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函数定义域,值域求法以及分段函数

函数定义域,值域求法以及分段函数
函数定义域,值域求法以及分段函数

(一)函数的概念

1.函数的概念:

设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B 的一个函数(function).

记作:y=f(x),x∈A.

其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域(domain);与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域(range).

注意:

○1“y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”;

○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值,一个数,而不是f乘x.2.构成函数的三要素:

定义域、对应关系和值域

3.区间的概念

(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;

(2)无穷区间;

(3)区间的数轴表示.

4.一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论

(二)映射

一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A 中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B 为从集合A到集合B的一个映射(mapping).

记作“f:A→B”

说明:

(1)这两个集合有先后顺序,A到B的射与B到A的映射是截然不同的.其中f表示具体的对应法则,可以用汉字叙述.

(2)“都有唯一”什么意思?

包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思。1.例题分析:下列哪些对应是从集合A到集合B的映射?

(1)A={P | P是数轴上的点},B=R,对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应;

(2)A={ P | P是平面直角体系中的点},B={(x,y)| x∈R,y∈R},对应关系f:平面直角体系中的点与它的坐标对应;

(3)A={三角形},B={x | x是圆},对应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆;

(4)A={x | x是新华中学的班级},B={x | x是新华中学的学生},对应关系f:每一个班级都对应班里的学生.

思考:

将(3)中的对应关系f改为:每一个圆都对应它的内接三角形;(4)中的对应关系f 改为:每一个学生都对应他的班级,那么对应f:B→A是从集合B到集合A的映射吗?

(三)函数的表示法

常用的函数表示法:(1)解析法;

(2)图象法;

(3)列表法.

三、典例解析

1、定义域问题

例1 求下列函数的定义域:

① 21)(-=

x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x

x x f -++=21

1)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式2

1

-x 无意义,

而2≠x 时,分式21

-x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .

②∵3x+2<0,即x<-3

2

时,根式23+x 无意义,

而023≥+x ,即3

2

-≥x 时,根式23+x 才有意义,

∴这个函数的定义域是{x |3

2

-≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x

-21

同时有意义,

∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }

另解:要使函数有意义,必须: ?

??≠-≥+020

1x x ?

?

??≠-≥21

x x 例2 求下列函数的定义域:

①14)(2

--=

x x f ②2

14

3)(2-+--=x x x x f

③=

)(x f x

11111++

④x

x x x f -+=

0)1()(

⑤3

7

3132+++-=

x x y

解:①要使函数有意义,必须:142

≥-x 即: 33≤≤-x

∴函数14)(2--=

x x f 的定义域为: [3,3-

]

②要使函数有意义,必须:??

?≠-≠-≤≥??

??≠-+≥--131

40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

∴定义域为:{ x|4133≥-≤<--

③要使函数有意义,必须: 0

11110110≠++≠+≠?

??

?

?

?

???x

x x ?

2

110-≠-≠≠??

?

??x x x ∴函数的定义域为:}2

1

,1,0|{--≠∈x R x x 且

④要使函数有意义,必须: ?

??≠-≠+001x x x ???<-≠?01

x x

∴定义域为:{}011|<<--

⑤要使函数有意义,必须: ???≠+≥+-073032x x ??

??

?-≠∈?37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为:}3

7

|{-≠x x

例3 若函数a

ax ax y 1

2+

-=

的定义域是R ,求实数a 的取值范围 解:∵定义域是R,∴恒成立,

01

2

≥+

-a

ax ax ∴??

???≤2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1,1],求函数)41

(+=x f y )4

1(-?x f 的定义域

解:要使函数有意义,必须:

4343454

34345

14111411≤≤-??????≤

≤-≤≤-??????≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )4

1(-?x f 的定义域为:?

???

??≤≤-

434

3

|x x 例5 已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(2x -1)的定义域。

分析:法则f 要求自变量在[-1,1]内取值,则法则作用在2x -1上必也要

求2x -1在 [-1,1]内取值,即-1≤2x -1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域;或者从位置上思考f(2x -1)中2x -1与f(x)中的x 位置相同,范围也应一样,∴-1≤2x -1≤1,解出x 的取值范围就是复

合函数的定义域。

(注意:f(x)中的x 与f(2x -1)中的x 不是同一个x ,即它们意义不同。) 解:∵f(x)的定义域为[-1,1], ∴-1≤2x -1≤1,解之0≤x ≤1, ∴f(2x -1)的定义域为[0,1]。

例6已知已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(x 2

)的定义域。

答案:-1≤x 2≤1? x 2≤1?-1≤x ≤1

练习:设)(x f 的定义域是[-3,2],求函数)2(-x f 的定义域

解:要使函数有意义,必须:223≤-≤-x 得: 221+≤≤-x

x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x

∴ 函数)2(-x f 的定域义为:{}

2460|+≤≤x x

例7已知f(2x -1)的定义域为[0,1],求f(x)的定义域

因为2x -1是R 上的单调递增函数,因此由2x -1, x ∈[0,1]求得的值域[-1,1]是f(x)的定义域。

已知f(3x -1)的定义域为[-1,2),求f(2x+1)的定义域。[2,2

5-)

(提示:定义域是自变量x 的取值范围) 练习:

已知f(x 2)的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域

若()y f x =的定义域是[]0,2,则函数()()121f x f x ++-的定义域是 ( )

A.[]1,1-

B???

