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函数的周期性练习题兼答案(DOC)

函数的周期性练习题兼答案(DOC)
函数的周期性练习题兼答案(DOC)

函数周期性分类解析

一.定义:若T 为非零常数,对于定义域内的任一x ,使)()(x f T x f =+恒成立 则f (x )叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期。

二.重要结论

1、()()f x f x a =+,则()y f x =是以T a =为周期的周期函数;

2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

3、 若函数()()f x a f x a +=-,则()x f 是以2T a =为周期的周期函数

4、 y=f(x)满足f(x+a)=()

x f 1

(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= ()

x f 1

-(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 6、1()

()1()

f x f x a f x -+=+,则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.

7、1()

()1()

f x f x a f x -+=-

+,则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.

8、 若函数y=f(x)满足f(x+a)= )

(1)

(1x f x f -+(x ∈R ,a>0),则f(x)为周期函数且4a 是它的

一个周期。

9、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2(b-a )是它的一个周期。

10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称,则

函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数;

11、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称,则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数; 12、

若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称,则f(x)为周期函数且2a 是它

的一个周期。

13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称,则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。 14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。

15、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x ∈R ,T ≠0),则f(2

T

)=0.

函数的周期性练习题高一

一.选择题(共15小题)

1.定义在R上的函数f(x)满足f(﹣x)=﹣f(x),f(x﹣2)=f(x+2)且x∈

(﹣1,0)时,f(x)=2x+,则f(log220)=()

A.1 B.C.﹣1 D.﹣

2.设偶函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+3)=﹣,且当x∈[﹣3,﹣2]

时,f(x)=4x,则f(107.5)=()A.10 B.C.﹣10 D.﹣3.设偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x)=﹣且当x∈[﹣3,﹣2]时f (x)=4x,则f(119.5)=()A.10 B.﹣10 C.D.﹣

4.若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=3,则f(8)﹣f(4)的值为()A.﹣1 B.1 C.﹣2 D.2

5.已知f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,当x∈(0,2]时,f(x)=2x+log2x,

则f(2015)=()A.﹣2 B.C.2 D.5

6.设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数,如图表示该函数在区间(﹣

2,1]上的图象,则f(2014)+f(2015)=()

A.3 B.2 C.1 D.0

7.已知f(x)是定义在R上的偶函数,并满足:

,当2≤x≤3,f(x)=x,则f(5.5)=()A.5.5 B.﹣5.5 C.﹣2.5 D.2.5

8.奇函数f(x)满足f(x+2)=﹣f(x),当x∈(0,1)时,f(x)=3x+,则

f(log354)=()A.﹣2 B.﹣ C.D.2

9.定义在R上的函数f(x)满足f(﹣x)+f(x)=0,且周期是4,若f(1)=5,则f(2015)()A.5 B.﹣5 C.0 D.3

10.f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,若f(1)=﹣5,则

f(f(5))=()A.﹣5 B.C.D.5

11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+5)=f(x﹣5),且0≤x≤5时,f(x)=4﹣x,则f(1003)=()A.﹣1 B.0 C.1 D.2

12.函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,当0≤x<2时f(x)=x2﹣x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为()

A.6 B.7 C.8 D.9

13.已知函数f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的奇函数,若对于任意的实数x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(2014)+f (﹣2015)+f(2016)的值为()A.﹣1 B.﹣2 C.2 D.1

14.已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=|2x2﹣4x+1|,则方程f(x)=在[﹣3,4]解的个数()A.4B.8C.9 D.10 15.已知最小正周期为2的函数f(x)在区间[﹣1,1]上的解析式是f(x)=x2,则函数f(x)在实数集R上的图象与函数y=g(x)=|log5x|的图象的交点的个数是()A.3 B.4 C.5 D.6

二.填空题(共10小题)

16.已知定义在R上的函数f(x),满足f(1)=,且对任意的x都有

f(x+3)=,则f(2014)=.

17.若y=f(x)是定义在R上周期为2的周期函数,且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=2x﹣1,则函数g(x)=f(x)﹣log5|x|的零点个数为.18.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=,则

f(2013)的值为.

19.定义在R上的函数f (x)的图象关于点(﹣,0)对称,且满足f (x)=﹣f (x+),f (1)=1,f (0)=﹣2,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2010)的值为=.

20.定义在R上的函数f(x)满足:,当x∈(0,4)时,f(x)=x2﹣1,则f(2011)=.

21.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x).当﹣3≤x<﹣1时,f(x)=﹣(x+2)2,当﹣1≤x<3时,f(x)=x.则

f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=.

