例7 xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2,(x>0,y>0,x≠y)
令f(t)=tlnt(t>0), f′(t)=lnt+1, f′(t)=1t>0, 故f(t)=tlnt在（x,y）或（y,x）,x>0,y>0是凹的，于是
12［f(x)+f(y)］>f(x+y2)
即12［f(x)+f(y)］>x+y2ln x+y2
即xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2
类似的如：证明ex+ey2>ex+y2, (x≠y)。
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高中不等式的证明方法
不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+
备战2019高考数学选择题专题04不等式的证明理
专题04 不等式的证明 知识通关 1．基本不等式 （1）定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． （2）定理2（基本不等式）：如果a ，b>0，那么 2 a b ab +≥，当且仅当a=b 时，等号成立. 用语言可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数. （3）定理3：如果a ，b ，c 为正数，那么 3 3 a b c abc ++≥a ＝b ＝c 时，等号成立． 用语言可以表述为：三个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数. （4）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，···，a n ，它们的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数，即 12123n n n a a a a a a a n ++ +≥??，当且仅当 a 1=a 2=···=a n 时，等号成立. 2．柯西不等式 （1）二维形式的柯西不等式：若a ，b ，c ，d 都是实数，则2 2 2 2 2 ()(+)()a b c d ac bd +≥+，当且仅当 ad=bc 时，等号成立. （2）柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则||||||?≥?αβαβ，当且仅当α是零向量或β是零向量或存在实数k 使α=k β时，等号成立. （3）二维形式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，22 221212x x y y ++≥211222()()x y x y -+- （4）一般形式的柯西不等式：设1212,, ,,,, ,n n a a a b b b 是实数,则 (22212n a a a ++ +)(222 12n b b b + ++) ≥()2 1122n n a b a b a b +++，当且仅当a i =0或b i =0(i=1,2,···,n )或存在一个数k 使得 a i =k b i (i=1,2,···,n )时，等号成立. 3．不等式证明的方法 （1）比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种.
微积分证明不等式方法
用微积分理论证明不等式的方法 江苏省扬中高级中学 卞国文 212200 高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似． 微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式． 一、用导数定义证明不等式法 1．证明方法根据－导数定义 导数定义：设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，若极限 x y x x x x x x f x f ??→?→=--lim lim 0 00)()(0 存在，则称函数)(x f 在0x 可导，称这极限为函数)(x f y =在点0x 的导数，记作)(0x f y '=． 2．证明方法： (1)找出0x ，使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究． 3．例 例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ，其中n a a a ,,21都为实数， n 为正整数，已知对于一切实数x ，有x x f sin )(≤，试证：1221≤+++n na a a ． 分析：问题中的条件与结论不属于同一类型的函数，如果能找出它们之间的关系，无疑能帮助解决此题，可以看出：)0(221f na a a n '=+++ ．于是问题可以转化为证明 1)0(≤'f ． 证 明 ： 因 nx na x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' ．则n na a a f +++=' 212)0(． 利 用 导 数 的 定 义 得 ：
不等式典型例题之基本不等式的证明
5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题） 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新????
