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乘法公式的综合应用(无答案)

乘法公式的综合应用(无答案)
乘法公式的综合应用(无答案)

乘法公式的综合应用

题型一、直接应用

1、计算:(1);(2)(3)

2、计算:(1);(2)

题型二、变位应用

3、计算:(1);(2);(3)

题型三、整体思想应用

4、计算:(1)(2)

易错题

1、2、

3、

4、若,求的值。

5、计算:

题型四、连续思想应用

5、计算(1)(2)99×101×10001

题型五、逆向思维应用

6、计算:(1)(2)472-94×27+272

7、已知,并且,求的值。

题型六、变形应用

8、用乘法公式计算:(1)792;(2); 982-101×99

9、计算:(1);(2)

10、已知:,求下列各式的值:

(1);(2)(3)

11、已知:,求的值

12、计算:

题型七、配方法的应用

13、若是一个完全平方式,则M的值为_______。

14、(1)已知,求的值为________;

(2)若,则的值为_______。

15、(1)已知,则的值是__________;

(2)已知,则的值是__________;

(3)已知代数式,则_____,_____时,代数式有最_____值是__________.

16、已知,求的值。

17、已知,试判断M、N的大小。

题型八、代数式求值

18、(1)已知,那么的值是_______;

(2)若,则的值为________;

19、若,则的值________

20、(1)当时,多项式的值是,求当时,多项式的值是多少

(2)已知,求代数式的值。

21、已知,求代数式的值。

22、当,求代数式的值。

23、已知多项式能被整除,求代数式的值。

专题一乘法公式的复习 一、复习: (a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3 归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式: ①位置变化,x y y x x2y2 ②符号变化,x y x y x2y2 x2y2 ③指数变化,x2y2x2y2x4y4 ¥ ④系数变化,2a b2a b4a2b2 ⑤换式变化,xy z m xy z m xy2z m2 x2y2z m z m x2y2z2zm zm m2 x2y2z22zm m2 ⑥增项变化,x y z x y z x y2z2 x y x y z2 x2xy xy y2z2 》 x22xy y2z2 ⑦连用公式变化,x y x y x2y2 x2y2x2y2

x 4y 4 ⑧ 逆用公式变化,x y z 2 x y z 2 x y z x y z x y z x y z 2x 2y 2z 4xy 4xz 例1.已知2=+b a ,1=ab ,求22b a +的值。 ¥ 解:∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ,1=ab ∴22b a +=21222=?- 例2.已知8=+b a ,2=ab ,求2)(b a -的值。 解:∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a - ∵8=+b a ,2=ab ∴=-2)(b a 562482=?- 例3:计算19992-2000×1998 — 例4:已知a+b=2,ab=1,求a 2+b 2和(a-b)2的值。 例5:已知x-y=2,y-z=2,x+z=14。求x 2-z 2的值。 例6:判断(2+1)(22+1)(24+1)……(22048+1)+1的个位数字是几 例7.运用公式简便计算 (1)1032 (2)1982 例8.计算 ( 1 ) a 4b 3c a 4 b 3c ( 2 )

乘法公式的综合应用 1、平方差公式 符号表示:(a+b)(a-b)=a2-b2 语言描述:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差。 要点诠释:平方差公式的典型特征:既有相同项,又有“相反项”,而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方。 2、完全平方公式 符号表示:(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 语言描述:两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍. 要点诠释:公式特点:左边是两数的和(或差)的平方,右边是二次三项式,是这两数的平方和加(或减)这两数之积的2倍。 题型一、完全平方公式 1.已知x2+kxy+64y2是一个完全式,则k的值是() A.8 B.±8 C.16 D.±16 2.若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式,则m的值为()A.24 B.-12 C.±12 D.±24 3.若4x2+mxy+9y2是一个完全平方式,则m ()

A.6 B.12 C.±6 D.±12 4.下列多项式中是完全平方式的是() A.2x2+4x-4 B.16x2-8y2+1 C.9a2-12a+4 D.x2y2+2xy+y2 5.如果x2+mx+9是一个完全平方式,则m的值为() A.3 B.6 C.±3 D.±6 6.x2-10x+ =(x-)2. 7.下列各式是完全平方式的是() A.x2-x+1 4B.1+x2 C.x+xy+1 D.x2+2a-1 题型二、 1、若(x+ 1 x)2=9,则(x - 1 x)2的值为. 2.已知x-1 x=1,则x2+= . 4.已知(a+b)2=7,(a-b)2=4,求a2+b2和ab的值.4.若a2+b2=5,ab=2,则(a+b)2= .

