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复数代数形式的乘除运算教学设计

复数代数形式的乘除运算教学设计
复数代数形式的乘除运算教学设计

复数代数形式的乘除运算

教学目标:

知识与技能:理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则,深刻理解它是乘法运算的逆运算 过程与方法:理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题情感、态度与价值观:复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味,学生不易接受,教学时,我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的,让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。

教学重点:复数代数形式的除法运算。

教学难点:对复数除法法则的运用。

教具准备:多媒体、实物投影仪。

教学设想:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等即:如果a ,b ,c ,d ∈R ,那么a +bi =c +di ?a =c ,b =d ,只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 教学过程:

学生探究过程:

1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1,即 2

1i =-; (2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立

2. i 与-1的关系: i 就是-1的一个平方根,即方程x 2=-1的一个根,方程x 2=-1的另一个根是-i

3. i 的周期性:i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =1

4.复数的定义:形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数,a 叫复数的实部,b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C 表示*

3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示,即(,)z a bi a b R =+∈,把复数表示成a +bi 的形式,叫做复数的代数形式

4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系:对于复数(,)a bi a b R +∈,当且仅当b =0时,复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ;当b ≠0时,复数z =a +bi 叫做虚数;当a =0且b ≠0时,z =bi 叫做纯虚数;当且仅当a =b =0时,z 就是实数0.

5.复数集与其它数集之间的关系:N Z Q R C .

6. 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等即:如果a ,b ,c ,d ∈R ,那么a +bi =c +di ?a =c ,b =d

一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如果两个复数都是实数,就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

7. 复平面、实轴、虚轴:

点Z 的横坐标是a ,纵坐标是b ,复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ,b )表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数

对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为(0,0), 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数

8.复数z 1与z 2的和的定义:z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .

9. 复数z 1与z 2的差的定义:z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .

10. 复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1.

11. 复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)

讲解新课:

1.乘法运算规则:

规定复数的乘法按照以下的法则进行:

设z 1=a +bi ,z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数,那么它们的积(a +bi )(c +di )=(ac -bd )+(bc +ad )i .

其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把i 2换成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

2.乘法运算律:

(1)z 1z 2= z 2z 1

(2)z 1(z 2z 3)=(z 1z 2)z 3

证明:设z 1=a 1+b 1i ,z 2=a 2+b 2i ,z 3=a 3+b 3i (a 1,a 2,a 3,b 1,b 2,b 3∈R ).

∵z 1z 2=(a 1+b 1i )(a 2+b 2i )=(a 1a 2-b 1b 2)+(b 1a 2+a 1b 2)i ,

z 2z 1=(a 2+b 2i )(a 1+b 1i )=(a 2a 1-b 2b 1)+(b 2a 1+a 2b 1)i .

又a 1a 2-b 1b 2=a 2a 1-b 2b 1,b 1a 2+a 1b 2=b 2a 1+a 2b 1.

∴z 1z 2=z 2z 1.

(3)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3

证明:设z 1=a 1+b 1i ,z 2=a 2+b 2i ,z 3=a 3+b 3i (a 1,a 2,a 3,b 1,b 2,b 3∈R ).

∵(z 1z 2)z 3=[(a 1+b 1i )(a 2+b 2i )](a 3+b 3i )=[(a 1a 2-b 1b 2)+(b 1b 2+a 1b 2)i ](a 3+b 3i )

=[(a 1a 2-b 1b 2)a 3-(b 1a 2+a 1b 2)b 3]+[(b 1a 2+a 1b 2)a 3+(a 1a 2-b 1b 2)b 3]i

=(a 1a 2a 3-b 1b 2a 3-b 1a 2b 3-a 1b 2b 3)+(b 1a 2a 3+a 1b 2b 3+a 1a 2b 3-b 1b 2b 3)i ,

同理可证:

z 1(z 2z 3)=(a 1a 2a 3-b 1b 2a 3-b 1a 2b 3-a 1b 2b 3)+(b 1a 2a 3+a 1b 2a 3+a 1a 2b 3-b 1b 2b 3)i ,

∴(z 1z 2)z 3=z 1(z 2z 3).

例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)

解:(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i) (-2+i)= -20+15i.

例2计算:

(1)(3+4i) (3-4i) ; (2)(1+ i)2.

解:(1)(3+4i) (3-4i) =32-(4i )2=9-(-16)=25;

(2) (1+ i)2=1+2 i+i 2=1+2 i-1=2 i.

3.共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数

通常记复数z 的共轭复数为z 。

4. 复数除法定义:满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y ∈R)叫复数a+bi 除以复数c+di 的商,记为:(a+bi)÷(c+di)或者di

c bi a ++ 5.除法运算规则:

①设复数a +bi (a ,b ∈R ),除以c +di (c ,d ∈R ),其商为x +yi (x ,y ∈R ),

即(a +bi )÷(c +di )=x +yi

∵(x +yi )(c +di )=(cx -dy )+(dx +cy )i .

∴(cx -dy )+(dx +cy )i =a +bi .

由复数相等定义可知???=+=-.

,b cy dx a dy cx 解这个方程组,得???

