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一年级 数阵图

一年级 数阵图
一年级 数阵图

数阵图

【题目】:

把1、2、3、4、5、6六个数填在下图的六个圆圈里(每个数

只能用一次),使每条直线上的三个数相加的和都等于10:

∕﹨

○○

∕﹨

○—○—○

【解析】:

首先算出六个圆圈里六个数的和:1+2+3+4+5+6=21;再算出三条直线上的三个10的总和:10+10+10=30。会发现30比21多9,多的9是怎么来的呢?因为每条边上都有三个数,我们算的三条边上的三个和的总和,就是9个数的和,其中三个顶点的三个数都计算了两遍,比原来的六个数多算了三个数,重复计算的三个顶点的三个数的和就是9。解决这个问题的关键就是算出三个顶点的三个数的和,再在1-6六个数中找出和是9的三个数,把三个顶点的数确定好。

在1、2、3、4、5、6六个数中,和为9,只有三种情况:

①1+2+6=9;②1+3+5=9;③2+3+4=9。

第①种情况不符合要求,因为两个顶点为1和2,要使这条边上三个数的和为10,这条边中间的数必须是7,而这六个数中没有7;

第③种情况也不符合要求,因为两个顶点为3和4时,要使这条边上三个数的和为10,这条边中间的数必须是3,那么3就出现了两次;

第②种情况是可以的,三个顶点分别填1、3、5,每条边中间的数对应的是6、2、4。

这种题型有时有多种答案,但,这题只有一种答案,就是第②种情况。

【题目】:

请你将下面的7快图形,拼成一个正方形,要求拼成的正方形,无论横行、竖行、斜行上的四个数的和都相等。

【解析】:

第一步:分析计算

这一题共有十六个数,首先确定每行每列都是四个数(题中

已有说明)。然后,算出这16个数的总和是120,每一行每一列四

个数的和应该是30。

第二步:操作活动

用硬纸板把题中的7块图形做成卡片,依据上面的计算结

果,实际拼一拼,找出答案。

四年级 数学试题 奥数第20讲 幻方与数阵图扩展 苏教版(2014秋) 无答案

第20讲幻方与数阵图扩展 内容概述 掌握幻方的概念,了解三、四阶幻方的构造方法;解决具有与幻方类似性质的数阵图问题;进一步学习重数分析的方法;通过计算重数来处理数阵图中的最大最小问题. 典型问题 兴趣篇 1. 把1,2,…,9填人图20-1中9个空白圆圈内,使得三个圆周及三条线段上3个数之和都相等. 2. (1)如图20-2,在3×3的方格表的每个方格中填入恰当的数,使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等. (2)如图20-3,在4×4的方格表的每个方格中填人恰当的数,使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等.

3.在图20-4所示的3×4方格表的每个方格中填人恰当的数后,可以使各行所填的数之和相等,各列所填的数之和也相等.现在一些数已经填出,标有符号“。”的方格内所填的数是多少? 4.如图20-5,请在空格中填人适当的数,组成一个三阶幻方. 5.请将图20-6所示的5×5方格表补充完整,使得每个方格内都有一个数字,并且具有如下的性质:方格表中每行,每列和每条对角线的5个方格内所填的5个数中,l、2、3、4、5恰好各出现一次.请问:标有符号“△”,“▽”和“○”

的方格中所填的数分别是什么?

6.请将1至9这9个数填入图20-7中的方框内,使得所有不等号都成立.所有满足要求的填法共有多少种? 7.请在图20-8所示的8个小圆圈内,分别填入1至8这8个数字,使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的数的差(大减小)恰好是1、2、3、4、5、6、7. 8.将1至5这5个数字填入图20-9中的小圆圈内,使得横线、竖线、大圆周上所填数之和都相等.

数阵图三讲解

数阵图三讲解 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】

第18讲数阵图(三) 数阵问题是多种多样的,解题方法也是多种多样的,这就需要我们根据题目条件灵活解题。 例1把20以内的质数分别填入下图的一个○中,使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等。 分析与解:由上图看出,三组数都包括左、右两端的数,所以每组数的中间两数之和必然相等。20以内共有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数,两两之和相等的有 5+19=7+17=11+13, 于是得到下图的填法。 例2在右图的每个方格中填入一个数字,使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1,2,3,4。 分析与解:如左下图所示,受列及对角线的限制,a处只能填1,从而b 处填3;进而推知c处填4,d处填3,e处填4,……右下图为填好后的数阵图。

例3将1~8填入左下图的○内,要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线连接的相邻的两个○内。 分析与解:因为中间的两个○各自只与一个○不相邻,而2~7中的任何一个数都与两个数相邻,所以这两个○内只能填1和8。2只能填在与1不相邻的○内,7只能填在与8不相邻的○内。其余数的填法见右上图。 例4在右图的六个○内各填入一个质数(可取相同的质数),使它们的和等于20,而且每个三角形(共5个)顶点上的数字之和都相等。 分析与解:因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○,又因为每个三角形顶点上的数字之和相等,所以每个三角形顶点上的数字之和为20÷2=10。10分为三个质数之和只能是2+3+5,由此得到右图的填法。 例5在右图所示立方体的八个顶点上标出1~9中的八个,使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k,并且k不能被未标出的数整除。 分析与解:设未被标出的数为a,则被标出的八个数之和为1+2+…+9-a=45-a。由于每个顶点都属于三个面,所以六个面的所有顶点数字之和为

人教版小学三年级数学第16讲 数阵图(一)

