函数值域的求法大全

函数值域的求法大全

题型一 求函数值：特别是分段函数求值

例1 已知f (x )＝1

1＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R ).

(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (3)]的值.

解 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝1

3.

又∵g (x )＝x 2＋2， ∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f [g (3)]＝f (11)＝11＋11＝1

12

.

反思与感悟 求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f [g (x )]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f [g (x )]与g [f (x )]的区别. 跟踪训练4 已知函数f (x )＝

x ＋1

x ＋2

. (1)求f (2)；(2)求f [f (1)].

解 (1)∵f (x )＝x ＋1x ＋2，∴f (2)＝2＋12＋2＝3

4.

(2)f (1)＝1＋11＋2＝23

，f [f (1)]＝f (23)＝2

3＋1

23＋2＝5

8.

5.已知函数f (x )＝x 2＋x －1. (1)求f (2)，f (1

x )；

(2)若f (x )＝5，求x 的值. 解 (1)f (2)＝22＋2－1＝5， f (1x )＝1x 2＋1

x －1＝1＋x －x 2x 2

. (2)∵f (x )＝x 2＋x －1＝5，∴x 2＋x －6＝0， ∴x ＝2，或x ＝－3. (3)

4.函数f (x )对任意自然数x 满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，f (0)＝1，则f (5)＝________. 答案 6

解析 f (1)＝f (0)＋1＝1＋1＝2，f (2)＝f (1)＋1＝3， f (3)＝f (2)＋1＝4，f (4)＝f (3)＋1＝5，f (5)＝f (4)＋1＝6.

二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。

常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

求值域问题

利用常见函数的值域来求（直接法）

一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ；

反比例函数)

0(≠=k x k

y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}；

二次函数

)0()(2

≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ， 当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{a b ac y y 4)

4(|2-≤

}.

例1 求下列函数的值域

① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②）

（3x 1x

32

)(≤≤-=x f ③ x

x y 1

+

=（记住图像） 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，

∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②略

③ 当x>0，∴x x y 1

+

==2)1(2+-

x

x 2≥， 当x<0时，)1

(x x y -+

--==－2)1(2---

-x

x -≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法） 函数x

x y 1

+=的图像为：

二次函数在区间上的值域(最值)：

例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：

①142+-=x x y ； ②；]4,3[,142∈+-=x x x y ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x

y ；

解：∵3)2(1422--=+-=x x x y ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R ，

∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y ≥-3 }. ②∵顶点横坐标2?[3,4]，

当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；

∴在[3,4]上，min y =-2，max y =1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2? [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上，min y =-2，max y =1；值域为[-2，1].

④∵顶点横坐标2∈ [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上，min y =-3，max y =6；值域为[-3，6].

注：对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时，

①当a>0时，则当a b

x 2-=时，其最小值a b ac y 4)4(2min -=； ②当a<0时，则当a b

x 2-

=时，其最大值a

b a

c y 4)4(2max -=; ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若0x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时， 再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大（小）值.

②若0x ?[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内，只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大（小）值.

注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；

②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行

讨论.

练习：1、求函数y =3+x 32-的值域

解：由算术平方根的性质，知x 32-≥0，故3+x 32-≥3。∴函数的值域为

[)+∞,3

.

2、求函数[]5,0,522

∈+-=x x x y 的值域

解： 对称轴 []

5,01∈=x []20,420,54,1max min 值域为时时∴====∴y x y x

1 单调性法

例3 求函数y=4x －x 31-(x ≤1/3)的值域。

设f(x)=4x,g(x)= －x 31-,(x ≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而

y=f(x)+g(x)=4x-x 31-

在定义域为x ≤1/3上也为增函数，而且y ≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为

｛y|y ≤4/3｝。

小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函

数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。

练习：求函数y=3+x -4的值域。(答案：｛y|y ≥3｝) 2 换元法

例4 求函数x x y -+=12 的值域

解：设t x =-1，则)0(122≥++-=t t t y

[)(]

2,21,01max ∞-∴==∴+∞∈=值域为，时当且开口向下，对称轴y t t

点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确

定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

练习：求函数y=x x --1的值域。（答案：｛y|y ≤－3/4｝ 求

x

x x

x cos sin cos sin 1++的值域；

例5 （三角换元法）求函数21x x y -+=的值域

解： 11≤≤-x

∴设[]πθθ,0cos ∈=x

[

][]