????+-=++=.,2222d c ad bc y d c bd ac x 于是有:(a +bi )÷(c +di )=2222d

c a

d bc d c bd ac +-+++ i . ②利用(c +di )(c -di )=c 2+d 2.于是将

di c bi a ++的分母有理化得: 原式=22

()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d ++-+?-+-==++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d

++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i d c ad bc d c bd ac 2

222+-+++. 点评:①是常规方法,②是利用初中我们学习的化简无理分式时,都是采用的分母有理化思想方法,而复数c +di 与复数c -di ,相当于我们初中学习的23+的对偶式23-,它们之积为1是有理数,而(c +di )·(c -di )=c 2+d 2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法

例3计算(12)(34)i i +÷-

解:(12)(34)i i +÷-1234i i

+=- 22(12)(34)386451012(34)(34)342555

i i i i i i i i ++-++-+====-+-++ 巩固练习:

1.计算:(1+2i )2

2.计算(i -2)(1-2i )(3+4i )

3.计算i 3

(1)+

4.若z C ∈且z i (3)1+=,则z _____=.

5.已知复数)()23(222R x i x x x x ∈+-+-+是i 204-的共轭复数,求x 的值.

6.计算

⑴(7)(34)i i +÷+ ⑵21()1i i +- ⑶113232i i

--+

7.若122x =-,则21x x

=-_____. 本节小结:

(1)复数乘法法则:(a +bi )(c +di )=(ac -bd )+(bc +ad )i

(2)共轭复数:复数z = a +bi 的共轭复数为z = a -bi

(3)复数除法法则:(a +bi )÷(c +di )=i d

c a

d bc d c bd ac 2222+-+++

课后作业:课本第112页 习题3. 2 A 组4,5,6 B 组1,2

教学反思:

复数的乘法法则是:(a +bi )(c +di )=(ac -bd )+(bc +ad )i . 复数的代数式相乘,可按多项式类似的办法进行,不必去记公式. 复数的除法法则是:2222d

c a

d bc d c bd ac di c bi a +-+++=++i (c +di ≠0). 两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式,然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数,再把结果化简

课后练习

1.复数2

2i 1+i ?? ???

等于( C ) A .4i B .4i - C .2i D .2i -

2.化简224(1)

i i ++的结果是( C ) A.2i +

B.2i -+ C.2i - D.2i -- 3.复数311i i i

++-的值是( ) (A )0

(B )1 (C )1- (D )i 解析:选A .23331(1)201(1)(1)2

i i i i i i i i i i i +++=+=+=-=--+. 本题考查复数的代数运算.

4.若a 为实数,i

ai

212++=-2I ,则a 等于(B) (A )2 (B )-2 (C )22 (D )-22

5.i 是虚数单位,51034i i

-+=+ 12i + .(用a bi +的形式表示,a b ∈R ,) 6.计算:

(1)(7-6i)(-3i) (2)(3+4i)(-2-3i) (3)(1+2i)(3-4i)(-2-i)

7.计算:

(1))23)(23(i i +-+

(2)2)1(i - (3)i(2-i)(1-2i) 8.计算:

(1)i i -+11 (2)i 1 (3)i i 437++ (4)i i i -++-)2)(1(

3.1.1数系的扩充和复数的概念(教学设计)

§3.1.1数系的扩充和复数的概念(教学设计) 教学目标: 知识与技能目标: 了解引进复数的必要性;理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等)。理解虚数单位i 以及i 与实数的四则运算规律。 过程与方法目标: 通过问题情境,了解扩充数系的必要性,感受数系的扩充过程,体会引入虚数单位i 和复数形式的合理性,使学生对数的概念有一个初步的、完整的认识。 情感、态度与价值观目标: 通过问题情境,体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。 教学重点: 复数的概念,虚数单位i ,复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用 教学难点: 虚数单位i 的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i 并同时规定了它的两条性质之后,自然地得出的.在规定i 的第二条性质时,原有的加、乘运算律仍然成立 教学过程: 一、创设情境、新课引入: 数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期,人们在狩猎、采集果实等劳动中,由于计数的需要,就产生了1,2,3,4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N 随着生产和科学的发展,数的概念也得到发展 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题,人们引进了分数;为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要,人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q .显然N Q .如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起,构成整数集Z ,则有Z Q 、N Z .如果把整数看作分母为1的分数,那么有理数集实际上就是分数集 有些量与量之间的比值,例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果,无法用有理数表示,为了解决这个矛盾,人们又引进了无理数.所谓无理数,就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起,构成实数集R .因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数),无理数都是无限不循环小数,所以实数集实际上就是小数集 因生产和科学发展的需要而逐步扩充,数集的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是,数集扩到实数集R 以后,像x 2=-1这样的方程还是无解的,因为没有一个实数的平方等于-1.由于解方程的需要,人们引入了一个新数i ,叫做虚数单位.并由此产生的了复数 二、师生互动、新课讲解 1.虚数单位i : (1)它的平方等于-1,即 2 1i =-; (2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立. 2. i 与-1的关系: i 就是-1的一个平方根,即方程x 2=-1的一个根,方程x 2=-1的另一个根是-i ! 3. i 的周期性:i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =1 4.复数的定义:形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数,a 叫复数的实部,b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C 表示* 3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示,即(,)z a bi a b R =+∈,把复数表示成a +bi 的形式,叫