??

?-

21,21

C.??

????1,2

1

D.10,2

??????

已知函数()11x

f x x

+=-的定义域为A,函数()y f f x =????的定义域为B,则

( ) A.A

B B = B.B A ∈

C.A

B B =

D. A B =

2.值域问题

利用常见函数的值域来求(直接法)

一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ,值域为R ; 反比例函数)0(≠=

k x

k

y 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}; 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ,

当a>0时,值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥};当a<0时,值域为{a

b a

c y y 4)4(|2

-≤}.

例1 求下列函数的值域

① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②)(3x 1x

32

)(≤≤-=x f ③ x

x y 1

+

=(记住图像) 解:①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3,

∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域是[-1,5] ②略

③ 当x>0,∴x x y 1

+

==2)1(2+-

x

x 2≥, 当x<0时,)1

(x x y -+

--==-2)1(2---

-x

x -≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2,+∞).(此法也称为配方法) 函数x

x y 1

+

=的图像为: 二次函数在区间上的值域(最值):

例2 求下列函数的最大值、最小值与值域:

①142+-=x x y ; ②;]4,3[,142∈+-=x x x y ③]1,0[,142∈+-=x x x y ; ④]5,0[,142∈+-=x x x y ;

解:∵3)2(1422--=+-=x x x y ,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R ,

∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y ≥-3 }. ②∵顶点横坐标2?[3,4],

当x=3时,y= -2;x=4时,y=1;

∴在[3,4]上,min y =-2,m ax y =1;值域为[-2,1]. ③∵顶点横坐标2? [0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2, ∴在[0,1]上,min y =-2,m ax y =1;值域为[-2,1].

④∵顶点横坐标2∈ [0,5],当x=0时,y=1;x=2时,y=-3, x=5时,y=6, ∴在[0,1]上,min y =-3,m ax y =6;值域为[-3,6]. 注:对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ,

⑴若定义域为R 时,

①当a>0时,则当a b x 2-=时,其最小值a

b a

c y 4)4(2

min -=; ②当a<0时,则当a b

x 2-

=时,其最大值a

b a

c y 4)4(2max -=. ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若0x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时, 再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大(小)值.

②若0x ?[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内,只需比较)(),(b f a f 的大小即可

决定函数的最大(小)值.

注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;

②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行

讨论.

练习:1、求函数y =3+√(2-3x)的值域

解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0,

故3+√(2-3x)≥3。 ∴函数的值域为 [)+∞,3 .

2、求函数[]5,0,522

∈+-=x x x y 的值域

解: 对称轴 []5,01∈=x

[]

20,420,54

,1max min 值域为时时∴====∴y x y x 例3 求函数y=4x -√1-3x(x ≤1/3)的值域。 解:法一:(单调性法)设f(x)=4x,g(x)= -√1-3x ,(x ≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,

从而y=f(x)+g(x)= 4x -√1-3x

在定义域为x ≤1/3上也为增函数,而且y ≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此, 所求的函数值域为{y|y ≤4/3}。

小结:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结

合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。 练习:求函数y=3+√4-x 的值域。(答案:{y|y ≥3}) 法二:换元法

例4 求函数x x y -+=12 的值域

解:(换元法)设t x =-1,则)0(122

≥++-=t t t y

[)(]

2,21,01max ∞-∴==∴+∞∈=值域为,时当且开口向下

,对称轴y t t

点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而

确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

练习:求函数y=√x-1 –x 的值域。(答案:{y|y ≤-3/4} 例6 求13+--=x x y 的值域

解法一:(图象法)可化为 ??

?

??>-≤≤---<=3,431,221,4

x x x x y 如图,

观察得值域{}

44≤≤-y y

可得。

练习:1y x x =++的值域呢? ()[∞+,1)(三种方法均可)

例7 求函数[])1,0(239∈+-=x y x

x

的值域

解:(换元法)设t x

=3 ,则 31≤≤t 原函数可化为

[][]

8,28,3;2,13,12

1

,2max min

2值域为时时对称轴∴====∴?=

+-=y t y t t t t y

例8求函数x

x y 2231+-?

?

? ??= 的值域

解:(换元法)令1)1(22

2

+--=+-=x x x t ,则)1(31≤??

?

??=t y t

由指数函数的单调性知,原函数的值域为??

????+∞,31 例9 求函数 )0(2

≤=x y x

的值域

解:(图象法)如图,值域为(]1,0 例10 求函数2

1

+-=

x x y 的值域 解法一:(逆求法){}1121,≠-+=

y y y

y

x x 原函数值域为观察得解出 解法二:(分离常数法)由123

1232≠+-=+-+=

x x x y ,可得值域{}1≠y y

小结:已知分式函数)0(≠++=c d

cx b

ax y ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量

的要求)内,值域为?

??

???≠

c a y y ;如果是条件定义域(对自变量有附加条件)

,采用部分分式法将原函数化为)(bc ad d

cx c ad

b c a y ≠+-

+

=,用复合函数法来求值域。

例11 求函数1

33+=x x

y 的值域

解法一:(逆求法)10013<<∴>-=

y y

y

x

()1,0原函数的值域为∴

解法二:(换元法)设t x

=+13 ,

则()11

11

31113113>-=+-=+-+=

t t y x x x 101

1

01<<∴<<∴>y t

t

()01原函数的值域为∴

练习:y =121

2+-x x ;(y ∈(-1,1))

.