学生做题前请先回答以下问题 问题1:由完全平方公式,可得(1)__________或__________; (2)__________或__________或__________. 以下是问题及答案,请对比参考: 问题1:由完全平方公式,可得 (1)或; (2)或或. 答: (1); (2). 乘法公式的应用(人教版) 一、单选题(共12道,每道8分) 1.下列各式中能够成立的是( ) A. B. C. D. 答案:D 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:完全平方公式 2.下列各式中,正确的是( ) A. B. C. D. 答案:D 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:平方差公式 3.若,则的值为( )

A. B. C. D. 答案:C 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:平方差公式 4.若,,则的值是( ) A.4 B. C. D. 答案:C 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:平方差公式的应用 5.计算的结果是( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:平方差公式的应用 6.若,则的值为( ) A.12 B.6 C.3 D.0 答案:A 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:整体代入 7.已知是完全平方式,则m的值为( ) A.3 B.±3 C.-6 D.±6 答案:D 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:完全平方公式 8.若,,其中,则,的大小的关系是( ) A. B. C. D.不能确定 答案:A 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:完全平方公式的应用 9.已知,,则( ) A.10 B.6 C.5 D.3 答案:C 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:完全平方公式知二求二问题 10.若是一个完全平方式,则的值是( ) A.±30 B.33 C.32或-28 D.33或-27

题型切片(四个) 对应题目 题 型目标 平方差公式及几何意义 例1; 完全平方公式及几何意义 例2;例3; 简便计算 例4; 乘法公式的综合运用 例5;例6;例7;例8 公 式 示例剖析 平方差公式:22()()a b a b a b +-=- 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式叫做(乘法的)平方差公式. b b b a a 注意:⑴ 负数的奇数次幂与偶数次幂结果完全不同,运算中要格外注意. ⑵ 运算性质中,字母a ,b 可表示一个数一个单项式或一个多项式. ⑶ 幂的运算法则的逆运用,可以解决很多相关问题,要求对运算法则熟练掌握才能做到准确地应用. ⑷ 零指数计算中底数不能为零. 知识导航 模块一 平方差公式及几何意义 知识互联网 基本乘法公式及应用 题型切片

【例1】 ⑴ 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形(a >b )(如图甲),把余下的 部分拼成一个矩形(如图乙),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证( ) 图乙 图甲 b b a a a b b A .2 2 2 ()2a b a ab b +=++ B .2 2 2 ()2a b a ab b -=-+ C .22()()a b a b a b -=+- D .22(2)()2a b a b a ab b +-=+- ⑵如图,在边长为a 的正方形中,剪去一个边长为b 的小正方形()a b >,将余下部分拼成一个梯形,根据两个图形阴影部分面积的关系,可以得到一个关于a 、b 的恒等式为( ) A .()2222a b a ab b -=-+ B .()2 222a b a ab b +=++ C .()()22a b a b a b -=+- D .()2a ab a a b +=+ ⑶计算 ①()()x y x y +- ②()()x y x y +-+ ③()()22x y x y +- ④(43)(43)x x +- ⑤()()x y x y -+-- ⑥2233n m m n ???? --- ??????? . 夯实基础

乘法公式的活用 一、公式 : (a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b) 2=a 2+2ab+b 2 (a-b) 2=a 2-2ab+b 2 (a+b)(a 2 -ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b )(a 2+ab+b 2)=a 3- 归纳小结公式的变式, ① 位置变化, x y ② 符号变化, x y ③ 指数变化, x 2 y 2 ④ 系数变化, 2a b ⑤ 换式变化, xy z yx 2 x 2 y 2 2 2 2 xy xy xy 22 4 4 xy x y 2a b 22 4a 2 b 2 m xy zm 2 2 xy z m 22 x 2y 2 z m z m 22 2 2 xy z zm zm m 22 2 2 x 2y 2 z 2zm m b 3 准确灵活运用公式: ⑥ 增项变化, x y z ⑦ 连用公式变化, x ⑧ 逆用公式变化, x x y z x y z 例 1.已知 a b 2 , xyz 22 x y z 2 x y x y z 2 2 2 x xy xy y z 2 2 2 x 2xy y z 22 y x y x y 2 2 2 2 x y x y 44 xy 22 y z x y z x y z x y z 2x 2y 2z 4xy 4xz ab 1,求 a 2 b 2 的值 例 2.已知 a b 8, ab 2 ,求 (a b )2 的值 例 3:计算 19992-2000 ×1998 2 2 2 例 4:已知 a+b=2, ab=1,求 a+b 和 (a-b ) 的值。 22 例 5:已知 x-y=2 ,y-z=2 ,x+z=14 。求 x -z 的值。 例 6:判断( 2+1)( 22+1)(24+1)??( 22048+1) +1 的个位数字是几? 例 7.运用公式简便计算 (1)1032 (2) 1982 例 8.计算 (1) a 4b 3c a 4b 3c ( 2) 3x y 2 3x y 2

