专题--空间几何体

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2011·杭州模拟)空间四条直线a ，b ，c ，d 满足a ⊥b ，b ⊥c ，c ⊥d ，d ⊥a ，则必有( ) A ．a ⊥c B ．b ⊥d C ．b ∥d 或a ∥c

D ．b ∥d 且a ∥c

解析：由空间直线的位置关系可得． 答案：C

2．(2011·温州八校联考)已知三个平面α、β、γ，若β⊥γ，且α与γ相交但不垂直，a ，b 分别为α，β内的直线，则( )

A ．?a ?α，a ⊥γ

B ．?a ?α，a ∥γ

C ．?b ?β，b ⊥γ

D ．?b ?β，b ∥γ

解析：C 、D 显然不对，α与γ相交但不垂直，排除A ，选B. 答案：B

3．(2011·丽水模拟)半径为3的球内接正四面体的体积为( ) A.83

B.433 C ．2

D.1639

解析：设正四面体所在的正方体棱长为a ，正方体外接球半径为R ＝3，则由3a ＝2R 得a ＝2，正四面体的体积为a 3－4×16a 3＝13a 3＝8

3

.

答案：A

4．(2011·萧山模拟)一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为( )

A ．6 3

B ．8

C ．8 3

D ．12

解析：设正三棱柱的底面正三角形边长为a ，高为h ，则32a ＝23，a ＝4，由34

a 2h ＝123，则h ＝3，故三棱柱的侧视图的面积h ×23＝6 3.

答案：A

5．(2011·温州模拟)已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，给出下列命题：①若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β；②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；③若n ，m 为异面直线n ?α，n ∥β，m ?β，m ∥α，则α∥β，其中正确命题的个数是( )

A ．3个

B ．2个

C ．1个

D ．0个

解析：②三点在平面β的异侧，则相交． 答案：B

6．(2011·杭州模拟)一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为12π＋85

3，

则正视图中x 的值为( )

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

解析：由图可知，该几何体上部为正四棱锥，四棱锥的高为32－22＝5，底面正方形的边长为22；下部为圆柱，圆柱的高为x ，底面圆的直径为4.V 四棱锥＝13×(22)2×5＝85

3，

V 圆柱＝π×22×x ＝4πx ，V 四棱锥＋V 圆柱＝853＋4πx ＝85

3

＋12π，所以x ＝3.

答案：C

7．四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，AB ＝3，AD ＝PA ＝2，PD ＝22，∠PAB ＝60°，则异面直线PC 与AD 所成的角的余弦值为( )

A.12

B.21111

C.32

D.33

解析：如图，∵AD ∥BC ，∴∠PCB 为异面直线PC 与AD 所成的角．

∵PD 2＝PA 2＋AD 2，∴AD ⊥PA ，再由底面ABCD 是矩形，得AD ⊥AB ，∴AD ⊥平面PAB ，

∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PB ，即∠PBC ＝90°，PB 2＝PA 2＋AB 2－2PA ·AB cos60°＝7，PC 2＝PB 2＋BC 2＝11，∴cos ∠PCB ＝21111

.

答案：B

8．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )

A.13

B.23 C ．1

D ．2

解析：由所给三视图知，对应的几何体为一放倒的直三棱柱ABC －

A ′

B ′

C ′(如右图所示)，其高为2，底面ABC 满足：AB ⊥AC ，AB ＝2，AC ＝1，故该几何体的体积为V ＝S △ABC ·AA ′＝????12×2×1×2＝ 1.

答案：C

9.(2011·北京西城)如图，平面α⊥平面β，α∩β＝l ，A ，C 是α内不同的两点，B ，D 是β内不同的两点，且A ，B ，C ，D ?直线l ，M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．下列判断正确的是( )

A ．当|CD |＝2|A

B |时，M ，N 两点不可能重合

B ．M ，N 两点可能重合，但此时直线A

C 与l 不可能相交

C ．当AB 与C

D 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交 D ．当AB ，CD 是异面直线时，直线MN 可能与l 平行

解析：当M ，N 重合时，四边形ACBD 为平行四边形，故AC ∥BD ∥l ，此时直线AC 与l 不可能相交，B 正确，易知A ，C ，D 均不正确．

答案：B

10．(2011·重庆高考)高为2的四棱锥S －ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为( )

A.

10

2

B.

2＋3

2

C.32

D. 2

解析：设题中的球的球心为O ，球心O 与顶点S 在底面ABCD 上的射

影分别是O 1，E ，则有OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝OS ＝1，点O 1是底面正方形ABCD 的中心，OO 1∥SE ，且OO 1＝OA 2－O 1A 2＝

12－(

22)2＝2

2

，SE ＝ 2.在直角梯形OO 1ES 中，作OF ⊥SE 于点F ，则四边形OO 1EF 是矩形，EF ＝OO 1＝22，SF ＝SE －EF ＝2－22＝22.在Rt △SOF 中，OF 2＝OS 2－SF 2＝1－(22)2＝1

2

，即O 1E ＝

22

. 在Rt △SO 1E 中，SO 1＝O 1E 2＋SE 2＝(

22)2＋(2)2＝102

. 答案：A

二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分．请把正确答案填在题中横线上) 11.如图，直四棱柱ABCD －A

1B 1C 1D 1的高为3，底面是边长为4且∠DAB ＝60°的菱形，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，则二面角O 1－BC －D 的大小为 .