第16讲数阵图(一) 在神奇的数学王国中,有一类非常有趣的数学问题,它变化多端,引人入胜,奇妙无穷。它就是数阵,一座真正的数字迷宫,它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力,以至有些人留连其中,用毕生的精力来研究它的变化,就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。 那么,到底什么是数阵呢?我们先观察下面两个图: 左上图中有3个大圆,每个圆周上都有四个数字,有意思的是,每个圆周上的四个数字之和都等于13。右上图就更有意思了,1~9九个数字被排成三行三列,每行的三个数字之和与每列的三个数字之和,以及每条对角线上的三个数字之和都等于15,不信你就算算。 上面两个图就是数阵图。准确地说,数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形,有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图,可不是一件容易的事情。我们还是先从几个简单的例子开始。

例1把1~5这五个数分别填在左下图中的方格中,使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。 同学们可能会觉得这道题太容易了,七拼八凑就写出了右上图的答案,可是却搞不清其中的道理。下面我们就一起来分析其中的道理,只有弄懂其中的道理,才可能解出复杂巧妙的数阵问题。 分析与解:中间方格中的数很特殊,横行的三个数有它,竖列的三个数也有它,我们把它叫做“重叠数”。也就是说,横行的三个数之和加上竖列的三个数之和,只有重叠数被加了两次,即重叠了一次,其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9,所以 (1+2+3+4+5)+重叠数=9+9, 重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。 重叠数求出来了,其余各数就好填了(见右上图)。 例2把1~5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5),使两条直线上的三个数之和相等。

数阵图(一)(含详细解析)

1. 了解数阵图的种类 2. 学会一些解决数阵图的解题方法 3. 能够解决和数论相关的数阵图问题 . 一、数阵图定义及分类: 1. 定义:把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图. 2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图:即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3. 二、解题方法: 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手: 第一步:区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格); 第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的范围; 第三步:运用已经得到的信息进行尝试.这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学方法的综合运用. 模块一、封闭型数阵图 【例 1】 把1~8的数填到下图中,使每个四边形中顶点的数字和相等。 【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯,3年级,第6题 【解析】 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-1-3-1.数阵图

8 7 6 5 43 2 1 【答案】 8 7 6 5 43 2 1 【例 2】 将1~8这八个自然数分别填入下图中的八个○内,使四边形每条边上的三个数之和都等于14,且数 字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填? (1) 【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便,先在各圆圈内填上字母,如下图(2).由条件得出以下四个算式: (2)h g f e d c b a a+b+c=14(1) c+d+e=14 (2) e+f+g=14 (3) a+h+g=14 (4)由(1)+(3),得:a+b+c+e+f+g=28,(a+b+c+d+e+f+g+h )-(d+h )=28, d+h=(1+2+3+4+5+6+7+8)-28=8,由(2)+(4),同样可得b+f=8, 又1,2,3,4,5,6,7,8中有1+7=2+6=3+5=8. 又1要出现在顶点上,d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性,不妨设b=2,f=6,d=3,h=5. a ,c ,e ,g 可取到1,4,7,8 若a=1,则c=14-(1+2)=11,不在1, 4,7,8中,不行.

第十二讲巧填数阵图教师

第十二讲巧填数阵图 数学乐园 晶晶和莹莹来到了雪精灵国,天空中到处飘着洁白剔透的雪花,就像下面图中的样子.一个雪精灵告诉她们:“你们只要能够把1~7这七个数填在雪花的七个花瓣上,使每三个位于同一直线上的花瓣上的数之和都相等,你们就能见到雪精灵国的女王了.”你能帮她们填一填吗?. 【教学思路】在开课的时候,老师可通过故事引入,激发学生对填数游戏的兴趣.让学生初步感知什么是数阵.因为填数阵有一定的难度,所以在这里我们不需要马上让孩子完成这个题,可以放在最后来解决这个问题. 小朋友们,你喜欢这样的填数字游戏吗?要想准确的填出图中的每一个数,可不 是一件容易的事,这就要我们小朋友们认真去观察图,观察数字的排列规律,这样才能找到填图的方法.下面我们就一起来学习吧! 基础篇 使用数字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9做加法.在每一道题中,同一个数字不能重复出现. 数阵图是小学奥数中比较重要的一个知识点,现在我们把它放在一年级开始学习似乎有些过难.但这节课我们只是希望通过一些简单的填数字游戏,使学生初步感知到什么样的是 数阵,让学生用自己喜欢的方法来巧填数字,培养他们的思维能力.在鼓励学生去研究方法 的同时,教师引导学生去发现数阵的简单规律,以及填数阵的基本方法,通过找数阵中的关 键数来找到解题的钥匙.在今后的不断学习中,能把这种方法灵活应用到实际中去.

【教学思路】一般在解答这类填数问题时,把同一条边上出现两个数字的空格先填.之前我们已经有过这样的练习,学生有了一定的基础.这道题的答案不止一个,我们只要求学生能找到其中的一种就达到要求了. (1)右边两个圆的和应该是9,所以里可填(0,9)(2,7)(3,6). (2)告诉我们中间的数字是2,剩下两边上两个数字的和应该是9-2=7.0+7=1+6=3+4,所以剩下两边上两个数可以填(0,7),(1,6),(3,4) (3)7+6=13,15-13=2,所以第2条线中间填2.左边第一条线:15-7=8,0+8=3+5,数字不重复共两种填法.第三条线15-6=9,0+9=4+5,数字不重复共两种填法 (4)6+4=10,13-10=3,所以第2条线最下是3,.左边第一条线:13-6=7,0+7=2+5,数字不重复共两种解法.第三条线:13-3=10,1+9=2+8,数字不重复共两种解法.