乘法公式的几何背景 1、如图所示可以验证哪个乘法公式用式子表示为. 第2题 2、如图所示,用该几何图形的面积可以表示的乘法公式是. 3、如图,图①是边长为a的正方形中有一个边长是b的小正方形,图②是将图①中的阴影部分剪拼成的一个等腰梯形,比较图①和图②阴影部分的面积,可验证的是. 第4题图 4、用该几何图形的面积可以表示的等量关系是. 5、如图:边长为a,b的两个正方形,边保持平行,如果从大正方形中剪去小正方形,剩下的图形可以分割成4个大小相等的梯形.请你计算出两个阴影部分的面积,同时说明可以验证哪一个乘法公式的几何意义. 6、如图1,A、B、C是三种不同型号的卡片,其中A型是边长为a的正方形,B型是长为 b、宽为a的长方形,C是边长是b的正方形. 7、小杰同学用1张A型、2张B型和1张C型卡片拼出了一个新的图形(如图2).请根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的公式是.8、图1是一个长为2a,宽为2b的长方形,沿图中虚线剪开,可分成四块小长方形.

(1)你认为图1的长方形面积等于; (2)将四块小长方形拼成一个图2的正方形.请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积. 方法1: 方法2: (3)观察图2直接写出代数式(a+b)2、(a-b)2、ab之间的等量关系; (4)把四块小长方形不重叠地放在一个长方形的内部(如图3),未被覆盖的部分用阴影表示.求两块阴影部分的周长和(用含m、n的代数式表示). 9、如图,ABCD是正方形,P是对角线BD上一点,过P点作直线EF、GH分别平行于AB、BC,交两组对边于E、F、G、H,则四边形PEDG,四边形PHBF都是正方形,四边形PEAH、四边形PGCF都是矩形,设正方形PEDG的边长是a,正方形PHBF的边长是b.请动手实践并得出结论: (1)请你动手测量一些线段的长后,计算正方形PEDG与正方形PHBF的面积之和以及矩形PEAH与矩形PGCF的面积之和. (2)你能根据(1)的结果判断a2+b2与2ab的大小吗? (3)当点P在什么位置时,有a2+b2=2ab?

八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展 (学生版) ?、基本公式 1. 平方差公式:(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 2 例:计算 1999 -2000 X 1998 2 2 2 2. 完全平方公式(a+b) =a +2ab+b (a-b) 例:运用公式简便计算 3. 完全平方公式 a+b(或a-b)、ab 、a 2 +b 2 这三者任意知道两项就可以求出第三项 (a+b)2 、(a-b) 2 、ab 这三者任意知道两项就可以求出第三项 ① a 2 b 2 = (a b)2 - 2ab a 2 b 2 = (a-b) 2+2ab 2 2 2 2 ② (a-b) =(a+b) -4ab (a+b) =(a-b) +4ab (2) 完全平方公式变用 2:两个完全平方公式之和的整合 2 2 2 2 (a+b) + (a-b) =2 (a+b) 例1 ?已知a b 2 , ab =1,求a 2 b 2的值。 2 例 2.已知 a ? b = 8 , ab = 2,求(a - b)的值。 例3.已知a - b = 4, ab = 5,求a 2 b 2的值。 2 2 例 4 .已知 m +n =7, mn= —18,求 m — mr+ n 的值. 例 5 (3)已知:x+2y=7 , xy=6,求(x-2y)2 的值. 例6.已知a +丄=5,求(1) a 2 +W , (2) (a —丄)2 的值. a a a (1) 完全平方公式变用 1:利用已知的两项求第三项 2 2 2 =a -2ab+b (1) 1032 (2) 1982

1 1 例7.已知x -― =3,求x4■ ~4的值。 x x 2

18.乘法公式 知识纵横 乘法公式(multiplication formula)是在多项式乘法的基础上,?将多项式乘法的一般法 则应用于一些特殊形式的多项式相乘,得出的既有特殊性、?又有实用性的具体结论,在复杂 的数值计算,代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应 用,在学习乘法公式时,应该做到以下几点: 1.熟悉每个公式的结构特征,理解掌握公式; 2.根据待求式的特点,模仿套用公式; 3.对公式中字母的全面理解,灵活运用公式; 4.既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合,综合运用公式. 例题求解 【例1】?(?1)?已知两个连续奇数的平方差为?2000,?则这两个连续奇数可以是______. (江苏省竞赛题) (2)已知(2000-a)·(1998-a)=1999,那么,(2000-a)2+(1998-a)2=________. (2000年重庆市竞赛题) 思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组;(2)视(2000-a)·(1998-a)为整体,?由平方 和想到完全平方公式(formula for the square the sum)及其变形. 解:(1)设两个连续奇数为x,y,且x>y,则 222000 2 x y x y ?-=± ? -= ? 得x+y=1000或x+y=-1000,解得(x,y)=(499,501)或(-501,-499). (2)4002 提示:(2000-a)2+(1998-a)2=[(2000-a)-(1998-a)]2+2(2000-a)·(1998-a) 【例2】若x是不为0的有理数,已知M=(x2+2x+1)(x2-2x+1),N=(x2+x+1)(x2-x+1),则M

