迈克尔逊干涉仪实验与最佳测量区间的分析.
迈克尔逊干涉仪实验与最佳测量区间的分析
摘要：用迈克尔逊干涉仪能观察到等倾干涉、等厚干涉条纹和白光干涉的彩色条纹。产生等倾干涉与等厚干涉不仅与M 1与2'M 之间的夹角α有关，还受其间空气
层厚度d 的影响。在测H e-N e 激光波长时，通过分析，在一定的测量区间内，测得的波长误差较小。本文主要对等倾干涉等厚干涉所遇到的现象、特点及仪器的调节图像的判断进行分析，接着分析白光干涉现象中央条纹的亮暗，最后对测波长的最佳区间分析，并经过实验得出最佳测量范围。
关键词：迈克尔逊干涉仪 等倾干涉 等厚干涉 白光干涉 最佳测量区间
Michelson interferometer experiment with the best
measurement interval analysis
Abstract: Such dumping intervention, uniform thickness interference, white stripe and color interference fringes as can be observed in the Michelson interferometer. Inclined to interfere in the formation and the thickness intervention with the M 1 and 2'M the
angle, which is also affected by the air layer thickness d effects. The He – Ne laser wavelength measurement, after analysis, in a certain interval measurement, the measurement error of wavelength is smaller. In this paper, such as the dumping of interference encountered thick interference phenomena, characteristics and the regulatory apparatus judgment image analysis then analyzes white interference fringes of the central-darkness, in the final test ,after the best wavelength interval analysis, we carry out some experiments and make out the best measurement range
Key words: Michelson interferometer dumping intervention uniform thickness interference the white light interference best sampling interval
目 录
摘要 (1)
关键词..............................................................................................1 引言................................................................................................3 1光路及原理.....................................................................................3 2等倾干涉与等厚干涉. (4)
2.1迈克尔逊干涉仪的调节与判断 (4)
2.1.1迈克尔逊干涉仪的调整方法 (4)
2.1.2迈克尔逊干涉仪的条纹判断 (4)
2 .2. 等倾干涉条纹特点的分析 (5)
2.3等厚干涉的形成及特点 (7)
2.4等厚干涉的界定.............................................................................7 3白光干涉........................................................................................8 4测量e e H N 激光器波长的最佳测量区间的分析 (9)
4.1原理及误差分析 (9)
4.2最佳测量区间讨论 (10)
