最新复数的三角形式及乘除运算
复数的三角形式及乘
除运算
复数的三角形式及乘除运算
一、主要内容:
复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义.
二、学习要求:
1．熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值.
2．深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式.
3．能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围（最值）.
4．利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题.
5．注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法.
三、重点:
复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用.
四、学习建议:
1．复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的.
前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示，即Z=a+bi(a,b∈R).二是几何表示，复数Z既可以用复平面上的点Z(a,b)表示，也可以用复平面上的向量来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数Z的
模和辐角来表示，设其模为r，辐角为θ，则Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0).
既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化.
代数形式r=三角形式
Z=a+bi(a,b∈R) Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0)
复数三角形式的结构特征是:模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数Z的一个辐角，不一定是辐角主值.
例1．下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式:
(1) Z1=-2(cosθ+isinθ)(2) Z2=cosθ-isinθ(3) Z3=-sinθ+icosθ
(4) Z4=-sinθ-icosθ(5) Z5=cos60°+isin30°
分析:由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向.变形时，可按照如下步骤进行:首先确定复数Z对应点所在象限（此处可假定θ为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角.此步骤可简称为“定点→定名→定角”.这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率.
解:（1）由“模非负”知，不是三角形式，需做变换:Z1=Z(-cosθ-isinθ)
复平面上Z1(-2cosθ,-2sinθ)在第三象限（假定θ为锐角），余弦“-cosθ”已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π+θ”将θ变换到第三象限.∴Z1=Z(-cosθ-isinθ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)] （2）由“加号连”知，不是三角形式
复平面上点Z2(cosθ,-sinθ)在第四象限（假定θ为锐角），不需改变三角函数名称，可用诱导公式
“2π-θ”或“-θ”将θ变换到第四象限.
∴ Z2=cosθ-isinθ=cos(-θ)+isin(-θ)或Z2=cosθ-isinθ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ)
考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一.
（3）由“余弦前”知，不是三角形式
复平面上点Z3(-sinθ,cosθ)在第二象限（假定θ为锐角），需改变三角函数名称，可用诱导公式
“+θ”将θ变换到第二象限.
∴Z3(-sinθ,cosθ)=cos(+θ)+isin(+θ)
同理（4）Z4=-sinθ-icosθ=cos(π-θ)+isin(π-θ)
（5）Z5=cos60°+isin30°=+i=(1+i)=·(cos+isin)=(cos+isin)
小结:对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点.有了“定点→定名→定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题.
例2．求复数Z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值.
分析:式子中多3个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”.
解:Z=1+cosθ+isinθ=1+(2cos2-1)+2i.sin cos=2cos(cos+isin) (1)
∵π<θ<2π∴<<π,∴cos<0
∴(1)式右端=-2cos(-cos-isin)=-2cos[cos(π+)]+isin(π+)]
∴ r=-2cos, ArgZ=π++2kπ(k∈Z)
∵<<π∴π<π+<2π，∴argZ=π+.
小结:（1）式右端从形式上看似乎就是三角形式.不少同学认为r=2cos, argZ=或ArgZ=
错误之处在于他们没有去考虑θ角范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角形式.看了这道例题，你一定能解决如Z1=1-cosθ+isinθ(π<θ<2π) ，Z2=1+cosθ-isinθ(π<θ<2π)等类似问题.
例3．将Z=(π<θ<3π)化为三角形式，并求其辐角主值.
分析:三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化，再向三角形式转化.
解:====cos2θ+isin2θ
∵π<θ<3π, ∴<2θ<6π,
∴π<2θ-4π<2π，∴argZ=2θ-4π
小结:掌握三角变形是解决这类问题的根本.但在此之前的解题方向一定要明确，即要分析式子结构.比较其与三角形式的异同，从而决定变形的方向，采用正确的方法.要求学生做好每道例题后的反思，并能由此及彼，举一反三，达到熟练解决一类问题的目的，如1-itgθ, tgθ+i, i-ctgθ等.
2．复数Z的模|Z|的几何意义是:复平面上点Z到原点距离，复数模|Z1-Z2|的几何意义是:复平面上两点
Z1，Z2之间距离.辐角几何意义是:以x轴正半轴为角始边，以向量所在射线为终边的角记为ArgZ.在[0，2π)范围内的辐角称辐角主值，记为argZ.
要求学生不仅要理解以上所说各几何意义，还要运用几何意义去解决相关问题.
例4．若Z∈c，|Z-2|≤1，求｜Ｚ｜的最大，最小值和argZ范围.
解:法一，数形结合
由|Z-2|≤1，知Ｚ的轨迹为复平面上以（2，0）为圆心，1为半径的圆面（包括圆
周），|Z|表示圆面上任一点到原点的距离.
显然1≤|Z|≤3, ∴|Z|max=3, |Z|min=1,
另设圆的两条切线为OA，OB，A，B为切点，由|CA|=1，|OC|=2知
∠AOC=∠BOC=，∴argZ∈[0,]∪[π,2π)
法二:用代数形式求解|Z|的最大，最小值，设Z=x+yi(x,y∈R)
则由|Z-2|≤1得(x-2)2+y2≤1,
∴ |Z|=≤=,
∵ (x-2)2+y2≤1, ∴(x-2)2≤1, ∴-1≤x-2≤1, ∴1≤x≤3,
∴1≤4x-3≤9, ∴1≤|Z|≤3.
小结:在一题多解的基础上，分析比较各种方法的异同，如何做好方法的选择.各种方法的本质和优势，通过分析与比较都一目了然.
例5．复数Z满足arg(Z+3)=π,求|z+6|+|z-3i|最小值.
分析:由两个复数模的和取最小值，联想到一个点到两个定点距离和的最小
值，将之转化为几何问题来解决应比较简便.