数系的扩充和复数的引入教学设计

《数系的扩充与复数的引入》第1课时教案设计学校:江西省抚州市临川二中姓名:黄志彬联系方式: 学情分析: “数系的扩充与复数的引入”是北师大版选修2-2第五章第一节内容,是在学生已经学习了 x+=没有实数解,但实际需要要求此方程的解,实数以及实数有关的运算,知道方程210 所以有必要引出复数的概念以及复数的有关运算,建立新的数系。 ●教学理念: 本着“以学生为主体,教师为主导”的理念,采用探究式教学方法,按照提出问题,思考、交流进而分析得出结论的方法进行启发式教学。 教学目标: 知识技能: 1.了解数系发展原因,数集的扩展过程; 2.理解复数的有关概念以及符号表示; 过程与方法:经历了数系的扩充过程,体验了复数引入的必要,探究了复数相等的概念,领悟了类比的思想方法. 情感态度与价值观:在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求;在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系. ●教学重难点: 重点:对引入复数的必要性的认识,理解复数的基本概念 难点:虚数单位的引入以及复数概念的生成. ●设计思路: 本节课主要采用“问题发现”与“讨论探究”等方式组织教学,凸显学生的主体地位,让教师成为活动的组织者、引导者、合作者,课堂展示学生的研究过程来激发学生的探索勇气。并灵活运用多媒体辅助教学,增强教学的直观性,激发学生的学习兴趣。 教学过程: 以问题为载体,以学生思考为主线 创设情境→建构知识→知识运用→归纳总结→作业布置→课后探究 1.提出问题,探究新知:以一分四十秒数学史录音视频开始,提出问题:自然数集,整数集,有理数集,实数集的关系,继续提出问题:数集扩充到实数集之后,是不是所有的方

复数代数形式的加减运算及其几何意义(教案)

新授课:3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 教学目标 重点:复数代数形式的加法、减法的运算法则. 难点:复数加法、减法的几何意义. 知识点:.掌握复数代数形式的加、减运算法则; .理解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 能力点:培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力. 教育点:通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,培养学生对数学探索和渴求的思想. 在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神. 自主探究点:如何运用复数加法、减法的几何意义来解决问题. 考试点:会计算复数的和与差;能用复数加、减法的几何意义解决简单问题. 易错易混点:复数的加法与减法的综合应用. 拓展点:复数与其他知识的综合. 一、引入新课 复习引入 .虚数单位:它的平方等于,即; .对于复数: 当且仅当时,是实数; 当时,为虚数; 当且时,为纯虚数; 当且仅当时,就是实数. .复数集与其它数集之间的关系:. 一一对应 .复数几何意义: 复数复平面内的向量 我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算. 【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫. 二、探究新知

探究一:复数的加法 .复数的加法法则 我们规定,复数的加法法则如下: 设,是任意两个复数,那么: 提出问题: ()两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗? ()当时,与实数加法法则一致吗? ()它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法? 学生明确: ()仍然是个复数,且是一个确定的复数; ()一致; ()实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项.【设计意图】加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神. .复数加法的运算律 实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗? 对任意的,有 (交换律), (结合律). 【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力. .复数加法的几何意义 复数与复平面内的向量有一一对应关系,那么请同学们猜想一下,复数的加法也有这种对应关系吗? 设分别与复数对应,则有,由平面向量的坐标运算有 . 这说明两个向量的和就是与复数对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示:

高中数学选修1,2《复数代数形式的四则运算》教案

高中数学选修1,2《复数代数形式的四则运算》教案 知识与技能:掌握复数的四则运算; 过程与方法:理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律 情感态度与价值观:通过复数的四则运算学习与掌握,进一步理解复数引发学生对数学学习的兴趣,激起学生的探索求知欲望。 教学重难点 熟练运用复数的加减法运算法则。 教学过程 教学设计流程 一、导入新课: 复数的概念及其几何意义; 二、推进新课: 建立复数的概念之后,我们自然而然地要讨论复数系的各种运算问题。 设Z1 =a+bi, Z2 =c+di是任意两个复数,我们规定: 1、复数的加法运算法则:Z1+Z2=(a+从)+(b+d)i 2、复数的加法运算律: 交换律:Z1+Z2=Z2+Z1 结合律:Z1+Z2+Z3=Z1+(Z2+Z3) 3、复数加法的几何意义: 4、复数的减法运算法则: Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i 5、复数减法的几何意义: 三、例题讲解 例1:计算:(7-3i)+(-1-i)-(6+3i)

课后小结 复数的加法与减法的运算及几何意义 课后习题 课本习题3.2 A组1题、2题、3题. 高中数学选修1-2《复数代数形式的四则运算》教案【二】 教学目标: 知识与技能:理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则,深刻理解它是乘法运算的逆运算 过程与方法:理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 情感、态度与价值观:复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味,学生不易接受,教学时,我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的,让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。 教学重点:复数代数形式的除法运算。 教学难点:对复数除法法则的运用。 教学过程: 学生探究过程: 1. 复数的加减法的几何意义是什么? 2. 计算(1) (2) (3) 3. 计算:(1) (2) (类比多项式的乘法引入复数的乘法) 讲解新课: 1.复数代数形式的乘法运算 ①.复数的乘法法则:。 例1.计算(1) (2) (3) (4)

复数教学设计(省优质课)