解析：如图，过O 作OF ⊥BC 交BC 于F ，连接O 1F ， ∵OO 1⊥平面AC ， ∴BC ⊥O 1F ，

∴∠O 1FO 是二面角O 1－BC －D 的平面角． ∵OB ＝2，∠OBF ＝60°，

∴OF ＝ 3.在Rt △O 1OF 中， tan ∠O 1FO ＝OO 1OF ＝3

3

＝3，

∴∠O 1FO ＝60°，即二面角O 1－BC －D 的大小为60°. 答案：60°

12．如图，在正三棱锥A －BCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ，且BC ＝1，则正三棱锥A －BCD 的体积是 .

解析：易得AC ⊥DE ，AC ⊥BD ，从而AC ⊥面ABD ，V A －BCD ＝1

3

S

△ABD

·AC ＝16AB ·AD ·AC ＝224.

答案：

2

24

13．(2011·兰溪模拟)已知△ABC 的斜二测直观图是边长为2的等边△A ′B ′C ′，那么原△ABC 的面积为________．

解析：如图：作C ′D ′平行于y ′轴，交x ′轴于D ′，

在△A ′D ′C ′中，由正弦定理得：

a sin 2π3＝2sin π4?a ＝6?S △ABC ＝1

2×2×26＝2 6. 答案：2 6

14．(2011·福建宁德三县市联考)一简单组合体的三视图及尺寸如图所示(单位：cm)，则该组合体的表面积为________ cm 2.

解析：该组合体的表面积为：2S 正视图＋2S 侧(视图＋2S 俯视图＝12 800 cm 2. 答案：12 800 cm 2

15．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积等于________．

解析：在△ABC 中AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，可得BC ＝23，由正弦定理，可得△

ABC 外接圆半径r ＝2，设此圆心为O ′，球心为O ，在Rt △OO ′B 中，易得球半径R ＝5，故此球的表面积为4πR 2＝20π.

答案：20π

16．如下图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，其中A 1B 1＝2，AA 1＝4，则该几何体的表面积为 .

解析：因为该几何体的俯视图是三角形，所以，几何体的底面一定是三角形；几何体的侧视图的形状是长方形，所以，几何体的侧面是长方形；几何体的正视图是长方形，所以，几何体的正面是长方形；因此，这个几何体是直三棱柱，由已知A 1B 1＝2，AA 1＝4，则几何体的表面积S ＝12×2×2×3

2

×2＋2×4×3＝24＋2 3.

答案：24＋2 3

17．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．

①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱

解析：三棱锥、四棱锥和圆锥的正视图都是三角形，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观察者时其正视图是三角形，其余的正视图均不是三角形．

答案：①②③⑤

三、解答题(本大题共5小题，共72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

18．(本小题满分14分)(2011·北京海淀模拟)斜三棱柱ABC －

A 1

B 1

C 1中，侧面ACC 1A 1⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°.

(1)求证：BC ⊥AA 1；

(2)若M ，N 是棱BC 上的两个三等分点，求证：A 1N ∥平面AB 1M .

证明：(1)因为∠ACB ＝90°，所以AC ⊥CB .

又侧面ACC 1A 1⊥平面ABC ，且平面ACC 1A 1∩平面ABC ＝AC ，BC ?平面ABC ， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1，

而AA 1?平面ACC 1A 1，所以BC ⊥AA 1.

(2)连接A 1B ，交AB 1于O 点，连接MO ， 在△A 1BN 中，O 、M 分别为A 1B 、BN 的中点， 所以OM ∥A 1N .

又OM ?平面AB 1M ，A 1N ?平面AB 1M ， 所以A 1N ∥平面AB 1M .

19．(本小题满分14分)如图，在三棱柱ABC －A

1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，已知BC ＝1，∠BCC 1＝π

3

，BB 1＝2.

(1)求证：C 1B ⊥平面ABC ；

(2)试在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上确定一点E 的位置，使得EA ⊥EB 1. 解：(1)证明：因为AB ⊥侧面BB 1C 1C ，故AB ⊥BC 1， 在△BC 1C 中，BC ＝1，CC 1＝BB 1＝2，∠BCC 1＝π

3.

由余弦定理有

BC 1＝BC 2＋CC 21－2·BC ·CC 1·cos ∠BCC 1 ＝

1＋4－2×2×cos π

3

＝3，

∴BC 2＋BC 2

1＝CC 2

1，

∴C 1B ⊥BC .

而BC ∩AB ＝B 且AB ，BC ?平面ABC ， ∴C 1B ⊥平面ABC .

(2)由EA ⊥EB 1，AB ⊥EB 1，AB ∩AE ＝A ，AB ，AE ?平面ABE ， 从而B 1E ⊥平面ABE ，且BE ?平面ABE ， 故BE ⊥B 1E .

不妨设CE ＝x ，则C 1E ＝2－x ， 则BE 2＝x 2－x ＋1. 又∵∠B 1C 1C ＝23π，

则B 1E 2＝x 2－5x ＋7.

在直角三角形BEB 1中有x 2－x ＋1＋x 2－5x ＋7＝4，

从而x ＝1.

故当E 为CC 1的中点时，EA ⊥EB 1.

20．(本小题满分14分) (2011·杭州模拟)如图，平面PAD ⊥平面

ABCD ，ABCD 为正方形，∠PAD ＝90°，且PA ＝AD ，E 、F 分别是线段PA 、CD 的中点．

(1)求证：PA ⊥平面ABCD ；

(2)求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值．

解：(1)证明：由于平面PAD ⊥平面ABCD ，

且平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，

而∠PAD ＝90°，即PA ⊥AD ，且PA ?平面PAD ， 由面面垂直的性质定理得： PA ⊥平面ABCD .