解法一:由arg(Z+3)=π,知Z+3的轨迹是一条射线OA，∠xOA=π,而
|Z+6|+|Z-3i|=|(z+3)-(-3)|+|(Z+3)-(3+3i)|
将B(-3,0)与C(3,3)连结，BC连线与OA交点为D，取Z+3为D点，表示复数时，
|Z+6|+|Z-3i|=|BD|+|DC|=|BC|=3, ∴所求最小值=3.
法二:由arg(Z+3)=π, 知Z+3的轨迹是射线OA，则Z轨迹应是平行于
OA，且过点（-3，0）的射线BM，
∴ |Z+6|+|Z-3i|就表示射线BM上点到点P(-6,0)和点Q(0,3)距离之和，连结PQ与射线BM交于点N，取E为N点表示复数时，
|Z+6|+|Z-3i|=|PN|+|NQ|=|PQ|=3,
∴所求最小值=3.
小结:两种方法的本质相同，都是将数学式子利用其几何意义转化成几何问题进行解决.如果纯粹用代数方法求解，难度会很大.对有关最值问题，尤其是模（距离）和辐角主值最值问题，用数形结合方法显然较为简便.
例6．已知|Z-2i|≤1,求arg(Z-4i)最大值.
解：∵|Z-2i|≤1,∴点Z轨迹是以（0，2）为圆心，1为半径的圆面，在其上任取一点Z，连Z与点（0，4）得一以（0，4）为起点，Z为终点的向量，将起点平移到原点，则θ为其对应的辐角主值，显然arg(Z-4i)
最大值为π.
3．两个复数相乘，积的模等于模的积，辐角为两辐角之和，其几何意义是模的伸缩
及对应向量的旋转.
两个复数相除，商的模等于模的商（除数不为零），辐角为两辐角之差，其几何意义
同乘法.
由复数三角形式乘除运算的几何意义，可解决向量或图形的旋转问题，如等腰、等边
三角形、直角三角形，平行四边形顶点间的几何何关系利用复数的乘除运算来表示.
复数三角形式较之代数形式，在乘除运算中非常方便，可顺利解决多项相乘（乘方），相除及乘除混合运算.
例7．若与分别表示复数Z1=1+2i, Z2=7+i, 求∠Z2OZ1并判断ΔOZ1Z2的形状.
解:欲求∠Z2OZ1，可计算
====
∴∠Z2OZ1=且=，
由余弦定理，设|OZ1|=k, |OZ2|=2k(k>0)|Z1Z2|2=k2+(2k)2-2k·2k·cos=3k2
∴ |Z1Z2|=k,
而k2+(k)2=(2k)2，∴ΔOZ1Z2为有一锐角为60°的直角三角形.
小结:此题中利用除法几何意义来解决三角形中角的大小问题，十分方便.
例8．已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A(-1,0)和B(0,8)关于l的对称点都在C上，求直线l与抛物线C的方程.
解:如图，建立复平面x0y，设向量、对应复数分别为
x1+y1i, x2+y2i.
由对称性，|OA'|=|OA|=1, |OB'|=|OB|=8,
∴ x2+y2i=(x1+y1i)8i=-8y1+8x1i
∴设抛物线方程为y2=2px(p>0)则有y12=2px1, y22=2px2,
∴ x1=, y12=p2, 又|OA'|=1，
∴()2+p2=1,∴p=或-（舍）
∴抛物线方程为y2=x，直线方程为:y=x.
小结:对于解析几何的许多问题，若能借助于复数的向量来表示，常常有意想不到的功效.尤其涉及到特殊位置，特殊关系的图形时，尤显其效.
五、易错点
1．并不是每一个复数都有唯一确定的辐角主值.如复数零的模为0，辐角主值不确定.
2．注意ArgZ与argZ的区别.ArgZ表示复数Z的辐角，而argZ表示复数Z的辐角主值.
ArgZ=argZ+2kπ(k∈Z),argZ∈[0,2π), 辐角主值是[0,2π)内的辐角，但辐角不一定是辐角主值.
3．复数三角形式的四个要求:模非负，角相同，余弦前，加号连，缺一不可.任何一个不满足，就不是三角形式.
4．注意复数三角形式的乘除运算中，向量旋转的方向.
六、练习
1．写出下列复数的三角形式
(1) ai(a∈R)(2) tgθ+i(<θ<π）(3) -（sinθ-icosθ)
2．设Z=(-3+3i)n, n∈N，当Z∈R时，n为何值？
3．在复平面上A，B表示复数为α,β(α≠0),且β=(1+i)α，判断ΔA OB形状，并证明SΔAOB=|d|2. 参考答案:
1．（1）ai=
（2）tgθ+i(<θ<π）=-[cos(π-θ)+isin(π-θ)]
（3）-(sinθ-icosθ)=[cos(+θ)+isin(+θ)]
2．n为4的正整数倍
3．法一:∵α≠0，β=（1+i)α
∴=1+i=(cos+isin), ∴∠AOB=,
∵分别表示复数α，β-α，
由β-α=αi，得=i=cos+isin，
∴∠OAB=90°,∴ΔAOB为等腰直角三角形.
法二:∵||=|α|, ||=|β-α|=|αi|=|α|,∴||=||
又||=|β|=|(1+i)α|=|α|,||2+||2=|α|2+|α|2=2|α|2=||2
∴ΔAOB为等腰直角三角形，∴SΔAOB=||·||=|α|2.