第三课时(乘法公式的综合运用) 一、学导目标:1.进一步理解乘法公式。 2.能熟练地运用乘法公式解题。 二、学导重点:熟练的利用平方差、完全平方公式进行混合运算。 三、学导难点:灵活运用乘法公式 四、目标导航 1.复习回顾两个公式。 2.自学例题:教材P65例2第(2)小题、P66例 3.(注意书上的解题方法。) 3.注意:难,小本节内容偏组内、小组间要认真交流,有困难的要问老师。 4.教材P66练习第1、2 题: 5.计算: (1)(x+3)2(3-x)2(2)(2a+b+1)(2a+b-1) (3)(a-2b-3)(a+2b+3) (4)(2a+b)2-(b+2a)(2a-b) 五、学导流程: (一)、出示目标:1.进一步理解乘法公式。 2.能熟练地运用乘法公式解题。

(二)、自学质疑:1、学生把课前没学完的可以再围绕“目标”和“目标导航”自学、对学、小组内展开。 2、教师深入其中查进度、问题汇总、导学。 3、检测“目标导航”有关内容。 (三)、汇报展示:1、各小组再小组长带领下共同展示目标内容 2、教师针对展示的结果进行分析、归纳组织学生再学、学会、会学。 五、测评提升: 1.先化简,再求值: (5y+1)(5y-1)-(5y+25y 2),其中y= 52 2.解方程: (1)(x+ 41)2–(x-41)(x+41)=41 (2)(x+1)(x-1)-(x+2)2=7 3.解不等式: 2(x+4)(x-4) (x-2)(2x+5) 4.计算 (1)(2x+3)3 (3)(2a-b-3c)2 5.计算: (1)已知x 2+xy =6 y 2+xy=10 求:1.(.x+y)2 2. x 2-y 2 3..x-y

乘法公式的拓展及常见题型整理 例题:已知b a +=4,求ab b a ++222。 ⑴如果1,3=-=-c a b a ,那么()()()2 22a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ,则222 121y xy x ++= ⑶已知xy 2y x ,y x x x -+-=---222 2)()1(则= ⑴若()()a b a b -=+=2 2 713,,则a b 22 +=____________,a b =_________ ⑵设(5a +3b )2=(5a -3b )2+A ,则A= ⑶若()()x y x y a -=++2 2 ,则a 为 ⑷如果22)()(y x M y x +=+- ,那么M 等于 ⑸已知(a+b)2 =m ,(a —b)2 =n ,则ab 等于 ⑹若N b a b a ++=-2 2)32()32(, 则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。 ⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ,ad bd ac ,求) )((2222d c b a ++ 例题:已知(a+b)2 =7,(a-b)2 =3, 求值: (1)a 2 +b 2 (2)ab 例2:已知a= 201x +20,b=201x +19,c=20 1 x +21,求a 2+b 2+c 2-ab -bc -ac 的值 ⑴若499,7322=-=-y x y x ,则y x 3+= ⑵若2=+b a ,则b b a 422 +-= 若65=+b a ,则b ab a 3052++= ⑶已知a 2+b 2=6ab 且a >b >0,求 b a b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ,20062005+=x b ,20082005+=x c ,则代数式ca bc ab c b a ---++222的值 是 . (四)步步为营 例题:3?(22 +1)?(24 +1)?(28 +1)?(162+1) 6?)17(+?(72+1)?(74+1)?(78+1)+1 ()( )()()()224 4 8 8 a b a b a b a b a b -+ +++ 1)12()12()12()12()12()12(3216842++?+?+?+?+?+

(3)(); (4) -(a z 0, m > n) ; ⑸(b) ■令(旳? 常用的乘法公式: 22 (1)()() 22 2 ⑵()+2 22 2 ⑶()-2 (4) ()(a 22)33 ⑸()(a 22)3- b 3 (6) (严+222. (7) a 2221/2〔 ()2+() 2+() 2〕 222 , 2 (8) a 1/2〔 () + () 2 2「 +()〕 (9) ()33+3a 2323; (10) ()33-3a 2323; 课题 乘法公式的灵活应用 教学内容 正整数指数幂的运算法则: ⑴? ; (2)();

一、归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式: ① 位置变化, x y _y ? x i=x 2 _y 2 ② 符号变化,(-x+y y X$_y 2= x 2_y 2 ③ 指数变化,x 2 y 2 x 2-y 2 =x 4-y 4 ④ 系数变化,(2a+b)(2a —bHa 2_b 2 ⑤ 换式变化,,z mU- z m] 2 2 ’ 2;Z m =x y - z m z m 2 2 V 2 山 2 * =X y - z 亠亠亠m 2 2 2 c 2 =x y -z -2-m 二x -一 y -z 2^22 二x -2 y -z 连用公式变化,x y x-y x 2 y 2 2 2 2 2 -x -y x y 4 4 二x -y 逆用公式变化,(X —y+z$_(x*y-z ) i x-y z x y-z x-y z - x y-z ] =2x -2y 2z --4 4 例1已知a ? b =2, ab =1,求a 2 b 2的值 例 2?已知 a ? b = 8, ab = 2,求(a - b)2 的值。 2 例 3 :计算 1999 -2000 X 1998 例4:已知2,1,求a 22和()2的值。 例5:已知2, 2,14。求x 22的值。 例6:判断(2+1) (22+1) (24+1)……(22048+1 ) +1的个位数字是几? x_y z x-y-z 2 2 -x-y -z 2 -x-y x-y -z 2 2 2 增项变化, 【精讲精练】

