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【高三总复习】2013高中数学技能特训:2-1 函数及其表示(人教B版) 含解析 Word版含答案]

2-1函数及其表示 基础巩固强化

1.a 、b 为实数,集合M ={b

a ,1},N ={a,0},f 是M 到N 的映射,f (x )=x ,则a +

b 的值为( )

A .-1

B .0

C .1

D .±1 [答案] C

[解析] ∵f (x )=x ,∴f (1)=1=a ,若f (b a )=1,则有b

a =1,与集合元素的互异性矛盾,

∴f (b

a )=0,∴

b =0,∴a +b =1.

2.(文)(2012·江西文,3)设函数f (x )=???

x 2+1,x ≤1,

2x ,x >1.

则f (f (3))

=( )

A.15 B .3 C.23 D.13

9

[答案] D

[解析] 本题考查分段函数求值问题, 由条件知f (3)=2

3, f (f (3))=f (23)=(23)2+1=13

9.

(理)已知函数f (x )=?

????

2x +1,x ≤0,

f (x -3),x >0,则f (2014)等于( )

A .-1

B .1

C .-3

D .3

[答案] C

[解析] f (2014)=f (2011)=f (2008)=……=f (1)=f (-2)=2×(-2)+1=-3.

3.若函数f (x )的定义域是[0,4],则函数g (x )=f (2x )

x 的定义域是( )

A .[0,2]

B .(0,2)

C .(0,2]

D .[0,2)

[答案] C

[解析] ∵?

????

0≤2x ≤4,

x ≠0.∴0

4.已知函数f (x )是奇函数,且定义域为R ,若x >0时,f (x )=x +2,则函数f (x )的解析式为( )

A .f (x )=x +2

B .f (x )=|x |+2

C .f (x )=?????

x +2 x >0

x -2 x <0

D .f (x )=????

?

x +2 x >00 x =0

x -2 x <0

[答案] D

[解析] ∵f (x )为奇函数,且定义域为R , ∴f (0)=0.

设x <0,则-x >0,则f (x )=-f (-x )=-[(-x )+2] =x -2.

5.(文)函数f (x )=2

2x -2的值域是( )

A .(-∞,-1)

B .(-1,0)∪(0,+∞)

C .(-1,+∞)

D .(-∞,-1)∪(0,+∞)

[答案] D [解析]

1

f (x )

=2x -1-1>-1,结合反比例函数的图象可知f (x )∈(-∞,-1)∪(0,+∞).

(理)(2011·茂名一模)若函数y =f (x )的值域是[1

2,3],则函数F (x )=f (x )+1

f (x )

的值域是( )

A .[1

2,3] B .[2,10

3] C .[52,103] D .[3,10

3]

[答案] B

[解析] 令t =f (x ),则12≤t ≤3,由函数g (t )=t +1t 在区间[1

2,1]上是减函数,在[1,3]上是增函数,且g (12)=52,g (1)=2,g (3)=10

3,可得值域为[2,10

3],选B.

6.若函数f (x )=???

2x x ≤1,

log 12x x >1.

则函数y =f (2-x )的图象可以

是( )

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[答案] A

[分析] 可依据y =f (-x )与y =f (x )的图象关于y 轴对称,及y =f (2-x )可由y =f (-x )的图象向右平移两个单位得到来求解,也可直接求出y =f (2-x )的解析式取特值验证.

[解析] 由函数y =f (x )的图象关于y 轴对称得到y =f (-x )的图象,再把y =f (-x )的图象向右平移2个单位得到y =f (2-x )的图象,故选A.

7.(文)函数y =log 2(4-x )的定义域是________. [答案] (-∞,3]

[解析] 要使函数有意义,应有log 2(4-x )≥0, ∵4-x ≥1,∴x ≤3.

(理)(2011·安徽文,13)函数y =1

6-x -x 2的定义域是________.

[答案] (-3,2)

[解析] 由6-x -x 2>0,得x 2+x -6<0, 即{x |-3

8.(文)如果函数f (x )=1-x 21+x 2

,那么f (1)+f (2)+…f (2012)+f (1

2)+f (13)+…+f (1

2012)的值为________.

[答案] 0

[解析] 由于f (x )+f (1x )=1-x

2

1+x 2

+1-(1x )21+(1x )2=1-x 21+x 2+x 2-1x 2+1=0,f (1)=0,故该式值为0.

(理)规定记号“⊕”表示一种运算,且a ⊕b =ab +a +b +1,其中a 、b 是正实数,已知1⊕k =4,则函数f (x )=k ⊕x 的值域是________.