2

,12

,1)4

sin(2sin cos sin cos -∴-∈+=+=+=原函数的值域为πθθθθθy

小结：（1）若题目中含有1≤a ，则可设)0,cos (2

2,sin πθθπ

θπθ≤≤=≤≤-

=a a 或设 （2）若题目中含有12

2

=+b a 则可设θ

θsin ,cos ==b a ，其中πθ20<≤

（3）若题目中含有21x -，则可设θcos =x ，其中πθ≤≤0

（4）若题目中含有21x +，则可设θtan =x ，其中2

2

π

θπ

<

<-

（5）若题目中含有)0,0,0(>>>=+r y x r y x ，则可设θθ22sin ,cos r y r x ==其中??

?

?

?

∈2,

0πθ

3 平方法

例5 （选）求函数x x y -+-=

53 的值域

解：函数定义域为：[]5,3∈x

[][][][]

2

,24,21,0158,5,31582)5()3(2

222原函数值域为得由∴∈∴∈-+-∈-+-+-+-=y x x x x x x x y

4 分离常数法 例6 求函数2

1

+-=

x x y 的值域 由12

3

1232≠+-=+-+=

x x x y ，可得值域{}1≠y y

小结：已知分式函数)0(≠++=

c d

cx b

ax y ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量

的要求）内，值域为?

?????≠c a y y ；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为)(bc ad d

cx c ad

b c a y ≠+-

+

=，用复合函数法来求值域。

练习 求函数6

41

2+-=

x x y 的值域

求函数1

33+=x x

y 的值域

求函数 y =

1

212+-x

x 的值域；（y ∈(-1，1)）

例7 求13+--=x x y 的值域

解法一：（图象法）可化为 ??

?

??>-≤≤---<=3,431,221,4

x x x x y

观察得值域{}

44≤≤-y y

解法二：（不等式法）

4

14114)1(134

)1()3(13-=+--+≥+--+=+--=+--≤+--x x x x x x x x x x 练习：1y x x =++的值域)[∞+,1

例8 求函数[])1,0(239∈+-=x y x

x

的值域

解：（换元法）设t x

=3 ，则 31≤≤t 原函数可化为

[][]

8,28,3;2,13,12

1

,2max min 2值域为时时对称轴∴====∴?=+-=y t y t t t t y 例9求函数x

x y 2231+-?

?

? ??= 的值域

解：（换元法）令1)1(22

2

+--=+-=x x x t ，则)1(31≤??

?

??=t y t

由指数函数的单调性知，原函数的值域为??

????+∞,31 例10 求函数 )0(2

≤=x y x

的值域

解：（图象法）如图，值域为(]1,0 （换元法）设t x

=+13 ，

则()11

11

31113113>-=+-=+-+=t t y x

x x 101

1

01<<∴<<∴>y t

t

()1,0原函数的值域为∴

例13 函数1

1

22+-=x x y 的值域

解法一：（逆求法）110112

<≤-∴≥-+=y y

y

x

[)1,1-∴原函数的值域为

解法二：（换元法）设t x =+12

，则

原函数值域即得∴<≤-∴≤<

∴≥1122

01y t

t

解法三：（判别式法）原函数可化为 010)1(2

=++?+-y x x y 1） 1=y 时 不成立

2） 1≠y 时，110)1)(1(400≤≤-?≥+--?≥?y y y

11<≤-∴y

综合1）、2）值域}11|{<≤-y y

解法四：（三角换元法）∴∈R

x 设??

?