例13 函数1

1

22+-=x x y 的值域

解法一:(逆求法)110112

<≤-∴≥-+=

y y

y

x

[)1,1-∴原函数的值域为

解法二:(换元法)设t x =+12

,则

原函数值域即得∴<≤-∴≤<

∴≥1

122

01y t

t

例13 求函数3

425

2

+-=

x x y 的值域 解令t x x =+-3422

,则t

y 5=

11)1(22≥+-=x t

50≤<∴y 所以,值域}50|{≤

练习:

1 、)0(91

22≠++

=x x

x y ; 解:∵x ≠0,11)1(912

2

2+-=++

=x x x

x y ,∴y ≥11. 另外,此题利用基本不等式解更简捷:119291

22=+≥++=x

x y (或利用对勾函数图像法)

2 、3

425

2

+-=x x y 0

3 、求函数的值域

①x x y -+=2; ②242x x y --= 解:①令x u -=

2≥0,则22u x -=,

原式可化为4

9)2

1(22

2

+--=+-=u u u y ,

②解:令 t=4x -2

x ≥0 得 0≤x ≤4

在此区间内 (4x -2

x )m ax =4 ,(4x -2

x )m in =0 ∴函数242x x y --=的值域是{ y| 0≤y ≤2} 4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

解法1:将函数化为分段函数形式:??

?

??≥-<≤--<+-=)2(12)21(3)

1(12x x x x x y ,画出它的图象(下图),

由图象可知,函数的值域是{y|y ≥3}.

解法2:∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1,2的距离之和,∴易见y 的最小值是3,∴函数的值域是[3,+∞]. 如图

5、求函数x x y -+=142的值域

解:设 x t -=1 则 t ≥0 x=1-2

t

代入得 t t t f y 4)1(2)(2

+-?==4)1(224222+--=++-=t t t

∵t ≥0 ∴y ≤4

3.分段函数

分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知

识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场。

1.求分段函数的定义域和值域

例1.求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x

x x +∈-??

=-∈??∈+∞?

的定义域、值域.

【解析】

作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为

[1,)-+∞, 值域为(1,3]-.

2.求分段函数的函数值

例2.已知函数2

|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤??

=?>?+?求12[()]f f .

【解析】

因为311

222()|1|2f =--=-, 所以31222

32

14

[()]()1()13f f f =-=

=+-.

3.求分段函数的最值

例3.求函数43(0)

()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤??

=+<≤??-+>?

的最大值.

【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, max ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =.

4.求分段函数的解析式

例4.在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得

的图象是由两条线段组成的折线(如图所示), 则函数()f x 的表达式为( )

222(10)

.()2(02)x

x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10)

.()2(02)x

x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12)

.()1(24)x

x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2

26(12)

.()3(24)x

x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 【解析】

当[2,0]x ∈-时, 1

2

1y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下

平移

1

个单位, 得解析式为1122

(2)111y x x =-+-=

-, 所以

()22([f x x x =+∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2

个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以

1

2

()2([0,2])f x x x =+∈, 综上可得2

22(10)

()2(02)x x x f x x +-≤≤?=?+<≤?, 故选A .

9.解分段函数的不等式

例11.设函数1221(0)()(0)x x f x x x -?-≤?

=??>?, 若0()1f x >, 则0x 得取值范围是( )

.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-?+∞ .(,1)(1,)D -∞-?+∞

【解析1】

首先画出()y f x =和1y =的大致图像, 易知

y

x

x

y

0()1f x >时, 所对应的0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-?+∞.

【解析2】

因为0()1f x >, 当00x ≤时, 0211x

-->, 解得01x <-, 当00x >时, 12

01x >, 解得01x >, 综上0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-?+∞. 故选D.

例12.

设函数2

(1)

(1)()4(1)

x x f x x ?+

( )

A .(,2][0,10]-∞-? B. (,2][0,1]-∞-? C. (,2][1,10]-∞-? D. [2,0][1,10]-? 【解析】

当1x <时, 2

()1(1)120f x x x x ≥?+≥?≤-≥或, 所以21x x ≤-≤<或0, 当1x ≥时

, ()141310f x x ≥???≤, 所以110x ≤≤, 综

上所述, 2x ≤-或010x ≤≤, 故选A 项.

【点评:】

以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显.