趣味数学—数阵图与幻方

. Word文档三年级奥数 --数阵图与幻 知识框架 一、数阵图定义及分类: 定义:把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图. 数阵:是一种由幻演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图:即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 二、解题法: 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的法入手: 第一步:区分数阵图中的普通点(或格)和关键点(或格); 第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的围; 第三步:运用已经得到的信息进行尝试.这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学法的综合运用. 三、幻起源: 幻也叫纵横图,也就是把数字纵横排列成正形,因此纵横图又叫幻.幻起源于我国,古人还为它编撰了一些神话.传说在大禹治水的年代,的洛水经常大肆泛滥,无论怎样祭祀河神都无济于事,每年人们摆好祭品之后,河中都会爬出一只大乌龟,乌龟壳有九大块,横着数是3行,竖着数是3列,每块乌龟壳上都有几个点点,正好凑成1至9的数字,可是谁也弄不清这些小点点是什么意思.一次,大乌龟又从河里爬上来,一个看热闹的小孩惊叫起来:“瞧多有趣啊,这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加,结果都等于十五!”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神,说来也怪,河水果然从此不

再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻”,由于它有3行3列,所以叫做“三阶幻”,这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻.如下图: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 我国北时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解:“九宫者,二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央.”这段文字说明了九个数字的排列情况,可见幻在我国历史悠久.三阶幻又叫做九宫图,九宫图的幻民间歌谣是这样的:“四海三山八仙洞,九龙五子一枝连;二七六郎赏月半,围十五月团圆.”幻的种类还很多,这节课我们将学习认识了解它们. 四、幻定义: 幻是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的阵,具有这一性质的33 ?的数阵称作三阶幻,44 ?的数阵称作四阶幻,55 ?的称作五阶幻……如图为三阶幻、四阶幻的标准式样, 9 8 7 6 5 4 3 2 1 13 4 14 15 1 6 129 7 8105 11 3216 。 五、解决这幻常用的法: ⑴适用于所有奇数阶幻的填法有罗伯法.口诀是:一居上行正中央,后数依次右上连.上出框时往下 填,右出框时往左填.排重便在下格填,右上排重一个样. ⑵适用于三阶幻的三大法则有: ①求幻和:所有数的和÷行数(或列数) ②求中心数:我们把幻中对角线交点的数叫“中心数”,中心数=幻和÷3. ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2. 六、数独简介: 数独前身为“九宫格”,最早起源于中国。数千年前,我们的祖先就发明了洛书,其特点较之现在的数独更为复杂,要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15,而非简单的九个数字不能重复。

四年级数学巧填数阵图

巧填数阵图 课前练习: 1、用0、 2、5、8、9可以组成多少个不同数字的三位数 2、大小两个正方形对应边的距离为4厘米,两个正方形之间的部分面积为160平方 厘米,求小正方形的面积 3、在420为的环形跑道上,甲、乙两人同时同地起跑,如果同向而行1分钟10秒相遇,如果背向而行30秒相遇,已知甲比乙快,求甲乙的速度 4、哥哥和弟弟在同一所学校读书,哥哥每分钟走80米,弟弟每分钟走50米,有一天,弟弟先走12分钟,哥哥才出发,当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校,问他们家离学校有多远 学习新知 例1、把1—7这七个数分别填入下图的圆圈中,使得每条边上的三个数的和都等于12。

例2、把数字1——8分别地填入下图中的小圆圈内,使每个圆上的五个数的和都等于20。 例3、将1—6这六个数填入图中的圆圈中,要求四条直线上的数字之和都等于10,那么a是多少 例4、下图中有5个圆,它们相交后分成9个区域,现在两个区域里已经填上了11与7,请在另外的七个区域里分别填入2、3、4、5、6、9、10这七个数,使每个圈内的和都等于17。 课堂练习

1、把1—7这七个数分别填入下图的圆圈中,使得每条边上的三个数的和都等于14。 2、把数字1—8分别填入下图中的小圆圈内,使得每个圆上五个数的和都等于22。 3、把5—14这十个自然数分别填入下图中的圆圈中,使每个大圆上的六个数的和等 于55,求a+b等于多少 例1、4、下图中有5个圆,它们相交后分成9个区域,现在两个区域里已经填上了10与6,请在另外的七个区域里分别填入2、3、4、5、6、 7、9这七个数,使每个圈内的和都等于15。

五年级奥数数阵图与幻方

数阵图与幻方 知识集锦 数阵图是将一些数字按照一定要求排列而成的某些图形,数阵图可分为辐射型数阵图、封闭型数阵图和复合型数阵图三种形式。 幻方又叫魔方、九宫算或纵横图,它起源于我国上古时代,是一种具有奇妙性质的数字表格,在古代就有“河图”、“洛书”的传说。 在3×3的方格里,填上9个连续的自然数,使每行、每列、每条对角线上的3个自然数的和相等,这样的数字表格叫三阶幻方,相等的和叫做幻和。类似的还有四阶幻方、五阶幻方…… 例题集合 例1 把3、4、5、6、7这五个数字分别填入下图的五个方格中,使横 行、竖列三个数的和都是14。 练习1 将5、6、7、8、9这五个数分别填入下图中,使横行、竖列三个数的和都是21。 例2 将11~173个圆圈中的数之和都是40。