(2)法一：取BC 的中点M ，连接EM 、FM ，则FM ∥BD ，∠EFM (或其补角)就是异面直线EF 与BD 所成的角．

设PA ＝2，则AD ＝DC ＝CB ＝BA ＝2， AM ＝

AB 2＋(1

2

BC )2＝5，

BD ＝AB 2＋AD 2＝22，

Rt △MAE 中，EM ＝EA 2＋AM 2＝6，同理EF ＝6， 又FM ＝1

2BD ＝2，

∴△MFE 中，由余弦定理得

cos ∠EFM ＝EF 2＋FM 2－ME 22EF ·FM ＝3

6

.

[理]法二：建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ， 设AB ＝2，则

A (0,0,0)，

B (2,0,0)，

C (2,2,0)，

D (0,2,0)，P (0,0,2)，

E (0,0,1)，

F (1,2,0)，

∵CB

＝(1,2，－1)， BD

＝(－2,2,0)，

∴cos β＝EF ·BD |EF |·|BD |＝36

. 21．(本小题满分15分) (2011·湖北高考)如图，已知正三棱柱ABC －

A 1

B 1

C 1的底面边长为2，侧棱长为32，点E 在侧棱AA 1上，点F 在侧棱BB 1上，且AE ＝22，BF ＝ 2.

(1)求证：CF ⊥C 1E ；

(2)求二面角E －CF －C 1的大小．

解：法一：(1)证明：由已知可得CC 1＝32，CE ＝C 1F ＝22＋(22)2＝23，EF 2＝AB 2

＋(AE －BF )2，

EF ＝C 1E ＝22＋(2)2＝6，

于是有EF 2＋C 1E 2＝C 1F 2，CE 2＋C 1E 2＝CC 21， 所以C 1E ⊥EF ，C 1E ⊥CE .

又EF ∩CE ＝E ，所以C 1E ⊥平面CEF . 由CF ?平面CEF ，故CF ⊥C 1E .

(2)在△CEF 中，由(1)可得EF ＝CF ＝6，CE ＝23， 于是有EF 2＋CF 2＝CE 2，所以CF ⊥EF . 又由(1)知CF ⊥C 1E ，且EF ∩C 1E ＝E ， 所以CF ⊥平面C 1EF .

又C 1F ?平面C 1EF ，故CF ⊥C 1F .

于是∠EFC 1即为二面角E －CF －C 1的平面角． 由(1)知△C 1EF 是等腰直角三角形， 所以∠EFC 1＝45°，

即所求二面角E －CF －C 1的大小为45°.

[理]法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得， A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)， C

1(0,2,32)，E (0,0,22)， F (3，1，2)．

(1)证明：1C E

＝(0，－2，－2)， CF

＝(3，－1，2)， 1C E ·CF ＝0＋2－2＝0.

所以CF ⊥C 1E .

(2) CF

＝(0，－2,22)，

设平面CEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，

由m ⊥CE ，m ⊥CF ，得???

m ·CE

＝0，

m ·

CF

＝0，

即??? －2y ＋22z ＝0，3x －y ＋2z ＝0，

解得???

y ＝2z ，x ＝0.

可取m ＝(0，2，1)． 设侧面BC 1的一个法向量为n ，

由n ⊥CB ，n ⊥1CC ，及CB

＝(3，－1,0)， 1CC

＝(0,0,32)，可取n ＝(1，3，0)．

设二面角E －CF －C 1的大小为θ，于是由θ为锐角可得 cos θ＝|m·n ||m ||n |＝63×2＝22，所以θ＝45°.

即所求二面角E －CF －C 1 大小为45°.

22．(本小题满分15分) (2011·重庆高考)如图，在四面体ABCD

中，平面ABC ⊥平面ACD ，AB ⊥BC ，AD ＝CD ，∠CAD ＝30°.

(1)若AD ＝2，AB ＝2BC ，求四面体ABCD 的体积；

(2)若二面角C －AB －D 为60°，求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值．

解：(1)如图所示，设F 为AC 的中点，连接FD ，

由于AD ＝CD ， 所以DF ⊥AC .

又由平面ABC ⊥平面ACD ， 知DF ⊥平面ABC ，

即DF 是四面体ABCD 的面ABC 上的高， 且DF ＝AD sin30°＝1，AF ＝AD cos30°＝ 3. 在Rt △ABC 中，因AC ＝2AF ＝23，AB ＝2BC ， 由勾股定理易知BC ＝2155，AB ＝4155

.

故四面体ABCD 的体积V ＝13·S △ABC ·DF ＝13×12×4155×2155＝4

5

.

(2)法一：如图所示，设G ，H 分别为边CD ，BD 的中点，则FG ∥AD ，GH ∥BC ，从而∠FGH 是异面直线AD 与BC 所成的角或其补角．

设E 为边AB 的中点，则EF ∥BC ， 由AB ⊥BC ，知EF ⊥AB .

又由平面ABC ⊥平面ACD ，AD ＝CD .F 为AC 的中点， 易得DF ⊥平面ABC ，

故由三垂线定理知DE ⊥AB .所以∠DEF 为二面角C －AB －D 的平面角．

由题设知∠DEF ＝60°.

设AD ＝a ，则DF ＝AD ·sin ∠CAD ＝a 2

.

在Rt △DEF 中，EF ＝DF ·cot ∠DEF ＝a 2·33＝3

6a ，

从而GH ＝12BC ＝EF ＝3

6

a .

因Rt △ADE ≌Rt △BDE ，故BD ＝AD ＝a ， 从而，在Rt △BDF 中，FH ＝1

2BD ＝a 2

.