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选择题
1．若复数z=(a+i)2的辐角是，则实数a的值是（）
A、1
B、-1
C、-
D、-
复数计算器 实验报告
中南大学 高级程序设计实践（C++）课程设计报告 题目复数计算器 学生姓名 指导教师陈丽萍 学院信息科学与工程学院 专业班级通信工程1301班 完成时间 2014年7月5日
第一章需求分析与程序设计 1.1 需求分析 1．1．1程序设计的目的与任务 1．复习和巩固C++语言的基础知识，进一步加深对C++语言的理解和掌握。 2．为学生提供独立实践的机会，将课本上的理论知识和实际有机的结合起来，锻炼学生独立分析问题、解决问题、查阅资料以及自学能力。 3．学习和掌握C++程序设计方法以及上机调试技巧，为今后学习其它专业课程打好基础。 4．在程序实现过程中，需利用面向对象程序设计理论的基础知识，充分体现出C++语言关于类、继承、封装与多态等核心概念，每一个类应包含数据成员和成员函数，以实现预期的功能，解决实际问题。 1．1．2“复数计算器”程序所能实现的功能 1．建立实数类、复数类，复数类由实数类公有继承而来。 2．实现实数、复数信息的初始化。 3．通过选择结构和调用相关函数实现实数的相关运算，包括：两个实数间的加、减、乘、除和一个实数的自增、自减、求平方、二次方根等运算。 4．通过选择结构和调用相关函数实现复数的相关运算，包括：两个复数间的加、减、乘、除、求两个复数的夹角和一个复数的取模、求平方、求共轭复数、求单个复数的向量角等运算。 5．通过调用相关函数实现实数、复数信息的输出，显示在显示屏上。 6．通过多次运用选择和循环结构实现对实数、复数运算的选择，在选择了实数或复数运算的前提下，再实现对各种运算的选择，运算结束后还可以选择继续实现其它运算或退出程序。 1.2 程序设计 1．2．1概要设计 1．系统中的各个实体及它们之间的关系 系统中的实体是实数类对象和复数类对象，它们的关系是复数类对象所属的类是由实数类对象所属的类公有派生而来的。 2．系统的类层次 程序中建立了两个类，分别是实数类、复数类，复数类是由实数类公有派生而来的。 3．主程序的流程以及各程序模块之间的层次(调用)关系 首先从键盘输入数字1或2或0，输入不同数字则进入不同的并列的小程序模块。
使用普通计算器进行复数运算
使用普通计算器进行复数运算 一、使用方法 1. 利用计算器进行复数计算必须要用计算器的度，按DRG键，使计算器显示窗中要有“DEG”标致（表示计算器进行所有带角度的运算均以“度”为单位）。 2. 让计算器进入复数运算状态，分别按2ndF 和CPLX，显示窗中有“CPLX”标致，表示计算器只能进行复数的运算，而进行其它计算则是无效的。取消则重复进行即可。进行复数的加减乘除运算时计算器必须处于复数运算状态。 二、计算说明 1. 计算器中a、b的分别表示进行复数运算的实部和虑部，进行代数式输入时可以直接按此键。 2. 计算器中→rθ、→xy的分别表示进行复数运算的模和角，进行极坐标式输入时必须利用上档键功能进行；同时这两个按键也是代数式和极坐标式转换的功能键。 3. 计算器在进行复数运算时均是以代数式形式进行的，就是说在进行极坐标式计算时必须要先化成代数式，计算的结果也是代数式，如果希望得到极坐标式计算完成后也要进行转换。 4. 显示结果运算完成后的结果就是代数式且显示的是实部，按b显示虑部，再按a 就显示实部，转换成极坐标式后则按a显示模，按b显示角，也可重复显示。 5. 在输入带有负号的值时，应先输入数值，再输入负号，输入负号应按+/-键。 三、计算举例 1. 代数式化成极坐标式 例如：3 + j 4 = 5 /53.13o 按键步骤：（按键动作用“↓”表示。）
3↓a↓4↓b↓2ndF↓→rθ↓显示模5，b↓显示角53.13o。 2.极坐标式化成代数式 例如：15 /-50o = 9.64- j11.49 按键步骤： 15↓a↓50↓+/-↓b↓2ndF↓→xy↓显示实部9.64，b↓显示虑部-11.49。
复数代数形式的乘除运算教案
复数代数形式的乘除运算教案 教学目标： 1 知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算 2 过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 3 情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。 教学重点：复数代数形式的除法运算。 教学难点：对复数除法法则的运用。 课型:新知课 教具准备：多媒体 教学过程： 复习提问： 已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数） 加法法则：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 减法法则：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减) (a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 讲解新课： 一．复数的乘法运算规则： 规定复数的乘法按照以下的法则进行： 设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 探究: 复数的乘法是否满足交换律、结合律? 乘法对加法满足分配律吗? 二.乘法运算律： (1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i， z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i. 又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1. ∴z1z2=z2z1. (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
计算器-复数的计算方法
用计算器计算复数 (KK-82MS-1) 三、计算举例 模式：MODE CLR↓1。 1.代数式化成极坐标式 例如： 3 + j 4 = 5 /53.13o 步骤： POL↓(3,4)。结果=5； 在按键rcl↓F↓。结果等于53.13. 2. 极坐标化成代数式 例如： 15 /-50o = 9.64- j11.49 按键步骤：SHIFT↓REC↓（15，-50）。结果等于9.64. 再按rcl↓F 。结果等于-11.49. 3. 代数式的加减乘除 例如： ( 5 - j 4 ) × ( 6 + j 3 ) = 42 - j 9 = 42.953/-12.095o 步骤：先进行简单的加减运算得到42 - j 9。 POL↓(42,-9)。结果等于42.953； 再rcl↓F。结果等于-12.095. 例 ( 5 - j 4 ) + ( 6 + j 3 ) = 11 - j 1 = 11.045 /-5.1944o ( 5 - j 4 ) - ( 6 + j 3 ) = -1 - j 7 = 7.071 /-98.13o ( 5 - j 4 ) ÷ ( 6 + j 3 ) = 0.4 - j 0.8667 = 0.9545 /-65.2249
