复数代数形式的乘除运算
教学目标:
知识与技能:理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则,深刻理解它是乘法运算的逆运算 过程与方法:理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题情感、态度与价值观:复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味,学生不易接受,教学时,我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的,让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
教学重点:复数代数形式的除法运算。
教学难点:对复数除法法则的运用。
教具准备:多媒体、实物投影仪。
教学设想:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等即:如果a ,b ,c ,d ∈R ,那么a +bi =c +di ?a =c ,b =d ,只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 教学过程:
学生探究过程:
1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1,即 2
1i =-; (2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立
2. i 与-1的关系: i 就是-1的一个平方根,即方程x 2=-1的一个根,方程x 2=-1的另一个根是-i
3. i 的周期性:i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =1
4.复数的定义:形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数,a 叫复数的实部,b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C 表示*
3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示,即(,)z a bi a b R =+∈,把复数表示成a +bi 的形式,叫做复数的代数形式
4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系:对于复数(,)a bi a b R +∈,当且仅当b =0时,复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ;当b ≠0时,复数z =a +bi 叫做虚数;当a =0且b ≠0时,z =bi 叫做纯虚数;当且仅当a =b =0时,z 就是实数0.
5.复数集与其它数集之间的关系:N Z Q R C .
6. 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等即:如果a ,b ,c ,d ∈R ,那么a +bi =c +di ?a =c ,b =d
一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如果两个复数都是实数,就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小
7. 复平面、实轴、虚轴:
点Z 的横坐标是a ,纵坐标是b ,复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ,b )表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数
对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为(0,0), 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数
8.复数z 1与z 2的和的定义:z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .
9. 复数z 1与z 2的差的定义:z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .
10. 复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1.
11. 复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)
讲解新课:
1.乘法运算规则:
规定复数的乘法按照以下的法则进行:
设z 1=a +bi ,z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数,那么它们的积(a +bi )(c +di )=(ac -bd )+(bc +ad )i .
其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把i 2换成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
2.乘法运算律:
(1)z 1z 2= z 2z 1
(2)z 1(z 2z 3)=(z 1z 2)z 3
证明:设z 1=a 1+b 1i ,z 2=a 2+b 2i ,z 3=a 3+b 3i (a 1,a 2,a 3,b 1,b 2,b 3∈R ).
∵z 1z 2=(a 1+b 1i )(a 2+b 2i )=(a 1a 2-b 1b 2)+(b 1a 2+a 1b 2)i ,
z 2z 1=(a 2+b 2i )(a 1+b 1i )=(a 2a 1-b 2b 1)+(b 2a 1+a 2b 1)i .
又a 1a 2-b 1b 2=a 2a 1-b 2b 1,b 1a 2+a 1b 2=b 2a 1+a 2b 1.
∴z 1z 2=z 2z 1.
(3)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3
证明:设z 1=a 1+b 1i ,z 2=a 2+b 2i ,z 3=a 3+b 3i (a 1,a 2,a 3,b 1,b 2,b 3∈R ).
∵(z 1z 2)z 3=[(a 1+b 1i )(a 2+b 2i )](a 3+b 3i )=[(a 1a 2-b 1b 2)+(b 1b 2+a 1b 2)i ](a 3+b 3i )
=[(a 1a 2-b 1b 2)a 3-(b 1a 2+a 1b 2)b 3]+[(b 1a 2+a 1b 2)a 3+(a 1a 2-b 1b 2)b 3]i
=(a 1a 2a 3-b 1b 2a 3-b 1a 2b 3-a 1b 2b 3)+(b 1a 2a 3+a 1b 2b 3+a 1a 2b 3-b 1b 2b 3)i ,
同理可证:
z 1(z 2z 3)=(a 1a 2a 3-b 1b 2a 3-b 1a 2b 3-a 1b 2b 3)+(b 1a 2a 3+a 1b 2a 3+a 1a 2b 3-b 1b 2b 3)i ,
∴(z 1z 2)z 3=z 1(z 2z 3).
例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)
解:(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i) (-2+i)= -20+15i.
例2计算:
(1)(3+4i) (3-4i) ; (2)(1+ i)2.
解:(1)(3+4i) (3-4i) =32-(4i )2=9-(-16)=25;
(2) (1+ i)2=1+2 i+i 2=1+2 i-1=2 i.
3.共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数
通常记复数z 的共轭复数为z 。
4. 复数除法定义:满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y ∈R)叫复数a+bi 除以复数c+di 的商,记为:(a+bi)÷(c+di)或者di
c bi a ++ 5.除法运算规则:
①设复数a +bi (a ,b ∈R ),除以c +di (c ,d ∈R ),其商为x +yi (x ,y ∈R ),
即(a +bi )÷(c +di )=x +yi
∵(x +yi )(c +di )=(cx -dy )+(dx +cy )i .