又FG ＝1

2AD ＝a 2，从而在△FGH 中，因FG ＝FH ，

由余弦定理得

cos ∠FGH ＝FG 2＋GH 2－FH 22FG ·GH ＝GH 2FG ＝3

6.

因此，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为

3

6

. [理]法二：如图所示，过F 作FM ⊥AC ，交AB 于M ，已知

AD ＝CD ，平面ABC ⊥平面ACD ，易知FC ，FD ，FM 两两垂直．以F 为原点，射线FM ，FC ，FD 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系F －xyz .

不妨设AD ＝2，由CD ＝AD ，∠CAD ＝30°，易知点A ，C ，D 的坐标分别为A (0，－3，

0)，C(0，3，0)，D (0,0,1)，则AD

＝(0，3，1)．

显然向量k ＝(0,0,1)是平面ABC 的一个法向量．

已知二面角C －AB －D 为60°，故可取平面ABD 的一个单位法向量n ＝(l ，m ，n )，使得〈n ，k 〉＝60°，

从而n ＝12

.

由n ⊥AD ，有3m ＋n ＝0，从而m ＝－36

.

由l 2＋m 2＋n 2＝1，得l ＝±6

3.

设点B 的坐标为B (x ，y,0)，由AB ⊥BC ，n ⊥AB ，取l ＝6

3

，有工科

?????

x 2

＋y 2

＝3，63

x －3

6(y ＋3)＝0，解之得

???

x ＝469，y ＝739，

或?

??

x ＝0，y ＝－3(舍去)．

易知l ＝－

6

3

与坐标系的建立方式不合，舍去． 因此点B 的坐标为B (469，73

9

，0)．

(46，－23

，

立体几何空间角

D C 1 A 1 B 1 C 1 D B C A D 立体几何专题----空间角 知识点归纳 1、异面直线所成的角 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′ 与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角). a b 注1：异面直线所成的角的范围( 0O , 90O ] 注2：如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b 注3：在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等) 2 、直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 （1）一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 （2）一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0 ?的角 （3）直线和平面所成角的范围是[0?，90?] 3、二面角: 如右图在二面角的棱l取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则 叫做二面角的平面角. 注：①二面角的平面角的大小与O点位置_____ _。 ②二面角的平面角的范围是_______ 。 ③平面角为______的二面角叫做直二面角。 试题探究： 1、如图：表示正方体 1 1 1 1 D C B A ABCD-， 求异面直线 1 1 CC BA和所成的角。 2、空间四边形ABCD中，2 AD BC ==，,E F分别是, AB CD的中点，3 EF=， 求异面直线, AD BC所成的角。 3、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中，试求直线 1 BD与平面ABCD所成的角. 4、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中，求直线 11 A C与截面 11 ABC D所成的角. 5、将一副三角板如图拼接,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,∠BDC=60°,且平面ABC⊥平面BCD, (1)求证:平面ABD⊥平面ACD;(2)求二面角A-BD-C的正切值;(3)求异面直线AD与BC所成角的余弦值. a′O b′ a P α O A O A B D C A 1 B 1 C 1 D A F E D B A B D B 1 A 1 C 1 D 1

2020高考数学专题复习----立体几何专题

空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0

的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。

空间立体几何练习题(含答案)

第一章 空间几何体 [基础训练A 组] 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A B 2 C ． 5．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周， 则所形成的几何体的体积是（ ） A. 92π B. 72π C. 52π D. 32 π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题 1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。 3．正方体1111ABCD A BC D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。 4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。 5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长 方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题 1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用） ，已建的仓库的 主视图 左视图 俯视图

专题37 空间几何体(知识梳理)(新高考地区专用)(解析版)

专题37 空间几何体（知识梳理） 一、空间几何体 1、空间几何体的基本定义 如果只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，则这个空间部分就是一个几何体。 围成体的各个平面图形叫做体的面；相邻两个面的公共边叫做体的棱；棱和棱的公共点叫做体的顶点。 几何体不是实实在在的物体。 平面的特性：无限延展、处处平直、没有其他性质(如厚度、大小、面积、体积、重量等)。 例1-1．下列是几何体的是( )。 A 、方砖 B 、足球 C 、圆锥 D 、魔方 【答案】C 【解析】几何体不是实实在在的物体，故选C 。 例1-2．判断下列说法是否正确： (1)平静的湖面是一个平面。 (×) (2)一个平面长3cm ，宽4cm 。 (×) (3)三个平面重叠在一起，比一个平面厚。 (×) (4)书桌面是平面。 (×) (5)通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内。 (√) 【解析】平面可以看成是直线平行移动形成的，所以直线通过改变其位置，可以放在某个平面内。 (6)平行四边形是一个平面。 (×) (7)长方体是由六个平面围成的几何体。 (×) (8)任何一个平面图形都是一个平面。 (×) (9)长方体一个面上任一点到对面的距离相等。 (√) (10)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线。 (×) (11)平面是绝对平的，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念。 (√) 例1-3．下列说法正确的是 。 ①长方体是由六个平面围成的几何体；②长方体可以看作一个矩形ABCD 上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形D C B A ''''所围成的几何体；③长方体一个面上的任一点到对面的距离相等。 【答案】②③ 【解析】①错，因长方体由6个矩形(包括它的内部)围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别； ②正确；③正确。 [多选]例1-4．下列说法正确的是( )。 A 、任何一个几何体都必须有顶点、棱和面 B 、一个几何体可以没有顶点 C 、一个几何体可以没有棱 D 、一个几何体可以没有面