练习2 将1~13这十三个数分别填入下图的圆圈内,使每条线段上四个圆圈内的数字之和都是 47。 例3 把1、2、3、4、5、6填入下图的圆圈中,使每条边上三个数字的和都等于9。 练习3 如下图,在五个小圆圈内分别填上1、2、3、4、5这五个数,使每条直线上的三个数字 之和都相等。 例4 将1~8填入下图的圆圈内,使每个大圆周上的五个数之和是21。 练习4 将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字分别填入下图(每个数字只用一次),如果两个大圆圈上五个小圆圈内的数字之和都是22,那么A、B两个圆圈内不可能填()。 ①1和7 ②4和8 ③3和5 ④2和6

例5 如下图,将1~9这九个数字填在方格里,使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。 练习5 将4~12这九个数字填在下图所示的3×3的方格中,使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都相等。 例6 下图的九个小方格内各有一个数字,而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。 求x的值。 练习 6 如下图,九个小正方形内各有一个两位数,而且每行、每列及两条对角线上三个整数之和都相等。求x的值。 例7 将1、3、5、7、9、11、13、15、17这九个数字在下图中填写一个幻方(其中已填好一个数),求幻方和。 练习7 下图的每个空格中,填入不大于12且互不相同的八个自然数,使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。

数阵图典型题目讲解

数阵图典型题目讲解 【例1】:你能把1--6六个数字分别填入下图的六个圆圈中,使每一边三个数相加的和都等于11吗 ? 【分析】:因为每条边上的和都是11,所以三条边上的数字之和为11333?=,在三角形三个顶点上的数都重复算了两次,而12345621+++++=,所以三个角上的三个数之和是 332112-=。在16中,和是12的三个数有可能是156246345、、;,,;,,。但是当三个数是156、、时,我们发现在一条边上中点那个数找不到,所以删去。再通过我们的计算发现只有246、、的时候,才能满足条件,所以结果是: 13 56 42 【解法总结】:做数阵题目,我们的步骤是:①.先观察在图中有哪些格子重复了,重复了几次。 ②.根据题中给出的数字以及图形来发现重复的这几个数有什么特点。 ③.看看在给出的数中有哪些数符合我们特点,再通过试算,确定每个格子中的数。 【拓展】:在下图12个小圆圈中分别填入1--9这九个数字,规定4个角上的圆圈中必须填入相同的数字,并要使每边上四个数字的和都相等。有( )种不同的填法,每边上四个数的和可以是( )。 【分析】:根据我们做数阵题目的步骤,我们可以发现只有角上四个数是重复了,所以我们可以设角上的数为x ,设每条线上四个数的和为y 。而12348945++++++=,那么 4534x y +=。这是一个不定方程,我们可以用奇偶分析法。因为45是奇数,4y 是偶数,所以3x 一定为奇数,那么x 只可能是13579、、、、。我们通过试算发现x 只可能是159、、三种情况。

【例4】:20以内共有10个奇数,去掉9和15还剩八个奇数,这八个奇数填入下图的八个圆中(其中3已经填好),使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等。 3 【分析】:在图中重复的只有左右两端的数,而且这两个数分别多加了两次。那么每条线之和是13571113171923++++++++?+最右边数的两倍=82+最右边数的两倍,由题可知,82+最右边数的两倍是3的倍数。 因为823271÷=,那么最右边数的两倍除以3余2。所以这个数除以3肯定余1,那么最右边的数有可能是171319、、、。我们通过试算,最右边的数只能为19,所以 11 751319 17 13

巧填数阵图

巧填数阵图 数学乐园 晶晶和莹莹来到了雪精灵国,天空中到处飘着洁白剔透的雪花,就像下面图中的样子.一个雪精灵告诉她们:“你们只要能够把1~7这七个数填在雪花的七个花瓣上,使每三个位于同一直线上的花瓣上的数之和都相等,你们就能见到雪精灵国的女王了.”你能帮她们填一填吗?. 小朋友们,你喜欢这样的填数字游戏吗?要想准确的填出图中的每一 个数,可不是一件容易的事,这就要我们小朋友们认真去观察图,观察数字的排列规律,这样才能找到填图的方法.下面我们就一起来学习吧! 基础篇 使用数字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9做加法.在每一道题中,同一个数字不能 重复出现. 拓展练习 (1)填数,使横行、竖行的三个数相加都得11. (2)填数,使每条线上的三个数之和 都得15. 在每个方格中填入适当的数,使每一横行、竖行的和以及两斜行的三个数之和都是18. 要使表格中每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为18,下面每个方框里应填

什么数? 拓展练习 在下列两图的空格中填上数,使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于15. 把1,2,3,4,5,6六个数,分别填入○内,使每条线上3个数的和相等. 提高篇 把3,4,5,6,7这五个数分别填入下面的空格里,使横行、竖行的三个数相加都得15. 拓展练习 把2,3,4,5,6这五个数分别填入圆圈中,使每条线上三个数相加的和都等于1 2. 把1,2,3,4,5,7分别填入○里,使每一个大椭圆上的四个数之和等于13. 把1,2,3,4,5,6,7这七个数分别填入○里,使每条直线上的三个数相加的和都为12. 拓展练习 把1~9这九个数字填入下列圆圈内,使每条横线、竖线、斜线连接起来的三个圆圈