??-∈=2,2tan ππθθx ，则

()(]1,12cos ,22cos tan 1tan 12

2-∈∴-∈-=+--=θππθθθ

θ y

∴原函数的值域为}11|{<≤-y y

2

例14 求函数3

425

2+-=

x x y 的值域

解法一：（判别式法）化为0)53(422

=-+-y yx yx

1）0=y 时，不成立 2）0≠y 时，0≥?得

500)53(8)4(≤≤?≥--y y y y 50≤<∴y

综合1）、2）值域}50|{≤

解法二：（复合函数法）令t x x =+-3422，则t

y 5

=

11)1(22≥+-=x t

50≤<∴y 所以，值域}50|{≤

例15 函数11

++

=x

x y 的值域 解法一：（判别式法）原式可化为

解法二：（不等式法）1）当0>x 时，321

≥∴≥+

y x

x 2） 0

综合1）2）知，原函数值域为(][)∞+-∞-,31,

例16 (选) 求函数)1(1

2

22->+++=

x x x x y 的值域 解法一：（判别式法）原式可化为 02)2(2

=-+-+y x y x

01)1(2=+-+x y x (][)

∞+-∞-∴-≤≥∴≥--∴≥?,31,1

30

4)1(0

2 原函数值域为或y y y 1

2)(1)(1-≤∴-≤??

?

???-+--=+y x x x x

[)∞+∴-≤∴->-≤≥?≥---∴≥?,2212

20)2(4)2(02原函数值域为

舍去

或y x y y y y

解法二：（不等式法）原函数可化为 当且仅当0=x 时取等号，故值域为[)∞+,2

例17 （选） 求函数)22(1

2

22≤≤-+++=

x x x x y 的值域

解：（换元法）令t x =+1 。。 小结：已知分式函数)0(2

22

2≠+++++=d a f

ex dx c bx ax y ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为

（选）)(二次式

一次式

或一次式二次式==

y y 的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求

出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数

)0(≠+

=x x

a

x y 的单调性去解。 利用判别式求值域时应注意的问题

用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。

一、判别式法求值域的理论依据

例1、 求函数1

22+--=x x x x y 的值域

象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。

解：由1

22+--=x x x x y 得：

（y-1）x 2+(1-y)x+y=0 ① 上式中显然y ≠1,故①式是关于x 的一元二次方程

?

?

?

???-+--=∴≠≤≤-≥?---=?13111,13

1

0)

1(4)1(222，x x x x y y y ，y y y 的值域为又解得令

用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法，但在用判别式法求值域时经常出错，因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题：

一、要注意判别式存在的前提条件，同时对区间端点是否符合要求要进行检验

例：求函数3

221

22+-+-=x x x x y 的值域。

错解：原式变形为0)13()12()12(2

=-+-+-y x y x y （＊） ∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2

≥----=?y y y ，解得

2

1103≤≤y 。 故所求函数的值域是]2

1

,103[

错因：把21=

y 代入方程（＊）显然无解，因此21=y 不在函数的值域内。事实上，2

1

=y 时，方程（＊）的二次项系数为0，显然不能用“?”来判定其根的存在情况。

正解：原式变形为0)13()12()12(2

=-+-+-y x y x y （＊） （1）当2

1

=

y 时，方程（＊）无解； （2）当21≠

y 时，∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2

≥----=?y y y ，解得

2

1103<≤y 。

综合（1）、（2）知此函数的值域为)2

1

,103[

二、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化

例2：求函数6

3

422-+++=x x x x y 的值域。

错解：将函数式化为0)36()4()1(2

=+--+-y x y x y

（1）当1=y 时，代入上式得093=--x ，∴3-=x ，故1=y 属于值域； （2）当1≠y 时，0)25(2

≥-=?y ， 综合（1）、（2）可得函数的值域为R y ∈。

错因：解中函数式化为方程时产生了增根（3-=x 与2=x 虽不在定义域内，但是方程的根），因此最后应该去掉3-=x 与2=x 时方程中相应的y 值。所以正确答案为

1|{≠y y ，且}5

2

≠y 。

三、注意变形后函数值域的变化 例3：求函数21x x y -+=的值域。

错解：由已知得21x x y -=- ①，两边平方得2

2

1)(x x y -=- ② 整理得01222

2

=-+-y yx x ，由0)1(8)2(2

2

≥---=?y y ，解得22≤≤-y 。

故函数得值域为]2,2[-。

错因：从①式变形为②式是不可逆的，扩大了y 的取值范围。由函数得定义域为]1,1[-易知1-≥≥x y ，因此函数得最小值不可能为2-。∵1-=x 时，1-=y ，∴1m i n -=y ，

故函数的值域应为]2,1[-。

四、注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性

例4：求函数5

422++=x x y 的值域。

错解：令42+=

x t ，则1

2

+=

t t y ，∴02=+-y t yt ，由0412

≥-=?y 及0>y 得值域为]2

1,0(∈y 。

错因：解法中忽视了新变元t 满足条件2≥t 。∴设y t yt t f +-=2

)(，0>y ，

),2[+∞∈t ，

????