§5.1 数系的扩充与复数的引入 江西省永新县任弼时中学 文辉 【教学目标】 (1) 了解引进复数的必要性,理解复数的基本概念,了解复数的代数法表示, 理解虚数单位,理解复数相等的充要条件. (2) 了解复数的几何意义,理解复数模的概念,了解复数与复平面内的点的 对应关系. (3) 体会实际需求与数学内部的矛盾在数学扩充过程中的作用,感受人类理 性思维在数系的扩充过程的作用以及数与现实世界的联系。 (4) 通过复数与复平面内的点的对应关系,体会二维空间中数与形之间的内 在联系. 【教学重难点】 重点:引进虚数单位i 的必要性,对i 的规定,复数的有关概念. 难点:实数系扩充到复数系的过程的理解,复数的概念的理解. 教学方法:1.启发式教学法. 2.激励---探索---讨论---发现. 教具准备:多媒体,投影仪. 教学过程 Ⅰ.课题导入 ㈠引导学生回顾数的变化发展过程 数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期,人们在狩猎、采集果实等劳动中,由于计数的需要,就产生了1,2,3,4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N . 随着生产和科学的发展,数的概念也得到发展. 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题,人们引进了分数;为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要,人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q .显然N Q .如果把自然数集(含正整数和零)与负整数集合并在一起,构成整数集Z ,则有Z Q 、N Z .如果把整数看作分母为1的分数,那么﹛有理数﹜=﹛分数﹜=﹛循环小数﹜. 有些量与量之间的比值,例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果,无法用有理数表示,为了解决这个矛盾,人们又引进了无理数.所谓无理数,就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起,构成实数集R .因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数),无理数都是无限不循环小数,所以﹛实数﹜=﹛小数﹜. ㈡设置问题情境,探究实践 问题①:请类比引进2,就可以解决方程02x 2=-在有理数集中无解的问题,怎么解决方程01x 2=+在实数集中无解的问题?

《复数复习小结》教学设计方案(含教学反思)

《复数复习小结》教学设计方案(含教学反思) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

课题名称《复数复习小结》 莆田第十三中学李春涵 一、概述 本节课的内容是《选修1—2》最后一章《复数》的复习小结,涉及复数有关概念、运算法则的知识梳理和具体的应用。教学对象是本校高二(4)班。所需课时一节课。《复数》是高中文科数学的最后一章,固然内容不多、难度不大,但它扩大了数域,当然扩大了我们的视野,也再给了我们一个联系数与形的崭新工具,尤其在提高数学思想方法水平上具有积极的意义。 教学重点: 复数有关概念、运算法则的知识梳理和具体的应用. 教学难点: 梳理复数的知识结构。 二、教学目标分析(融合知识与技能、过程与方法、情感态度价值观) 1.理解复数的有关概念、掌握复数的代数表示及向量表示. 2.会运用复数的分类、复数相等的充要条件求出相关复数的实参数值. 3.掌握复数加法、乘法运算律;能进行复数的代数形式的加法、减法、乘法、除法等运算。 4.掌握复数代数形式的运算法则及加减法运算的几何意义 5.领会复数问题实数化的思想方法,能应用数形结合、待定系数法等数学思想方法解决复数问题。 6.领会数系扩充的过程。 三、学习者特征分析 1.学生是莆田第十三中学(农村一般校)的高二文科重点班学生,学习自觉性较强,一般都能预习。 2.作为高二学生,好奇心较强,对数学有较强的探究欲望; 3.学生有过较多的小组合作经验;

4.学生已经熟练掌握实数的有关概念、运算律、数学思想方法等知识; 5.学生已经学过复数的有关概念、运算律、数学思想方法等的基础知识; 6.学生能够进行简单的复数计算和应用; 四、教学策略选择与设计 这是一节《复数》的复习课,零零碎碎的知识点很多。只能以学生为主体,自主学习;教师起主导作用,给以适当的辅导。所以我采用的策略是通过导课语激发学生的兴趣和求知欲后,播放PPT,让学生阅读知识点。老师适当点拨,后又进行总结归纳梳理出本章的知识体系图。这样才能把复习知识点的时间控制在15分钟内而且又能达到让学生系统把握本章知识的目的。而复习的根本目的是提高知识的应用能力,由于学生都有预习,所以对P.110-111的例题1——2采用阅读提问指导的方法来教学,时间控制在10分钟内。对于补充例题,先用PPT播放题目,让学生思考,老师进行点拨指导,后给出PPT答案,时间控制也在10分钟内。特别要强调的是老师指导的内容侧重于数学思想方法的启发应用。最后,为巩固知识,提高解题能力和数学思想方法水平,特设课堂训练,用时8分钟。剩下2分钟,留于课堂小结和作业布置(根据不同层次布置不同难度的作业)。 五、教学资源与工具设计 教学媒体选择分析表

复数代数形式的四则运算(教学设计)(2)

复数代数形式的四则运算(教学设计)(2) §3.2.2复数代数形式的乘除运算 教学目标: 知识与技能目标: 理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则,熟练进行复数的乘法和除法的运算。理解复数乘法的交换律、结合律、分配律;了解共轭复数的定义及性质 过程与方法目标: 理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 情感、态度与价值观目标: 复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味,学生不易接受,教学时,我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的,让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。 教学重点:复数代数形式的除法运算。 教学难点:对复数除法法则的运用。 教学过程: 一、复习回顾,新课引入: 1、复数z1与z2的和的定义:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 2、复数z1与z2的差的定义:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 3、复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 4、复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 二、师生互动、新课讲解: 1.乘法运算规则: 规定复数的乘法按照以下的法则进行: 设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2.乘法运算律: (1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R). ∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i, z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i. 又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1,b1a2+a1b2=b2a1+a2b1. ∴z1z2=z2z1. (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R). ∵(z1z2)z3=[(a1+b1i)(a2+b2i)](a3+b3i)=[(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i](a3+b3i) =[(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3]+[(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3]i =(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i, 同理可证: z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i, ∴(z1z2)z3=z1(z2z3). (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R). ∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+b1i)[(a2+a3)+(b2+b3)i] =[a1(a2+a3)-b1(b2+b3)]+[b1(a2+a3)+a1(b2+b3)]i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i. z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i) =(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i =(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i