乘法公式推廣及應用 一、乘法公式: 1、基礎應背的公式 (1)分配率:()()a b c d ac ad bc bd ++=+++ (2)和的平方:222()2a b a ab b +=++ (3)差的平方:222()2a b a ab b -=-+ (4)平方差:22()()a b a b a b -=+- 2、進階推廣: (1)和的平方推廣:2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++ (2)立方和:3322()()a b a b a ab b +=+-+ (3)立方差:3322()()a b a b a ab b -=-++ (4)和的立方:333()3()a b a b ab a b +=+++ (5)差的立方:333()3()a b a b ab a b -=--- 3、應用: (1)簡化計算 (2)幾何面積 例題一 簡化計算 利用乘法公式,求下列各式的值: (1)250.8 (2)2159.5 (3)90.889.2? (4)229312931921921-??+ 例題二 求值應用 1、已知5,4a b ab +==求: (1)22a b + (2)22232a ab b -+的值 2、已知5,24a b ab -==,求: (1)22a b + (2)a b +的值

(1)化簡22(2)(2)(1)(3)(3)(1)x x x x x x +-++-+---的結果。 (2)利用(1)的結果,計算22848083857981?+-?- 二、因式分解: 1、各項提公因式法; 2、分組再分解; 3、利用乘法公式因式分解。 4、利用十字交乘法因式分解。 例一 各項題公因式法 (1)2(1)33x x -+- (2)2(1)(37)(1)x x x ---- (3)2(5)(204)x x x --- 例二 分組分解 (1)3227931x x x -+- (2)322510x x x +-- (3)3(32)(61)x x x ---

乘法公式变形及应用 1、2a b a b ab +222()=(+)+ 2a b a b ab 2 22(-)=(+)- 2、4a b a b ab +22()=(-)+ 4a b a b ab 22 (-)=(+)- 3.2a b a b ab +222+=()- 2a b a b ab 222+=(-)+ ()()2 2 2 a b a b a b ++-2 2 += 4、4ab a b a b +2 2 =() -(-) 4 a b a b ab +2 2 ()-(-)= 2ab a b a +2 2 2 =()-(+b ) 2 a b a b ab +2 22()-(+)= 5、 a b b a --2 2 ()=() a b b a --3 3 ()=-() 练习题: 1、, ,a b a b +=22729+= ______a b 2 (-)=。 2、,,a b a b +22 436()=(-)= 求: ____________a b ab a b 2244++=。+=。 3、22 113,______m m m m +=则+ =。 2211 ____________m m m m -=。-=。 例1、若()2 15m n += ()2 5m n -=求mn ,2 2 m n +的 值。 变形1:若()2 215m n += ()2 25m n -=求 mn , 224m n +的值。 乘法公式变形及应用 1、 2a b a b ab +222()=(+)+ 2a b a b ab 2 22(-)=(+)- 2、 4a b a b ab +22()=(-)+ 4a b a b ab 22 (-)=(+)- 3.2a b a b ab +222+=() - 2a b a b ab 222+=(-)+ ()()2 2 2 a b a b a b ++-2 2 += 4、4ab a b a b +2 2 =() -(-) 4 a b a b ab +2 2 ()-(-)= 2ab a b a +2 2 2 =()-(+b ) 2 a b a b ab +2 22()-(+)= 5、a b b a --22()=() a b b a --33 ()=-() 练习题: 1、, ,a b a b +=22729+= ______a b 2 (-)=。 2、,,a b a b +22 436()=(-)= 求: ____________a b ab a b 2244 ++=。+=。 3、22113,______m m m m +=则+=。 2211 ____________m m m m -=。-=。 例1、若()215m n += ()2 5m n -=求mn ,22m n +的值。 变形1:若()2 215m n += ()2 25m n -=求 mn , 224m n +的值。 变形2、若()2 2315m n += ()2 235m n -=求mn , 22 94 m n + 的值。 变形3、若()()35436a a --=-,求()() 2 2 3543a a -+-的值。 例2、已知32232,16 3,1ab b a b a ab b a +-= =+求的值。 例3、已知2 441 13,x x x x ? ?+=+ ?? ?1求x-及x 例4、若2 2(1)0m n ++-=,则2m n +的值为________ 变形1、若2 2210,m n n ++-+=则2m n +的值为_ 变形2、若2244(1)0 m m n +++-=, 则2m n -的值为 变形3、若2 2 4250m n m n ++-+=,则2mn 的值为 例5、对于式子154622+-++b a b a 能否确定其值的正负性?若能,请说明理由. 例6、如果)122)(122-+++b a b a (=63,那么a+b 的值为多 变形2、若()2 2315m n += ()2 235m n -=求mn , 22 94 m n + 的值。 变形3、若()()35436a a --=-,求()() 2 2 3543a a -+-的值。 例2、已知32232,16 3,1ab b a b a ab b a +-= =+求的值。 例3、已知2 441 13,x x x x ? ?+=+ ?? ?1求x-及x 例4、若2 2(1)0m n ++-=,则2m n +的值为________ 变形1、若2 2210,m n n ++-+=则2m n +的值为_ 变形2、若2 2 44(1)0 m m n +++-=, 则2m n -的值为 变形3、若2 24250m n m n ++-+=,则2mn 的值为 例5、对于式子15462 2+-++b a b a 能否确定其值的正负性?若能,请说明理由. 例6、如果)122)(122-+++b a b a (=63,那么a+b 的值为多