绝对值不等式教学设计
含有绝对值的不等式 教学目标 （1）掌握绝对值不等式的基本性质，在学会一般不等式的证明的基础上，学会含有绝对值符号的不等式的证明方法； （2）通过含有绝对值符号的不等式的证明，进一步巩固不等式的证明中的由因导果、执要溯因等数学思想方法； （3）通过证明方法的探求，培养学生勤于思考，全面思考方法； （4）通过含有绝对值符号的不等式的证明，可培养学生辩证思维的方法和能力，以及严谨的治学精神。 教学建议 一、知识结构 二、重点、难点分析 ①本节重点是性质定理及推论的证明．一个定理、公式的运用固然重要，但更重要的是要充分挖掘吸收定理公式推导过程中所蕴含的数学思想与方法，通过证明过程的探求，使学生理清思考脉络，培养学生勤于动脑、勇于探索的精神． ②教学难点一是性质定理的推导与运用；一是证明含有绝对值的不等式的方法选择．在推导定理中进行的恒等变换与不等变换，相对学生的思维水平是有一定难度的；证明含有绝对值的不等式的方法不外是比较法、分析法、综合法以及简单的放缩变换，根据要证明的不等式选择适当的证明方法是无疑学生学习上的难点． 三、教学建议
（1）本节内容分为两课时，第一课时为含有绝对值的不等式性质定理的证明及简单运用，第二课时为含有绝对值的不等式的证明举例． （2）课前复习应充分．建议复习：当时 ； ； 以及绝对值的性质： ，为证明例1做准备． （3）可先不给出含有绝对值的不等式性质定理，提出问题让学生研究：是否等于？ 大小关系如何？是否等于？等等．提示学生用一些数代入计算、比较，以便归纳猜想一般结论． （4）不等式的证明方法较多，也应放手让学生去探讨． （5）用向量加减法的三角形法则记忆不等式及推论． （6）本节教学既要突出教师的主导作用，又要强调学生的主体作用，课上尽量让全体学生参与讨论，由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生的团结协作的团队精神． 教学设计示例 含有绝对值的不等式 教学目标 理解及其两个推论，并能应用它证明简单含有绝对值不等式的证明问题。 教学重点难点
浅谈中学几种常用证明不等式的方法
成绩： 江西科技师范大学 毕业论文 题目：浅谈中学几种常用证明不等式的方法 （外文）：On the method commonly used in Middle School to prove inequality 院（系）：数学与计算机科学学院 专业：数学与应用数学 学生姓名：吴丹 学号：20091741 指导教师：樊陈 2013年3月20日
目录 1引言 (1) 2放缩法证明不等式 (1) 2.1放缩法 (1) 2.2（改变分子分母）放缩法 (1) 2.3拆补放缩法 (2) 2.4编组放缩法 (3) 2.5寻找“中介量”放缩法 (4) 3反正法证明不等式 (4) 3.1反证法定义 (4) 3.2反证法步骤 (5) 4．换元法证明不等式 (6) 4.1利用对称性换元，化繁为简 (6) 4.2三角换元法 (7) 4.3和差换元法 (8) 4.4分式换元法 (8) 5．综合法证明不等式 (9) 5.1综合法证明不等式的依据 (9) 5.2用综合法证明不等式的应用 (9) 5.3综合法与比较法的内在联系 (10) 6.分析法 (11) 6.1分析法的定义 (11) 6.2分析法证明不等式的方法与步骤 (11) 6.3分析法证明不等式的应用 (11) 7．构造法证明不等式 (13) 7.1构造函数模型 (13) 7.2构造数列模型 (14) 8．数学归纳法证明不等式 (15) 8.1分析综合法 (16) 8.2放缩法 (16) 8.3递推法 (17) 9.判别式法证明不等式 (17) 10.导数法证明不等式 (18) 10.1利用函数的单调性证明不等式 (18) 9.2利用极值（或最值） (20) 11比较法证明不等式 (20) 11.1差值比较法 (20) 11.2商值比较法 (21) 11.3比较法的应用范围 (22) 12结束语： (22) 参考文献 (22)
高中数学基本不等式证明
不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =--
高等数学中不等式的证明方法
高等数学中不等式的证明方法 摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此， 不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种 方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神， 创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。 关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理 Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints. Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（https://www.docsj.com/doc/0118151750.html, 毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics .It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics .This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem . We can resolve the problems identified through these methods. It can bring up our innovative spirit and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient , Keyword: Higher Mathematics; Inequality; Extreme value Monotonicity; Integral Mean Value Theorem 文章来自：全刊杂志赏析网(https://www.docsj.com/doc/0118151750.html,) 原文地址： https://www.docsj.com/doc/0118151750.html,/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm 【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的 不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。 