典型例题:复数的代数形式及其运算

复数的代数形式及其运算 例1.计算: i i i i i 2 1 2 1 ) 1( ) 1( 2005 40 40 + + - + + - - + 解:提示:利用i i i i= ± = ±2005 2,2 ) 1( 原式=0 变式训练1: 2 = (A)1 -(B) 1 22 +(C) 1 22 -+(D)1 解:21 2 ===-+故选C; 例2. 若0 1 2= + +z z,求2006 2005 2003 2002z z z z+ + + 解:提示:利用z z z= =4 3,1 原式=2 ) 1(4 3 2002- = + + +z z z z 变式训练2:已知复数z满足z2+1=0,则(z6+i)(z6-i)=▲ . 解:2 例3. 已知4, a a R >∈,问是否存在复数z,使其满足ai z i z z+ = + ?3 2(a∈R),如果存在,求出z的值,如果不存在,说明理由 解:提示:设) , (R y x yi x z∈ + =利用复数相等的概念有 ? ? ? = = + + a x y y x 2 3 2 2 2 3 4 2 2 2> ? ? = - + + ? a y y i a a z a 2 16 2 2 4 | | 2 - ± - + = ? ≤ ? 变式训练3:若 (2) a i i b i -=+,其中i R b a, ,∈是虚数单位,则a+b= __________

解:3 例4. 证明:在复数范围内,方程255||(1)(1)2i z i z i z i -+--+=+(i 为虚数单位)无解. 证明:原方程化简为 2||(1)(1)1 3.z i z i z i +--+=-设 yi x z += (x 、y∈R,代入上述方程得22221 3.x y xi yi i +--=- 221(1)223(2)x y x y ?+=?∴?+=?? 将(2)代入(1) ,整理得281250. x x -+=160,()f x ?=-<∴方程无实数解,∴原方程在复数范围内无解. 变式训练4:已知复数z 1满足(1+i)z 1=-1+5i ,z 2=a -2-i ,其中i 为虚数单位,a∈R, 若12z z -<1z ,求a 的取值范围. 解:由题意得 z 1=151i i -++=2+3i, 于是12z z -=42a i -+1z =13. 13,得a 2-8a +7<0,1

复数教学设计23

5.1数系的扩充与复数的概念教学设计 引入: 大家都知道,数,是数学中的基本概念,也是我们生活和科学技术时刻离不开的语言和工具。前几天,老师遇到了这样一个与数有关的问题,大家看看该怎样解决呢? 问题1:已知,求:(1);(2)。 对于第二个问,学生可能出现下面几种方案得出结论, 方案一: 方案二: 方案三:通过可是 方案四: 你是怎么处理的,结论是什么? 第二个问为什么没解出来?为什么存在着使的数,但是却求不出来,你是怎么想的呢? 正如同学们所分析的,数的概念需要进一步发展,实数集需要扩充。这就是本节课要研究的内容——§5.1数系的扩充与复数的概念。 应该如何进行数的扩充呢?到目前为止,大家已经知道,数系经历了三次扩充,就让我们通过回忆,从中寻找数系扩充的方法。 请大家以四人为一组合作探讨下面的问题。 问题2:数在不断的发展,到目前为止,经历了三次扩充, (1)回顾数从自然数发展到实数的三次扩充历程。 (2)说明数集N,Z,Q,R的关系 (2)分析每一次引入新数,扩大数系的原因。 同学们说的非常好,数的这种发展一方面是生产生活的需要,另一方面也是数学本身发展的需要。 数与数之间的联系正是通过一些运算建立起来的,如果没有运算,数不过是一些孤立的符号,毫无意义,接下来让我们从运算的角度,进一步讨论数的扩充。

问题3: 对于加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算来说,在以下四个数集中,(1)任意两个数运算所得的结果是否仍然属于这个数集。 (2)试着分析,引入负数,分数,无理数对于运算的影响。 通过这个表格,我们看到,新的数集中,原有的运算律仍然适用, 同时引入新数后,使得原来的某种不可以实施的运算变得可行了。 通过不断的引入新数,数系逐步扩大到了实数系。 问题4:现在我们要进行数系的再一次扩充就是要解决什么问题? 怎么解决?你能具体说一说吗? 同学们分析的很好,到目前为止,负数开偶次方的问题还没有解决,我们不妨先来研究负数开平方的问题,从运算的角度来说,也就是要解决方程 在实数系中无解的问题。 像大家说的,我们可以仿照前面的做法,引入一种新数,法国数学家笛卡尔给这些数起名叫虚数,即 “虚的数”与“实数”相对应.这是因为最开始研究这种新数是在16世纪,而那个时候人们没能发现什么事物可以支持这样的数。 如果引入虚数,负数可以开方了,那么 就有意义了。我们希望,引入虚数后,原 来在实数集中给出的运算规则仍能适用。例如,在引入虚数后,我们希望能把表示成 的形式。实际上任何一个负数的平 方根都可以表示成一个实数与 的乘积的形式,因此,意大利数学家邦贝利提出可以把 看作虚数单位。 负数、分数和无理数引入时,都相应的带来了一种新的记号,那么对于虚数,用一种什么样的记号来表示呢? 现在我们规定:(1);(2) 。 使用来表示 这个数,是伟大的数学家欧拉在1777年,双目失明以后凭借着超乎 寻常的意志和毅力,仍然不放弃对科学问题的思索与追求的结果,从而让虚数有了一个特征性的记号。从此,也就不在使用 表示虚数单位了,而是了。那么 ,这种表示方法既简洁又有特点。