?

????>≤>>≥?221

0)2(0)2(0,0y f f y 或520≤

]520，（。 综上所述，在用判别式法求函数得值域时，由于变形过程中易出现不可逆得步骤，从而改变了函数得定义域或值域。因此，用判别式求函数值域时，变形过程必须等价，必须考虑原函数得定义域，判别式存在的前提，并注意检验区间端点是否符合要求。 练习：

1 、)0(91

22≠++

=x x

x y ； 解：∵x ≠0，11)1(912

2

2+-=++

=x x x

x y ，∴y ≥11. 另外，此题利用基本不等式解更简捷：119291

22=+≥++=x

x y (或利用对勾函数图像法)

2 、3

425

2

+-=

x x y 0

3 、求函数的值域

①x x y -+=2； ②242x x y --=

解：①令x u -=

2≥0,则22u x -=,

原式可化为4

9)2

1(22

2

+

--=+-=u u u y ,

②解：令 t=4x -2

x ≥0 得 0≤x ≤4

在此区间内 (4x -2

x )max =4 ，(4x -2

x )min =0 ∴函数242x x y --=的值域是{ y| 0≤y ≤2} 4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

解法1：将函数化为分段函数形式：??

?

??≥-<≤--<+-=)2(12)21(3)

1(12x x x x x y ，画出它的图象（下图），

由图象可知，函数的值域是{y|y ≥3}.

解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1，2的距离之和，∴易见y 的最小值是3，∴函数的值域是[3，+∞]. 如图

5、求函数x x y -+=142的值域 解：设 x t -=1 则 t ≥0 x=1-2

t

代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-?==4)1(224222+--=++-=t t t ∵t ≥0 ∴y ≤4

6、（选）求函数6

6

522-++-=x x x x y 的值域

方法一：去分母得 (y -1)2

x +(y+5)x -6y -6=0 ①

当 y ≠1时∵x ∈R ∴△=(y+5)2

+4(y -1)×6(y+1)≥0 由此得 (5y+1)2

≥0

检验 51-=y （有一个根时需验证）时 2)

5

6

(2551=-?+-

-=x （代入①求根）

∵2 ?定义域 { x| x ≠2且 x ≠3} ∴5

1-≠y

再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y ≠1

综上所述，函数6

6

522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠51-}

方法二：把已知函数化为函数3

6

133)3)(2()3)(2(--

=+-=+---=

x x x x x x x y (x ≠2) 由此可得 y ≠1，∵ x=2时51-=y 即51-≠y ∴函数6

6

522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1

且 y ≠5

1

-

}

函数值域求法十一种

1. 直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数的值域。

解：∵

∴

显然函数的值域是：

例2. 求函数的值域。

解：∵

x 1

y =

0x ≠0x 1≠),0()0,(+∞-∞ x 3y -

=0x ≥

故函数的值域是：

2. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数的值域。

解：将函数配方得：

∵

由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时， 故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法

例4. 求函数

的值域。

解：原函数化为关于x 的一元二次方程

（1）当时，

解得： （2）当y=1时，，而 故函数的值域为

例5. 求函数的值域。

解：两边平方整理得：

（1） ∵

∴

解得：

但此时的函数的定义域由，得 由，仅保证关于x

的方程：

在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，

由 求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为

3x 3,0x ≤-≤-∴]3,[-∞]2,1[x ,5x 2x

y 2

-∈+-=4)1x (y 2

+-=]2,1[x -∈4y min =1x -=8y max =22x 1x x 1y +++=

0x )1y (x )1y (2=-+-1y ≠R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=?23y 2

1≤

≤0x =?

??

???∈23,211?

?????23,21)

x 2(x x y -+

=0y x )1y (2x 22

2=++-R x ∈0y 8)1y (42

≥-+=?21y 21+≤≤-0)x 2(x ≥-2x 0≤≤0≥?0y x )1y (2x 222=++-0≥?