∴(cx -dy )+(dx +cy )i =a +bi .
由复数相等定义可知???=+=-.
,b cy dx a dy cx 解这个方程组,得???
????+-=++=.,2222d c ad bc y d c bd ac x 于是有:(a +bi )÷(c +di )=2222d
c a
d bc d c bd ac +-+++ i . ②利用(c +di )(c -di )=c 2+d 2.于是将
di c bi a ++的分母有理化得: 原式=22
()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d ++-+?-+-==++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d
++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i d c ad bc d c bd ac 2
222+-+++. 点评:①是常规方法,②是利用初中我们学习的化简无理分式时,都是采用的分母有理化思想方法,而复数c +di 与复数c -di ,相当于我们初中学习的23+的对偶式23-,它们之积为1是有理数,而(c +di )·(c -di )=c 2+d 2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法
例3计算(12)(34)i i +÷-
解:(12)(34)i i +÷-1234i i
+=- 22(12)(34)386451012(34)(34)342555
i i i i i i i i ++-++-+====-+-++ 巩固练习:
1.计算:(1+2i )2
2.计算(i -2)(1-2i )(3+4i )
3.计算i 3
(1)+
4.若z C ∈且z i (3)1+=,则z _____=.
5.已知复数)()23(222R x i x x x x ∈+-+-+是i 204-的共轭复数,求x 的值.
6.计算
⑴(7)(34)i i +÷+ ⑵21()1i i +- ⑶113232i i
--+
7.若122x =-,则21x x
=-_____. 本节小结:
(1)复数乘法法则:(a +bi )(c +di )=(ac -bd )+(bc +ad )i
(2)共轭复数:复数z = a +bi 的共轭复数为z = a -bi
(3)复数除法法则:(a +bi )÷(c +di )=i d
c a
d bc d c bd ac 2222+-+++
课后作业:课本第112页 习题3. 2 A 组4,5,6 B 组1,2
教学反思:
复数的乘法法则是:(a +bi )(c +di )=(ac -bd )+(bc +ad )i . 复数的代数式相乘,可按多项式类似的办法进行,不必去记公式. 复数的除法法则是:2222d
c a
d bc d c bd ac di c bi a +-+++=++i (c +di ≠0). 两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式,然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数,再把结果化简
课后练习
1.复数2
2i 1+i ?? ???
等于( C ) A .4i B .4i - C .2i D .2i -
2.化简224(1)
i i ++的结果是( C ) A.2i +
B.2i -+ C.2i - D.2i -- 3.复数311i i i
++-的值是( ) (A )0
(B )1 (C )1- (D )i 解析:选A .23331(1)201(1)(1)2
i i i i i i i i i i i +++=+=+=-=--+. 本题考查复数的代数运算.
4.若a 为实数,i
ai
212++=-2I ,则a 等于(B) (A )2 (B )-2 (C )22 (D )-22
5.i 是虚数单位,51034i i
-+=+ 12i + .(用a bi +的形式表示,a b ∈R ,) 6.计算:
(1)(7-6i)(-3i) (2)(3+4i)(-2-3i) (3)(1+2i)(3-4i)(-2-i)
7.计算:
(1))23)(23(i i +-+
(2)2)1(i - (3)i(2-i)(1-2i) 8.计算:
(1)i i -+11 (2)i 1 (3)i i 437++ (4)i i i -++-)2)(1(
§3.1.1数系的扩充和复数的概念(教学设计) 教学目标: 知识与技能目标: 了解引进复数的必要性;理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等)。理解虚数单位i 以及i 与实数的四则运算规律。 过程与方法目标: 通过问题情境,了解扩充数系的必要性,感受数系的扩充过程,体会引入虚数单位i 和复数形式的合理性,使学生对数的概念有一个初步的、完整的认识。 情感、态度与价值观目标: 通过问题情境,体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。 教学重点: 复数的概念,虚数单位i ,复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用 教学难点: 虚数单位i 的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i 并同时规定了它的两条性质之后,自然地得出的.在规定i 的第二条性质时,原有的加、乘运算律仍然成立 教学过程: 一、创设情境、新课引入: 数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期,人们在狩猎、采集果实等劳动中,由于计数的需要,就产生了1,2,3,4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N 随着生产和科学的发展,数的概念也得到发展 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题,人们引进了分数;为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要,人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q .