4.3实验数据及结论.............................................................................13 致谢................................................................................................14 参考文献 (15)
引言：迈克尔逊干涉仪是精密的测量仪器，可以用于物理实验中观察和研究光的干涉,测定光的波长等实验，利用该仪器还可以测量气体固体|的折射率以及光谱的精细结构等.内容十分丰富。该仪器设计精巧，光路直观，其调整方法具有典型性，而且是许多现代干涉装置的原型，在此基础上发展出多种干涉测量仪，已广泛应用于生产和科学研究中。
下面主要对非定域干涉实验中（等倾干涉 等厚干涉）所遇到的一些现象，问题及相关原理进行分析以及利用白光干涉现象找等光臂交点，最后给出测激光波长的最佳测量范围。
1光路和实验原理简介
光路图:迈克尔逊干涉仪是一种典型
的分振幅的双光束干涉装置。光路图如图
1所示，两平面反射镜M 1、M 2光源S 和
接收屏E ，四者北东西南各距一方，M 2为
固定镜，M 1可在精密导轨上前后移动，分
束板G1与导轨成45度角，G1 靠近E 的
表面度有金属或介质膜，G1将接收到的入
射光分为1、2两相干光束（光强基本相同）， 图1光路图
这两束光在M 1、M 2上反射后，又经分束板G1的反射与折射，在E 处会合并发生干涉。G2为补偿板，与G1的制造材料相同，厚度相同并与G1平行放置，这就保证了1、2两束光在玻璃中的光程相等。
实验原理：当M 1垂直M 2，即M 1平行2'M ，屏上会形成一些明暗相间的同心圆
环，即等倾干涉条纹；当1M 与2M 有微小夹角α时，M 1与2'M 之间形成楔形空气
薄层,在屏上能观察到明暗相间的相互平行的直条纹，即为等厚干涉条纹。但在实际观察中，形成楔形空气薄层后，也能看到圆形的干涉条纹。由于所用光源的不
同，等倾和等厚干涉都有定域和非定域之分。
2 等倾干涉和等厚干涉
2.1等倾干涉现象的调节和判断
2.1.1仪器的简单调节
移动迈克尔逊干涉仪或激光器使激光投射在分光镜G1和全反射镜M 1与M 2中部，激光束初步与M2垂直。靠近激
光器处放一个小孔光阑，观察屏上出现
两排亮点，调节M 2后面的三个方位粗调
螺丝，使两排亮点内对应重合（最亮的
与最亮的重合），如图2所示，如该步骤
调好了，这时1M 与2'M 大致平行。然后 图2 亮点重合
在光阑后放一扩束镜使光束汇聚，形成点光源，并使其发出的球面波照射到G1 上，再在E 处放一毛玻璃屏，这时在屏上就可以看到干涉条纹，此时再调节M2的拉簧使1M 与2'M 严格平行，在屏上就可以看到非定域的同心条纹，且圆心位于光场
中心。
2.1.2条纹的判断
要想观察到等倾干涉现象，M1与2'M 平行是实验成功的前提，这样圆形干涉
条纹才能很容易调出，但是在实际的实验中我们所调出的圆形条纹后，是否就能直接判断所发生的干涉就是等倾干涉了呢？答案是不一定。 在实验中我们发现随着观察者眼睛上下左右移动，干涉圆环有冒出或缩进现象，或者圆环的大小会发生变化。为什么会出现这种现象呢？是由于两反射镜M 1与M 2不严格垂直，在移动镜片M 1与虚平面镜2'M 之间形成很小的楔角，如图3所示，
当眼睛在视场中移动时，移动镜M 1与虚平面镜2'M 之间的距离随之变化，由于中
心级次高，中心级次随两镜片的距离的变化而变化。当眼睛向右移动时，就会看到干涉圆环的环心有圆环“陷入”；向左移动时就看到干
涉圆环的环心有圆环条纹“冒出”。为了使M 1与2'M 严格
平行，故需调节M 2的垂直与水平拉簧，同时眼睛上下左
右移动，直到干涉圆环的大小不再发生变化或干涉圆环无
“冒出”或“陷入”现象产生，即M1与2'M 严格平行了，
此时观察到的就是等倾干涉条纹了,如图4所示。 图4等倾干涉条纹 2 .2干涉条纹特点的分析
依据等倾干涉原理，其光程差为2cos d i ?=
其中i 入射光与M1镜面发现的夹角，则第k 级亮条纹满足
2cos d i k λ= （2-1） 设第k 级与第k+1级干涉条纹分别由倾角k θ与1k θ+的光干涉形成，由（2-1）式可求得干涉条纹的角间距为12k k i d i λ?=-
（其中12k k k i i i ++=） （2-2） 当M 1与2'M 有微小的夹角
α时（实验中不可能将M1与M2调整到严格垂直）且d ≠0时，s2将偏离轴向2α，干涉圆环中心将移到p 点，这时的干涉仍满足(2-1)
式，可视为近似等倾干涉，见图5,图中假设M 1垂直与导轨，而不严格垂直与2M ，
此时干涉条纹有如下特点 （在实验中能观察到）
图5非定域干涉 12k k i d i λ
''?=- （2-3） 由（2-3）式可见
（1）对于当d 一定时对于同一级干涉条纹k k i i '>，则k k i i '?