o 4.极坐标式的加减乘除 例如：5 /40o + 20 /-30o = 21.15 - j 6.786 = 22.213/-17.788o 步骤：先将5 /40o化成代数式3.83+ 3.214j，将 20 /-30o化成代数式17.32-j10；然后两式相加21.15-j6.786.然后转换成极坐标。 如进行其它运算只需将乘号换成要进行的计算号即可。这里只给出计算结果请同学自己进行练习对比。 5 /40o - 20 /-30o = -13.49 - j 13.2139 = 22.213/135.5929o 5 /40o×20 /-30o = 98.48 - j 17.3648 = 100/10o 5 /40o÷20 /-30o = 0.0855 - j 0.2349 = 0.25/70o
7.3 7.3.1 7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
7.3* 复数的三角表示 7.3.1 复数的三角表示式 7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 课标要求 素养要求 通过复数的几何意义，了解复数的三角表示；了解复数的代数表示与三角表示之间的关系；了解复数乘除运算的三角表示及其几何意义. 通过了解复数的三角表示及复数乘、除的几何意义，体会数学抽象及数学运算素养. 教材知识探究 前面已经学习过了复数的两种表示.一是代数表示，即z ＝ a ＋ b i(a ，b ∈R )；二是几何表示，复数z 既可以用复平面上的点Z (a ，b )表示，也可以用复平面上的向量OZ →来表示.现在需要学习复数的三角表示，即用复数z 的模和辐角来表示复数. 问题 复数的三角形式在复数的运算中有怎样的作用？ 提示 复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好由复数的代数形式向三角形式的转化是非常有必要的. 1.复数的三角形式 一般地，任何一个复数z ＝a ＋b i 都可以表示成r (cos__θ＋isin__θ)的形式，其中，r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ →所在射线(射线OZ )为终
边的角，叫做复数z ＝a ＋b i 的辐角，r (cos θ＋isin θ)叫做复数z ＝a ＋b i 的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a ＋b i 叫做复数的代数表示式，简称代数形式. 2.辐角主值 规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg__z . 3.复数三角形式的乘法 两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2)＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]. 4.复数三角形式的除法 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. r 1（cos θ1＋isin θ1）r 2（cos θ2＋isin θ2）＝r 1 r 2 [cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]. 教材拓展补遗 [微判断] 1.任何一个不为零的复数的辐角有无限多个.(√) 2.复数0的辐角是任意的.(√) 3.复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式可以转化为代数形式.(√) [微训练] 1.复数1＋i 的辐角主值为( ) A.π6 B.π3 C.π4 D.π2 解析 因为复数1＋i 对应的点在第一象限，所以arg(1＋i)＝π 4. 答案 C 2.将复数i 对应的向量ON →绕原点按逆时针方向旋转π3，得到向量OM →，则OM →对应 的复数是( ) A.32＋12i B.－32＋12i C.－32－12i D.32－12i
C++课程设计复数计算器
C++课程设计实验报告 姓名学号班级 合作者学号班级 任课教师时间 教师指定题目复数计算器评定难易级别 A级实验报告成绩
复数计算器 程序功能设计 1．程序功能的总体结构 复数计算器的程序总体功能可设计成如图１所示，可以看出，复数计算器的各种功能都用菜单选项列出，用户可以根据需要选择相应的菜单项，从而执行不同的子程序以完成相应的功能。 2．课程设计要求 （1）一开始运行程序，要有详细的菜单选项界面，用户不选择退出就可以反复运算。 （2）可以进行多个操作数的复数运算，输入0＋0＊i时为止。 （3）编写可以对输入的复数求模的成员函数。 （4）编写具有测试功能的函数，即计算机能够自动出题，并要求用户计算，同时计算机判断用户计算的对错并打分，要求十题为一个单元，每题一个运算符，运算符包括＋，－，＊三种，参与加减运算实部虚部为一位数。 （5）重载输入输出运算符，对复数的输入既可采用实部虚部分开提示输入，也可直接输入诸如ａ＋ｉ＊ｂ或ａ＋ｉｂ这种形式，对复数的输出要考虑实部虚部的正负号，通过判断给出的输出结果。
2．程序设计思想 1）类的封装 程序中将复数形式的数据定义成一个复数类CComplex,重载了加法及减法等运算符,使函数的加减等运算像一般数据一样方便.每个运算符重载都用一个函数去实现。参考类的定义如下： class CComplex{
private: double Real,Image; public: CComplex(double real=0,double image=0) //构造函数 {Real=real;Image=image;} friend istream&operator>>(istream&is,CComplex&com); //重载输入friend ostream&operator<<(ostream&os,CComplex&com); //重载输出 CComplex operator+(CComplex&com); CComplex operator-(CComplex&com); //减法重载 CComplex operator*(CComplex&com); //乘法重载 CComplex operator/(CComplex&com); //除法重载 int operator==(CComplex&com); int operator!=(CComplex&com); int operator>(CComplex&com); int operator<(CComplex&com); float Module(void); //复数求模 }; (2)设计的任务要求1 在实际应用中，输入复数可能为a+bi, a, bi, -a, -bi, +i. –i. I等形式。重载
复数的三角形式及乘除运算