(完整版)第三讲、有趣的数阵图

第3讲.有趣的数阵图 数阵图,就是把一些数按照一定的规则,填在某一特定图形的规定位置上,这种图形,我们称它为数阵图。数阵图的种类繁多、绚丽多彩,这里我们将主要介绍两种数阵图,即封闭型数阵图和开放型数阵图。 解答这类问题时,常用以下知识: 1.等差数列的求和公式: 总和=(首项+末项)x项数/2 2.计算中的奇偶问题: 奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数 奇数+偶数=奇数 3.10以内数字有如下关系: (1)1+9=2+8=3+7=4+6 (2)1+8=2+7=3+6=4+5 (3)2+9=3+8=4+7=5+6 在解答这类问题时,要善于确定所求的和与关键数字间的关系式,用试验的方法,找到相等的和与关键数字;要会对基本解中的数进行适当调整,得到其他的解,从而培养自己的观察能力、思维的灵活性和严密性。 例1.把1,2,3,4,5,6这六个数填在如下图的6个圆圈中,使每条边上的三个数之和都等于9. 例2.把1,2,3,4,5,6填在如下图的6个圆圈中,使每条边上的三个数之和相等,有几个基本解? 随堂练习1 (1)将1~4这四个数分别填入图中内数的和相等。 (1) (2) (2)把数字1,3,4,5,6分别填在上图三角形3条边上的5个圆圈内,使每条边上3个圆圈内数的和等于9。 例3.把1~12这十二个数,分别填在如右图中正方形四条边上的十二个圆圈内,使每条边上四个圆圈内数的和都等于22,试求出一个基本解。

随堂练习2 将数字1,2,3,4,5,6填入图中的小圆圈内,使每个大圆上4个数字的和都是16. 例4.把1~7这七个数分别填入如图中的各个圆圈内,使每条线段上三个圆圈内的数的和相等。 例5 .将1~9这九个数,分别填入如图中的各个圆圈内,使每条线段上三个圆圈内的和相等。 例6.把1~11这十一个数分别填入如图中的各个圆圈内,使每条线段上三个圆圈内的数的和都等于22. 随堂练习3. (1)将1~5这五个数分别填入如果中的圆圈内,使每条线段上三个圆圈内的和相等。 (1) (2) (2)将6~10这五个数分别填入如图中的圆圈内,使每条线段上三个圆圈内的数的和相等。

幻方和数阵图

公主坟68221211 天行建51921885 中关村62560719 北 大62638951 数阵图与幻方 ● 数阵图问题千变万化,这一类问题要求数阵中填入了一些数以后,能保证数阵中特定关系线(或关系区域)上的数的和相等,解决这一类问题可以按以下步骤解决问题: 第一步:区分数阵图中的普通点(或方格),和交叉点(方格) 第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式,即数阵图关系线(关系区域)上和的总和,这个和是关系线(关系区域)的个数的整数倍. 第三步:判断少数关键点上可以填入的数的余数性质,并得出相应的数阵图关系线(关系区域)和. 第四步:运用已经得到的信息进行尝试: 数阵图还有一类题型比较少见,解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系,找出问题关键. ● 三阶幻方的性质:1.中心位置上的数等于幻和除以3;2.角上得数等于和它不相邻得两条边上的数的平均数;3.中心数两头的数等于中心数的2倍 1. 将1~6填入左下图的六个○中,使三角形每条边上的三个数之和都等于k ,请指出k 的取值范围. 2将1~8这八个数分别填入右图的○中,使两个大圆上的五个数之和都等于21。 1+2+3+4+5+6+7+8=36

公主坟68221211 天行建51921885 中关村62560719 北 大62638951 2. 小猴聪聪有一天捡到像左下图的模具,它试着将1~10分别填入图中,使得每个小三角形3个顶点 上的数字之和为图中所表示的数值,你能做到吗? 3. 小兔子在森林玩耍,遇到一个画着奇怪图形的树桩,上面写着:把10至20这11个数分别填入下图 的各圆圈内,使每条线段上3个圆内所填数的和都相等.如果中心圆内填的数相等,那么就视为同一种填法,请写出所有可能的填法,小兔子发了愁,你能帮它吗? 4. 海豚是很聪明的动物,它能将1~9填入右下图的九个○内,并且使得每 个圆周和每条直线上的三数之和都相等,并且7,8,9依次位于小、中、大圆周上,你能做到吗? 5. 在下图中的10个○内填入0~9这10个数字,使得循环式成立: + = = = = = ----

有趣的数阵图(一)

教学内容:有趣的数阵图(一) 教学时间:第一、二课时 教学目的: 1、掌握数阵图的基本特征。 2、按要求填出数阵。 教学重难点:寻找解题突破口。 教学过程: 一、宣布本课学习内容: 二、通过例题学习数阵的知识。 1、例1:将1—6填入右图的6个圆圈内, 使三角形每条边上的三个数的和都等 于S,请你指出S的取值范围。 ①试着独立填一填。 ②如果让你把所有的答案都填出,你能做到吗? ③讲解:三个角上的三个数最小是1、2、3;最大是4、5、 6,所以,S的取值范围是9、10、11、12。 ④从9、10、11、12四个和中选一个,填出数阵。 2、例2:将1—6填入下图的6个圆圈内,要求四条线上 的数字之和都相等。 ⑴当每条线上的和是10时,A是多少? ⑵当每条线上的和是9时,B是多少? ①观察:这6个数哪一个数最特殊?为什么?