【关键词】不等式；中值定理；泰勒公式；辅助函数；柯西 施瓦茨；凹凸性 在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不 等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证 明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公
不等式证明的常用基本方法
证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t
绝对值不等式例题解析
典型例题一 例1 解不等式2321-->+x x 分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念? ??<-≥=)0()0(a a a a a ，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论． 解：令01=+x ，∴ 1-=x ，令032=-x ，∴2 3=x ，如图所示． （1）当1-≤x 时原不等式化为2)32()1(--->+-x x ∴2>x 与条件矛盾，无解． （2）当2 31≤ <-x 时，原不等式化为2)32(1--->+x x ． ∴ 0>x ，故2 30≤
当4>x 时，得a x x <-+-)3()4(，即27+< a x ，有解的条件为42 7>+a ∴1>a ． 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为1>a ． 解法二：设数x ，3，4在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，如图，由绝对值的几何定义，原不等式a PB PA <+的意义是P 到A 、B 的距离之和小于a ． 因为1=AB ，故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于（等于1），即134≥-+-x x ，故当1>a 时，a x x <-+-34有解． 典型例题三 例3 已知),0(,20,2M y a b y M a x ∈ε<-<ε<-，求证ε<-ab xy ． 分析：根据条件凑b y a x --,． 证明：ab ya ya xy ab xy -+-=- ε=ε?+ε?<-?+-≤-+-=a a M M b y a a x y b y a a x y 22)()(． 说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法． 典型例题四 例4 求证 b a a b a -≥-22 分析：使用分析法 证明 ∵0>a ，∴只需证明b a a b a -≥-222，两边同除2 b ，即只需证明 b a b a b b a -≥-2222 2，即 b a b a b a -≥-22)(1)( 当1≥b a 时，b a b a b a b a -≥-=-222)(1)(1)(；当1高考数学高三模拟考试试卷压轴题专题六十三不等式的证明
高考数学高三模拟考试试卷压轴题专题六十三不等式的证明 【高频考点解读】 1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法． 2.了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式． 3.能利用均值不等式求一些特定函数的极值. 【重点知识梳理】 一、比较法证明不等式 (1)求差比较法： 知道a>b ?a －b>0，ab 只要证明a －b>0即可，这种方法称为求差比较法． (2)求商比较法： 由a>b>0?a b >1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b ，只要证明a b >1即可，这种方法称为求商比较法． 二、综合法与分析法 1．综合法 利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法． 2．分析法 证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法． 3．平均值不等式 定理：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3 abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 我们称 a ＋ b ＋ c 3 为正数a ，b ，c 的算术平均值，3 abc 为正数a ，b ，c 的几何平均值，定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式，简称为平均值不等式． 4．一般形式的算术—几何平均值不等式 如果a1，a2，…，an 为n 个正数，则a1＋a2＋…＋an n ≥n a1a2…an ，当且仅当a1＝a2＝…＝an 时，等号成立． 【高考考纲突破】
高等数学不等式的证明试题及答案