M 1与2'M 的不严格平行，干涉条纹变细密，且α越大，现象越明显。
(2)条纹中心位置随d 值变化而改变。当夹角α一定时，d 增大，条纹中心移近视场中心o 点，反之亦然。因此，实验中选择在M 1距2'M 较远的位置进行测量，可
减小由于M 1与2'M 不严格垂直造成的系统误差的有效措施。
(3)标准等倾条纹的调节。随着d 减小当条纹中心移向视场边缘时，微调M2的水平或垂直拉簧，M 12'M 可达到很高的平行度，条纹中心移向视场中心。
(4)产生等倾干涉的d 值变化范围。主要取决于所用光源。如以H e-N e 激光作光源，其波长为λ=632.8nm,谱线宽度为λ?=0．O02nm ，相干长度可达200mm ，因此在M 1镜在移动过程中(d=0处除外)均能看到圆形干涉条纹。故在测波长时，选择在M 1
与2'M 相距d=100λ-----2000λ之间进行测量，可减小由于M 1与2'M 不严格平行所造
成的系统误差。
(5)d —O 时的干涉条纹变化。条纹圆环中心趋向∞，视场中心0处的干涉条纹曲率
p
半径趋向∞，向等厚过渡，整个视场的干涉条纹变为“共心弧状条纹”。当d=0且α很小时，屏中心可以观察到相互平行的直条纹，两侧为双曲线条纹；若α为0则整个视场为亮条纹。
（6）干涉条纹中心级次高，条纹中心疏边缘密。当M 1与2'M 之间的距离增大或减
小时，中心圆环相应的“冒出”或“陷入”。
2.3.等厚干涉的形成及其特点
当α≠O ，d=0时，M1与2'M 之间的空气层变为对顶劈尖，s 1、2s '重合。这
时s 1 (或2s '
)踞M 1 (或2'M )与d 相比可视为无穷远，干涉为等厚干涉，等间距的
平行干涉条纹间距取决于α，α大，条纹细密；α小，条纹稀疏；若α=0，整个视场全为亮条纹，此即标准等倾干涉d=0时的图样。 2.4 等厚干涉的界定
用迈克尔逊干涉仪调出的等厚干涉条纹也是一种极端情况。等厚干涉，从理论上讲，是由空气薄层厚度相同的地方所产生的反射光形成的，我们称这种干涉为等厚干涉,这种定义是被一致认同的。但在具体的实验中绝大多数实验讲义中描述其条纹特点为等间距的明暗相间的平行直条纹，而在实际观察中，我们看到的条纹可能有这几种情况；直线、曲线或圆环状。一般的情况是说当M 1与2'M 之间有一个很小的角度α时，M 1与2
'M 之间形成楔形空气薄层，就会出现等厚干涉条纹，而这时干涉条纹一般会是曲线或圆环状，曲线和圆环状干涉条纹上的各个点对应M 12'M 之间形成楔形空气薄层厚度已经不同了，
这时再叫等厚干涉显然与其定义不符。实际上，按等厚干涉定义分析，只有当夹角α很小光程差近似为2cos d i ?=，其中i 入射光与M 1镜面发现的夹角，d 为空气层厚度，且d 很小时(d=0或在λ线度内) cos i 不会对光程差产生什么影响，这时同一干涉条纹才与相同的空气薄层厚度相对应，这才是等厚干涉。当空气薄层厚度d 稍大一点时，cos i 的影响就逐渐显现出来了，干涉条纹发生弯曲，这也就不能严格称为等厚干涉了。但白光干涉是典型的等厚干涉。
结论：产生等倾干涉与等厚干涉不仅与M 1与2'M 之间的夹角α有关，
还受其间
空气层厚度d 的影响。而且两类干涉归结起来是两种极端的干涉情况。
3白光干涉条纹
3.1产生干涉条件
只有当迈克尔逊干涉仪的两臂相等时，才能出现白光干涉条纹（要求白光在玻璃中的光程也要相等）
3.2通过白光干涉现象准确找出M 1与2'M 的相交点
我们知道，白光干涉条纹是彩色的条纹，如图6所示，其中干涉条纹中心就是M 1与2'M 交线，