复数代数形式的四则运算

复数代数形式的四则运算(教学设计)(1) §3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义 教学目标: 知识与技能目标: 掌握复数代数形式的加法、减法运算法则,能进行复数代数形式加法、减法运算,理解并掌握复数加法与减法的几何意义 过程与方法目标: 培养学生参透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力。 情感、态度与价值观目标: 培养学生学习数学的兴趣,勇于创新的精神,并且通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神。 教学重点:复数代数形式析加法、减法的运算法则。 教学难点:复数加减法运算的几何意义。 教学过程: 一、复习回顾: 1、复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即 这是因为,每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有惟一的一个复数和它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法 2、. 若),(11y x a =,),(22y x b =,则b a +),(2121y y x x ++=, b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 3、 若),(11y x A ,),(22y x B ,则()1212,y y x x --= 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 即 AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1) 二、师生互动、新课讲解: 1、复数代数形式的加减运算 (1)复数z 1与z 2的和的定义:z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . (2)复数z 1与z 2的差的定义:z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . (3)复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1. 证明:设z 1=a 1+b 1i ,z 2=a 2+b 2i (a 1,b 1,a 2,b 2∈R ). ∵z 1+z 2=(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i . z 2+z 1=(a 2+b 2i )+(a 1+b 1i )=(a 2+a 1)+(b 2+b 1)i . 又∵a 1+a 2=a 2+a 1,b 1+b 2=b 2+b 1. ∴z 1+z 2=z 2+z 1.即复数的加法运算满足交换律. (4)复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 证明:设z 1=a 1+b 1i .z 2=a 2+b 2i ,z 3=a 3+b 3i (a 1,a 2,a 3,b 1,b 2,b 3∈R ). ∵(z 1+z 2)+z 3=[(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )]+(a 3+b 3i ) =[(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i ]+(a 3+b 3)i =[(a 1+a 2)+a 3]+[(b 1+b 2)+b 3]i =(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i . z 1+(z 2+z 3)=(a 1+b 1i )+[(a 2+b 2i )+(a 3+b 3i )]

3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 预习课本P107~108,思考并完成下列问题 (1)复数的加法、减法如何进行?复数加法、减法的几何意义如何? (2)复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同? 1.复数的加、减法法则 设z 1=a +b i ,z 2=c +d i(a ,b ,c ,d ∈R), 则z 1+z 2=(a +c )+(b +d )i , z 1-z 2=(a -c )+(b -d )i. 2.复数加法运算律 设z 1,z 2,z 3∈C ,有z 1+z 2=z 2+z 1, (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3). 3.复数加、减法的几何意义 设复数z 1,z 2对应的向量为OZ 1――→,OZ 2――→,则复数z 1+z 2是以OZ 1――→,OZ 2――→ 为邻边的平行四边形的对角线OZ ――→ 所对应的复数,z 1-z 2是连接向量OZ 1――→与OZ 2――→ 的终点并指向OZ 1――→ 的向量所对应的复数. [点睛] 对复数加、减法几何意义的理解 它包含两个方面:一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处

理,另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中. 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应.( ) (2)复数与复数相加减后结果只能是实数.( ) (3)因为虚数不能比较大小,所以虚数的模也不能比较大小.( ) 答案:(1)× (2)× (3)× 2.已知复数z 1=3+4i ,z 2=3-4i ,则z 1+z 2等于( ) A .8i B .6 C .6+8i D .6-8i 答案:B 3.已知复数z 满足z +i -3=3-i ,则z 等于( ) A .0 B .2i C .6 D .6-2i 答案:D 4.在复平面内,复数1+i 与1+3i 分别对应向量OA ――→和OB ――→ ,其中O 为坐标原点,则|AB ――→ |等于( ) A. 2 B .2 C.10 D .4 答案:B [典例] (1)计算:(2-3i)+(-4+2i)=________. (2)已知z 1=(3x -4y )+(y -2x )i ,z 2=(-2x +y )+(x -3y )i ,x ,y 为实数,若z 1-z 2=5-3i ,则|z 1+z 2|=________. [解析] (1)(2-3i)+(-4+2i)=(2-4)+(-3+2)i =-2-i. (2)z 1-z 2=[(3x -4y )+(y -2x )i]-[(-2x +y )+(x -3y )i]=[(3x -4y )-(-2x +y )]+[(y -2x )-(x -3y )]i =(5x -5y )+(-3x +4y )i =5-3i , 所以????? 5x -5y =5,-3x +4y =-3, 解得x =1,y =0, 所以z 1=3-2i ,z 2=-2+i ,则z 1+z 2=1-i ,