函数定义域值域求法十一种

高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。 解:要使函数有意义,则必须满足 x 2 2x 15 0 ① 11 或 x>5。 3且x 11} {x |x 5}。 1 例2求函数y ' 定义域。 *16 x 2 解:要使函数有意义,则必须满足 sinx 0 ① 16 x 2 0 ② 由①解得2k x 2k ,k Z ③ 由②解得 4x4 ④ 由③和④求公共部分,得 4 x 或 0 x 故函数的定义域为(4, ] (0,] 评注:③和④怎样求公共部分?你会吗? 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。 (1)已知f(x)的定义域,求f [g(x)]的定义域。 (2)其解法是:已知f (x)的定义域是]a , b ]求f [g(x)]的定义域是解a g(x) b , 即为所求的定义域。 例3已知f(x)的定义域为[—2, 2],求f (x 2 3 x 3,故函数的定义域是{x | x (2)已知f [g(x)]的定义域,求f(x)的定义域。 其解法是:已知f [g(x)]的定义域是]a , b ],求f(x)定义域的方法是:由 a x b ,求 g(x)的值域,即所求f(x)的定义域。 例4已知f(2x 1)的定义域为]1,2],求f(x)的定义域。 解:因为 1 x 2,2 2x 4,3 2x 1 5。 即函数f(x)的定义域是{x 13 x 5}。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为 R ,求 参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5已知函数y . mx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析:函数的定义域为 R ,表明mx 2 6mx 8 m 0 ,使一切x € R 都成立,由x 2项 例1求函数y ,x 2 2x 15 |x 3| 8 的定义域。 |x 3| 8 0 ② 由①解得 x 3或x 5。 由②解得 x 5或x 11 解:令 2 x 2 1 2 ,得 1 x 2 3,即 0 x 2 3,因此0 | x | 3,从而 1)的定义域。 3}。 ③和④求交集得x 3且x 故所求函数的定义域为 {x |x

函数定义域、值域经典习题及答案

复合函数定义域和值域练习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域: ⑴y = (2 )01(21)111 y x x = +-+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01,,则函数f x ()2 的定义域为_ _ _;函数f x ()-2的定义域为 ________; 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23,,则函数(21)f x -的定义域是 ;函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-,且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在,求实数m 的取 值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域: ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈

⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-,求函数()f x ,(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数,且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-,求()f x 的解析式。 3、 已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+,则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数,且当[0,)x ∈+∞时, ()(1f x x =,则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且,()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且 1 ()()1 f x g x x += -,求()f x 与()g x 的解析表达式

求函数的定义域和值域的方法

解:求函数的定义域的常用方法 函数的定义域是高考的必考内容,高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的,具有隐蔽性,所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。 一,已知函数解析式求函数的定义域 如果只给出函数解析式(不注明定义域),其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域),这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是:(1)分式的分母不为零,(2)偶次根式的被开方数为非负数,(3)零次幂的底数不为零,(4)对数的真数大于零,(5)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1,(6)三角函数中的正切函数y=tanx ,{x ︱x ∈R 且 x ≠2 k π π+ , k ∈z }和余切函数y=cotx ,{x ︱x ∈R 且 x ≠k π,k ∈z }等。 例题一 求下列函数的定义域: (1) y=2)0+㏒(x —2)x 2 (2) 解:(1)欲使函数有意义,须满足 2≠0 x —1≥0 x —2>0 解得:x >2 且 x ≠3 ,x ≠5 x —2≠1 ∴ 函数的定义域为(2,3)∪(3,5)∪(5,+∞) x ≠0 (2) 由已知须满足 tanx ﹥0 解得: k π ﹤x ﹤2 k π π+ (k ∈z ) x ≠2 k π π+ -4﹤x ﹤4 16—x 2 ﹥0 ∴ 函数的定义域为(-π,2 π - )∪(0, 2 π )∪(π,4) 二,复合函数求定义域 求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域,依次求,直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题,是将每个复合函数定义域求出后取其交集。 例题二(1)已知函数f (x )的定义域为〔-2,2〕,求函数y=f (x 2-1)的定义域。 (2)已知函数y=f (2x+4)的定义域为〔0,1〕,求函数f (x )的定义域。 (3)已知函数f (x )的定义域为〔-1,2〕,求函数y=f (x+1)—f (x 2-1)的定义域。 (4)已知函数y=f (tan2x )的定义域为〔0, 8 π 〕,求函数f (x )的定义域。 分析:(1)是已知f (x )的定义域,求f 〔g (x )〕的定义域。其解法是:已知f

高中数学-函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 2 1 )(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -+ +=211)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式 2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式 21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3-] ②要使函数有意义,必须:???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

高一初等函数定义域值域

函数 例1、 已知函数f (x )=3+x + 21+x , (1) 求函数的定义域; (2) 求f (-3),f (32)的值; (3) 当a>0时,求f (a ),f (a-1)的值。 例2、中哪个与函数y=x 相等( )x 3 A 、y=(x )2 B 、y=33 x C 、y=2x D 、y=x x 2 例3、求下列函数的定义域 (1)f (x )= 741+x (2)f(x)=x -1+ 3+x -1 例4、已知函数f (x )=x 2+2x (1) 求f (2),f (-2),f (2)+f (-2)的值 (2) 求f (a ),f (-a ),f (a )+f (-a )的值 例5、某种笔记本的单价是5元,买x (x ∈{1,2,3,4,5})个笔记

本需要y元,试用函数的三种表示法表示函数y=f(x)。 例6、画出函数y=|x|的函数图象。 例7、如图,把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木材,如果矩形木材的一边长为xcm,面积为ycm2,把y表示为x的函数。