。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵

代入方程（1）

解得：

即当

时，

原函数的值域为：

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例6. 求函数值域。

解：由原函数式可得：

则其反函数为：

，其定义域为：

故所求函数的值域为：

5. 函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例7. 求函数的值域。

解：由原函数式可得：

∵ ∴

??????23,212x 0≤≤0

)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +

==∴]

2,0[2

2

222x 41∈-+=

22222x 41-+=

]21,0[+6x 54

x 3++3

y 5y 64x --=

3x 5y 64y --=

53

x ≠

?

?? ?

?

∞-53,1e 1e y x

x +-=1

y 1y e x -+=

0e x

>01

y 1

y >-+

解得：

故所求函数的值域为

例8. 求函数的值域。

解：由原函数式可得：，可化为：

即 ∵

∴

即

解得：

故函数的值域为

6. 函数单调性法 例9. 求函数的值域。

解：令

则在[2，10]上都是增函数 所以在[2，10]上是增函数 当x=2时，

当x=10时，

故所求函数的值域为：

例10. 求函数的值域。

解：原函数可化为：

令，显然在上为无上界的增函数 所以，在上也为无上界的增函数

1y 1<<-)1,1(-3x sin x

cos y -=

y 3x cos x sin y =-y 3)x (x sin 1y 2=β++1

y y 3)x (x sin 2+=

β+R x ∈]1,1[)x (x sin -∈β+1

1y y 312

≤+≤

-42y 42≤≤-

????

???

?-42,42)10x 2(1x log 2

y 35

x ≤≤-+=-1x log y ,2y 325

x 1-==-21y ,y 21y y y +=8112log 2y 33min =

-+=-339log 2y 35

max =+=?

?

?

???33,811x 1x y --+=

1

x 1x 2y -++=

1x y ,1x y 21-=+=21y ,y ],1[+∞1y y =2y ],1[+∞

所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值

显然，故原函数的值域为

7. 换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例11. 求函数的值域。 解：令，

则

∵

又，由二次函数的性质可知

当时， 当时， 故函数的值域为

例12. 求函数

的值域。

解：因

即

故可令

∴

∵

故所求函数的值域为

例13. 求函数的值域。

21y y y +=2

2

2

2

=0y >]2,

0(1x x y -+=t 1x =-)0t (≥1t x 2

+=43

)21t (1t t y 22+

+=++=0t ≥0t =1y min =0t →+∞→y ),1[+∞2

)1x (12x y +-++=0)

1x (12

≥+-1)1x (2

≤+],0[,cos 1x π∈ββ=+1cos sin cos 11cos y 2+β+β=β-++β=1

)4sin(2+π+β=π≤π+

β≤π≤β≤45

40,02

11)4sin(201)4

sin(22+≤+π

+β≤∴≤π+β≤-

∴]21,0[+1x 2x x x y 2

4

3++-=

解：原函数可变形为：

可令，则有

当

时，

当时，

而此时有意义。 故所求函数的值域为

例14. 求函数，的值域。

解：

令，则

由

且

可得： ∴当时，

，当时，

故所求函数的值域为。

例15. 求函数的值域。

解：由，可得

故可令

222

x 1x 1x 1x 221y +-?+?=β=tg x β=+-β=+22

22cos x 1x 1,2sin x 1x 2β

-=β?β-=∴4sin 41

2cos 2sin 21y 82k π-π=β41y max =

82k π+π=

β41

y min -

=βtan ?

????

?-41,41)1x )(cos 1x (sin y ++=?

??

???ππ-∈2,12x )1x )(cos 1x (sin y ++=1x cos x sin x cos x sin +++=t x cos x sin =+)

1t (21

x cos x sin 2-=2

2)1t (21

1t )1t (21y +=++-=)4/x sin(2x cos x sin t π+=

+=??

????ππ-∈2,12x 2t 22

≤≤2t =

2

23y max +=

2

2

t =2

2

43y +=

???????