微积分中不等式的证明方法讨论 不等式的证明题经常出现在考研题中，虽然题目各种各样，但方法无非以下几种： 1.利用函数的单调性证明不等式 若在),(b a 上总有0)(>'x f ，则)(x f 在),(b a 单调增加；若在),(b a 上总有0)(<'x f ，则)(x f 在),(b a 单调减少。 注：考研题的难点是，构造恰当的辅助函数，有时需要两次利用函数的单调性证明不等式，有时需要对),(b a 进行分割，分别在小区间上讨论。 例１：证明：当0a b π<<<时， sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++. 【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明. 【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<， 则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,s i n 0x x x π<<>时）， 故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即 sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++. 【评注】 证明数值不等式一般需构造辅助函数，辅助函数一般通过移项，使不等式一端为“0”，另一端即为所作辅助函数()f x ，然后求导验证()f x 的增减性，并求出区间端点的函数值（或极限值）。 例2：设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 2 22a b e a b ->-. 【分析】即证a e a b e b 2 222 4ln 4ln ->- 证明： 设x e x x 224ln )(-=?，则 24ln 2)(e x x x -='?， 2ln 12)(x x x -=''?, 所以当x>e 时，,0)(<''x ? 故)(x ?'单调减少，从而当2 e x e <<时，
浅谈不等式的证明
浅谈不等式的证明 不等式问题是高中数学的重要内容之一，考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面，同时，不等式也是高中数学的基础，因此，在每年的数学高考题中，有关不等式的相关题目占有一定的比例，命题主要涉及解不等式、不等式的证明、不等式的应用这三方面，现将不等式的证明进行研究。 证明不等式有利于提高学生的分析与综合能力，证明不等式没有固定的程序，一个不等式的证法往往不止一种，证明过程往往是几种方法的综合运用，但无论是哪种方法，都离不开不等式的基本性质，另外在教材中提到了平均值不等式、排序不等式、三角不等式，如果能熟记并能运用的话，在证明不等式的过程中会有很大的帮助。下面将详细列举证明不等式的方法。 一、比较法 比较法是证明不等式的一种最基本也是最重要的方法，主要有作差比较和作商比较两种形式。 （1）作差比较法的步骤一般为：①作差式②差式变形③判断差式的正负④下结论；在这些步骤中，最难的就是差式变形，常用到的有配方法、通分法、因式分解法等等。 （2）作商比较法的步骤为：①作商式②商式变形③判断商式的值是大于1、小于1还是等于1④下结论。 （3）当不等式两边为多项式、分式或对数形式时，往往选择作差法；当不等式两边为指数时，常采用作商法。下面将列举例子进行
分析，以进一步加深对比较法的认识。 例1 若40πβα< <<，则ββααcos sin cos sin +<+ 证明 β βααβαβαβαβαβαβαπβαβαππβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ βααcos sin cos sin 02 sin 2cos 2sin 22 sin 222cos ,02sin 420,02840)2 sin 2(cos 2sin 22 cos 2sin 22sin 2cos 2) cos (cos )sin (sin cos sin cos sin +<+<+-+-+>>+<-<+<<-<-<<<+-+-=-+--+=-+-=+-+即）（所以得于是有，所以因为 二、放缩法 放缩法是证明不等式所特有的方法，把要证的不等式中的一部分量进行放大或缩小，形成新的不等式，而这个新的不等式必须是比原不等式更容易证明的，同时，由新的不等式成立可以推出原不等式成立。另外，放缩目标必须明确，从实际出发，从原不等式过渡到新的不等式是证明的关键。下面就实际例子进行分析。 例2 若，求证：且3,0,,≥++>zx yz xy z y x
用微积分理论证明不等式的方法
用微积分理论证明不等式的方法 高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似． 微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式． 一、用导数定义证明不等式法 1．证明方法根据－导数定义 导数定义：设函数)(x f y =在点。0x 的某个邻域内有定义，若极限 x y x x x x x x f x f ??→?→=--lim lim 0) ()(0 存在，则称函数)(x f 在0x 可导，称这极限为函数)(x f y =在点0 x 的导数，记作)(0x f y '=． 2．证明方法： (1)找出0x ，使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究． 3．例 例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ，其中n a a a ,,21都为实数， n 为正整数，已知对于一切实数x ，有x x f sin )(≤，试证：1221≤+++n na a a ． 证 明 ： 因 nx na x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' ．则 n na a a f +++=' 212)0(． 得：x x f x x f x f x f f x x x ) ()(lim 0)0()()0(lim lim 00 →→→==--= '．由于x x f sin )(≤． 所以1sin )0(lim =≤ '→x x f x ．即1221≤+++n na a a ． 4.适用范围 用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的． 二．用可导函数的单调性证明不等式法
证明不等式的几种常用方法
证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以