②求A:1~6的和是21,用21×2-40=2 ③求B:如右图,用21-18=3 ④独立填出两个答案。 ⑤小结:观察、找特征。 3、例3:将1—9这9个数字填入下图的9个圆圈内,使 每个三角形和直线上的3个 数字的和都相等。 ①计算出1~9的和,用45除以3 得15,所以每个和是15。(为 什么? ②找规律:在1—9中,三个数的和为15的,只有两种情 况:1+9+5和1+8+6。 ③填数,调整。 4、例4:将1—9这9个数字填入下图的9个小三角形中, 使大三角形每条边上的5个小三角形之 和相等,那么这个和的最大值是多少? 最小值是多少? ①观察:找出每个数用几次。 ②如右图,三个阴影三角形上的数字各用了 一次,其它的都用了两次。这三个数最大是7、8、9;最小是1、2、3。所以,和最小是45×2-24=66;最大是45×2-6=84。

小学奥数四年级幻方与数阵图

幻方与数阵图扩展 [内容概述] 本讲有两部分主要内容: 1、 幻方的概念和性质,简单幻方的编制; 2、 把一些数字按照一定要求排列成相应的图形,叫做数阵图。大致分为三类:封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。 幻方的概念: 所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数,使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等;而阶数是指每行、每列所包含的方格数。 幻方题可以粗略的分为两种,一种是限制了所填入的数字,或者给出了需要填入的各个数字,或者已经填入一个或几个数字;另一种是对填入的数字没有任何限制,填对即可。 幻方又称为魔方,方阵等,它最早起源于我国。宋代数学家杨辉称之为纵横图。关于幻方的起源,我国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期,伏羲氏取得天下,把国家治理得井井有条,感动了上苍,于是黄河中跃出一匹龙马,背上驮着一张图,反作为礼物献给他,这就是“河图”了,是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。后来大禹治洪水时,洛水中浮出一只大乌龟,它的背上有图有字,人们称之为“洛书”。“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来,得到1至9这九个数,恰组成一个三阶幻方。 幻方问题主要方法: 一、 累加法:利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。通常将若干个“幻和”累加在一起, 再计算每一个位置上的重数,从而求出“幻和”和关键位置上的数字。 二、 求出“幻和”和关键位置上的数字后,结合枚举法完成数阵图的填写,在填写数阵图的过程中注意从特 殊的数字和位置入手。 三、 比较法:利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。注意观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关 系,注意它们之间共同的部分,去比较不同的部分。 四、 掌握好3阶幻方中的规律。 本讲还有一部分内容是数阵图拓展,也就是在三年级数阵图初步的基础上继续学习数阵图问题的解题方法。数阵图问题方法多样且特殊,我们将在例题中详细讲解。其实这些方法和幻方是一致的,大家可以在下面的学习中体会到这一点。 [思考题] 我们先来一起解决三道难度相差很大的题目,目的在于总结出三阶幻方的若干重要性质。 1. 如下图,将1—9填入3×3的方格表中,使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等,你 一共可以得到多少种填法? 「分析」首先,我们思考要填出一个三阶幻方,什么量的求出是最重要的?立刻我们就知道,那个所谓的“幻和”,即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。它是多少呢?哦,如果我们按照行(按照列也一样)把幻方中的九个数加起来,那么它们的总和不就是3 倍的“幻和”吗?而另一方面,我们也知道, 第1题

数阵图讲义

54 321 776655443322117654321a 首先我们观察下图: 图中有4个大圆,每个圆周上都有四个数字,神奇的是,每个圆周上的四个数字之和都等于20。不信,你就算算。 上面这幅图就是数阵图。 把给定的一些数按一定的要求或规律填在特定形状的图形中,这样的图形叫做数阵图。数阵图绚丽迷人,变化多端,引人入胜。常见的主要有三种:(1)辐射型(2)封闭型(3)复合型。一般说来,数阵图主要讨论以下两个问题: (1) 满足某种条件的填法是否存在; (2) 在填法存在的情况下,把待定的数字补充完整。 这一讲我们学习辐射型数阵图。 【例1】 把1~5这五个数分别填在下图中的方格中,使得横行三数之和与竖列三数之和都等于8。 【分析与解】这是辐射型数阵图。你可能觉得这道题太简单了,七拼八凑就会写出正确答案。可是,你明 白其中的道理吗?下面我们就一起来探索其中的道理,只有弄清其中的道理,才可能解答更复杂巧妙的数阵图问题。 中间方格的数很特殊,横行的三个数有它,竖列的三个数也有它,我们把它叫做“中心数”。用字母a 表示。 因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于8。所以横行的三个数之和加上竖列的三个数之和为(8+8=)16,即(1+2+3+4+5)+a =8+8,整理得:15+a =16。 为什么还要加上a 呢?因为 a 是中心数,相加时一共被加了两次,其余各数均被加了一次。在计算1+2+3+4+5时已计算了一次,所以最后还要加上a 。 解得:a =1 求出了中心数。其余各数就好填了。如图所示。 【例2】 把1~7这七个数分别填入下图的各个方格内,使每条线段上三个○内数的和相等。

四年级奥数 第8讲 有趣的数阵图

第8讲.有趣的数阵图 数阵图,就是把一些数按照一定的规则,填在某一特定图形的规定位置上,这种图形,我们称它为数阵图。数阵图的种类繁多、绚丽多彩,这里我们将主要介绍两种数阵图,即封闭型数阵图和开放型数阵图。 解答这类问题时,常用以下知识: 1.等差数列的求和公式: 总和=(首项+末项)x项数/2 2.计算中的奇偶问题: 奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数 奇数+偶数=奇数 3.10以内数字有如下关系: (1)1+9=2+8=3+7=4+6 (2)1+8=2+7=3+6=4+5 (3)2+9=3+8=4+7=5+6 在解答这类问题时,要善于确定所求的和与关键数字间的关系式,用试验的方法,找到相等的和与关键数字;要会对基本解中的数进行适当调整,得到其他的解,从而培养自己的观察能力、思维的灵活性和严密性。 例1.把1,2,3,4,5,6这六个数填在如下图的6个圆圈中,使每条边上的三个数之和都等于9. 例2.把1,2,3,4,5,6填在如下图的6个圆圈中,使每条边上的三个数之和相等,有几个基本解? 随堂练习1 (1)将1~4这四个数分别填入图中内数的和相等。 (1) (2) (2)把数字1,3,4,5,6分别填在上图三角形3条边上的5个圆圈内,使每条边上3个圆圈内数的和等于9。 例3.把1~12这十二个数,分别填在如右图中正方形四条边上的十二个圆圈内,使每条边上四个圆圈内数的和都等于22,试求出一个基本解。