高考数学复习-第十二讲--立体几何之空间角

第十二讲 立体几何之空间角 一、基本知识回顾 空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 1） 异面直线所成角 1.022.π??? ? ???????????范围：，平移相交（找平行线替换）求法：向量法??? ??20π， 2） 直线与平面所成角 1.π???????????????? 范围0，2定义2.求法向量法?? ? ? ??2,0π n m n m ??=arcsin θ 若n m ⊥则α//a 或α?a 若n m //则α⊥a 3） 二面角[]1.0.2.π??? ?????? ?? ???? ???? ?????? 范围：定义法（即垂面法）作二面角平面角的方法：三垂线定理及逆定理垂线法 直接法3.求二面角大小的方法射影面积法向量法 θcos S S =' (S 为原斜面面积,S '为射影面积,θ为斜面与射影所成锐二面角的平面 角) 当θ为锐角时，n m n m ??=arccos θ 当θ为锐角时，n m n m ??-=arccos πθ

二、例题讲解 1.在正三棱柱 111 ABC A B C -中，若 1 2, AB BB =求 1 AB与B C 1 所成的角的大小。 解：法一：如图一所示， 设O为C B 1 、B C 1 的交点，D AC 为的中点，则所求角是DOB ∠。 设 1 ,2 BB a AB a == 则，于是在DOB ?中， 1 222 1 1336 ,2, 2222 13 ,, 2 OB BC a BD a a OD AB a BD OB OD ==== ===+ 即90, DOB ∠=?∴? = ∠90 DOB 法二：取 11 A B的中点O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系, xyz O-AB 2 1 的长度单位，则由

高考数学专题复习立体几何专题空间角

立体几何专题：空间角 第一节：异面直线所成的角 一、基础知识 1.定义： 直线a 、b 是异面直线，经过空间一交o ，分别a ?//a ，b ?//b ，相交直线a ?b ?所成的锐角（或直 角）叫做 。 2.范围： ?? ? ??∈2,0πθ 3.方法： 平移法、问量法、三线角公式 （1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a 、b 的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。 （2）向量法： 可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式b a = ><=,cos cos θ 求出来 方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出 b a ? 代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量 ),,(111z y x a = ),,(222z y x b =2 2 22222 1 2 12 12 12121cos z y x z y x z z y y x x ++++++= ∴θ （3）三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦 即：θθθcos cos cos 2 1= 二、例题讲练 例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱 1111ABCD A B C D -中， 12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为 例2、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=a ，BC=)(b a b >,AA 1= c ，求异面直线D 1B 和AC 所成 的角的余弦值。 方法一：过B 点作 AC 的平行线（补形平移法） A B 1 B 1 A 1D 1 C C D

专题29 空间几何体的表面积与体积知识点

一、柱体、锥体、台体的表面积 1．旋转体的表面积 2．多面体的表面积 多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积. 棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系： 二、柱体、锥体、台体的体积 1．柱体、锥体、台体的体积公式

2．柱体、锥体、台体体积公式间的关系 3．必记结论 （1）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差； （2）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等. 三、球的表面积和体积 1．球的表面积和体积公式 设球的半径为R ，它的体积与表面积都由半径R 唯一确定，是以R 为自变量的函数，其表面积公式为 24πR ，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为3 4π3 R . 2．球的切、接问题（常见结论）

（1）若正方体的棱长为a ，则正方体的内切球半径是 12a ；与正方体所 ． （2）若长方体的长、宽、高分别为a ，b ，h （3）若正四面体的棱长为a ；与 ． （4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径． （5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高． 1．一个正方体的体积为8，则这个正方体的内切球的表面积是 A ．8π B ．6π C ．4π D ．π 2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 A ．60 B ．72 C ．81 D ．114 3．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．π B ． 3π4 C ． π 2 D ．π4

文科立体几何面角二面角专题-带答案

文科立体几何线面角二面角专题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 2．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． 3．（2018年浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．

（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1； （Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值． 4．如图，在三棱柱中，点P，G分别是，的中点，已知⊥平面 ABC，==3，==2. （I）求异面直线与AB所成角的余弦值； （II）求证：⊥平面； （III）求直线与平面所成角的正弦值. 5．如图，四棱锥，底面是正方形，，，，分别是，的中点.

（1）求证； （2）求二面角的余弦值. 6．如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等.，，分别为棱，，的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求直线与直线所成角的正弦值. 7．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠AB D=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF． （Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BDEF； （Ⅱ）若二面角C BF D的大小为60°，求CF与平面ABCD所成角的正弦值． 8．如图，在四棱锥中，平面，，，

，点是与的交点，点在线段上，且. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 9．在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，，， （1）求证：平面平面； （2）设为线段上一点，，求二面角的平面角的余弦值. 10．如图，在多面体中，四边形为等腰梯形，，已知，，，四边形为直角梯形，，. （1）证明：平面，平面平面；

(完整版)空间向量与立体几何题型归纳

空间向量与立体几何 1, 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VADL底面ABC (1)证明AB丄平面VAD (2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形，侧棱PA丄底面ABCD AB骑, BC=1 , PA=2, E为PD的中点. (1)求直线AC与PB所成角的余弦值; (2)在侧面PAB内找一点N使NE!平面PAC并求出N点到AB和AP的距 离.(易错点，建系后，关于N点的坐标的设法，也是自己的弱项)