?++223

,22432

x 54x y -+

+=0x 52

≥-5|x |≤],0[,cos 5x π∈ββ=

4

)4sin(10sin 54cos 5y +π

+β=β++β=

函数定义域值域求法十一种

高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组，解此不等式(或组)即得原函数的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 x 2 2x 15 0 ① 11 或 x>5。 3且x 11} {x |x 5}。 1 例2求函数y ' 定义域。 *16 x 2 解：要使函数有意义，则必须满足 sinx 0 ① 16 x 2 0 ② 由①解得2k x 2k ，k Z ③ 由②解得 4x4 ④ 由③和④求公共部分，得 4 x 或 0 x 故函数的定义域为(4， ］ (0,］ 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 (1)已知f(x)的定义域，求f ［g(x)］的定义域。 (2)其解法是：已知f (x)的定义域是］a , b ］求f ［g(x)］的定义域是解a g(x) b , 即为所求的定义域。 例3已知f(x)的定义域为［—2, 2］,求f (x 2 3 x 3，故函数的定义域是｛x | x (2)已知f ［g(x)］的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知f ［g(x)］的定义域是］a ， b ］，求f(x)定义域的方法是：由 a x b ，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4已知f(2x 1)的定义域为］1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为 1 x 2,2 2x 4,3 2x 1 5。 即函数f(x)的定义域是｛x 13 x 5｝。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为 R ,求 参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5已知函数y . mx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为 R ,表明mx 2 6mx 8 m 0 ,使一切x € R 都成立，由x 2项 例1求函数y ,x 2 2x 15 |x 3| 8 的定义域。 |x 3| 8 0 ② 由①解得 x 3或x 5。 由②解得 x 5或x 11 解：令 2 x 2 1 2 ，得 1 x 2 3，即 0 x 2 3，因此0 | x | 3，从而 1)的定义域。 3}。 ③和④求交集得x 3且x 故所求函数的定义域为 ｛x |x

高中函数值域的12种求法

高中函数值域的12种求法 一．观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为. 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y－1或y1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为 {y∣y≤3}) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

函数值域的求法(精选例题)

函数值域的求法 1、（观察法）求下列函数的值域 （1）求函数y1=121 1x +的值域 (]1,0 （2）求函数y1=2－x 的值域。 (]2-，∞ 2、（配方法）求下列函数的值域 （1）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域 ][84， （2）求函数y =的值域： ][20， （3）,x y 是关于m 的方程2260m am a -++=的根,则()()2211x y -+-的最小值是（ ） C A.-1241 B.18 C.8 D.43

3、（换元法）求下列函数的值域 （1）21y x =+[)∞+，3 （2）4y x =++ ][234,1+ （3）求函数y=32 ++x x 的值域 ??????21,0 （4）求函数y = ][2,1 （5）求函数 y=12243++-x x x x 的值域 ??????41,41-

4、（分离常数法）求下列函数的值域 （1）求值域（1）1 (4)2x y x x -=≥-+ ()??? ???∞+∞，，251- （2）求函数122+--=x x x x y 的值域。 ?????? 131 -， 5、（判别式法）求下列函数的值域 （1）求函数的值域2222 1x x y x x -+=++ ][51， （2）求函数3274222++-+=x x x x y 的值域。 ?????? 229 -， （3）已知函数12)(22 +++=x b ax x f x 的值域是[1，3 ]，求实数a ， b 的值. a=2或-2，b=2

6、(单调性法)求下列函数的值域 （1）求函数32()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。 (2)-48f = （2）设函数f(x)＝ln(2x ＋3)＋x 2.求f(x)在区间???? ??－34，14上的最大值和最小值． max 171()=ln +4216()f f x = min 11(-)=ln 2+24()f f x = 7、(数形结合法)求下列函数的值域 （1）求函数y=4 1362+-x x 4-542++x x 的值域 (]265-， （2）求函数y=4 12++x x 4-1 - 2 +x x 的值域 ()1,1-

函数定义域值域求法(全十一种)

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ???>-≥②①0 x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤ ≤-。

函数值域的13种求法

函数值域十三种求法 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数 x 1 y =的值域 解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 例2. 求函数x 3y -=的值域 解：∵0x ≥ 3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞ 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数 ]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得： 4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用) 例4. 求函数 22 x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2=-+- （1）当1y ≠时，R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2≥----=? 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而??????∈23,211 故函数的值域为????? ?23,21