1、求下列函数的定义域 (1)f (x )= 43-x x (2)f (x )=2x (3)f (x )= 2 362+-x x (4)f (x )=14--x x 2、下列那组中的函数f (x )与g (x )相等 (1)f (x )=x-1,g (x )=x x 2 -1; (2)f (x )=x 2,,g (x )=(x )4 (3)f (x )=x 2,g (x )=36x 3、已知函数f (x )=3x 2-5x+2,求f (-2),f (-a ),f (a+3),f (a )+f (3)的值. 4、已知函数f (x )=6 2-+x x (1)点(3,14)在f (x )的图象上吗 (2)当x=4时,求f (x )的值; (3)当f (x )=2,求x 的值。

高一人教版必修一 数学函数定义域、值域、解析式题型

高一函数定义域、值域、解析式题型 一、 具体函数的定义域问题 1 求下列函数的定义域 (1 )1 y = (2 )y = (2)(3) 若函数()f x =的定义域为R ,则实数m 的取值范围是( ) (A)04m <<(B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 二、 抽象函数的定义问题 (一)已知函数()f x 的定义域,求函数[()]f g x 的定义域 2. 已知函数()f x 的定义域为[0,1],求函数2(2)f x 的定义域。 (二)已知函数[()]f g x 的定义域,求函数()f x 的定义域 3. 已知函数(21)f x +的定义域为[1,2],求函数()f x 的定义域。 (三)已知函数[()]f g x 的定义域,求函数[()]f h x 的定义域 4. 已知函数2(1)f x -的定义域为(2,5),求函数1()f x 的定义域。 5.已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-,且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在,求实数m 的取值范围。

(一) 配凑法 5 .已知22113(1)x f x x x ++=+,求()f x 的解析式。 (二) 换元法 6.已知(12f x +=+()f x 的解析式。 (三) 特殊值法 7 .已知对一切,x y R ∈,关系式()()(21)f x y f x x y y -=--+且(0)1f =,求()f x 。 待定系数法 8.已知()f x 是二次函数,且2(1)(1)244f x f x x x ++-=-+,求()f x 。 (四) 转化法 9. 设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的函数,对一切x R ∈,均有()(2)0f x f x ++=,当11x -≤≤时,()21f x x =-,求当13x <≤时,函数()f x 的解析式。 (五) 消去法 11.已知函数()f x 21()()x f x x -=,求()f x (六) 分段求解法 12. 已知函数2,()21,()1,0x x o f x x g x x ?≥=-=?-

函数定义域值域求法(全十一种)

创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解:要使函数有意义,则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解:要使函数有意义,则必须满足 ???>-≥②①0 x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π, ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分,得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--,, 评注:③和④怎样求公共部分?你会吗? 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。 (1)已知)x (f 的定义域,求)]x (g [f 的定义域。 (2)其解法是:已知)x (f 的定义域是[a ,b ]求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤,即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为[-2,2],求)1x (f 2-的定义域。 解:令21x 22≤-≤-,得3x 12≤≤-,即3x 02≤≤,因此3|x |0≤≤,从而3x 3≤≤-,故函数的定义域是}3x 3|x {≤ ≤-。

函数定义域值域求法总结

、函数定义域、值域求法总结

————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:

函数定义域、值域求法总结 1、函数的定义域是指自变量“x ”的取值集合。 2、在同一对应法则作用下,括号内整体的取值范围相同。 一般地,若已知 f(x)的定义域为[a,b],求函数f[g(x)]的定义域时,由于分别在两个函数中的x 和g(x)受同一个对应法则的作用,从而范围相同。因此f[g(x)]的定义域即为满足条件a ≤g(x)≤b 的x 的取值范围。 一般地,若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b],求函数 f(x)的定义域时,由于x 和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x)的定义域即为当a ≤x≤b 时,g(x)的取值范围。 定义域是X 的取值范围,g(x)和h(x)受同一个对应法则的影响,所以它们的范围相同。 ()的定义域 求的定义域已知练习)2(],9,3[log :313-x f x f 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 ():f (x),f[g(x)]题型一已知的定义域求的定义域 ()():f g x ,f (x)????题型二已知的定义域求的定义域 ()[]():f g x ,f h(x)????题型三已知的定义域求的定义域()[]()[] )x (h f x f x g f →→

(2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 21)(-= x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -++=21 1)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ???≠-≥+0201x x ? ???≠-≥2 1 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②214 3)(2-+--=x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-= x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3- ]

高一数学《函数的定义域值域》练习题

函数值域、定义域、解析式专题 一、函数值域的求法 1、直接法: 例1:求函数y = 例2:求函数1y 的值域。 2、配方法: 例1:求函数242y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域。 例2:求 函 数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-= 的 值域。 例3:求函数2256y x x =-++的值域。 3、分离常数法: 例1:求函数125 x y x -=+的值域。 例2:求函数1 22+--=x x x x y 的值域. 例3:求函数1 32 x y x -=-得值域. 4、换元法: 例1:求函数2y x = 例2: 求 函 数1x x y -+=的 值 域。 5、函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。 例1:求函数y x = 例2:求函数()x x x f -++=11的值域。