复数的三角形式及乘除运算 一、主要内容: 复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义. 二、学习要求: 1．熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值. 2．深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式. 3．能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围（最值）. 4．利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题. 5．注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法. 三、重点: 复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用. 四、学习建议: 1．复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的. 前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示，即Z=a+bi(a,b ∈R).二是几何表示，复数Z 既可以用复平面上的点Z(a,b)表示，也可以用复平面上的向量 来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数Z 的 模和辐角来表示，设其模为r ，辐角为θ，则Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0). 既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化. 代数形式r= 三角形式 Z=a+bi(a,b ∈R) Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0) 复数三角形式的结构特征是:模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数Z 的一个辐角，不一定是辐角主值. 五、基础知识 1）复数的三角形式 ①定义：复数z=a+bi （a,b ∈R ）表示成r （cos θ+ i sin θ）的形式叫复数z 的三角形式。即z=r （cos θ + i sin θ） 其中z r = θ为复数z 的辐角。 ②非零复数z 辐角θ的多值性。 始边，向量oz → 所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi 的辐角 以ox 轴正半轴为因此复数z 的辐角是θ+2k π（k ∈z ） ③辐角主值 表示法；用arg z 表示复数z 的辐角主值。 2π）的角θ叫辐角主值 02≤ 复数的基本概念与基本运算 一、《考试说明》中复数的考试内容(1)数的概念的发展，复数的有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模）；(2)复数的代数表示与向量表示；(3)复数的加法与减法，复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形式的乘法与乘方，复数三角形式的除法与开方；(4)复数集中解实系数方程（包括一元二次方程、二项方程）。二、考试要求（1）使学生了解扩充实数集的必要性，正确理解复数的有关概念．掌握复数的代数、几何、三角表示及其转换；（2）掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算，并理解复数运算的几何意义；（3）掌握在复数集中解实数系数一元二次方程和二项方程的方法．（4）通过内容的阐述，带综合性的例题和习题的训练，继续提高学生灵活运用数学知识解题的能力．（5）通过数的概念的发展，复数、复平面内的点及位置向量三者之间的联系与转换的复习教学，继续对学生进行辩证观点的教育．三、学习目标(1)联系实数的性质与运算等内容，加强对复数概念的认识；?(2)理顺复数的三种表示形式及相互转换：z = r(cosθ+isinθ) , OZ(Z(a,b)) , z=a+bi (3)正确区分复数的有关概念；(4)掌握复数几何意义,注意复数与三角、解几等内容的综合；复(5)正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除；三 角数实数集集形式的乘、除、乘方、开方及几何意义；虚数单位i及1的立方虚根纯虚数集ω的性质；模及共轭复数的性质；(6)掌握化归思想——将复数问题实数化（三角化、几何化）；(7)掌握方程思想——利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。四、本章知识结构与复习要点1．知识体系表解 1 1/16页2．复数的有关概念和性质：(1)i称为虚数单位，规定2i,,1，形如a+bi的数称为复数，其中a，b?R．(2)复数的分类(下面的a，b均为实数) (3)复数的相等设复数，那么的充要zz,zabizabiababR,，,，,,(,,,)121112221122条件是：．abab,,且1122 (4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，b?R）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的． 2 2/16页复数 z=a+bi．在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b) abR,,，，向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)．(7)复数与实数不同处?任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．?实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．3．有关计算：?**n4k，rrkNrN,,,nN,ii,i怎样计算？（先求n被4除所得的余数，），，，，1313?,,,，i、,,,,i 复数的乘除法运算练习题（教师版） 1． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于( A ) A ．0 B ．2i C ．－2i D ．4i 2． 若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( D ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝－1，b ＝－1 D ．a ＝1，b ＝－1 3． 在复平面内，复数i 1＋i ＋(1＋3i)2对应的点位于( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4． 设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( A ) A.34 B.43 C ．－43 D ．－34 5． 若z ＝1＋2i i ，则复数z 等于( D ) A ．－2－i B ．－2＋I C ．2－i D ．2＋i 6.复数11z i =-的共轭复数是（ B ） A ．i 2121+ B ．i 2121- C ．i -1 D ．i +1 7. 若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2等于( A ) A ．4＋2i B ．2＋i C ．2＋2i D ．3＋i 8.设复数z 满足,2)1(i z i =-则z ＝（ A ） （A ）i +-1 （B ）i --1 （C ）i +1 （D ）i -1 9.若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( C ) A.(2,4) B.(2,-4) C.(4,-2) D.(4,2) 10.复数的11 Z i =-模为( B ) （A ）12 （B ）2 （C （D ）2 11.()3=( A ) （A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i 12． i 是虚数单位，3(1)(2)i i i -++等于 （ D ） A ．1＋i B ．－1－i C ．1＋3i D ．－1－3i 13.