例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域 解：两边平方整理得： 0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈ ∴ 0y 8)1y (42≥-+=? 解得：21y 21+≤≤- 但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤ 由0≥?，仅保证关于x 的方程： 0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥?求出 的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为????? ?23,21。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵2x 0≤≤ 0)x 2(x x y ≥-+=∴ 21y ,0y min +==∴代入方程（1） 解得：] 2,0[22 222x 41∈-+= 即当22222x 41-+=时， 原函数的值域为：]21,0[+ 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6. 求函数6x 54 x 3++值域 解：由原函数式可得： 3y 5y 64x --= 则其反函数为：3x 5y 64y --=，其定义域为：53x ≠ 故所求函数的值域为：33(,)(,)55 -∞?+∞

函数值域求法十一种

函数值域求法十一种 尚化春 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数 x 1 y = 的值域。 解：∵0x ≠ ∴0 x 1 ≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 例2. 求函数x 3y - =的值域。 解：∵0x ≥ 3x 3,0x ≤- ≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞ 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-=的值域。 解：将函数配方得：4)1x (y 2 +-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y m i n =，当1x -=时，8y m a x = 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法 例4. 求函数2 2 x 1x x 1y +++= 的值域。 解：原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2 =-+- （1）当1y ≠时，R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2 ≥----=? 解得：23y 2 1 ≤ ≤ （2）当y=1时，0x =，而? ?? ???∈23,211

专题一：求函数值域十六法

求函数值域方法 求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。本文谈一些求函数值域的方法，仅作抛砖引玉吧。 一、基本知识 1． 定义：因变量y 的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2． 函数值域常见的求解思路： ⑴．划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。 ⑵．反解函数，将自变量x 用函数y 的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y 的不等式，解不等式即可获解。 ⑶．可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数()y f x =看作是关于自变量x 的方程，在值域中任取一个值0y ，0y 对应的自变量0x 一定为方程()y f x =在定义域中的一个解，即方程()y f x =在定义域内有解；另一方面，若y 取某值0y ，方程()y f x =在定义域内有解0x ，则0y 一定为0x 对应的函数值。从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x 的方程()y f x =在定义域内有解的y 得取值范围。 特别地，若函数可看成关于x 的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。 ⑷．可以用函数的单调性求值域。 ⑸．其他。 3． 函数值域的求法 （1）、直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。 例1：求函数()1y x =≥的值域。 ) +∞ 例2：求函数y = [)1,+∞ 例3：求函数1y = 的值域。 0≥11≥， ∴函数1y = 的值域为[1,) +∞。 （2）、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2 ()()()F x a f x b f x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。 例1：求函数2 42y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 解：2 2 42(2)6y x x x =-++=--+，

高中数学-函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

函数解析式求法和值域求法总结

2[()]()()f f x af x b a ax b b a x ab b =+=++=++函 数 解 析 式 及值域专题 一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法． 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ． 解：设b ax x f +=)()0(≠a ，则 ∴?? ?=+=3 42b ab a ， ∴????? ?=-===3212b a b a 或 ． 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 ． 二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式常用配凑法．但要注 意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域． 例2 已知221 )1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式． 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x ， 2)(2 -=∴x x f )2(≥x ． 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式．与配 凑法一样，要注意所换元的定义域的变化． 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ． 解：令1+= x t ，则1≥t ，2)1(-=t x ． x x x f 2)1(+=+， ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x ， x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x ． 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法． 例4已知：函数)(2 x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式． 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点． 则 ?????=+'-=+'32 22y y x x ，解得：???-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上 ， x x y '+'='∴2．