专题一乘法公式及应用 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

专题一乘法公式的复习一、复习: (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3 归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式: ①位置变化,xyyxx2y2 ②符号变化,xyxyx2y2 x2y2 ③指数变化,x2y2x2y2x4y4 ④系数变化,2ab2ab4a2b2 ⑤换式变化,xyzmxyzm xy2zm2 x2y2zmzm x2y2z2zmzmm2 x2y2z22zmm2 ⑥增项变化,xyzxyz xy2z2 xyxyz2 x2xyxyy2z2 x22xyy2z2 ⑦连用公式变化,xyxyx2y2 x2y2x2y2 x4y4

⑧ 逆用公式变化,xyz 2xyz 2 xyzxyzxyzxyz 2x 2y 2z 4xy 4xz 例1.已知2=+b a ,1=ab ,求22b a +的值。 解:∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ,1=ab ∴22b a +=21222=?- 例2.已知8=+b a ,2=ab ,求2)(b a -的值。 解:∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a - ∵8=+b a ,2=ab ∴=-2)(b a 562482=?- 例3:计算19992-2000×1998 例4:已知a+b=2,ab=1,求a 2+b 2和(a-b)2的值。 例5:已知x-y=2,y-z=2,x+z=14。求x 2-z 2的值。 例6:判断(2+1)(22+1)(24+1)……(22048+1)+1的个位数字是几? 例7.运用公式简便计算 (1)1032 (2)1982 例8.计算 (1)a 4b 3ca 4b 3c (2)3xy 23xy 2 例9.解下列各式 (1)已知a 2b 213,ab 6,求ab 2,ab 2的值。 (2)已知ab 27,ab 24,求a 2b 2,ab 的值。 (3)已知aa 1a 2b 2,求222 a b ab +-的值。

文案大全 乘法公式的灵活运用 一、复习: (a+b)(a-b)=a 2 -b 2 (a+b)2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b)2 =a 2 -2ab+b 2 (a+b)(a 2 -ab+b 2 )=a 3 +b 3 (a-b)(a 2 +ab+b 2 )=a 3 -b 3 归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式: ① 位置变化,(x +y )(-y +x )=x 2 -y 2 ② 符号变化,(-x +y )(-x -y )=(-x )2 -y 2 = x 2 -y 2 ③ 指数变化,(x 2 +y 2 )(x 2 -y 2 )=x 4 -y 4 ④ 系数变化,(2a +b )(2a -b )=4a 2 -b 2 ⑤ 换式变化,[xy +(z +m )][xy -(z +m )] =(xy )2 -(z +m )2 =x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2 -(z 2 +zm +zm +m 2 ) =x 2y 2 -z 2 -2zm -m 2 ⑥ 增项变化,(x -y +z )(x -y -z ) =(x -y )2 -z 2 =(x -y )(x -y )-z 2 =x 2 -xy -xy +y 2 -z 2 =x 2 -2xy +y 2 -z 2 ⑦ 连用公式变化,(x +y )(x -y )(x 2 +y 2 ) =(x 2 -y 2 )(x 2 +y 2) =x 4 -y 4 ⑧ 逆用公式变化,(x -y +z )2 -(x +y -z )2 =[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz 例1.已知2=+b a ,1=ab ,求22b a +的值。 解:∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴2 2b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ,1=ab ∴22b a +=21222 =?- 例2.已知8=+b a ,2=ab ,求2)(b a -的值。 解:∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 2 22b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2 )(b a - ∵8=+b a ,2=ab ∴=-2)(b a 562482 =?- 例3:计算19992 -2000×1998 〖解析〗此题中2000=1999+1,1998=1999-1,正好符合平方差公式。 解:19992 -2000×1998 =19992 -(1999+1)×(1999-1) =19992 -(19992 -12 )=19992 -19992 +1 =1 例4:已知a+b=2,ab=1,求a 2 +b 2 和(a-b)2 的值。 〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。 解:a 2 +b 2 =(a+b)2 -2ab=4-2=2 (a-b)2 =(a+b)2 -4ab=4-4=0

