苏教版 八年级上 数学 勾股定理 常考题型分类汇总 知识点经典例题变式题

第二章勾股定理

类型一：勾股定理的直接用法

1、在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=40，b=9，求c；

(3)已知c=25，b=15，求a.

举一反三

【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?

类型二：勾股定理的构造应用

2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.

举一反三【变式1】如图，已知：，，

于P. 求证：.

【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

类型三：勾股定理的实际应用

（一）用勾股定理求两点之间的距离问题

3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方

向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。（1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

举一反三

【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

（二）用勾股定理求最短问题

4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

举一反三

【变式1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，Ｂ

Ｃ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求

出爬行的最短路程．

【变式2】如图①是一个长方体盒子，长AB＝4，宽BC＝2，高CG＝1．

(1) 一只蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点G，那么它所

行走的最短路线的长是______．

(2)这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为______．

点评：把题中的长方体变成正方体或圆柱时，找直角三角形运用勾股定理的思想方法不变，在计算的过程中，可尝试总结计算的公式，如长方体内最长线段

的长度为222

长宽高．

++

【变式3】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B到点C的距离为5，如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B，那么它

需要爬行的最短距离是( )

A．5 B．25

C．15 D．35

【变式4】一个长方体同一顶点处的三条棱长分别是3、4、12，则这个长方体内能容下的最长木棒的长度为______．

【变式5】如图，将一根25 cm长的细术棒放入长、宽、高分别为8 cm、6 cm 和103cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是__________cm．

类型四：利用勾股定理作长为的线段

5、作长为、、的线段。

思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的

等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边

为和1的直角三角形斜边长就是，类

似地可作。

作法：如图所示

（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，使AB为斜边；

（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为；

（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、

的长度就是、、、。

举一反三

【变式】在数轴上表示的点。

解析：可以把看作是直角三角形的斜边，，

为了有利于画图让其他两边的长为整数，

而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。

作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，

以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。

类型五：逆命题与勾股定理逆定理

6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确

1．原命题：猫有四只脚．（正确）

2．原命题：对顶角相等（正确）

3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确）4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）

7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n

为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.

【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。

请问FE与DE是否垂直?请说明。

经典例题精析

类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法

1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

举一反三【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。

注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a。

【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。

【变式4】（1）以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）

A、8，15，17

B、4，5，6

C、5，8，10

D、8，39，40

（2）已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长是______．

【变式5】如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图②中的实线)是______．

【变式6】如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，其中，斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______．

【变式7】如图，已知1号、4号两个正方形的面积为为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a，b，c三个方形的面积和为( )

A．11 B．15 C．10 D．22

【变式8】在△ABC中，∠B＝90°，两直角边AB＝7，BC＝24，三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是______．

类型二：勾股定理的应用

2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？

举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。

【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。

（1）直接写出单位正三角形的高与面积。

（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD

的面积是多少？

（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。

类型三：数学思想方法

（一）转化的思想方法

我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．

3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。

（二）方程的思想方法

4、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，，求、

、的值。

总结升华：在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边

的一半。

举一反三：

【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。

类型四：平方根、立方根与实数

5、(1)若()2

x x x y

---=+，则x－y的值为( )

11

A．－1 B．1 C．2 D．3

(2)已知a为实数，那么2a-等于( )

A．a B．－a C．－1 D．0

【变式】（1）已若“8

+=______．

a b

a-＋(b＋27) 2＝0，则33

（2）已知x、y都是实数，且y＝223

-+-+，则x y＝_______．

x x

（3）若4

x-＋(y＋6) 2＝0，则x＋y＝_______．

(4)若()2

-+-+-=，则a－b＋c＝_______．

a b c

2340

6、已知8的整数部分是a，小数部分是b，则(－a)3＋(b＋2)2＝______．

【变式1】（1）估计20的算术平方根在( )

A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间

（2）估算27－2的值在( )

A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间

（3）估算17＋1的值在( )

A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【变式2】若131

-的整数部分为a，333的整数部分为b，求4910

a b

+-的值．

7、已知2a－l的平方根是±3，3a－2b＋l的平方根是±3，求4a－b的算术平方根．

【变式】（1）若5x＋6的平方根是±1，则x＝_______ 。

(2)一个正数x的算术平方根是a，那么x＋2的算术平方根是_____，x ＋1的立方根是_____．

(3)一个数的算术平方根是8，则这个数的立方根是______；364的平方

根是_______．

（4）已知(x＋y＋2)(x＋y－2)＝45，则x＋y的值是______．

（5）如果一个数的平方根是a＋3与2a－15，那么这个数是_______；

（6）如果5x＋4的平方根是±1，那么x＝_______．

(7)如果3x+12的立方根是3，求2x+6的平方根；

(8)已知一个正数的平方根是2a－1与－a+2．求a2009的值．

8、在实数－4

3，－327，5

2

，..

0.5757，0.121 121 112…，π，18，0.351，3，

3.141 59中，无理数有( )

A．2个B．3个C．4个D．5个

【变式】下列各数：3.5，22

7，3. 141 6，－π，902，3.51，

355

133

，

13

90

，4.121121112…，

7.030 303中，有理数有____________________________，无理数有

_________________________．

类型五：科学记数法与有效数字

9、用四舍五入法，按括号内的要求取下列各数的近似数．

(1) 60 340(保留2个有效数字)；(2)0.038 49(保留2个有效数字)；

(3)0.000 077(精确到0.000 01)；(4) 81595(精确到百位)．

【变式】(1) 3.4万精确到_______位，有_______个有效数字．

(2)5.82×104精确到_______位，有_______个有效数字．

（3）6.510×104精确到______位，有______个有效数字，分别是_______．