复数教学设计

推理与证明、算法初步、复数 【教材分析】 算法初步是人教A版普通高中课程标准实验教科书数学(必修3)第一章的内容,推理与证明是人教A版普通高中课程标准实验教科书数学(选修2-2)第二章的内容,复数是人教A版普通高中课程标准实验教科书数学(必修2-2)第三章的内容。其中合情推理、演绎推理、程序框图、复数的相关概念及计算相对简单,故复习的时候将这三章放在一起。【学情分析】 在目前小班化形势下,学生已经分组并要求进行捆绑评价。知识方面学生已经学习完了高中所有课程,对推理、算法初步、复数掌握较好,在本阶段需重点复习数学归纳法。【教学环境分析】 根据本节内容程序框图比较多的特点,选择多媒体教室环境,程序框图用多媒体展示很大程度上提高课堂效率。 【教学目标】 知识目标:了解合情推理与演绎推理的含义,并能运用它们进行一些简单推理;能用数学归纳法证明一些简单的数学命题;.理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件、循环.能力目标:培养类比推理和转化能力思想。 情感目标:体验数学中的美感,体验自主学习的成就感,提高学习探究的兴趣。 【教学重点】复数、程序框图、数学归纳法 【教学难点】数学归纳法 【教学过程】 1、教师布置并批改导学案(导学案附在后面)。 学生完成并上交导学案(完成1-4,8-28题),准备展示用的白板。 2、课堂教学过程。 一、导入新课: 教师活动: 1、评价导学案完成情况。为优秀小组、优秀个人进行加分和鼓励。 2、幻灯片展示合情推理与演绎推理的概念,复数的概念以及四则运算法则。 二、新课讲解 (一)合情推理与演绎推理

1.观察下列各式:a +b =1,a 2+b 2=3,a 3+b 3=4,a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…则a 10+b 10等于 ( ) A .28 B .76 C .123 D .199 2.(2015·济南模拟)有一个奇数组成的数阵排列如下: 1 3 7 13 21 … 5 9 15 23 … … 11 17 25 … … … 19 27 … … … … 29 … … … … … … … … … … … 则第30行从左到右第3个数是________ 3.在Rt △ABC 中,AB ⊥AC ,AD ⊥BC 于D ,求证:1AD 2=1AB 2+ 1 AC 2 ,那么在四面体ABCD 中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由. 4.数列{a n }的前n 项和记为S n ,已知a 1=1,a n +1=n +2n S n (n ∈N *).证明: (1)数列???? ?? S n n 是等比数列;(2)S n +1=4a n . 学生活动:四个小组成员用小白板展示并讲解1-4题。 教师活动:引导学生归纳鹤庆推理与演绎推理的区别。 【设计意图】区分合情推理与演绎推理:(1)合情推理的过程概括为 从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→ 归纳、类比―→提出猜想 (2)演绎推理是从一般的原理出发,推出某个特殊情况的结论的推理方法,是由一般到特殊的推理,常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行. (二)数学归纳法 (1)用数学归纳法证明等式

高中数学_复数代数形式的加减运算教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计 一、教学目标: 1.知识与技能:掌握复数的加法运算及理解其几何意义. 2.过程与方法:通过类比实数的四则运算的规律或向量的运算规律,得到复数加减运算的法则,同时了解复数加减法运算的几何意义. 3.情感、态度与价值观:通过探究复数加减运算法则的过程,感悟由特殊到一般的思想,同时由向量的加减法与复数的类比,理解复数加减的运算法则,知道事物之间是普遍联系的哲学规律. 二、教学重点和难点 教学重点掌握复数的加法与减法的运算法则及应用,难点是加减法的几何意义。 三、教学方法 使用多媒体教学辅助手段,从感性到理性的角度认识复数的加减运算,引导学生思考、探索、从解决问题的过程中建构新的知识体系。 四、教学过程

学情分析: 高二(5)班属普通中学艺术文科班,女生比例较大,学生基础普遍比较薄弱,学习习惯较差。学生受文科思维的影响,习惯于机械记忆,受文科学习方式的负面影响,文科学生

不自觉的加剧了数学学习中的机械记忆,习惯于老师讲,自己记,复习背,对概念、定理、公理的本质属性缺乏正确的认识,不重视思维训练,导致数学学习能力下降,心理压力增大,恶性循环。加之,经常要参加专业的培训课,而一段时间不能正常的进行文化课的学习,更使得学习数学的兴趣降低,信心不足,经常会出现一些非常低级的错误。因此培养学生良好的学习数学自信心与严谨的逻辑思维能力相当重要。从而在课堂上要给以学生不断的肯定和鼓励是非常重要的。 效果分析 本节的重点是复数加法法则。难点是复数加减法的几何意义。复数加法法则是教材首先规定的法则,它是复数加减法运算的基础,对于这个规定的合理性,在教学过程中要加以重视。复数加减法的几何意义的难点在于复数加减法转化为向量加减法,以它为根据来解决某些平面图形的问题,学生对这一点不容易接受。 (1)在复数的加法与减法中,重点是加法.教材首先规定了复数的加法法则.对于这个规定,应通过下面几个方面,使学生逐步理解这个规定的合理性:①当 b=0时,与实数加法法则一致;②验证实数加法运算律在复数集中仍然成立;③符合向量加法的平行四边形法则.这样讲解让学生对复数加法法则规定有更加正确的认识,从而接受复数加法法则。 (2)复数加法的向量运算讲解时,画出向量后,提问向量加法的平行四边形法则,并让学生自己画出和向量(即合向量),画出向量后,问与它对应的复数是什么,即求点Z的坐标(证法如教材所示).让学生从数到形全面理解复数加法的的实质。 (3)向学生指出复数加法的三角形法则的好处.向学生介绍一下向量加法的三角形法则是有好处的:例如讲到当与在同一直线上时,求它们的和,用三角形法则来解释,可能比“画一个压扁的平行四边形”来解释容易理解一些;讲复数减法的几何意义时,用三角形法则也较平行四边形法则更为方便. (4)一开始,我想把复数的加减法则和几何意义一起讲完,再讲解复数代数形式的加减运算的例题,再练习。后来觉得复数加减的几何意义对于学生来讲可能一时比较难理解,所以讲完法则和运算律以后,紧跟例题和练习,这样安排,使学生觉得很容易接受,然后再来讲解几何意义,再跟进几何意义的练习,这里和预先想到的一样,学生在俩个复数差的绝对值的几何意义上遇到了困难。 (5)这节课设置的例题和练习题的难度都不算大,主要是考虑到我们学校艺术类文科学生,基础不太好,数学思维比较欠缺,学习数学的自信心不够足的实际情况而定的。由于新课之前事先发下了本节课的导学案,在课堂上进行的还是比较理想的。