22.若函数f(x)是周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(8)﹣f(14)=.

23.设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,若f(2)>1,f(2014)=,则实数a的取值范围是.

24.设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1﹣x),则

=.

25.若f(x+2)=,则f(+2)?f(﹣14)=.

三.解答题(共5小题)

26.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x恒有f(x+2)=﹣f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=2x﹣x2(1)求证:f(x)是周期函数;

(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;

(3)计算:f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2004).

27.函数f(x)是以2为周期的偶函数,且当x∈[0,1]时,f(x)=3x﹣1.(1)求f(x)在[﹣1,0]上的解析式;

(2)求的值.

28.已知定义域为R的函数f(x)为奇函数,且满足f(x+4)=f(x),

当x∈[0,1]时,f(x)=2x﹣1.

(1)求f(x)在[﹣1,0)上的解析式;

(2)求f(24)的值.

29.已知函数f(x)既是奇函数又是周期函数,周期为3,且x∈[0,1]时,f(x)=x2﹣x+2,求f(﹣2014)的值.

30.定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x∈(0,1)时,f(x)=2x+2﹣x.

(1)求f(x)在[﹣1,0)上的解析式;

(2)判断f(x)在(﹣2,﹣1)上的单调性,并给予证明.

函数的周期性练习题高一参考答案与试题解析

一.选择题(共15小题)

1.【解答】解:∵定义在R上的函数f(x)满足f(﹣x)=﹣f(x),

∴函数f(x)为奇函数

又∵f(x﹣2)=f(x+2)

∴函数f(x)为周期为4是周期函数

又∵log232>log220>log216

∴4<log220<5

∴f(log220)=f(log220﹣4)=f(log2)=﹣f(﹣log2)=﹣f(log2)

又∵x∈(﹣1,0)时,f(x)=2x+,

∴f(log2)=1 故f(log220)=﹣1 故选C

2.【解答】解:因为f(x+3)=﹣,故有f(x+6)=﹣=﹣=f (x).函数f(x)是以6为周期的函数.

f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=﹣=﹣=﹣

=.故选B

3.【解答】解:∵函数f(x)对任意x∈R都有f(x)=﹣,

∴f(x+3)=﹣,

则f(x+6)=f(x),

即函数f(x)的周期为6,

∴f(119.5)=f(20×6﹣0.5)=f(﹣0.5)=﹣=﹣,

又∵偶函数f(x),

当x∈[﹣3,﹣2]时,有f(x)=4x,

∴f(119.5)=﹣=﹣=﹣=.故选:C.4.【解答】解:f(x)是R上周期为5的奇函数,f(﹣x)=﹣f(x),

∵f(1)=﹣f(﹣1),可得f(﹣1)=﹣f(1)=﹣1,

因为f(2)=﹣f(2),可得f(﹣2)=﹣f(2)=﹣3,

∴f(8)=f(8﹣5)=f(3)=f(3﹣5)=f(﹣2)=﹣3,

f(4)=f(4﹣5)=f(﹣1)=﹣1,

∴f(8)﹣f(4)=﹣3﹣(﹣1)=﹣2,故选C;

5.【解答】解:∵f(x)的周期为4,2015=4×504﹣1,

∴f(2015)=f(﹣1),

又f(x)是定义在R上的奇函数,

所以f(2015)=﹣f(1)=﹣21﹣log21=﹣2,故选:A.

6.【解答】解:由图象知f(1)=1,f(﹣1)=2,

∵f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数,

∴f(2014)+f(2015)=f(1)+f(﹣1)=1+2=3,

故选:A

7.【解答】解:∵,∴==f

(x)

∴f(x+4)=f(x),即函数f(x)的一个周期为4

∴f(5.5)=f(1.5+4)=f(1.5)

∵f(x)是定义在R上的偶函数

∴f(5.5)=f(1.5)=f(﹣1.5)=f(﹣1.5+4)=f(2.5)

∵当2≤x≤3,f(x)=x

∴f(2.5)=2.5

∴f(5.5)=2.5 故选D

8.【解答】解:∵f[(x+2)+2]=﹣f(x+2)=f(x),

∴f(x)是以4为周期的奇函数,

∵,∴,

∴f(log354)=﹣2,故选:A.