[答案] (2,+∞)

[解析] 1⊕k =k +k +2=4,解之得k =1,

∴f (x )=x +x +2,由于“⊕”的运算对象是正实数,故x >0,∴f (x )>2.

9.(2011·洛阳模拟)已知函数f (x )=4

|x |+2-1的定义域是[a ,b ](a 、

b ∈Z ),值域是[0,1],则满足条件的整数数对(a ,b )共有________个.

[答案] 5

[解析] 由0≤4|x |+2-1≤1,即1≤4

|x |+2

≤2得

0≤|x |≤2,满足条件的整数数对有(-2,0),(-2,1),(-2,2),(0,2),(-1,2)共5个.

[点评] 数对(a ,b )的取值必须能够使得|x |的取值最小值为0,最大值为2,才能满足f (x )的值域为[0,1]的要求.

10.(2012·北京海淀期中)某工厂生产某种产品,每日的成本C (单位:元)与日产量x (单位:t)满足函数关系式C =10 000+20x ,每日的销售额R (单位:元)与日产量x 的函数关系式为R =

???

-130

x 3+ax 2+290x ,0

20 400,x ≥120.

已知每日的利润y =R -C ,且当x =30时,y =-100.

(1)求a 的值;

(2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最大值.

[解析] (1)∵当x =30时,y =-100,

∴-100=-1

30×303+a ×302+270×30-10 000, ∴a =3.

(2)当0

+3x 2+270x -10 000. 令y ′=-110x 2

+6x +270=0, 可得:x 1=90,x 2=-30(舍去),

所以当x ∈(0,90)时,原函数是增函数,当x ∈(90,120)时,原函数是减函数.

∴当x =90时,y 取得极大值14 300. 当x ≥120时,y =10 400-20x ≤8 000.

所以当日产量为90t 时,每日的利润可以达到最大值14 300元.

能力拓展提升

11.(文)已知函数f (x )=?????

log 2x ,x >0,

2x ,x ≤0.

若f (1)+f (a )=2,则a 的值

为( )

A .1

B .2

C .4

D .4或1 [答案] C

[解析] ∵f (1)=0,∴f (a )=2,∴log 2a =2(a >0)或2a =2(a ≤0),解得a =4或a =1(舍),故选C.

(理)函数f (x )=?

????

sin (πx 2

) (-1

e x -1 (x ≥0).若

f (1)+f (a )=2,则a 的

所有可能值为( )

A .1

B .1,-2

2 C .-2

2 D .1,2

2

[答案] B [解析] f (1)=1,

当a ≥0时,f (a )=e a -1,∴1+e a -1=2, ∴a =1,

当-1

=π

2+2k π(k ∈Z ),

∵-1

2,故选B.

12.已知f (x )=?????

(3-a )x -4a (x <1),

log a x (x ≥1).

是(-∞,+∞)上的增函

数,那么a 的取值范围是( )

A .(1,+∞)

B .(-∞,3)

C .[3

5,3) D .(1,3)

[答案] D

[解析] 解法1:由f (x )在R 上是增函数,

∴f (x )在[1,+∞)上单增,由对数函数单调性知a >1,① 又由f (x )在(-∞,1)上单增,∴3-a >0,∴a <3,②

又由于f (x )在R 上是增函数,为了满足单调区间的定义,f (x )在(-∞,1]上的最大值3-5a 要小于等于f (x )在[1,+∞)上的最小值0,才能保证单调区间的要求,

∴3-5a ≤0,即a ≥3

5,③ 由①②③可得1

解法2:令a 分别等于3

5、0、1,即可排除A 、B 、C ,故选D. [点评] f (x )在R 上是增函数,a 的取值不仅要保证f (x )在(-∞,1)上和[1,+∞)上都是增函数,还要保证x 1<1,x 2≥1时,有f (x 1)

13.(2012·丽水模拟)函数f (x )=???

2-x -1,x ≤0,

x 12,x >0,

若f (x 0)=1,

则x 0的值为________.

[答案] -1或1

[解析] 当x 0≤0时,f (x 0)=2-x 0-1,∵f (x 0)=1,

∴2-x 0-1=1,∴2-x 0=2,∴x 0=-1;当x 0>0时,f (x 0)=x 1

20,∵f (x 0)=1,∴x 1

20=1,∴x 0=1.

综上可得x 0的值为-1或1.

14.(2013·四川省内江市第一次模拟)设函数f (x )=|x |x +bx +c ,则下列命题中正确命题的序号有________.