而在该中心附近可得到较为严格的等厚干涉条纹。如果要找其交点，就要找中央条纹位置，所以如何寻找中央条纹是关键。中央条纹到底有什么特征？是亮的，还是暗的？
用白光入射，首先能看到中央条纹是平行的彩色
条纹，而且彩色条纹两边对称。至于亮暗，还要通过
分析有无半波损失来决定了。迈克尔逊干涉仪的半透
膜是通过在分光板的第2面上镀铝或镀银或镀其它材
料而制成的．光束(1)在半透膜反射，并经M1 反射(损
失半个波长)回来通过分光板，与通过半透膜被M2反
射(损失半个波长)回来经分光板的第2面反射(损失半个 图6
波长)的光束(1)发生干涉。如果没有半透膜(干涉条纹仍能出现，但可见度低)白光干涉的中央条纹是暗条纹。因为(2)路光经过G1反射时有半波损失，因此(1)路光和(2)路光在中央条纹处相遇时正好是反相的，所以相消。当有半透膜镀在G1的第二面上时，(2)路光的半波损失依然存在，(1)路光经G1反射如有半波损失，则中央条纹为亮条纹，若(1)路光经G1，反射没有半波损失，则中央条纹为暗条。(1)路光经Gl 反射有无半波损失由半透膜光学性质决定。设分光板玻璃的折射律为n1，半透膜的折射律为n2，根据菲涅耳公式：n1>n2时(1)路光无半波损失，光束（1）与光束（2）位相差为π，白光干涉的中央条纹是暗条纹；n1 4测量e e H N -激光器波长的最佳测量区间的分析 利用迈克尔逊干涉以测量激光波长时，往往由于对 测量误差的产生和来源考虑不周，或者操作及测量区 间选择不当等原因，导致测量结果的误差较大,有时测 量误差大到3%-5%，下面就误差进行分析和最佳测量 区间进行讨论。 测波长时，理论上要求两反射镜严格垂直.如图7 所示，M 1、M 2分别为固定及可移动的反射镜，1M '为M 1的镜像,1M '平行M 2.当1M '与M 2距离为d 时，点光源S 经1M ' M 2成的像分别为12s s ''、，122s s d ''=，12s s ''、的延长线交屏E 于P 。点, P 。点光程差为 2d k λ?=={0,1,2,3 135 ,,222k k ==明纹暗纹 (4-1) 数出P 。点条纹的变化数N 以及测出相应的间隔d 的改变量d ?，则波长为 λ=2△d/ N (4-2) 用（4-2）式即可测得波长。但是在实际测量时发现测量值比实际值片偏大或偏小。 根据误差传递理论，波长测量误差为：E=() d N d N λ λ????=+? （4-3） 即误差主要来源于对△d 的测定及对相应条纹反转数N 的确定。对于△d 其误差来源既有系统误差，也有偶然误差。其中系统误差主要由M 1与M 2不严格垂直和仪器的空程差产生。偶然误差由于系统结构特点与操作者熟练与否在读数时产生,在实验时可以尽量减小。至于N 由于操作不当或计数错乱也会产生1或2次差异。这样使测量结果误差达到3%--5%，为了减小测量误差，在实验时转动微调手轮应均匀缓慢和方向一致以及数记N 一定要准确，尽可能减小偶然误差和空程误差。 下面就M 1与M 2不严格垂直所产生的影响我们进行分析。如图8，因1M '与M 2 图7 不平行.导致光源s 和两虚 光源2s (0222s s 12、s 、为M 2在不同位置时的2s } S 1不能在一条直线上，测量时随M 2镜的平移S 1、2s 联线不 仅延长或缩短，而且绕S 1: 转动，此时接收屏E 上干涉同心圆纹表现为“生出” 或“消失”，中心位置移动， 这样M 2移动前后S 1、2s 间实际距离的变化不再等于而是小于导轨上测得的2s 移动的距离2d ?