3. 如图，在长方体 ABCD-ABCD 中，AD=AA=1, AB=2,点E 在棱 AB 上移动. 证明：DE 丄AD; 当E 为AB 的中点时，求点 A 到面ECD 的距离; 7T AE 等于何值时，二面角 D — EC- D 的大小为-(易错点：在找平面DEC 的法向量的时候，本 来法向量就己经存在了 ，就不必要再去找，但是我认为去找应该没有错吧 ，但法向量找出来了 ， 和 那个己经存在的法向量有很大的差别 ，而且，计算结果很得杂，到底问题出在哪里?) 4. 如图，直四棱柱 ABCD — A I B I C I D I 中，底面ABCD 是等腰梯形，AB // CD , AB = 2DC =2, E 为BD i 的中点，F 为AB 的中点，/ DAB = 60° (1)求证：EF //平面 ADD 1A 1; ⑵若BB 1 ~2-，求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值. N ： 5 题到 11 题都是运用基底思想解题 5. 空间四边形 ABCD 中, AB=BC=CD AB 丄BC, BC 丄CD , AB 与CD 成60度角，求AD 与BC 所 成角的大小。 (1) (2) (3) A B

空间几何体专题复习

空间几何体专题 第1讲 空间几何体(文/理) 热点一 三视图与直观图 例1 (1)(·课标全国甲)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π (2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( ) 答案 (1)C (2)D 解析 (1)由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l ＝(23)2＋22＝4，所以圆锥的侧面积为S 锥侧 ＝1 2 ×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S 柱侧 ＝4π×4＝ 16π，所以组合体的表面积S ＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C. (2)所得几何体的轮廓线中，除长方体原有的棱外，有两条是原长方体的面对角线，它们在侧视图中落在矩形的两条边上，另一条是原长方体的体对角线，在侧视图中体现为矩形的自左下至右上的一条对角线，因不可见，故用虚线表示，由以上分析可知，应选D. 思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到

的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果． 跟踪演练1(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是() (2)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是() 答案(1)D(2)B 解析(1)由俯视图，易知答案为D. (2)由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组合．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形． 热点二几何体的表面积与体积 空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割

空间几何体复习

空间几何体复习 文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]

空间几何体复习资料 一、空间几何体的类型 1、多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台 2、旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球 3、简单组合体的构成形式： 一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图中（1）（2）物体表示的几何体；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图中（3）（4）物体表示的几何体。 例1、下列各组几何体中是多面体的一组是（） A 三棱柱四棱台球圆锥 B 三棱柱四棱台正方体圆台 C 三棱柱四棱台正方体六棱锥 D 圆锥圆台球半球 例2、下图是由哪个平面图形旋转得到的（） A B C D 二、几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征

（1）棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 （2）棱柱的分类： 棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长 方体正四棱柱正方体 （3）性质： Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等； （4）棱柱的面积和体积公式 ch S 直棱柱侧（c 是底周长，h 是高） S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h 2 、棱锥的结构特征 （1）棱锥的定义 ①棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ②正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 （2）正棱锥的结构特征 棱长都底面是正方底面是侧棱垂直于 底面是平行底面是四边 图1-1 棱

立体几何复习专题(空间角)(学生卷)

专题一：空间角 一、基础梳理 1.两条异面直线所成的角 （1）异面直线所成的角的范围：(0, ]2 π 。 （2）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥。 （3）求异面直线所成的角的方法： （1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。 平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。 2．直线和平面所成的角（简称“线面角”） （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。 一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0?角。 直线和平面所成角范围：[0， 2 π]。 （2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。 （3）公式：已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角， 且a 上的射影c 与b 相交成?2角， 则有θ??cos cos cos 21= 。 内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直 线所成角中最小的角。 3．二面角 （1）二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--。 （2）二面角的平面角： 过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内．．．．．． 作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角 l αβ--的平面角。 说明：①二面角的平面角范围是[]0,π，因此二面 角有锐二面角、直二面角与钝二面角之分。 ②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角， 组成直二面角的两个平面互相垂直。 （3）二面角的求法：（一）直接法：作二面角的平面角的作法：①定义法；②棱的垂面法；③三垂线定理或逆定理法；（注意一些常见模型的二面角的平面角的作法） （二）间接法：面积射影定理的方法。 （4）面积射影定理： 面积射影定理：已知ABC ?的边BC 在平面α内，顶点A α?。设ABC ?的面积为S ，它在平 ?2?1c b a θP αO A B l B' O' A' B O A βα

空间几何体的三视图、表面积、体积专题练习

空间几何体的三视图、表面积、体积专题练习（宋） 1、若一个几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且体积为1 2 ,则该几何体的俯视图是( ) 2. 3.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为2的正方形， 主视图与左视图是边长为2的正三角形，则其全面积是 A．8 B．12 C ．4(1D ． 4. A．1 4+ πB．1 3 4 + π C．8 3 4 + π D．8 4+ π 5. 如右图，已知一个锥体的正（主）视图，侧（左）视图和 俯视图均为直角三角形，且面积分别为3，4，6，则该锥 体的体积为 A．24B．8C．12D．4 6.如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视 图轮廓为正方形，则其体积是() A. 42 3 B. 43 3 C. 3 6 D. 8 3 俯视图

7.用大小相同的且体积为1的小立方块搭一个几何体，使它的主视图 和俯视图如右图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( ) A ．9与13 B ．7与10 C ．10与16 D ．10与15 8.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④ 9.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中 ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边 形，那么该几何体的侧视图的面积为 A.12 B.32 C.2 3 D.6 10. 如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的图象可能是（ ） 11.(2008年海南宁夏卷)某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a ＋b 的最大值为( ) A. 22 B. 23 C. 4 D. 2 5 12.如图，一个封闭的立方体，它的六个表面各标有A,B,C,D,E,F 这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位 置，则字母A,B,C 对面的字母分别为 ( ) (A) D ,E ,F ( B) F ,D ,E ( C) E, F ,D ( D) E, D,F 13.一个正三棱柱的三视图如下所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为（ ）. A. 2， B. 2 C. 4，2 D. 2，4 14如右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（ ）. （不考虑接触点） 主视图 正视图侧视图 俯视图 A 俯视图 左视图 正视图 俯视图 侧视图 C A