显然N Q .如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起,构成整数集Z ,则有Z Q 、N Z .如果把整数看作分母为1的分数,那么有理数集实际上就是分数集 有些量与量之间的比值,例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果,无法用有理数表示,为了解决这个矛盾,人们又引进了无理数.所谓无理数,就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起,构成实数集R .因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数),无理数都是无限不循环小数,所以实数集实际上就是小数集 因生产和科学发展的需要而逐步扩充,数集的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是,数集扩到实数集R 以后,像x 2=-1这样的方程还是无解的,因为没有一个实数的平方等于-1.由于解方程的需要,人们引入了一个新数i ,叫做虚数单位.并由此产生的了复数 二、师生互动、新课讲解 1.虚数单位i : (1)它的平方等于-1,即 2 1i =-; (2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立. 2. i 与-1的关系: i 就是-1的一个平方根,即方程x 2=-1的一个根,方程x 2=-1的另一个根是-i ! 3. i 的周期性:i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =1 4.复数的定义:形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数,a 叫复数的实部,b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C 表示* 3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示,即(,)z a bi a b R =+∈,把复数表示成a +bi 的形式,叫
《数系的扩充与复数的引入》第1课时教案设计学校:江西省抚州市临川二中姓名:黄志彬联系方式: 学情分析: “数系的扩充与复数的引入”是北师大版选修2-2第五章第一节内容,是在学生已经学习了 x+=没有实数解,但实际需要要求此方程的解,实数以及实数有关的运算,知道方程210 所以有必要引出复数的概念以及复数的有关运算,建立新的数系。 ●教学理念: 本着“以学生为主体,教师为主导”的理念,采用探究式教学方法,按照提出问题,思考、交流进而分析得出结论的方法进行启发式教学。 教学目标: 知识技能: 1.了解数系发展原因,数集的扩展过程; 2.理解复数的有关概念以及符号表示; 过程与方法:经历了数系的扩充过程,体验了复数引入的必要,探究了复数相等的概念,领悟了类比的思想方法. 情感态度与价值观:在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求;在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系. ●教学重难点: 重点:对引入复数的必要性的认识,理解复数的基本概念 难点:虚数单位的引入以及复数概念的生成. ●设计思路: 本节课主要采用“问题发现”与“讨论探究”等方式组织教学,凸显学生的主体地位,让教师成为活动的组织者、引导者、合作者,课堂展示学生的研究过程来激发学生的探索勇气。并灵活运用多媒体辅助教学,增强教学的直观性,激发学生的学习兴趣。 教学过程: 以问题为载体,以学生思考为主线 创设情境→建构知识→知识运用→归纳总结→作业布置→课后探究 1.提出问题,探究新知:以一分四十秒数学史录音视频开始,提出问题:自然数集,整数集,有理数集,实数集的关系,继续提出问题:数集扩充到实数集之后,是不是所有的方
新授课:3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 教学目标 重点:复数代数形式的加法、减法的运算法则. 难点:复数加法、减法的几何意义. 知识点:.掌握复数代数形式的加、减运算法则; .理解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 能力点:培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力. 教育点:通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,培养学生对数学探索和渴求的思想. 在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神. 自主探究点:如何运用复数加法、减法的几何意义来解决问题. 考试点:会计算复数的和与差;能用复数加、减法的几何意义解决简单问题. 易错易混点:复数的加法与减法的综合应用. 拓展点:复数与其他知识的综合. 一、引入新课 复习引入 .虚数单位:它的平方等于,即; .对于复数: 当且仅当时,是实数; 当时,为虚数; 当且时,为纯虚数; 当且仅当时,就是实数. .复数集与其它数集之间的关系:. 一一对应 .复数几何意义: 复数复平面内的向量 我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算. 【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫. 二、探究新知