例3:求 函 数1x 1x y --+=的 值 域。 6、数型结合法:函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图像求得函数值域,是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义(如两点间距离,直线的斜率、截距等)或当一个函数的图象易于作出时,借助几何图形的直观性可求出其值域。 例1:求函数|3||5|y x x =++-的值域。 7、非负数法 根据函数解析式的结构特征,结合非负数的性质,可求出相关函数的值域。 例1、(1)求函数216x y -=的值域。 (2)求函数1 3 22+-=x x y 的值域。 二、函数定义域 例1:已知函数()f x 的定义域为[]15-,,求(35)f x -的定义域. 例2:若()f x 的定义域为[]35-,,求()()(25)x f x f x ?=-++的定义域. 例3:求下列函数的定义域: ① 2 1 )(-= x x f ; ② 23)(+=x x f ; ③ x x x f -+ += 21 1)( 例4:求下列函数的定义域: ④ 14)(2--=x x f ⑤ ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ⑥ 3 7 3132+++-= x x y ④x x x x f -+= 0)1()( 三、解析式的求法 1、配凑法 例1:已知 :23)1(2 +-=+x x x f ,求f(x);

必修一 函数的定义域及值域

个性化学科优化学案 辅导科目 数学 就读年级 学生 教师 徐亚 课 题 函数的概念 授课时间 2015年11月28 备课时间 2015年11月25日 教 学 目 标 1、理解函数的概念,明确确定函数的三个要素,会用区间表示函数的定义域和值域;掌握求函数定义域的基本原则。 2、了解函数的三种表示方法,并能选择合适的方法表示函数。 重、难 考 点 求函数的值域问题时要明确两点,一是值域的概念,二是函数的定义域和对应关系是确定函数的依据。 教学容 鹰击长空—基础不丢 1.定义:设A 、B 是两个非空集合,如果按照某种对应关系f ,使对于集合A 中的 一个数x ,在集 合B 中 确定的数f(x)和它对应,那么就称:f A B →为集合A 到集合的一个 ,记作: 2.函数的三要素 、 、 3.函数的表示法:解析法(函数的主要表示法),列表法,图象法; 4. 同一函数: 相同,值域 ,对应法则 . 1.区间的概念和记号 在研究函数时,常常用到区间的概念,它是数学中常用的述语和符号. 设a,b ∈R ,且a

函数的定义域和值域

函数定义 映射 一般地,设A 、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射(mapping ).记作“:f A B →” 函数的概念 1.定义:如果A ,B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数,在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应,那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数,记作 )(x f y =,A x ∈。 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域。 函数与映射的关系与区别 相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系; (2)函数与映射的对应都具有方向性; (3)A 中元素具有任意性,B 中元素具有唯一性; 区别:函数是一种特殊的映射,它要求两个集合中的元素必须是数,而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。 函数的三要素 函数是由三件事构成的一个整体,分别称为定义域.值域和对应法则.当我们认识一个函数时,应从这三方面去了解认识它. 例 已知函数f(x)=3x 2+5x -2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1) 例 函数y =x x 2 3与y =3x 是不是同一个函数?为什么? 练习 判断下列函数f (x )与g (x )是否表示同一个函数,说明理由? ① f ( x ) = (x -1) 0;g ( x ) = 1 ② f ( x ) = x ; g ( x ) = 2x ③ f ( x ) = x 2;f ( x ) = (x + 1) 2 ④ f ( x ) = | x | ;g ( x ) = 2x

数学必修一定义域值域知识点总结

数学必修一定义域值域知识点总结 数学必修一定义域知识点 定义 (高中函数定义)设A,B是两个非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x属于集合A。其中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的定义域; 常见题型 1,已知f(x)的定义域,求f(g(x))的定义域. 例1,已知f(x)的定义域为(-1,1),求f(2x-1)的定义域. 略解:由-1<2x-1<1有0<1 ∴f(2x-1)的定义域为(0,1) 2,已知f(g(x))的定义域,求f(x)的定义域. 例2,已知f(2x-1)的定义域为(0,1),求f(x)的定义域。 解:已知0<1,设t=2x-1 ∴x=(t+1)/2 ∴0<(t+1)/2<1 ∴-1<1 ∴f(x)的定义域为(-1,1) 注意比较例1与例2,加深理解定义域为x的取值范围的含义。 3,已知f(g(x))的定义域,求f(h(x))的定义域.

例3,已知f(2x-1)的定义域为(0,1),求f(x-1)的定义域。 略解:如例2,先求出f(x)的定义域为(-1,1),然后如例1有-1<1,即0<2 ∴f(x-1)的定义域为(0,2) 指使函数有意义的一切实数所组成的集合。 其主要根据: ①分式的分母不能为零 ②偶次方根的被开方数不小于零 ③对数函数的真数必须大于零 ④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1 例4,已知f(x)=1/x+√(x+1),求f(x)的定义域。 略解:x≠0且x+1≧0, ∴f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,+∞) 注意:答案一般用区间表示。 例5,已知f(x)=lg(-x2+x+2),求f(x)的定义域。 略解:由-x2+x+2>0有x2-x-2<0 即-1<2 ∴f(x)的定义域为(-1,2) 函数应用题的函数的定义域要根据实际情况求解。 例6,某工厂统计资料显示,产品次品率p与日产量 x(件)(x∈N,1≦x<99)的关系符合如下规律: 又知每生产一件正品盈利100元,每生产一件次品损失100元. 求该厂日盈利额T(元)关于日产量x(件)的函数;