随堂练习2 将数字1,2,3,4,5,6填入图中的小圆圈内,使每个大圆上4个数字的和都是16. 例4.把1~7这七个数分别填入如图中的各个圆圈内,使每条线段上三个圆圈内的数的和相等。 例5 .将1~9这九个数,分别填入如图中的各个圆圈内,使每条线段上三个圆圈内的和相等。 例6.把1~11这十一个数分别填入如图中的各个圆圈内,使每条线段上三个圆圈内的数的和都等于22. 随堂练习3. (1)将1~5这五个数分别填入如果中的圆圈内,使每条线段上三个圆圈内的和相等。 (1) (2) (2)将6~10这五个数分别填入如图中的圆圈内,使每条线段上三个圆圈内的数的和相等。

四年级数学数阵图讲解(一)

四年级数学数阵图讲解(一) 我们在三年级已经学习过辐射型和封闭型数阵.其解题的关键在于“重叠数”。本讲和下一讲.我们学习三阶方阵.就是将九个数按照某种要求排列成三行三列的数阵图.解题的关键仍然是“重叠数”。我们先从一道典型的例题开始。 例1把1~9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中.使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。 分析与解:我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几。我们可以这样去想:因为1~9这九个数字之和是45.正好是三个横行数字之和.所以每一横行的数字之和等于45÷3=15。也就是说.每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15。 在1~9这九个数字中.三个不同的数相加等于15的有: 9+5+1.9+4+2.8+6+1.8+5+2. 8+4+3.7+6+2.7+5+3.6+5+4。 因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字。 因为中心方格中的数既在一个横行中.又在一个竖列中.还在两对角线上.所以它应同时出现在上述的四个算式中.只有5符合条件.因此应将5填在中心方格中。同理.四个角上的数既在一个横行中.又在一个竖列中.还在一条对角线上.所以它应同时出现在上述的三个算式中.符合条件的有2.4.6.8.因此应将2.4.6.8填在四个角的方格中.同时应保证对角线两数的和相等。经试验.有下面八种不同填法:

上面的八个图.都可以通过一个图的旋转和翻转得到。例如.第一行的后三个图.依次由第一个图顺时针旋转90°.180°.270°得到。又如.第二行的各图.都是由它上面的图沿竖轴翻转得到。所以.这八个图本质上是相同的.可以看作是一种填法。 例1中的数阵图.我国古代称为“纵横图”、“九宫算”。一般地.将九个不同的数填在3×3(三行三列)的方格中.如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等.那么这样的图称为三阶幻方。 在例1中如果只要求任一横行及任一竖列的三数之和相等.而不要求两条对角线上的三数之和也相等.则解不唯一.这是因为在例1的解中.任意交换两行或两列的位置.不影响每行或每列的三数之和.故仍然是解。 例2用11.13.15.17.19.21.23.25.27编制成一个三阶幻方。 分析与解:给出的九个数形成一个等差数列.对照例1.1~9也是一个等差数列。不难发现:中间方格里的数字应填等差数列的第五个数.即应填19;填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数.即13.17.21.25.而且对角 两数的和相等.即13+25=17+21;余下各数就不难填写了(见右图)。 与幻方相反的问题是反幻方。将九个数填入3×3(三行三列)的九个方格中.使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同.这样填好后的图称为三阶反幻方。 例3将前9个自然数填入右图的9个方格中.使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同.并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻。 分析与解:题目要求相邻的两个自然数在图中的位置也相邻.所以这9个自然数按照大小顺序在图中应能连成一条不相交的折线。经试验有下图所示的三种情况:

第7讲 数阵图

【知识要点】 数阵图就是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形,有时简称数阵。 常见的数阵图有以下三种: 1.有一种数阵图,它们的特点是从一个中心出发,向外作了一些射线,我们把这种数阵图叫做辐射型数阵图。填辐射型数阵图的关键是确定中心数以及每条线段上的几个数的和,然后通过对各数的分析,进行试验填数求解。 2.有一种数阵图,它的各边之间相互连接,形成封闭图形,我们称它们为“封闭型数阵图”。填这样的图形,主要是顶点数字,抓住条件提供的关系式,进行分析,用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字之和,最后填出数阵图。 3.有的数阵图既有辐射型数阵图的特点,又有封闭型数阵图的要求,所以叫做“复合型数阵图”。我们在思考数阵图问题时,首先要确定所求的和与关键数间的关系,再用试验的方法,找到相等的和 与关键数字。 数阵图的解题关键是找”重复数”。 将1~7这七个数分别填入左下图中的○里,使每条直线上的三个数之和都等于12。

【例2】 把1~7这七个数分别填入下图的○内,使每条线段上三个○内数的和相等。 【例3】 将2~9这八个数分别填入下图的○里,使每条边上的三个数之和都等于18。

【例4】 唐僧师徒西天取经路过数字山,山中住着一个数学大王告诉他们,只有他们能1,2,3,4,5,6 六个数字填入下图中的小圆圈内,使每个大圆上四个数字的和都是l6才允许他们通过,这可急坏了师徒四人,你能解决这个问题吗? 【例5】 【超常】将1~8填入下图的八个○中,使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。