已知复数512i z i =+（i 是虚数单位），则_________z =14.若bi a i i +=++)2)(1(，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b += 4 大家说看不明白一刚辛苦手打大家分享按shift、9、3、=、=按shift、+、1、，、0、=按分数 线到底大概7~8次按=、AC按左、1 、按次方、=、AC按上、AC 按左2次按DEL 删除1。得到r=1，等等按分数线上下都输入1 按= 再按8次Ans 继续跟着按22次sin 按AC按shift、9、1、=、AC按shift、9、2、=、AC按次方更号次方更号满点按快了会死机如死机则重来大概5组直到后面出现一串英文按DEL 删除所有次方和更号继续按DEL 开始删除 字母删到r 前面按）按=、AC按shift、9、2、=、AC按右删除）输入1 ：按2次= 记住2次按MODE、2按ON按MODE 按几次右可以快捷调亮度然后修复计算机按shift、MODE、3 按shift、MODE、8、1按shift、MODE下、4、1搞定哈哈哈哈哈哈ENG就是i如输入8+6i ／9+47i后一定要按shift、2、4那是负数指令不按你死定了 注：本次升级目标：从fx-82ES（B版）升级到fx-991ES 在所有操作之前，请先检查计算器屏幕左上角是否有“M”字样。如果有，请按0+shift+RCL(STO)+ M+。如果没有，请继续操作。 所有隐藏模式调出前请先进入异常模式： 注：【】代表注释( )代表第二功能键 首先打开计算器电源（ON） 1. shift 2. + (Pol) 3. 1 4. shift 5. "）" ( , ) 6. 0 7. ) 【前7步最后显示为"Pol(0,1)"】 8. = 9. 狂按分数线，直到按到顶不动为止【似乎是7到8个】 10. 按= （显示Syntax ERROR 不要管它），AC，左 11. 1 12. 幂【在方向键下面，就是X上面有个小白框的键】 13. = 14. AC 15. 向上键 16. AC 2020-2021学年高一数学必修二第7章《复数》 7.2 复数的四则运算 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 学习目标 1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题. 知识点一 复数加法与减法的运算法则 1.设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )是任意两个复数，则 (1)z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. 2.对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 (1)z 1＋z 2＝z 2＋z 1； (2)(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3). 知识点二 复数加减法的几何意义 如图，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，向量OZ → 与复数z 1＋z 2对应，向量Z 2Z 1→ 与复数z 1－z 2对应. 思考 类比绝对值|x －x 0|的几何意义，|z －z 0|(z ，z 0∈C )的几何意义是什么？ 答案 |z －z 0|(z ，z 0∈C )的几何意义是复平面内点Z 到点Z 0的距离. 1.两个虚数的和或差可能是实数.( √ ) 2.在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部.( √ ) 3.复数与复数相加减后结果只能是实数.( × ) 4.复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形.( × ) 一、复数代数形式的加、减运算 例1 (1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)； (2)设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，求z 1－z 2. 解 (1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i ＝－11i. (2)因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ， 所以(3＋x )＋(2－y )i ＝5－6i ， 所以????? 3＋x ＝5，2－y ＝－6，所以????? x ＝2，y ＝8， 所以z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i ＝－1＋10i. 反思感悟 解决复数加减运算的思路 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减). 跟踪训练1 复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 A 解析 复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i ＝9＋i ，其对应的点为(9,1)，在第一象限. 二、复数加减法的几何意义 例2 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i.求： (1)AO → 表示的复数； (2)对角线CA → 表示的复数； (3)对角线OB → 表示的复数. 解 (1)因为AO →＝－OA → ， 对于复数的运算利用计算器进行非常简单，下面以SHARP EL-506P型计算器为例说明复数的有关运算。 一、使用方法 1.利用计算器进行复数计算必须要用计算器的度，按DRG键，使计算器显示窗中要有“DEG”标致（表示计算器进行所有带角度的运算均以“度”为单位）。 2.让计算器进入复数运算状态，分别按2ndF 和CPLX，显示窗中有“CPLX”标致，表示计算器只能进行复数的运算，而进行其它计算则是无效的。取消则重复进行即可。进行复数的加减乘除运算时计算器必须处于复数运算状态。 二、计算说明 1.计算器中a、b的分别表示进行复数运算的实部和虑部，进行代数式输入时可以直接按此键。 2.计算器中→rθ、→xy的分别表示进行复数运算的模和角，进行极坐标式输入时必须利用上档键功能进行；同时这两个按键也是代数式和极坐标式转换的功能键。 3.计算器在进行复数运算时均是以代数式形式进行的，就是说在进行极坐标式计算时必须要先化成代数式，计算的结果也是代数式，如果希望得到极坐标式计算完成后也要进行转换。 4.显示结果运算完成后的结果就是代数式且显示的是实部，按b显示虑部，再按a就显示实部，转换成极坐标式后则按a显示模，按b显示角，也可重复显示。 5.在输入带有负号的值时，应先输入数值，再输入负号，输入负号应按+/-键。 三、计算举例 1.代数式化成极坐标式 例如：3 + j 4 = 5 /53.13o 按键步骤：（按键动作用“↓”表示。） 3↓a↓4↓b↓2ndF↓→rθ↓显示模5，b↓显示角53.13o。 2.极坐标式化成代数式 例如：15 /-50o = 9.64- j11.49 按键步骤： 15↓a↓50↓+/-↓b↓2ndF↓→xy↓显示实部9.64，b↓显示虑部-11.49。 3.代数式的加减乘除 例如：( 5 - j 4 ) × ( 6 + j 3 ) = 42 - j 9 = 42.953/-12.095o 按键步骤： 5↓a↓4↓+/-↓b↓×↓6↓a↓3↓b↓=↓显示实部42 b↓显示虑部–9。