①函数f (x )在R 上有最小值;

②当b >0时,函数在R 上是单调增函数; ③函数f (x )的图象关于点(0,c )对称;

④当b <0时,方程f (x )=0有三个不同实数根的充要重要条件是b 2>4|c |;

⑤方程f (x )=0可能有四个不同实数根. [答案] ②③④

[解析] f (x )=?

????

x 2

+bx +c (x ≥0)

-x 2+bx +c (x <0)

取b =0知,①⑤错; 容易判断②,③正确;b <0时,方程f (x )=0有三个不同实数根,等价于c -b 24<0且c +b 2

4>0,∴b 2>4c 且b 2>-4c ,∴b 2>4|c |,故填②、③、④.

15.(文)函数f (x )=x 2+x -1

4.

(1)若定义域为[0,3],求f (x )的值域;

(2)若f (x )的值域为[-12,1

16],且定义域为[a ,b ],求b -a 的最大值.

[解析] ∵f (x )=(x +12)2-1

2, ∴对称轴为x =-1

2. (1)∵3≥x ≥0>-1

2, ∴f (x )的值域为[f (0),f (3)], 即[-14,474];

(2)∵x =-12时,f (x )=-1

2是f (x )的最小值, ∴x =-12∈[a ,b ],令x 2

+x -14=116, 得x 1=-54,x 2=1

4,

根据f (x )的图象知当a =-54,b =14时,b -a 取最大值14-(-5

4)=32.

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(理)已知f (x )是二次函数,若f (0)=0,且f (x +1)=f (x )+x +1.

(1)求函数f (x )的解析式; (2)求函数y =f (x 2-2)的值域. [解析] (1)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 又f (0)=0,∴c =0,即f (x )=ax 2+bx . 又f (x +1)=f (x )+x +1.

∴a (x +1)2+b (x +1)=ax 2+bx +x +1. ∴(2a +b )x +a +b =(b +1)x +1,

∴?

??

??

2a +b =b +1,a +b =1,解得?????

a =12,

b =1

2.

∴f (x )=12x 2+1

2x .

(2)由(1)知y =f (x 2

-2)=12(x 2-2)2

+12(x 2-2)

=12(x 4-3x 2

+2)=12(x 2-32)2-18, 当x 2

=32时,y 取最小值-1

8.

∴函数y =f (x 2-2)的值域为[-1

8,+∞).

16.(文)某地区预计2011年的前x 个月内对某种商品的需求总量f (x )(万件)与月份x 的近似关系式是f (x )=1

75x (x +1)(19-x ),x ∈N *,1≤x ≤12,求:

(1)2011年的第x 月的需求量g (x )(万件)与月份x 的函数关系式. (2)求第几个月需求量g (x )最大.

[解析] (1)第x 月的需求量为g (x )=f (x )-f (x -1)=1

75x (x +1)(19

-x)-1

75(x-1)x(20-x)=

1

25x(13-x).

(2)g(x)=1

25(-x

2+13x)=-

1

25[42.25-(x-6.5)

2],因此当x=6或

7时g(x)最大.

第6、7月需求量最大.

(理)某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系如图所示:

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该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如表所示:

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(1)根据提供的图象,写出该商品每件的销售价格P 与时间t 的函数关系式;

(2)在所给直角坐标系中,根据表中提供的数据描出实数对(t ,Q )的对应点,并确定日销售量Q 与时间t 的一个函数关系式;

(3)求该商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天?(日销售金额=每件的销售价格×日销售量)

[解析] (1)P =?

????

t +20 (0

),

-t +100 (25≤t ≤30,t ∈N *

). (2)图略,Q =40-t (t ∈N *). (3)设日销售金额为y (元),

则y =?????

-t 2+20t +800 (0

),t 2-140t +4000 (25≤t ≤30,t ∈N *

). 即y =????

?

-(t -10)2+900 (0

).

若0

则当t =25时,y max =1125. 由1125>900,知y max =1125,

∴这种商品日销售金额的最大值为1125元,30天中的第25天的日销售金额最大.

1.设a

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[答案] C

[解析] x >b 时,y >0,排除A 、B ;又x =b 是变号零点,x =a 是不变号零点,排除D ,故选C.

2.(2011·北京东城综合练习)已知函数f (x )=?

????

8x -8,x ≤1,

0,x >1,

g (x )=log 2x ,则f (x )与g (x )两函数图象的交点个数为( )

A .4

B .3

C .2

D .1

[答案] C

[解析] 如图,函数g (x )的图象与函数f (x )的图象交于两点,且均在函数y =8x -8(x ≤1)的图象上.故选C.