空间几何体复习资料

空间几何体复习资料 一、空间几何体的类型 1、多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台 2、旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球 3、简单组合体的构成形式： 一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图1.1-11中（1）（2）物体表示的几何体； 一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图1.1-11中（3）（4）物体表示的几何体。 例1、下列各组几何体中是多面体的一组是（ ） A 三棱柱 四棱台 球 圆锥 B 三棱柱 四棱台 正方体 圆台 C 三棱柱 四棱台 正方体 六棱锥 D 圆锥 圆台 球 半球 例2、下图是由哪个平面图形旋转得到的（ ） 二、几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 （1）棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 （2）棱柱的分类： 棱 图1-1 棱柱 简单组合体

柱 四棱柱 平行六面体 直平行六 面体长方体正四棱柱正方体 （3）性质： Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等； （4）棱柱的面积和体积公式 ch S =直棱柱侧（ c 是底周长，h 是高） S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h 2 、棱锥的结构特征 （1）棱锥的定义 ①棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ②正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 （2）正棱锥的结构特征 ①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比； ②正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； 正棱锥侧面积：1 '2 S ch = 正棱椎（c 为底周长，'h 为斜高） 体积：1 3 V Sh = 棱椎（S 为底面积，h 为高） 注：正三棱锥是锥体中底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。 正三棱锥不等同于正四面体，正四面体必须每个面都是全等的等边三角形。 正三棱锥的性质：1． 底面是等边三角形。 2． 侧面是三个全等的等腰三角形。3． 顶点在底面的射影是底面三角形的中心（也是重心、垂心、外心、内心）。 正四面体： 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 a 2 2 的正方体问题。 棱长都相等 底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是四边形 A B C D P O H

空间向量与立体几何专题(含答案)

2011届高考专题复习空间向量与立体几何 一、近年考情分析与2011年广东命题走势 纵观07-10广东试题，我们可以发现，此部分内容涉及试题数及分值为： 立体几何的复习要牢固树立以下的思维脉络：证线面垂直(或平行)，转化为证线线垂直(或平行)；证面面垂直(或平行)，转化为证线面垂直(或平行)或证线线垂直(或平行)． 二、广东考题剖析及热点题型讲析 热点1 空间几何体的结构、三视图、直观图 1．（08年广东5）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ） E F D I A H G B C E F D A B C 侧视 图1 图2 B E A ． B E B ． B E C ． B E D ．

2．（10年广东6）如图1,△ABC为正三角形,AA＇//BB＇//CC＇,CC＇⊥平面ABC且3AA＇=3 2 BB＇ =CC＇=AB,则多面体ABC-A＇B＇C＇的正视图(也称主视图)是 ( D ) 3.【2010·陕西文数】若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（） A.2 B.1 C. D. 【答案】B 本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱,所以其 体积为. 4.【2010·全国卷2理数】已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（） A.1 B. C.2 D.3 【答案】C

【解析】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.设底面边长为a ，则高 所以体积 ，设，则 ，当y 取最值时， ，解得a=0或a=4时，体积最大，此时 ，故选C. 5．如下图所示，四边形OABC 是上底为2下底为6，底角为45度的等腰梯形，由斜二侧画法，画出这个梯形的直观图O ’A ’B ’C ’，在直观图中梯形的高为（ C ） A 、 32 B 、1 C 、22 D 、12 6.（全国Ⅰ新卷理10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (A) 2a π (B) 2 73 a π (C) 2 113 a π (D) 25a π 【答案】B 解析：如图，P 为三棱柱底面中心，O 为球心，易知 2331,32AP a a OP a =?==，所以球的半径R 满足： 2222 317( )()3212 R a a a =+=，故2 2743 S R a ππ==球 ． 热点2 点线面的位置关系 空间点、线、面位置关系是立体几何中的重要关系，在高考中，选择题、填空题几乎年年考，且常以棱柱、棱锥、和正方体为背景，主要考查平面的基本性质、空间直线与直线、直线与

【精选】浙江专版高考数学二轮专题复习知能专练十三空间几何体的三视图表面积及体积

知能专练（十三） 空间几何体的三视图、表面积及体积 一、选择题 1．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( ) 解析：选C 注意到在三视图中，俯视图的宽度应与侧视图的宽度相等，而在选项C 中，其宽 度为 3 2 ，与题中所给的侧视图的宽度1不相等，因此选C. 2．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的 最大球的半径为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选B 该几何体为直三棱柱，底面是边长分别为6,8,10的直角三角形，侧棱长为12，故能得到的最大球的半径等于底面直角三角形内切圆的半径，其半径为r ＝2S a ＋ b ＋ c ＝ 2×1 2×6×86＋8＋10 ＝2，故选B. 3．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为 ( ) A ．4π B ．3π C ．2π D ．π 解析：选C 由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.