如要极坐标式只需继续进行转换即可。2ndF ↓→rθ↓显示模42.953，b↓显示角-12.095o。 如进行其它运算只需将乘号换成要进行的计算号即可。这里只给出计算结果请同学自己进行练习对比。实际计算时可取小数点后两位。 ( 5 - j 4 ) + ( 6 + j 3 ) = 11 - j 1 = 11.045 /-5.1944o ( 5 - j 4 ) - ( 6 + j 3 ) = -1 - j 7 = 7.071 /-98.13o ( 5 - j 4 ) ÷ ( 6 + j 3 ) = 0.4 - j 0.8667 = 0.9545 /-65.2249o 4.极坐标式的加减乘除 例如： 5 /40o + 20 /-30o = 21.15 - j 6.786 = 22.213/-17.788o 按键步骤： 5↓a↓40↓b↓2ndF↓→xy ↓+ 20↓a↓30↓+/-↓b↓2ndF↓→xy↓＝↓显示实部21.15，b↓显示虑部-6.786。再转换成极坐标式：2ndF↓→rθ↓显示模22.213，b↓显示角-17.788o。 如进行其它运算只需将乘号换成要进行的计算号即可。这里只给出计算结果请同学自己进行练习对比。 学之导教育中心教案 学生: 梁庭苇授课时间: 课时: 2 年级: 高二教师：廖 课题复数乘除法、极坐标 教学构架 一、知识回顾 二、错题再现 三、知识新授 四、知识小结 教案内容 一、知识回顾 1、几何证明选讲 二、错题再现 1、如图ABC中，D是AB的三等分点，// DE BC，// EF BC，2 AF=，则AB=__________ F E D A B C 2、如图，在ABC中，AD是BC边上中线，AE是BC边上的高，DAB DBA ∠=∠ ,18 AB=,12 BE=,则CE=__________. 本次内容掌握情况总结教师签字学生签字 3、如图所示，圆O 的直径AB=6，C 圆周上一点，BC=3，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD AD 分别与直线l 、圆交于点D 、E ，则∠DAC ＝ __，线段AE 的长为 __. 4、如图所示，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知AD=23，AC=6，圆O 的半径为3， 则圆心O 到AC 的距离为________. . 5、如图所示,圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD=4，BD=8，则圆O 的半径等于 ． 6、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 切⊙O 于A ，∠MAB=250，则∠D= ___ . 7.如图，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于D ，若AD=1，∠ABC=300， 则圆O 的面积是______. 8.如图，⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心O ，PE 是⊙O 的切线。已知PA=6， AB=3 17，PO=12，则PE=____ ⊙O 的半径是_______. 所有隐藏模式调出前请先进入异常模式： 注：【】代表注释 ( )代表第二功能键 首先打开计算器电源（ON） 1. shift 2. + (Pol) 3. 1 4. shift 5. "）" ( , ) 6. 0 7. ) 【前7步最后显示为"Pol(0,1)"】 8. = 9. 狂按分数线，直到按到顶不动为止【似乎是7到8个】 10. 按= （显示Syntax ERROR 不要管它）， AC，左 11. 1 12. 幂【在方向键下面，就是X上面有个小白框的键】 13. = 14. AC 15. 向上键 16. AC 17. 向左键三次 18. DEL【删掉1,出现“r=1,φ=0”】 19. 【光标在最前面】按一下分数线 20. 分数线上面输入1，下面也输入1 【其实不需要一定要是1，只要分子分母一样就可以了】 21. = 22. AC 此时,已是异常模式,所有隐藏模式的前提 进入异常模式后就可以实行升级了（异常模式的界面和初始模式一模一样，如何鉴定？——随便输入一个运算，如“1+2”按 = ，如果没有显示结果，那你就成功进入异常模式啦，当然要想看到结果的话就按“S<=>D”。。。） CMPLX模式（复数计算模式）： 接下刚刚进的异常模式： 注：【】代表注释 1. Ans、Ans、Ans、Ans、Ans、Ans、Ans、Ans、sin(、sin(、sin(、…… 【就是按8下“Ans”键，然后无数下“sin(”键直到出现 Syntax ERROR 不要管它】 2. 按“AC” 【如果屏幕变暗为正常现象，请手动调节亮度】 3. 按SHIFT+9(CLR)+1(Setup)+=(Yes) 按AC 然后按SHIFT+9(CLR)+2(Memory)+ =(Yes) 按AC 4. 打出“r”，具体方法就是按“根号” + “根号” + “根号” + “根号” + “根号” + “幂”+“幂”+“幂”+“幂”+“幂” + “幂” 【就是5下“根号”6下“幂”，“根号”在“三次方”下面，就是“平方根”，简称“根号”】 【补充：按最后一下“幂”后会出现 x10什么什么的最后有一个“?”，不要慌，接着下一步】5. 按“删”15下，第一个就是“r”了 【“r”后面有一串乱码，别管他，继续下一步。如果你按啊按啊忘了是几了，只要是15下之内的就没关系，这时，注意了，慢慢按，好好看光标，看到正好“r”出现在光标后，停止！！不能再按了！！如果是超过15下，不好意思。。重来吧。。】 6. 再在“r”前面按“）”键，然后按“=”，然后按“AC”。 7. 按SHIFT+9(CLR)+2(Memory)+=(Yes) 然后按“AC”。 8. 按两下“右”键，然后按“DEL”键【就是把“）”删掉】 双基限时练(十一) 1．在复平面内，复数z ＝1 2＋i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析 z ＝12＋i ＝2－i 5＝25－15i ，∵点(25，－1 5)在第四象限．∴复数 z 对应的点在第四象限． 答案 D 2．复数3 (1－i )2的值是( ) A.32i B ．－3 2i C ．i D ．－i 解析 3(1－i )2 ＝3－2i ＝3 2i. 答案 A 3.2－3i 3＋2i 等于( ) A ．－15i B.15i C ．－i D ．i 解析 2－3i 3＋2i ＝(2－3i )(3－2i )(3＋2i )(3－2i )＝6－13i －632＋22＝－i. 答案 C 4.(1－i )(1＋2i )1＋i 等于( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－i D ．2＋i 解析 (1－i )(1＋2i )1＋i ＝(1－i )(1＋2i )(1－i )(1＋i )(1－i ) ＝ －2i (1＋2i ) 2 ＝－i(1＋2i) ＝2－i. 答案 C 5．i 是虚数单位，若1＋7i 2－i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则乘积ab 的值是 ( ) A ．－15 B ．－3 C ．3 D ．15 解析 1＋7i 2－i ＝(1＋7i )(2＋i ) (2－i )(2＋i ) ＝－1＋3i ＝a ＋b i ， ∴a ＝－1，b ＝3，∴ab ＝－3. 