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3.设函数f (x )=?

???

?

21-x

-1 (x <1),lg x (x ≥1).若f (x 0)>1,则x 0的取值范围

是( )

A .(-∞,0)∪(10,+∞)

B .(-1,+∞)

C .(-∞,-2)∪(-1,10)

D .(0,10) [答案] A

[解析] 由条件知,?

????

x 0<1,

21-x 0-1>1,或???

x 0≥1,lg x 0>1.

∴x 0<0或x 0>10.

4.(2012·东北三校二模)函数y =x ln(-x )与y =x ln x 的图象关于( )

A .直线y =x 对称

B .x 轴对称

C .y 轴对称

D .原点对称

[答案] D

[解析] 若点(m ,n )在函数y =x ln x 的图象上,则n =m ln m ,所以

-n =-m ln[-(-m )],可知点(-m ,-n )在函数y =x ln(-x )的图象上,反之亦然,而点(m ,n )与点(-m ,-n )关于原点对称,所以函数y =x ln x 与y =x ln(-x )的图象关于原点对称,故选D.

5.已知函数f (x )=(x -a )(x -b )(其中a >b )的图象如下图所示,则函数g (x )=a x +b 的图象是( )

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[答案] A

[解析] ∵f (x )=(x -a )(x -b )的两个零点为a 和b 且a >b ,由图象知0

6.函数f (x )=|log 1

2x |的定义域是[a ,b ],值域为[0,2],对于区间[m ,n ],称n -m 为区间[m ,n ]的长度,则[a ,b ]长度的最小值为( )

A.15

4 B .3 C .4 D.34

[答案] D

[解析] 令f (x )=0得,x =1,令f (x )=2得,log 12x =±2,∴x =1

4或4,∴当a =1

4,b =1时满足值域为[0,2],故选D.

7.如图,动点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上,过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线,与正方体表面相交于M 、N .设BP =x ,MN =y ,则函数y =f (x )的图象大致是( )

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[答案] B

[解析] 解法1:取AA 1、CC 1的中点E 、F ,EF 交BD 1于O ,

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则EF ∥AC ,∵AC ⊥BD ,AC ⊥BB 1, ∴AC ⊥平面BDD 1B 1,∴EF ⊥平面BDD 1B 1, ∴平面BED 1F ⊥平面BDD 1B 1,

过点P 作MN ∥EF ,则MN ⊥平面BDD 1B 1,

MN 交BE 、BF 于M 、N ,则BP BO =MN EF ,∴MN =EF

BO ·BP , 不难看出当P 在BO 上时,y 是x 的一次增函数, 当P 在OD 1上时,y 是x 的一次减函数,故选B.

解法2:连接AC ,A 1C 1,则MN ∥AC ∥A 1C 1,当且仅当P 为BD 1

的中点Q 时,MN =AC 取得最大值,故答案A ,C 错,又当P 为BQ 中点时,MN =1

2AC ,故答案D 错,所以选B.

8.已知函数f (x )的值域为[0,4],(x ∈[-2,2]),函数g (x )=ax -1,x ∈[-2,2],?x 1∈[-2,2],总?x 0∈[-2,2],使得g (x 0)=f (x 1)成立,则实数a 的取值范围是______.

[答案] ? ????-∞,-52∪????

??

52,+∞ [解析] 只需要函数f (x )的值域是函数g (x )值域的子集即可.

(1)当a >0时,g (x )=ax -1单调递增,∵x ∈[-2,2],

∴-2a -1≤g (x )≤2a -1,要使条件成立,只需?????

-2a -1≤0

2a -1≥4

∴a ≥5

2.

(2)当a <0时,g (x )=ax -1单调递减.

∵x ∈[-2,2],∴2a -1≤g (x )≤-2a -1,要使条件成立,

只需?

??

??

2a -1≤0-2a -1≥4,∴?????

a ≤12

a ≤-5

2

,∴a ≤-5

2.

综上,a 的取值范围是?

??

??-∞,-52∪?

???

??

52,+∞.

9.(2011·安徽省淮南市高三第一次模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足:f (x )·f (x +2)=13,若f (1)=2,则f (2015)=________.

[答案] 132 [解析] ∵f (x +4)=

13f (x +2)

=13

13f (x )

=f (x ), ∴函数f (x )的周期为4,

所以f (2015)=f (4×503+3)=f (3)=13f (1)

=13

2.

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