4．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体 积分别是( ) A ．45，8 B ．45， 8 3 C ．4(5＋1)， 8 3 D ．8,8 解析：选B 由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为 2，侧面上的斜高为 22＋12＝5，所以S 侧＝4×? ?? ??12×2×5＝45， V ＝1 3 ×22×2＝83 .5.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其 中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 ( )A ．10 B ．12 5.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯 形，这些梯形的面积之和为( ) A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 解析：选B 由三视图可知该多面体是一个组合体，如图所示，其下面是一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为 ＋ 2×2＝ 12，故选B. 6．如图，三棱锥V -ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正视图的 面积为2 3 ，则其侧视图的面积为( )

立体几何复习专题(空间角)

专题:空间角 一、基础梳理 1.两条异面直线所成的角 （1）异面直线所成的角的范围：(0, ]2 π 。 （2）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥。 （3）求异面直线所成的角的方法： （1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。 平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。 1：三棱柱111B A O OAB -，平面11O OBB ⊥平面OAB ， 90,601=∠=∠AOB OB O ，且12,OB OO == 3OA =，求异面直线B A 1与1AO 所成角的余弦。 2．直线和平面所成的角（简称“线面角”） （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。 一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0角。 直线和平面所成角范围：0， 2 π 。 （2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内 A B O 1A 1B 1O

经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。 （3）公式：已知平面的斜线a 与内一直线b 且a 与相交成 1 角，a 在上的射影c 与b 相交成2 角， 则有θ??cos cos cos 21= 。 由（3）中的公式同样可以得到：平面的斜线和它在平面 内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直 线所成角中最小的角。 考点二：直线和平面所成的角 例2. 如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，四 边形A ABB ''是菱形，四边形BCC B ''是矩形， C B AB ''⊥,02,4,60C B AB ABB '''==∠=， 求AC '与平面BCC B ''所成角的正切。 3：（1）在0 120的二面角P a Q --的两个面P 与Q 内分别有两点A B 、，已知点A 和点B 到棱的距离分别为2,4cm cm ，且线段10AB cm =。求： ①直线AB 和棱a 所成角的正弦值；②直线AB 和平面Q 所成角的正弦值。 A B C A ' B ' C ' ?2 ?1c b a θP α O A B

期末复习一 空间几何体

期末复习一 空间几何体 知识链接 旋转体：一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封 闭几何体（有曲面） ，如 、 、 。 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体（没有曲面）， 如： 、 、 。 2.棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的概念 3.多面体表面积公式 旋转体表面积公式：圆 、圆锥 、圆台 、球 。 体积公式：柱体 、锥体 、台体 、球 。 4.空间几何体的三视图： 、 、 。 空间几何体的直观图画法（斜二测画法），斜二测画法的步骤及注意点。 典型例题 例1.（1）右图是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的（ ） A ． B ． C. D. A ． B ． C ． D ． （2）正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥不可能是（ ） A ．三棱锥 B ．四棱锥 C ． 五棱锥 D.六棱锥 （3）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为４５ｏ ，腰和上底均为１的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ） A. 22+ B. 12 + C. 22 + D. 12+ 例2.（4）半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ） A. 3 3 R π B. 33 R π C. 35 R π D. 35 R π （5）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ） A.9π B.10π C.11π D ．12π 例3.直角梯形的一个底角为450，下底长为上底长的1.5倍，这个梯形绕下底所在的直线 旋转一周所成的旋转体的表面积是,)25(π+ 求这个旋转体的体积。 1.空间几何体 8 6 4 8 6 4 6 8 4 6 8 4 6 8 4 （第1题）

2021专题9 立体几何与空间向量(解析版)

专题9 立体几何与空间向量 从近几年的高考试题来看,所考的主要内容是: (1)有关线面位置关系的组合判断,试题通常以选择题的形式出现,主要是考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质; (2)有关线线、线面和面面的平行与垂直的证明,试题以解答题中的第一问为主,常以多面体为载体,突出考查学生的空间想象能力及推理论证能力; (3)线线角、线面角和二面角是高考的热点,选择题、填空题皆有，解答题中第二问必考,一般为中档题,在全卷的位置相对稳定，主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和转化与化归的应用能力. 预测2021年将保持稳定，一大二小.其中客观题考查面积体积问题、点线面位置关系（各种角的关系或计算）等；主观题以常见几何体为载体，考查平行或垂直关系的证明、线面角或二面角三角函数值的计算等. 一、单选题 1．（2020·山东高三下学期开学）设,,m n l 为三条不同的直线，,a β为两个不同的平面，则下面结论正确的是（ ） A ．若,,//m n αβαβ??，则//m n B ．若//,//,m n m n αβ⊥，则αβ⊥ C ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥ D ．//,//,,m n l m l n αα⊥⊥，则l α⊥ 【答案】C 【解析】 A 选项中，,m n 可能异面； B 选项中，,αβ也可能平行或相交；D 选项中，只有,m n 相交才可推出l α⊥. C 选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直. 故选：C 2．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知三棱锥D ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，2AB BC ==， AC =D ABC -体积的最大值为2，则球O 的表面积为( ) A ．8π B ．9π C ． 25π 3 D ． 1219 π 【答案】D 【解析】

届高三文科数学立体几何空间角专题复习

届高三文科数学立体几何空间角专题复习 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-

2015届高三文科数学立体几何空间角专题复习 考点1：两异面直线所成的角 例1.如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1 例2.（2010全国卷1文数）直三棱柱111ABC A B C -中，若 90BAC ∠=?，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的 角等于（ C ） (A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 90° 变式训练： 1.（2009全国卷Ⅱ文）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( C ) （A ） 1010 (B) 15 (C ) 31010 (D) 35 2.如图，直三棱柱111ABC A B C -，90BCA ?∠=，点1D 、1F 分别是11A B 、11A C 的中点， 1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（ ） A ． 1030 B ．21 C ．15 30 D ． 10 15 3.（2012年高考（陕西理））如图,在空间直角坐标系中有直三棱 111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为 （ ） A ． 55 B ． 53 C ． 5 5 D ．35 第3题图 第4题图 第5题图 4．(2007全国Ⅰ·文)如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线 1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）