不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾．
浅谈中学数学不等式的证明方法
本科生毕业论文 学院数学与计算机科学学院 专业数学与应用数学 届别 2015 届 题目浅谈中学数学不等式的证明方法 学生姓名徐亚娟 学号 201111401138 指导教师吴万勤 教务处制
云南民族大学毕业论文(设计)原创性声明 本人郑重声明：所呈交的毕业论文(设计)，是本人在指导教师的指导下进行研究工作所取得的成果。除论文中已经注明引用的内容外，本论文没有抄袭、剽窃他人已经发表的研究成果。本声明的法律结果由本人承担。 毕业论文(设计)作者签名： 日期：年月日 …………………………………………………………………………… 关于毕业论文(设计)使用授权的说明 本人完全了解云南民族大学有关保留、使用毕业论文(设计)的规定，即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文(设计)的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文(设计)。 （保密论文在解密后应遵守） 指导教师签名：论文(设计)作者签名： 日期：年月日
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摘要 (4) 引言 (6) 1、预备知识 (6) 1.1不等式的概念 (6) 1.2不等式的性质 (6) 1.3基本不等式 (7) 1.4几个重要不等式 (7) 1.4.1柯西不等式 (7) 1.4.2伯努利不等式 (7) 2、证明不等式的常用方法 (7) 2.1比较法 (8) 2.1.1求差法 (8) 2.1.2求商法 (8) 2.1.3过度比较法 (8) 2.2分析法 (9) 2.3综合法 (9) 2.4缩放法 (10) 2.4.1放缩法的常见技巧 (10) 2.5反推法 (10) 2.6数学归纳法 (11) 2.7反证法 (11) 2.7.1反证法的基本思路 (11) 2.7.2反证法的步骤 (11) 2.8判别式法 (12) 2.9等式法 (12) 2.10中值定理法 (12) 2.11排序法 (12) 2.12分解法 (13) 2.13函数极值法 (13) 3 .利用构造法证明不等式 (13) 3.1构造函数模型 (13) 3.1.1构造一次函数模型 (14) 3.1.2构造二次函数模型 (14) 3.1.3构造单调函数证明不等式 (14) 3.2构造复数模型 (14) 3.3构造方程法 (15) 4.换元法证明不等式 (15) 4.1.三角换元法 (15) 4.2均值换元 (16)
浅谈高中数学不等式的证明方法
浅谈高中数学不等式的证明方法 姜堰市罗塘高级中学 李鑫 摘要：不等式是中学数学的重要知识，本文介绍了几种不等式的证明方法，并举例进一步加强对各种不等式的理解。 关键字：比较法，分析法，综合法，反证法，放缩法，数学归纳法，换元法，均值不等式，柯西不等式，导数法 不等式在中学数学中占有重要地位，因此在历年高考中颇为重视。由于不等式的形式各异, 所以证明没有固定的程序可循，技巧多样，方法灵活，因此有关不等式的证明是中学数学的难点之一。本文从不等式的各个方面进行讲解和研究。 一．比较法 所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a b <”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法。 例1 已知：0>a ，0>b ，求证：ab b a ≥+2. 分析：两个多项式的大小比较可用作差法 证明 02 )(2222 ≥-=-+=-+b a ab b a ab b a ， 故得 ab b a ≥+2 . 例2 设0>>b a ，求证：a b b a b a b a >. 分析：对于含有幂指数类的用作商法 证明 因为 0>>b a ， 所以 1>b a ，0>- b a . 而 1>??? ??=-b a a b b a b a b a b a ， 故 a b b a b a b a > 二．分析法 从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法。
2021年高考数学第一轮专题复习- 不等式——不等式的证明
第48课时：第六章 不等式——不等式的证明(二) 课题：不等式的证明（二） 一．复习目标： 1．了解用反证法、换元法、放缩法等方法证明简单的不等式． 二．知识要点： 1．反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）； 2．换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性； 3．放缩法：要注意放缩的适度，常用的方法是：①舍去或加上一些项；②将分子或分母放大（或缩小）． 三．课前预习： 1．设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是 （ ） () A 1,)+∞ () B (1]-∞ () C 1,)+∞ () D (1]-∞ 2 ．1A n =+++与)n N *∈的大小关系是 ． 四．例题分析： 例1．已知332x y +=，求证：2x y +≤． 例2．设正有理数1a 是3的一个近似值，令21 211a a =+ +， （1介于1a 与2a 之间；
（2）证明：2a 比1a 更接近于3； （3的有理近似值的方法． 例3．在数列{}n a 中，23sin sin 2sin 3sin 2222n n n a αααα=++++，对正整数,m n 且m n >，求证：12m n n a a -< ． 例4．设1a b c ++=，2221a b c ++=，a b c >>，求证：103c -<<． 五．课后作业： 1．下列三个式子22a c -，22b a -，22(,,)c b a b c R -∈中 （ ） ()A 至少有一式小于1- ()B 都小于1- ()C 都大于等于1- ()D 至少有一式大于等于1- 2设0,0,,111x y x y x y A B x y x y +>>==+++++，则,A B 的大小关系是 ．