9.【解答】解:在R上的函数f(x)满足f(﹣x)+f(x)=0

则:f(﹣x)=﹣f(x)

所以函数是奇函数

由于函数周期是4,

所以f(2015)=f(504×4﹣1)=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣5 故选:B 10.【解答】解:∵f(x+2)=

∴f(x+2+2)==f(x)

∴f(x)是以4为周期的函数

∴f(5)=f(1+4)=f(1)=﹣5

f(f(5))=f(﹣5)=f(﹣5+4)=f(﹣1)

又∵f(﹣1)===﹣

∴f(f(5))=﹣

故选B

11.【解答】解:∵f

(x+5)=f(x﹣5),

∴f(x+10)=f(x),则函数f(x)是周期为10的周期函数,

则f(1003)=f(1000+3)=f(3)=4﹣3=1,故选:C.

12.【解答】解:当0≤x<2时,f(x)=x2﹣x=0解得x=0或x=1,

因为f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,

故f(x)=0在区间[0,6)上解的个数为6,

又因为f(6)=f(0)=0,故f(x)=0在区间[0,6]上解的个数为7,

即函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为7,故选:B.13.【解答】解:∵f(x+2)=f(x),∴f(2014)=f(2016)=f(0)=log21=0,∵f(x)为R上的奇函数,∴f(﹣2015)=﹣f(2015)=﹣f(1)=﹣1.

∴f(2014)+f(﹣2015)+f(2016)=0﹣1+0=﹣1.故选A.

14.【解答】解:由题意知,f(x)是定义在R上且周期为3的函数,

当x∈[0,3)时,f(x)=|2x2﹣4x+1|,

在同一坐标系中画出函数f(x)与y=的图象如下图:

由图象可知:函数y=f(x)与y=在区间[﹣3,4]上有10个交点(互不相同),所以方程f(x)=在[﹣3,4]解的个数是10个,故选:D.

15.【解答】解:∵函数f(x)的最小正周期为2,

∴f(x+2)=f(x),

∵f(x)=x2,y=g(x)=|log5x|

∴作图如下:

∴函数f(x)在实数集R上的图象与函数y=g(x)=|log5x|的图象的交点的个数为5,故选:C

二.填空题(共10小题)

16.【解答】解:∵对任意的x都有f(x+3)=,

∴f(x+6)==f(x),

∴函数f(x)为周期函数,且周期T=6,

∴f(2014)=f(335×6+4)=f(4)

=f(1+3)==﹣5 故答案为:﹣5

17【解答】解:当x∈[0,1]时,f(x)=2x﹣1,函数y=f(x)的周期为2,

x∈[﹣1,0]时,f(x)=2﹣x﹣1,可作出函数的图象;图象关于y轴对称的偶函数y=log5|x|.函数y=g(x)的零点,即为函数图象交点横坐标,

当x>5时,y=log5|x|>1,此时函数图象无交点,

如图:

又两函数在x>0上有4个交点,由对称性知它们在x<0上也有4个交点,且它们关于直线y轴对称,

可得函数g(x)=f(x)﹣log5|x|的零点个数为8;

故答案为8;

18.【解答】解:由分段函数可知,当x>0时,f(x)=f(x﹣1)﹣f(x﹣2),∴f(x+1)=f(x)﹣f(x﹣1)=f(x﹣1)﹣f(x﹣2)﹣f(x﹣1),

∴f(x+1)=﹣f(x﹣2),

即f(x+3)=﹣f(x),

∴f(x+6)=f(x),即当x>0时,函数的周期是6.

∴f(2013)=f(335×6+3)=f(3)=﹣f(0)=﹣log2(8﹣0)=﹣log28=﹣3,

故答案为:﹣3.

19.【解答】解:由f (x)=﹣f (x+)得f (x+3)=f[(x+)+]=﹣f (x+)=f (x).所以可得f (x)是最小正周期T=3的周期函数;

由f (x)的图象关于点(,0)对称,知(x,y)的对称点是(﹣﹣x,﹣

y).即若y=f (x),则必﹣y=f (﹣﹣x),或y=﹣f (﹣﹣x).

而已知f (x)=﹣f (x+),故f (﹣﹣x)=f (x+),

今以x代x+,得f (﹣x)=f (x),故知f (x)又是R上的偶函数.

于是有:f (1)=f (﹣1)=1;f (2)=f (2﹣3)=f (﹣1)=1;f (3)=f (0+3)=f (0)=﹣2;

∴f (1)+f (2)+f (3)=0,以下每连续3项之和为0.

而2010=3×670,于是f (2010)=0;

故答案为0.

20.【解答】解:由题意知,定义在R上的函数f(x)有,

则令x=x+2代入得,∴f(x+4)===f(x),

∴函数f(x)是周期函数且T=4,

∴f(2011)=f(4×502+3)=f(3),

∵当x∈(0,4)时,f(x)=x2﹣1,∴f(3)=8.即f(2011)=8.故答案为:8.