答案 B 6．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为( ) A.1 3 B.1 4 C.16 D.112 解析 (m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i ，由此复数为实数得n 2 －m 2＝0，即n ＝±m ，故所求的概率为P ＝ 66×6 ＝1 6. 计算器有关按键说明大全 一、基本按键 ON 开机 OFF 关机 AC 总清，清除所有存储和显示数值（又：CA， All Clear C 清除所有显示和当前运算、归零（又：CLR、Esc，英文名Clear 注：以上又有组成组合键的情况为ON/OFF、ON/AC、ON/C CE 清除输入，清除当前输入数据中最后一个不正确的输入数据并显示“0”，可重新更正输入（英文名Clear Error或Clear Entry ?清除光标前一字符（又：←、Backspace、BS、DEL(delete) INS 改写模式，从当前位置插入（英文名insert REPLAY 指令状态移动方向，上下查记录，左右移动当前表达式中光标（一般此键上有成十字排列的方向标识：▲▼?? SHIFT 转换，上档选择（又： 2ndF、2nd、2nd（第二功能选择，Second Function）、ALT，按键设定为与其同色的功能 ALPHA 阿尔法，字母，按键设定为与其同色的功能 MODE 方式、模式，用于模式切换（不同的计算器有所不同，常用的见下表： 对于数值计数法有： Norm（normal）标准计数法 Fix（fixed）固定小数点 Eng（engineering）工程计数法 Sci（scientific）科学计数法 Inv 反、倒置，用于使用其它有关按键的相反功能，多用于电子计算器。如ln键变为e x键，sin键变为sin-1键，lsh键变为rsh键等EXP 以科学记数法输入数字，即表示以10为底的方幂（又：EE，英文名Exponent 说明：科学记数法：将一个数字表示成a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|＜10，n表示整数，这种记数方法叫科学记数法。如：5EXP2即5×102，就是500 F-E 科学记数法开关，显示方式转换 作用：十进制浮点（Floating Point）与科学记数法（Exponent）显示转换 S?D 数值在标准形式（Standard）和小数形式（Decimal fraction）之间转换 作用：分数与小数显示转换 Ran# 随机数（又：RAND、RND、Rnd#，英文名Random , : 分隔符，用于输入方程式之间、坐标数据之间分隔用 ∠角，用于标识极坐标数据的角度数据或复数的虚数 二、基础运算 0、00、1、2、3、4、5、6、7、8、9 数字 C++课程设计实验报告 学号班级 合作者学号班级 任课教师时间 教师指定题目复数计算器评定难易级别 A级实验报告成绩 复数计算器 程序功能设计 1．程序功能的总体结构 复数计算器的程序总体功能可设计成如图１所示，可以看出，复数计算器的各种功能都用菜单选项列出，用户可以根据需要选择相应的菜单项，从而执行不同的子程序以完成相应的功能。 2．课程设计要求 （1）一开始运行程序，要有详细的菜单选项界面，用户不选择退出就可以反复运算。 （2）可以进行多个操作数的复数运算，输入0＋0＊i时为止。 （3）编写可以对输入的复数求模的成员函数。 （4）编写具有测试功能的函数，即计算机能够自动出题，并要求用户计算，同时计算机判断用户计算的对错并打分，要求十题为一个单元，每题一个运算符，运算符包括＋，－，＊三种，参与加减运算实部虚部为一位数。 （5）重载输入输出运算符，对复数的输入既可采用实部虚部分开提示输入，也可直接输入诸如ａ＋ｉ＊ｂ或ａ＋ｉｂ这种形式，对复数的输出要考虑实部虚部的正负号，通过判断给出的输出结果。 2．程序设计思想 1）类的封装 程序中将复数形式的数据定义成一个复数类CComplex,重载了加法及减法等运算符,使函数的加减等运算像一般数据一样方便.每个运算符重载都用一个函数去实现。参考类的定义如下： class CComplex{ private: double Real,Image; public: CComplex(double real=0,double image=0) //构造函数 {Real=real;Image=image;} friend istream&operator>>(istream&is,CComplex&); //重载输入 friend ostream&operator<<(ostream&os,CComplex&); //重载输出CComplex operator+(CComplex&); CComplex operator-(CComplex&); //减法重载 CComplex operator*(CComplex&); //乘法重载 CComplex operator/(CComplex&); //除法重载 int operator==(CComplex&); int operator!=(CComplex&); int operator>(CComplex&); int operator<(CComplex&); float Module(void); //复数求模 }; (2)设计的任务要求1 在实际应用中，输入复数可能为a+bi, a, bi, -a, -bi, +i. –i. I等形式。重载输入运算符应该能识别这样形式多样的复数。所以在重载输入函数时要综合 复数的乘除法运算 练习 1．计算（1）(32)(23)i i -÷+ （2）(12)(32)i i +÷-+ 2．（1） 232(12)i i -+ （2）23(1)1i i -+- 3.设z =3+i ,则 z 1=_______________ 4. ai b bi a ai b bi a +-+-+=_________________ 5.已知z 1=2－i ,z 2=1+3i ,则复数 521z z i +的虚部为______________ 6.设 i y i i x -+-=+1231 (x ∈R ,y ∈R ),则x =___________,y =___________. 7.已知复数z 满足 i z i z z 682-=?+?，求复数z. 8.复数,bi a z +=b a ,R ∈且0≠b ,若24z bz -是实数，则有序实数对),(b a 可以 是 .(写出一个有序实数对即可) 9.设z 的共轭复数是z ，若z +z =4,z ·z ＝8，则 z z =_______________ 10.计算复数22(1)12i i i +-- -=_______________ 11. Z ∈C ，若12z z i -=- 则 43i z +的值是__________________ 12.已知复数122i,13i =-=-z z ，则复数21i 5+z z = . 13.若复数12i =-z ，则?+z z z = ． 14．若复数z 满足i(2)=-z z (i 是虚数单位)，则=z ． 15．设复数z 满足(23i)=6+4i -z （其中i 为虚数单位），则z 的模为_______．复数的基本概念与基本运算
复数的乘除法运算练习题(教师版)
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第七章7.2.1复数的加、减运算及其几何意义
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