，这就使得由公式4-2算出的波长λ偏大，从图8显示，随M 2镜的移动，M 2和1M '距增加或减少，2s 的移动方向线和S 12s 连线的偏角α随之减小或增大，则相应波长测得值偏大程度也就逐渐变小或变大。尽管测量波长前调整等倾圆环时，同样会预先调整M 1和M 2使其尽可能保持垂自，但由于M 2与1M '夹角 很小时，等厚干涉对由倾角不同引起的附加光程差的反应相对等倾干涉较为迟钝，导致此时在偏离零光程差位置不远处即可观察到与等倾干涉几乎无差别的同心圆环。故两镜面Ml 和M 2无法严格垂直是造成波长测量值较实际值总是偏大的主要因索。因此，在实际测量中不再是非定域的，而存在一最佳测量区间。 测波长时，理论上要求两反射镜严格垂直，即要求M 2与1M '严格平行，但这 在实际上却很难得到保证，它们之间总会有一很小的夹角α，致使条纹中心偏离Po 点，由此将产生相应的附加误差.这就要求我们在测量过程中，应设法使其降低到最小限度. 如图9所示，设M 2与1M '相对倾角为α，则由于α而产生的对于条纹 中心o p '点的附加光程差，可由下式确定: d k λ''?== （4-4） 其中，0123k '=、、、.时为明纹，1322k '=、时为暗纹，λ为人射光波长，l =21 s s '' .此时，若仍通过数出中央条纹的变化数N.测了相应间距d ，的改变量△d'来确定波长，则由上式得到的波长应为 : d N λ'?'= （4-5） 而实际计算波长为 2d N λ'?''= （4-6） 比较上两式可知，由于d>0，故λλ'''<，即测出的波长由于1M '与M 2不平行而偏大，α越大，d 越小，引起的附加误差也越大.其附加误差的大小可由下式确定: 1E λλλ'''-'=='' （4-7） 由（4-7）式可知，为了尽可能减小由于α而引起的附加误差，应使d 尽可能大，然而d 的增大是有限度的，因为随着d 的增大，等倾干涉的环状条纹间距细而密圆环半径小不利于观测，另一方面通过适当选择测量区间，也可对附加误差加以限制. d 下限分析与估算 设附加误差E 'ε≤(小正数)由（4-7 ）式有1ε≤ 展开后略去小量有 :d ≥ （4-8） 其中l 由仪器元件的相对位置而定，根据误差要求而人为规定，倾角α可由观察屏上两重合相干光的圆斑直径和所含条纹数而定.设圆斑直径为D ，条纹数为n ，相干光波长为λ，则倾角a 可表为: 2n D λα= (4-9) 把（4-9）代入（4-8）式可得d 的 下限： min d = （4-10） 下面对d 的最小值进行估算，取波长为632.8nm ，对实验室常用迈克尔逊型干涉仪l 为0.5-1米，而在1一2米的距离上，两相干激光圆斑直径约为4mm,把 l =1m, D=4mm, λ=632.8nm 代入（4-10）得 min d = （4-11） 若当n=2,ε=0.0001时，m i n d =5.6 mm;当 n=2,ε=0.001时min d =1.8mm.把附加误差控制到小 于千分之一时，对应的d 定为下限较合适。此时可 取min 2d mm = d 上限分析与估算 如图10，0p 为中央点，1p 为第一环位置，R 为第一环半径，o p 点光程差为02d ?= 1p 点两相干光的光程差为1?= （4-12） 在L>>R 时，化简得2111212(2)d R L L d ???=-??+?? （4-13） 由于中央明环(或暗环)与第一级暗环(或明环)之间级数相差 2λ，故附加程差为：2101(2) dR L L d ?-?