探究一:复数的加法 .复数的加法法则 我们规定,复数的加法法则如下: 设,是任意两个复数,那么: 提出问题: ()两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗? ()当时,与实数加法法则一致吗? ()它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法? 学生明确: ()仍然是个复数,且是一个确定的复数; ()一致; ()实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项.【设计意图】加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神. .复数加法的运算律 实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗? 对任意的,有 (交换律), (结合律). 【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力. .复数加法的几何意义 复数与复平面内的向量有一一对应关系,那么请同学们猜想一下,复数的加法也有这种对应关系吗? 设分别与复数对应,则有,由平面向量的坐标运算有 . 这说明两个向量的和就是与复数对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示:
高中数学选修1,2《复数代数形式的四则运算》教案 知识与技能:掌握复数的四则运算; 过程与方法:理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律 情感态度与价值观:通过复数的四则运算学习与掌握,进一步理解复数引发学生对数学学习的兴趣,激起学生的探索求知欲望。 教学重难点 熟练运用复数的加减法运算法则。 教学过程 教学设计流程 一、导入新课: 复数的概念及其几何意义; 二、推进新课: 建立复数的概念之后,我们自然而然地要讨论复数系的各种运算问题。 设Z1 =a+bi, Z2 =c+di是任意两个复数,我们规定: 1、复数的加法运算法则:Z1+Z2=(a+从)+(b+d)i 2、复数的加法运算律: 交换律:Z1+Z2=Z2+Z1 结合律:Z1+Z2+Z3=Z1+(Z2+Z3) 3、复数加法的几何意义: 4、复数的减法运算法则: Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i 5、复数减法的几何意义: 三、例题讲解 例1:计算:(7-3i)+(-1-i)-(6+3i)
课后小结 复数的加法与减法的运算及几何意义 课后习题 课本习题3.2 A组1题、2题、3题. 高中数学选修1-2《复数代数形式的四则运算》教案【二】 教学目标: 知识与技能:理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则,深刻理解它是乘法运算的逆运算 过程与方法:理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 情感、态度与价值观:复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味,学生不易接受,教学时,我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的,让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。 教学重点:复数代数形式的除法运算。 教学难点:对复数除法法则的运用。 教学过程: 学生探究过程: 1. 复数的加减法的几何意义是什么? 2. 计算(1) (2) (3) 3. 计算:(1) (2) (类比多项式的乘法引入复数的乘法) 讲解新课: 1.复数代数形式的乘法运算 ①.复数的乘法法则:。 例1.计算(1) (2) (3) (4)
§5.1 数系的扩充与复数的引入 江西省永新县任弼时中学 文辉 【教学目标】 (1) 了解引进复数的必要性,理解复数的基本概念,了解复数的代数法表示, 理解虚数单位,理解复数相等的充要条件. (2) 了解复数的几何意义,理解复数模的概念,了解复数与复平面内的点的 对应关系. (3) 体会实际需求与数学内部的矛盾在数学扩充过程中的作用,感受人类理 性思维在数系的扩充过程的作用以及数与现实世界的联系。 (4) 通过复数与复平面内的点的对应关系,体会二维空间中数与形之间的内 在联系. 【教学重难点】 重点:引进虚数单位i 的必要性,对i 的规定,复数的有关概念. 难点:实数系扩充到复数系的过程的理解,复数的概念的理解. 教学方法:1.启发式教学法. 2.激励---探索---讨论---发现. 教具准备:多媒体,投影仪. 教学过程 Ⅰ.课题导入 ㈠引导学生回顾数的变化发展过程 数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期,人们在狩猎、采集果实等劳动中,由于计数的需要,就产生了1,2,3,4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N . 随着生产和科学的发展,数的概念也得到发展. 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题,人们引进了分数;为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要,人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q .显然N Q .如果把自然数集(含正整数和零)与负整数集合并在一起,构成整数集Z ,则有Z Q 、N Z .如果把整数看作分母为1的分数,那么﹛有理数﹜=﹛分数﹜=﹛循环小数﹜. 有些量与量之间的比值,例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果,无法用有理数表示,为了解决这个矛盾,人们又引进了无理数.所谓无理数,就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起,构成实数集R .因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数),无理数都是无限不循环小数,所以﹛实数﹜=﹛小数﹜. ㈡设置问题情境,探究实践 问题①:请类比引进2,就可以解决方程02x 2=-在有理数集中无解的问题,怎么解决方程01x 2=+在实数集中无解的问题?