21.【解答】解:∵当﹣3≤x<﹣1时,f(x)=﹣(x+2)2,

∴f(﹣3)=﹣1,f(﹣2)=0,

∵当﹣1≤x<3时,f(x)=x,

∴f(﹣1)=﹣1,f(0)=0,f(1)=1,f(2)=2,

又∵f(x+6)=f(x).

故f(3)=﹣1,f(4)=0,f(5)=﹣1,f(6)=0,

又∵2012=335×6+2,

故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 012)=335×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f (5)+f(6)]+f(1)+f(2)=335+1+2=338,故答案为:338

22.【解答】解:由题意可得,f(8)=f(8﹣10)=f(﹣2)=﹣f(2)=﹣2,

f(14)=f(14﹣15)=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣1,

故有f(8)﹣f(14)=﹣2﹣(﹣1)=﹣1,故答案为﹣1.

23.【解答】解:解:由f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,

则f(x+3)=f(x),f(﹣x)=﹣f(x),

∴f(2014)=f(3×672﹣2)=f(﹣2)=﹣f(2),

又f(2)>1,

∴f(2014)<﹣1,

即<﹣1,即为<0,

即有(3a﹣2)(a+1)<0,解得,﹣1<a<,故答案为:.24.【解答】解:∵f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1﹣x),

∴=f(﹣)=﹣f()=﹣2×(1﹣)=﹣,故答案为:﹣.

25.【解答】解:由题意可得f(+2)=sin

=sin(6π﹣)=﹣sin=﹣,

同理可得f(﹣14)=f(﹣16+2)=log216=4,

∴f(+2)?f(﹣14)=﹣×4=,故答案为:

三.解答题(共5小题)

26.【解答】(1)证明:∵f(x+2)=﹣f(x),

∴f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),

∴f(x)是周期为4的周期函数;

(2)解:当x∈[﹣2,0]时,﹣x∈[0,2],

由已知得f(﹣x)=2(﹣x)﹣(﹣x)2=﹣2x﹣x2,

又f(x)是奇函数,

∴f(﹣x)=﹣f(x)=﹣2x﹣x2,

∴f(x)=x2+2x,

又当x∈[2,4]时,x﹣4∈[﹣2,0],

∴f(x﹣4)=(x﹣4)2+2(x﹣4),

又f(x)是周期为4的周期函数,

∴f(x)=f(x﹣4)=(x﹣4)2+2(x﹣4)=x2﹣6x+8,

从而求得x∈[2,4]时,f(x)=x2﹣6x+8;

(3)解:f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=﹣1,

又f(x)是周期为4的周期函数,

∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)

=…=f(2 000)+f(2 001)+f(2 002)+f(2 003)=0.

∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 004)=0+f(2004)=0.

27.【解答】解:(1)当x∈[﹣1,0]时,﹣x∈[0,1],又f(x)是偶函数

则,x∈[﹣1,0].

(2)

∵1﹣log32∈[0,1],

∴,

即.

28.【解答】解:(1)令x∈[﹣1,0),则﹣x∈(0,1],

∴f(﹣x)=2﹣x﹣1.

又∵f(x)是奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x),

∴﹣f(x)=f(﹣x)=2﹣x﹣1,

∴.

(2)∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是以4为周期的周期函数,

∴,

∴,

∴.29.【解答】解:∵函数f(x)的周期为3,

∴f(﹣2014)=f(﹣671×3﹣1)=f(﹣1),

∵函数f(x)是奇函数,

∴f(﹣1)=﹣f(1)=﹣(12﹣1+2)=﹣2,

∴f(﹣2014)=﹣2.

30.【解答】解;(1)因为奇函数f(x)的定义域为R,周期为2,

所以f(﹣1)=f(﹣1+2)=f(1),且f(﹣1)=﹣f(1),于是f(﹣1)=0.…(2分)

当x∈(﹣1,0)时,﹣x∈(0,1),f(x)=﹣f(﹣x)=﹣(2﹣x+2x)=﹣2x﹣2﹣x.…(5分)

所以f(x)在[﹣1,0)上的解析式为…

(7分)

(2)f(x)在(﹣2,﹣1)上是单调增函数.…(9分)

先讨论f(x)在(0,1)上的单调性.

设0<x1<x2<1,

因为0<x1<x2<1,所以,于是

从而f(x1)﹣f(x2)<0,所以f(x)在(0,1)上是单调增函数.…(12分)因为f(x)的周期为2,所以f(x)在(﹣2,﹣1)上亦为单调增函数.…(14分)

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