解题技巧专题:乘法公式的灵活运用 ◆类型一 整体应用 1.(2017·淄博中考)若a +b =3,a 2+b 2=7,则ab 等于( ) A .2 B .1 C .-2 D .-1 2.(1)若a 2-b 2=16,a -b =13 ,则a +b 的值为________; (2)若(a +b +1)(a +b -1)=899,则a +b 的值为________. 3.计算: (1)(m 2+mn +n 2)2-(m 2-mn +n 2)2; (2)(x 2+2x +1)(x 2-2x +1)-(x 2+x +1)(x 2-x +1). ◆类型二 连续应用 4.计算: (1)(a -b )(a +b )(a 2+b 2)(a 4+b 4)(a 8+b 8); (2)(1+42)(1+44)(1+48)(1+416). ◆类型三 利用乘法公式进行简便运算 5.计算2672-266×268的结果是( )

A .2008 B .1 C .2006 D .-1 6.利用完全平方公式计算: (1)792; (2)????30132 . 7.利用平方差公式计算: (1)802×798; (2)3913×4023 . ◆类型四 利用乘法公式的灵活变形解决问题 8.已知x +y =3,xy =-7,求: (1)x 2-xy +y 2的值; (2)(x -y )2的值. 9.★若实数n 满足(n -46)2+(45-n )2=2,求代数式(n -46)(45-n )的值. 参考答案与解析 1.B 2.(1)12 (2)±30

3.解:(1)原式=(m 2+n 2)2+2mn (m 2+n 2)+m 2n 2-(m 2+n 2)2+2mn (m 2+n 2)-m 2n 2=4mn (m 2+n 2)=4m 3n +4mn 3. (2)原式=[(x 2+1)+2x ][(x 2+1)-2x ]-[(x 2+1)+x ][(x 2+1)-x ]=(x 2+1)2-4x 2-(x 2+1)2+x 2=-3x 2. 4.解:(1)原式=(a 2-b 2)(a 2+b 2)(a 4+b 4)(a 8+b 8)=(a 4-b 4)(a 4+b 4)(a 8+b 8)=(a 8-b 8)(a 8+b 8)=a 16-b 16. (2)原式= 115(42-1)(1+42)(1+44)(1+48)(1+416)=115(44-1)(1+44)(1+48)(1+416)=115(48-1)(1+48)(1+416)=115(416-1)(1+416)=432-115 . 5.B 6.解:(1)原式=(80-1)2=802-2×80×1+12=6241; (2)原式=????30+132=302+2×30×13+????132=92019 . 7.解:(1)原式=(800+2)(800-2)=8002-22=640000-4=639996; (2)原式=????40-23????40+23=402-????232=1600-49=159959 . 8.解:(1)x 2-xy +y 2=(x +y )2-3xy =9+21=30. (2)(x -y )2=(x +y )2-4xy =9+28=37. 9.解:∵(n -46)2+(45-n )2=2,∴[(n -46)+(45-n )]2-2(n -46)(45-n )=2,整理得 1-2(n -46)(45-n )=2,则(n -46)(45-n )=-12 .

乘法公式的应用与拓展 【基础知识概述】 一、 基本公式:平方差公式:(a +b )(a -b )=a 2—b 2 完全平方公式:(a +b )2=a 2+2ab +b 2 (a -b )2=a 2-2ab +b 2 变形公式:(1)()2222a b a b ab +=+- (2)()2222a b a b ab +=-+ (3) ()()222222a b a b a b ++-=+ (4) ()()224a b a b ab +--= 二、思想方法: ① a 、b 可以是数,可以是某个式子; ② 要有整体观念,即把某一个式子看成a 或b ,再用公式。 ③ 注意公式的逆用。 ④ 2a ≥0。 ⑤ 用公式的变形形式。 三、基础练习: 1.填空: (1)平方差公式(a +b )(a -b )= ; (2)完全平方公式(a +b )2= ,(a -b )2= . 2.运用公式计算: (1) (2x -3)2 (2) (-2x +3y )(-2x -3y ) (3) (1 2m -3)(1 2m +3) (4) (13x +6y )2 3.判断正误:对的画“√”,错的画“×”. (1)(a +b )2=a 2+b 2; ( ) (2)(a -b )2=a 2-b 2; ( ) (3)(a +b )2=(-a -b )2; ( ) (4)(a -b )2=(b -a )2. ( ) 6.运用乘法公式计算: (1) (a +2b -1)2 (2) )132)(132(++--y x y x 四、典型问题分析: 1、顺用公式:计算下列各题: ① ()()()()()224488a b a b a b a b a b -++++