高一函数值域定义域方法总结

函数定义域、值域求法总结 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆 求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 21)(-= x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -++=21 1)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式21 -x 无意义, 而2≠x 时,分式21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-3 2 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式 x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ?? ?≠-≥+0 201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域:

求函数的定义域与值域的常用方法完整版

求函数的定义域与值域 的常用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

求函数的定义域与值域的常用方法 引入: 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值? 一、求函数的解析式 (一)解析式的表达形式 (解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。) 1、一般式 (是大部分函数的表达形式) 例:一次函数:b kx y +=)0(≠k 二次函数:c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数:x k y = )0(≠k 正比例函数:kx y = )0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数,u 又是x 的函数,即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==,那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ,则[]=)(x g f , []=)(x f g 。 解:[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f (二)解析式的求法 (根据已知条件求函数的解析式,常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值(式)法、方程法等。) 1. 配凑法 例1.已知 :23)1(2+-=+x x x f ,求f(x); 解:因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 例2、已知:221)1(x x x x f +=+,求)(x f 。 解: 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意:使用配凑法也要注意自变量的范围限制。 2.换元法 例1.已知:x x x f 2)1(+=+,求f(x); 解:令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则 则1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 所以)1(1)(2≥-=x x x f 例2、已知:11)11(2-=+x x f ,求)(x f 。

高中数学函数定义域值域求法总结

函数定义域、值域求法总结 一。求函数得定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式得被开方数非负。 (3)对数中得真数部分大于0。 (4)指数、对数得底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx中x≠kπ+π/2;y=cotx中x≠kπ等等。 ( 6 )中x 二、值域就是函数y=f(x)中y得取值范围。 常用得求值域得方法: (1)直接法(2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学得始终。 定义域得求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数得定义域: ①;②;③ 解:①∵x—2=0,即x=2时,分式无意义, 而时,分式有意义,∴这个函数得定义域就是、 ②∵3x+2〈0,即x<-时,根式无意义, 而,即时,根式才有意义, ∴这个函数得定义域就是{|}. ③∵当,即且时,根式与分式同时有意义, ∴这个函数得定义域就是{|且} 另解:要使函数有意义,必须: 例2 求下列函数得定义域: ①② ③④ ⑤ 解:①要使函数有意义,必须: 即: ∴函数得定义域为: []

②要使函数有意义,必须: ∴定义域为:{ x|} ③要使函数有意义,必须: ? ∴函数得定义域为: ④要使函数有意义,必须: ∴定义域为: ⑤要使函数有意义,必须: 即 x< 或 x〉∴定义域为: 2定义域得逆向问题 例3若函数得定义域就是R,求实数a得取值范围(定义域得逆向问题) 解:∵定义域就是R,∴ ∴ 练习: 定义域就是一切实数,则m得取值范围; 3复合函数定义域得求法 例4 若函数得定义域为[-1,1],求函数得定义域 解:要使函数有意义,必须: ∴函数得定义域为: 例5 已知f(x)得定义域为[—1,1],求f(2x—1)得定义域。 分析:法则f要求自变量在[-1,1]内取值,则法则作用在2x-1上必也要求2x-1在[-1,1]内取值,即-1≤2x-1≤1,解出x得取值范围就就是复合函数得定义域;或者从位置上思考f(2x-1)中2x-1与f(x)中得x位置相同,范围也应一样,∴—1≤2x-1≤1,解出x得取值范围就就是复合函数得定义域。 (注意:f(x)中得x与f(2x-1)中得x不就是同一个x,即它们意义不同。) 解:∵f(x)得定义域为[—1,1], ∴—1≤2x-1≤1,解之0≤x≤1, ∴f(2x-1)得定义域为[0,1]。 例6已知已知f(x)得定义域为[-1,1],求f(x2)得定义域。 答案:—1≤x2≤1 x2≤1-1≤x≤1 练习:设得定义域就是[-3,],求函数得定义域 解:要使函数有意义,必须: 得: ∵≥0 ∴ ∴函数得定域义为: 例7 已知f(2x-1)得定义域为[0,1],求f(x)得定义域 因为2x-1就是R上得单调递增函数,因此由2x-1, x∈[0,1]求得得值域[-1,1]就是f(x)得定义域、 练习: 1已知f(3x-1)得定义域为[—1,2),求f(2x+1)得定义域。) (提示:定义域就是自变量x得取值范围) 2已知f(x2)得定义域为[-1,1],求f(x)得定义域

数学定义域和值域

函数的有关概念 1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A 中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A 叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 经典例题透析 类型一、函数概念 1.下列各组函数是否表示同一个函数? (1) (2) (3) (4) 小结1:相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致(两点必须同时具备) 2.求下列函数的定义域(用区间表示). (1);(2);(3). 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3.值域: (先考虑其定义域) 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题,虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后,值域就完全确定了,但求值域还是特别要注意讲究方法,常用的方法有: 1.直接法:由常见函数的值域或不等式性质求出; 2.分离常数法:可将其分离出一个常数; 3.观察法:利用函数的图象的"最高点"和"最低点",观察求得函数的值域;