《复数复习小结》教学设计方案(含教学反思) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
课题名称《复数复习小结》 莆田第十三中学李春涵 一、概述 本节课的内容是《选修1—2》最后一章《复数》的复习小结,涉及复数有关概念、运算法则的知识梳理和具体的应用。教学对象是本校高二(4)班。所需课时一节课。《复数》是高中文科数学的最后一章,固然内容不多、难度不大,但它扩大了数域,当然扩大了我们的视野,也再给了我们一个联系数与形的崭新工具,尤其在提高数学思想方法水平上具有积极的意义。 教学重点: 复数有关概念、运算法则的知识梳理和具体的应用. 教学难点: 梳理复数的知识结构。 二、教学目标分析(融合知识与技能、过程与方法、情感态度价值观) 1.理解复数的有关概念、掌握复数的代数表示及向量表示. 2.会运用复数的分类、复数相等的充要条件求出相关复数的实参数值. 3.掌握复数加法、乘法运算律;能进行复数的代数形式的加法、减法、乘法、除法等运算。 4.掌握复数代数形式的运算法则及加减法运算的几何意义 5.领会复数问题实数化的思想方法,能应用数形结合、待定系数法等数学思想方法解决复数问题。 6.领会数系扩充的过程。 三、学习者特征分析 1.学生是莆田第十三中学(农村一般校)的高二文科重点班学生,学习自觉性较强,一般都能预习。 2.作为高二学生,好奇心较强,对数学有较强的探究欲望; 3.学生有过较多的小组合作经验;
4.学生已经熟练掌握实数的有关概念、运算律、数学思想方法等知识; 5.学生已经学过复数的有关概念、运算律、数学思想方法等的基础知识; 6.学生能够进行简单的复数计算和应用; 四、教学策略选择与设计 这是一节《复数》的复习课,零零碎碎的知识点很多。只能以学生为主体,自主学习;教师起主导作用,给以适当的辅导。所以我采用的策略是通过导课语激发学生的兴趣和求知欲后,播放PPT,让学生阅读知识点。老师适当点拨,后又进行总结归纳梳理出本章的知识体系图。这样才能把复习知识点的时间控制在15分钟内而且又能达到让学生系统把握本章知识的目的。而复习的根本目的是提高知识的应用能力,由于学生都有预习,所以对P.110-111的例题1——2采用阅读提问指导的方法来教学,时间控制在10分钟内。对于补充例题,先用PPT播放题目,让学生思考,老师进行点拨指导,后给出PPT答案,时间控制也在10分钟内。特别要强调的是老师指导的内容侧重于数学思想方法的启发应用。最后,为巩固知识,提高解题能力和数学思想方法水平,特设课堂训练,用时8分钟。剩下2分钟,留于课堂小结和作业布置(根据不同层次布置不同难度的作业)。 五、教学资源与工具设计 教学媒体选择分析表
复数代数形式的四则运算(教学设计)(2) §3.2.2复数代数形式的乘除运算 教学目标: 知识与技能目标: 理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则,熟练进行复数的乘法和除法的运算。理解复数乘法的交换律、结合律、分配律;了解共轭复数的定义及性质 过程与方法目标: 理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 情感、态度与价值观目标: 复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味,学生不易接受,教学时,我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的,让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。 教学重点:复数代数形式的除法运算。 教学难点:对复数除法法则的运用。 教学过程: 一、复习回顾,新课引入: 1、复数z1与z2的和的定义:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 2、复数z1与z2的差的定义:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 3、复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 4、复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 二、师生互动、新课讲解: 1.乘法运算规则: 规定复数的乘法按照以下的法则进行: 设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2.乘法运算律: (1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R). ∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i, z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i. 又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1,b1a2+a1b2=b2a1+a2b1. ∴z1z2=z2z1. (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R). ∵(z1z2)z3=[(a1+b1i)(a2+b2i)](a3+b3i)=[(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i](a3+b3i) =[(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3]+[(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3]i =(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i, 同理可证: z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i, ∴(z1z2)z3=z1(z2z3). (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R). ∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+b1i)[(a2+a3)+(b2+b3)i] =[a1(a2+a3)-b1(b2+b3)]+[b1(a2+a3)+a1(b2+b3)]i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i. z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i) =(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i =(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i
复数的代数形式及其运算 例1.计算: i i i i i 2 1 2 1 ) 1( ) 1( 2005 40 40 + + - + + - - + 解:提示:利用i i i i= ± = ±2005 2,2 ) 1( 原式=0 变式训练1: 2 = (A)1 -(B) 1 22 +(C) 1 22 -+(D)1 解:21 2 ===-+故选C; 例2. 若0 1 2= + +z z,求2006 2005 2003 2002z z z z+ + + 解:提示:利用z z z= =4 3,1 原式=2 ) 1(4 3 2002- = + + +z z z z 变式训练2:已知复数z满足z2+1=0,则(z6+i)(z6-i)=▲ . 解:2 例3. 已知4, a a R >∈,问是否存在复数z,使其满足ai z i z z+ = + ?3 2(a∈R),如果存在,求出z的值,如果不存在,说明理由 解:提示:设) , (R y x yi x z∈ + =利用复数相等的概念有 ? ? ? = = + + a x y y x 2 3 2 2 2 3 4 2 2 2> ? ? = - + + ? a y y i a a z a 2 16 2 2 4 | | 2 - ± - + = ? ≤ ? 变式训练3:若 (2) a i i b i -=+,其中i R b a, ,∈是虚数单位,则a+b= __________