乘法公式 一、复习: (a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 (a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3-b 3 归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式: ① 位置变化,(x +y )(-y +x )=x 2-y 2 ② 符号变化,(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化,(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化,(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2 ⑤ 换式变化,[xy +(z +m )][xy -(z +m )] =(xy )2-(z +m )2 =x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2 ⑥ 增项变化,(x -y +z )(x -y -z ) =(x -y )2-z 2 =(x -y )(x -y )-z 2 =x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2 ⑦ 连用公式变化,(x +y )(x -y )(x 2+y 2) =(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4 ⑧ 逆用公式变化,(x -y +z )2-(x +y -z )2 =[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz 例1.已知2=+b a ,1=ab ,求22b a +的值。 解:∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ,1=ab ∴22b a +=21222=?- 例2.已知8=+b a ,2=ab ,求2)(b a -的值。 解:∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a - ∵8=+b a ,2=ab ∴=-2)(b a 562482=?- 例3:计算19992-2000×1998 〖解析〗此题中2000=1999+1,1998=1999-1,正好符合平方差公式。 解:19992-2000×1998 =19992-(1999+1)×(1999-1) =19992-(19992-12)=19992-19992+1 =1 例4:已知a+b=2,ab=1,求a 2+b 2和(a-b)2的值。 〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。

八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展(学生版) 一、基本公式 1.平方差公式:(a+b)(a-b)=a 2-b 2 例:计算19992-2000×1998 2.完全平方公式 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 例: 运用公式简便计算 (1)1032 (2)1982 3.完全平方公式 (1)完全平方公式变用1:利用已知的两项求第三项 a+b(或a-b)、ab 、a 2+b 2这三者任意知道两项就可以求出第三项 (a+b)2、(a-b)2、ab 这三者任意知道两项就可以求出第三项 ①22b a +=ab b a 2)(2-+ 22b a +=(a-b)2+2ab ②(a-b)2=(a+b)2-4ab (a+b)2=(a-b)2+4ab (2) 完全平方公式变用2:两个完全平方公式之和的整合 (a+b)2+ (a-b)2=2(a 2+b 2) 例1.已知2=+b a ,1=ab ,求22b a +的值。 例2.已知8=+b a ,2=ab ,求2)(b a -的值。 例3.已知a b ab -==45,,求a b 22+的值。 例4 .已知m +n =7,mn =-18,求m 2-mn + n 2的值. 例5 (3)已知:x +2y =7,xy =6,求(x -2y )2的值. 例6.已知a +a 1=5,求(1)a 2+21 a ,(2)(a -a 1 )2 的值. 例7.已知1 3x x -=,求441 x x +的值。

例8.解下列各式 (1)已知a 2+b 2=13,ab =6,求(a +b )2,(a -b )2的值。 (2)已知(a +b )2=7,(a -b )2=4,求a 2+b 2,ab 的值。 (3)已知a (a -1)-(a 2 -b )=2,求22 2a b ab +-的值。 (3)完全平方公式变用3: 几个数的和的平方推广 几个数的和的平方,等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。 (a +b +c )2=a 2+b 2+c 2 +2ab +2bc +2ac 公式的证明: (a +b +c )2 =[(a +b )+c ]2 =(a +b )2+2(a +b )?c +c 2 =a 2+2ab +b 2+2ac +2bc +c 2 =a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac 例.计算 (1)(x 2-x +1)2 (2)(3m +n -p )2 4.立方和与立方差公式 (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3 (a-b)(a2+ab+b2) =a 3-b 3 =a 3+a 2b-a 2b-ab 2+ab 2+b 3 =a 3-a 2b+a 2b-ab 2+ab 2-b 3 =a 3+b 3 =a 3-b 3 二、公式的灵活运用 1.对公式的基本变用 (1)位置变化,(x +y )(-y +x )=x 2-y 2 (2)符号变化,(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 2.整体思想的应用 (1)应用整体思想,首先要能识别公式中的“两数”. 例1 计算(-a 2+4b )2 分析:运用公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2时,____就是公式中的a ,____就是公式中的b ;若将题目变形为(4b -a 2)2时,则____是公式中的a ,而____就是公式中的b .(解略) 练习1. 计算:()()53532222x y x y +- 练习2. 计算:(x -y +z )(x -y -z ) 练习3. 计算:( [xy +(z +m )][xy -(z +m )] 练习4. 计算:()()x y z x y z +-++26 (2)应用应用整体思想,其次能正确选取负号和减号 例计算:(-2x 2-5)(2x 2-5) 分析:本题两个因式中“-5”相同,“2x 2”符号相反,因而____是公式(a +b )(a -b )=a 2-b 2中的a ,而____则是公式中的b . 解:原式= (3)应用整体思想,要善于分组加括号 根据原式各项负号的异同(看前面括号和后面括号哪些项符号相同,哪些项

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