【例5】 【超常2】将自然数1~7填入右图的七个○中,使得横、竖、斜的每条直线上的三个数之和都相等。 【例5】 【超常】如图 “好、朋、友、伙、伴、帮、手”这7个汉字分别代表1~7这7个数字。已知3条直线上的3个数相加,2个圆周上的3个数相加,所得的5个和相同。那么,“好”字代表多少? 手 帮伴 伙 友 朋 好

趣味数学—数阵图与幻方

三年级奥数 --数阵图与幻方 知识框架 一、数阵图定义及分类: 定义:把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图. 数阵:是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图:即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 二、解题方法: 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手: 第一步:区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格); 第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的范围; 第三步:运用已经得到的信息进行尝试.这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学方法的综合运用. 三、幻方起源: 幻方也叫纵横图,也就是把数字纵横排列成正方形,因此纵横图又叫幻方.幻方起源于我国,古人还为它编撰了一些神话.传说在大禹治水的年代,陕西的洛水经常大肆泛滥,无论怎样祭祀河神都无济于事,每年人们摆好祭品之后,河中都会爬出一只大乌龟,乌龟壳有九大块,横着数是3行,竖着数是3列,每块乌龟壳上都有几个点点,正好凑成1至9的数字,可是谁也弄不清这些小点点是什么意思.一次,大乌龟又从河里爬上来,一个看热闹的小孩惊叫起来:“瞧多有趣啊,这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加,结果都等于十五!”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神,说来也怪,河水果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻方”,由于它有3行3列,所以叫做“三阶幻方”,这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻方.如下图:

9 8 7 6 5 4 3 2 1 我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解:“九宫者,二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央.”这段文字说明了九个数字的排列情况,可见幻方在我国历史悠久.三阶幻方又叫做九宫图,九宫图的幻方民间歌谣是这样的:“四海三山八仙洞,九龙五子一枝连;二七六郎赏月半,周围十五月团圆.”幻方的种类还很多,这节课我们将学习认识了解它们. 四、幻方定义: 幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵,具有这一性质的33 ?的数阵称作三阶幻方,44 ?的数阵称作四阶幻方,55 ?的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样, 9 8 7 6 5 4 3 2 1 13 4 14 15 1 6 129 7 8105 11 3216 。 五、解决这幻方常用的方法: ⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法.口诀是:一居上行正中央,后数依次右上连.上出框时往 下填,右出框时往左填.排重便在下格填,右上排重一个样. ⑵适用于三阶幻方的三大法则有: ①求幻和:所有数的和÷行数(或列数) ②求中心数:我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”,中心数=幻和÷3. ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2. 六、数独简介: 数独前身为“九宫格”,最早起源于中国。数千年前,我们的祖先就发明了洛书,其特点较之现在的数独更为复杂,要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15,而非简单的九个数字不能重复。 中国古籍《易经》中的“九宫图”也源于此,故称“洛书九宫图”。而“九宫”之名也因《易经》在中华文化发展史上的重要地位而保存、沿用至今。 1783年,瑞士数学家莱昂哈德·欧拉发明了一种当时称作“拉丁方块”(Latin Square)的游戏,这个

第2讲 数阵图初步-完整版

第2讲数阵图初步 内容概述 各种较为基本的数阵图问题,了解重数的概念,并以此进行分析;学会分析特殊位置上的数值;某种情况下还需要考虑对称性。 典型问题 兴趣篇 1.在图2-1中的3个空白○内填入3个不同的自然数,使得三角形每条边上的3个数之和都等于I1。 答案: 解析:在数阵图问题中,一般要从已知条件最多的部分人手分析,如图1 所示,可发现左边的线上已知两个数,从这里人手就可以求出这条线上的第三个 数,依次类推,可得图2中○内的数,进而得题目答案.

2.请分别将1、2、4、6这4个数填在图2-2中的各空白区域内,使得每个圆圈里4个数之和都等于15。 答案: 解析:先看上面的圆圈,4个数的和是15,其中有两个数是5和7,所以剩 下两个数的和是15-5-7=3.可填的数字是1、2、4,6,所以这两个数只能是1 和2. 同理,得左边圆圈剩下两个数的和是15-5-3=7,所以这两个数只能是1和 6.因为两个圆圈共有1,所以必须把1填在中间,剩下4填在右边圆圈里,正 好满足题意。 3.如图2-3所示,请在3个空白○内填入3个数,使得每条直线上3个数之和都相等。

答案: 解析:为叙述方便,将空白圆圈标上字母,如图所示:比较图中两条粗直线,它们共有A.由于两条直线的和相同,所以除了A之外,剩下的数求和也得相同,即7+B=9+8=17,由此可得B=10.于是公共和 为8+10+3=21.利用公共和即可填出整个数阵图. 4.把1~8这8个数分别填入图2-4中的8个方格内,使得各列上2个数之和都相等,各行4个数之和也相等。 答案:不唯一,例如:

解析:1+2+3+4+5+6+7+8=36,由36÷4=9,得每列两个数之和是9,由36÷2=18,得每行四个数之和是18.先把9写成两 个数的和,只能是 1+8=2+7=3+6=4+5,这恰好是1~8.正好是(1、8),(2、7),(3、6),(4、5),共4组.把这4组数依次填入表中,如图1所示. 但此时行和不等于18,则适当调整一下上下两个数的顺序,就可以凑出行和18了,如图2所示. 5.如图2-5,在这只“毛毛虫”身体上的7个小O中分别填入1~7这7个数,使得3个大圆上的数之和相等。 答案:不唯一,例如:

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