复数代数形式的加减运算及其几何意义优秀教学设计

复数代数形式的加减运算及其几何意义 【教学目标】 知识与技能:掌握复数的加法运算及意义情感、态度与价值观:理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念;画图得到的结论,不能代替论证,然而通过对图形的观察,往往能起到启迪解题思路的作用 【教学重难点】 重点:复数加法运算,复数与从原点出发的向量的对应关系。 难点:复数加法运算的运算率,复数加减法运算的几何意义。 【教学准备】 多媒体、实物投影仪 。 【教学设想】 复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有惟一的一个复数和它对应。复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ,b )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R ),由复数相等的定义可知,可以由一个有序实数对(a ,b )惟一确定。 【教学过程】 一、复习回顾: 1.复数的定义: 2.复数的代数形式: 3.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系:对于复数(,)a bi a b R +∈,当且仅当 时,复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ;当 时,复数z =a +bi 叫做虚数;当 时,z =bi 叫做纯虚数;当且仅当 时,z 就是实数0.

4.复数集与其它数集之间的关系: 。 5.两个复数相等的定义: 一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小。如果两个复数都是实数,就 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 6.复平面、实轴、虚轴: 点Z 的横坐标是a ,纵坐标是b ,复数z =a +bi (a 、b ∈R )可 用点Z (a ,b )表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫 做复平面,也叫高斯平面,x 轴叫做实轴,y 对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为(0,0), 它所确定的复数是z =0+0i =0复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即复数z a bi =+←??? →一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是因为,每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有惟一的一个复数和它对应。 二、讲解新课: 复数代数形式的加减运算 1.复数z 1与z 2的和的定义:z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )= 2.复数z 1与z 2的差的定义:z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )= 3.复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1. 证明: 4.复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 证明:设z 1=a 1+b 1i 。z 2=a 2+b 2i ,z 3=a 3+b 3i (a 1,a 2,a 3,b 1,b 2,b 3∈R )。

复数教学设计(省优质课)

§数系的扩充与复数的引入 江西省永新县任弼时中学文辉 【教学目标】 (1)了解引进复数的必要性,理解复数的基本概念,了解复数的代数法表示,理解虚数单位,理解复数相等的充要条件. (2)了解复数的几何意义,理解复数模的概念,了解复数与复平面内的点的对应关系. (3)体会实际需求与数学内部的矛盾在数学扩充过程中的作用,感受人类理性思维在数系的扩充过程的作用以及数与现实世界的联系。 (4)通过复数与复平面内的点的对应关系,体会二维空间中数与形之间的内在联系. 【教学重难点】 重点:引进虚数单位i的必要性,对i的规定,复数的有关概念. 难点:实数系扩充到复数系的过程的理解,复数的概念的理解. 教学方法:1.启发式教学法. 2.激励---探索---讨论---发现. 教具准备:多媒体,投影仪. 教学过程 Ⅰ.课题导入 ㈠引导学生回顾数的变化发展过程 数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期,人们在狩猎、采集果实等劳动中,由于计数的需要,就产生了1,2,3,4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N. 随着生产和科学的发展,数的概念也得到发展. 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题,人们引进了分数;为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要,人们又引进了负数.这样

就把数集扩充到有理数集Q.显然N Q.如果把自然数集(含正整数和零)与负整数集合并在一起,构成整数集Z,则有Z Q、N Z.如果把整数看作分母为1的分数,那么﹛有理数﹜=﹛分数﹜=﹛循环小数﹜. 有些量与量之间的比值,例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果,无法用有理数表示,为了解决这个矛盾,人们又引进了无理数.所谓无理数,就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起,构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数),无理数都是无限不循环小数,所以﹛实数﹜=﹛小数﹜. ㈡设置问题情境,探究实践 问题①:请类比引进2,就可以解决方程0 -在有理数集中无解的问 x2= 2 题,怎么解决方程0 +在实数集中无解的问题 1 x2= 意图通过类比,使学生了解扩充数系要从引入新数开始. 问题②:引入的新数i是个什么数呢它有什么特征 引入虚数单位的概念及性质 i2 =-1 ,强调i不同于任何实数,它是一种新的数。此时学生解决了方程无解问题. Ⅱ.新课讲授 研习点(1) 1.请同学们阅读课本相关内容,自主完成填空题. ⑴虚数单位:数____________叫做虚数单位,具有下面的性质: ①_______________________, ②实数可以与i进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘运算律_______.(填成立或不成立) ⑵复数:形如______________________________叫做复数,常用字母________表示,即复数的代数形式为___________________,其中______叫做复数的实部,

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