=+ 2λ≤ （4-14） 即d 的上限由下式确定2212M d L R L λ λ=- 对其估算，L=1m,λ=632.8nm 则 2316.4()0.6328 d mm R =- （4-15） 对于给定的R,可求得d ，如下表 表1 d 与R 关系 由上表可知,d 越大，半径越小，为了便于人眼观察，半径 R 取适中为好，通常取R=3mm ，对应的d = 37.87mm,由此定d 的上限为M d =40mm(可根据所用仪器定)从 实验所用干涉仪可知，d=0时.对应的2M 的位置0x =30.30mm ，则干涉仪最佳测量 上限为0M x x d ≤+=30.30+40=70.30mm 实验数据及处理 表2 e e H N -激光器波长及相对误差 N=100 当d=90mm 时,测得的数据计算表明最高误差达到5% ,由于动镜M 2可移动到1M '下方，同样下方也会出现一最佳测量区域，和上方基本相同。但由于导轨限制实际测量时到20mm 左右， M 2就不能移动了。通过实验还发现，屏上有几个条纹时误差相对的大些，实际在40-60mm 范围测得效果更好。 综上所述，总结以上理论分析和数据实例，为了减小测量结果的系统误差、偶然误差和因方法不当及仪器状态不佳而引人的误差，应充分注意手轮转动的速度均匀缓慢及方向一致;保证测量条纹反转变化数N 的准确性;选择测量最佳区间时，应使两反射镜之间距离为:32mm ≤ x ≤70mm 。在此区间测得波长较理想。 结论：若d=0对应的标尺位置为0x ,则最佳测量区间可表示为 2mm+0x ≤ x ≤0x +40mm 或0x -40mm ≤x ≤0x -2mm 这样既便于人眼观察，又可保证由于两反射镜之间可有微小倾角而产生的附加误差小于千分之一。 致谢：本文从拟定题目到定稿，历时数月。在本论文完成之际，首先要向我的指导老师拾景忠老师致以诚挚的谢意。在论文的写作过程中，拾老师给了我许许多多的帮助和关怀。拾老师学识渊博、治学严谨，待人平易近人，在拾老师的悉心指导下，我获益非浅；同时他对工作的积极热情、认真负责、有条不紊、实事求是的态度，给我留下了深刻的印象，使我受益颇多。在此我谨向拾老师表示衷心的感谢和深深的敬意。 同时，我要感谢我们学院给我们授课的各位老师，正是由于他们的传道、授业、解惑，让我学到了专业知识，并从他们身上学到了如何求知治学、如何为人 处事。我也要感谢我的母校徐州师范大学，是她提供了良好的学习环境和生活环境，让我的大学生活丰富多姿，为我的人生留下精彩的一笔。 另外，衷心感谢我的同窗同学们，在我毕业论文写作中，与他们的探讨交流使我受益颇多；同时，他们也给了我很多无私的帮助和支持，我在此深表谢意。 参考文献 [1] 陈怀琳,邵义全.通物理实验指导（光学）.北京:北京出版社.1998.121—152 [2]杨述武.普通物理实验.(光学部分).北京：高教出版社.2003.156-166 [3] 邬云文,周小清,叶伏清.迈氏干涉仪实验中的几个问题.吉首大学学报. 2003.12.24(4).84-86 [4] 郭立群,赵英.干涉仪实验中的三个问题.大学物理实.2002.6.15(2).40—41 [5] 陈莹梅,陈国强,黄世光.迈克尔逊干涉实验常见问题的分析与处理.韶关学院 学报(自然科学版）.2005.3.26(3).130-133 [6] 曹文娟,尹姝媛,宋修法.迈克尔逊干涉仪实验中的定域与非定域干涉.大学物 理实验.2002.3.15(1).31-33 [7]谢永安.迈克尔逊干涉仪测波长的误差简析及最佳测量区间的选择.玉溪师专 学报（自然科学版）.1996.12(6).522-525 [8] 马雪莲,刁永锋.迈克尔逊干涉仪测波长的最佳区间的讨论.重庆工学院学报 2002 .16(4)