4.判别式法:将函数视为关于自变量的二次方程,利用判别式求函数值的范围,常用于一些"分式"函数等;此外,使用此方法要特别注意自变量的取值范围; 5.换元法:通过对函数的解析式进行适当换元,将复杂的函数化归为几个简单的函数,从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域. 例题详见备课本 5. 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。 ∵0e x > ∴01y 1y >-+ 解得:1y 1<<- 故所求函数的值域为)1,1(- 例3. 求函数1x x y -+=的值域。 解:令t 1x =-,)0t (≥ 则1t x 2+= ∵ 43)21t (1t t y 22++=++= 又0t ≥,由二次函数的性质可知 当0t =时,1y m i n = 当0t →时,+∞→y 故函数的值域为),1[+∞

高一初等函数定义域值域

高一初等函数定义域值 域 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

函数 例1、 已知函数f (x )=3+x + 21+x , (1) 求函数的定义域; (2) 求f (-3),f (32)的值; (3) 当a>0时,求f (a ),f (a-1)的值。 例2、中哪个与函数y=x 相等( )x 3 A 、y=(x )2 B 、y=33 x C 、y=2x D 、y=x x 2 例3、求下列函数的定义域 (1)f (x )= 7 41+x (2)f(x)=x -1+ 3+x -1 例4、已知函数f (x )=x 2+2x (1) 求f (2),f (-2),f (2)+f (-2)的值 (2) 求f (a ),f (-a ),f (a )+f (-a )的值

例5、某种笔记本的单价是5元,买x(x {1,2,3,4,5})个笔记本需要y元,试用函数的三种表示法表示函数y=f(x)。 例6、画出函数y=|x|的函数图象。 例7、如图,把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木材,如果矩形木材的一边长为xcm,面积为ycm2,把y表示为x的函数。 x

1、求下列函数的定义域 (1)f (x )=43-x x (2)f (x )=2x (3)f (x )=236 2+-x x (4)f (x )=14--x x 2、下列那组中的函数f (x )与g (x )相等? (1)f (x )=x-1,g (x )=x x 2 -1; (2)f (x )=x 2,,g (x )=(x )4 (3)f (x )=x 2,g (x )=36x 3、已知函数f (x )=3x 2-5x+2,求f (-2),f (-a ),f (a+3),f (a )+f (3)的值. 4、已知函数f (x )=62 -+x x (1)点(3,14)在f (x )的图象上吗?

函数的定义域及值域

函数的定义域及值域 题型一 求函数的定义域 1. 已函数f(x)=x x x -+0 )1(的定义域 2.函数 )3(log 1 3x y -= 的定义域为 3.函数x x y cos lg 252+-=的定义域为 __ 2.抽象函数定义域 1. 函数f(x 2)的定义域为[-1,1],则函数f(x)的定义域 2.设函数 的定义域是[0,1],求的定义域. 3.已知f(x 2)的定义域为[1,2],则y=f()(log 2 1x 的定义域为_______. 3.定义域逆用 1. 已知函数y = 的定义域为R.求实数m 的取值范围; 2. 设f (x )=lg(x 2 -2x +a )的定义域为R ,求a 的取值范围; 3.设函数y = 的定义域为R ,求实数a 的取值范围.

题型二 求函数的值域 1.求下列函数的值域: (1)y = 2x -1 x ∈[1,3] (2) y = -3x +1 x ∈[-1,2] (3)函数f(x)= ax + b x ∈[-1,1] 最大值为2,最小值为-4,求a,b 的值 2. 求下列函数的值域: ⑴y =x 2-5x +6 x ∈[-2,1] ⑵y =x 2-5x +6,x ∈[1,3] ⑶y =x 2-5x +6,x ∈[2,4] (4)y =x 2-5x +6,x ∈[3,5] (5) f(x)= x 2-2ax -2 x ∈[-2,4] 3. x>0 4.函数y =x +x 21-的值域 5.若 求函数的取值范围. 6. 对于任意实数,设函数 是与中较小者,求的最大值 7.已知函数 的值域是,求的值.

函数定义域-值域求法以及分段函数

(一)函数的概念 1.函数的概念: 设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B 的一个函数(function). 记作:y=f(x),x∈A. 其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域(domain);与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域(range). 注意: ○1“y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”; ○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值,一个数,而不是f乘x.2.构成函数的三要素: 定义域、对应关系和值域 3.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示. 4.一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论 (二)映射 一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A 中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B 为从集合A到集合B的一个映射(mapping). 记作“f:A→B” 说明: (1)这两个集合有先后顺序,A到B的射与B到A的映射是截然不同的.其中f表示具体的对应法则,可以用汉字叙述. (2)“都有唯一”什么意思? 包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思。1.例题分析:下列哪些对应是从集合A到集合B的映射? (1)A={P | P是数轴上的点},B=R,对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应; (2)A={ P | P是平面直角体系中的点},B={(x,y)| x∈R,y∈R},对应关系f:平面直角体系中的点与它的坐标对应; (3)A={三角形},B={x | x是圆},对应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆; (4)A={x | x是新华中学的班级},B={x | x是新华中学的学生},对应关系f:每一个班级都对应班里的学生. 思考: 将(3)中的对应关系f改为:每一个圆都对应它的内接三角形;(4)中的对应关系f 改为:每一个学生都对应他的班级,那么对应f:B→A是从集合B到集合A的映射吗? (三)函数的表示法 常用的函数表示法:(1)解析法; (2)图象法; (3)列表法.

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