专题三 函数的值域的求法

专题三例谈函数值域的求法 【本课重点】1、理解函数值域与函数定义域和解析式之间的关系 2、掌握常见函数的值域， 3、借助常见函数（一次函数、反比例函数、二次函数）的值域及它们的图象来研究一些可化为它们的函数的值域 【预习导引】 1.函数11 y x =+的的值域是()A.R B.(,1)(1,)-∞-?-+∞ C.(0,)+∞ D.(,0)(0,)-∞?+∞ 2.函数y = ()A.[1,) +∞ B.[0,3] C.[0,3]D[0,1]3(1)}{) 5,4,3,2,1(,12∈+=x x y (2)y=|x-1|-1,x ∈[-1,2](3)2,[1,4]y x x =-∈(4)2241,([0,5)) y x x x =-+∈4.函数23(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤??=+<≤??-+>?的最大值是____________. 【三基探讨】 【典例练讲】 1．配方法 主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题． 例1．设02x ≤≤，求函数1()432 1x x f x +=-+ 的值域．解：12()4321(23)8x x x f x +=-+=-- ， 02x ∵≤≤，24x 1∴≤≤．

∴当23x =时，函数取得最小值8-；当21x =时，函数取得最大值4-， ∴函数的值域为[84]--，． 评注：配方法往往需结合函数图象求值域． 2．单调性法 单调性法是求函数值域的常用方法，就是利用我们所学的基本初等函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域． 例2．函数2 1()f x x x =+，(1)x -≤的值域是．解析：函数2y x =和1y x =在(1]-∞-，上都是减函数，所以min (1)0y f =-=，所以函数()f x 的值域为[0)+∞，． 3．数形结合法 对于一些函数（如二次函数、分段函数等）的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程大大简化． 例3．求函数2223(20)()23(03) x x x f x x x x ?+--

高中数学求函数值域的方法十三种审批稿

高中数学求函数值域的 方法十三种 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

高中数学：求函数值域的十三种方法 一、观察法（☆ ） 二、配方法（☆） 三、分离常数法（☆） 四、反函数法（☆） 五、判别式法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 七、函数有界性 八、函数单调性法（☆） 九、图像法（数型结合法）（☆） 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、 十三、一一映射法 十四、 多 种 方 法 综 合 运 用 一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。 【例1】 求函数1y =的值域。 11≥， ∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【例2】求函数 x 1 y = 的值域。 【解析】∵0x ≠ ∴0 x 1≠ 显然函数的值域是： ),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。

【解析】因为{}2,1,0,1- =f f，()1 1- f所以： = 2 0= f，()()0 ∈ 3 x，而()()3 -f = 1= {}3,0,1- ∈ y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x∈，则函数的值域为{}1 y。 y ≥ |- 二．配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2 =++的 F x af x bf x c ()()() 函数的值域问题，均可使用配方法。 【例1】求函数225,[1,2] y x x x =-+∈-的值域。 【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当时，故函数的值域是：[4，8] 【变式】已知，求函数的最值。 【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。 图2

含根式函数值域的求法

含根式函数值域的几何求法 函数值域和最大值、最小值问题是高中数学中重要的问题，其求解的方法很多，常见的解法有：观察法、配方法、均值不等式法、反函数法、换元法、判别式法、单调函数法、图解法等。其中，利用数形结合来求函数的值域，尤其是含根式函数的值域，具有其独特的效果，它能够把满足题意的几何图形画出来，生动形象的直观图，提示和启发我们的解题思路，有时，图形式直接提供了我们寻求的答案，因此，几何法既可以使题意更加明确，又可以使运算得到简化。 例1 求函数312+-+=x x y 的最小值. 解：由03≥+x 得：3-≥x . 令???≥+=-≥+=) 0(3)5(12v x v u x u ，消去x 得：)0,5()5(212≥-≥+=v u u v 则点()v u ,在)5(2 12+=u v 的抛物线段上，又在直线y u v -=上，如图1，易知，当直线与抛物线相切时，－y 取最大值，取y 最小值。 联立方程组?????-=+=y u v u v )5(212， 消去u 整理得： 0522=---y v v ，由△=0， 即：0)5(24)1(2=--??--y 解得：=y 8 41-. ∴ 原函数的最小值为841- . 评注：本题可以利用代数换元法，将含根式函数的值域问题转化为二次型函数在某区间上的值域问题，其解题过程中运算量并不大，而且不难接受理解。因此，本题利用构造直线与抛物线进行求解，并没有真正体现出几何解法的优越性。 图1

例2 求函数131-++-=x x y 的值域. 分析：本题不能用换元法进行求解，因此，我们也来尝试利用几何解法。 解：由???≥+≥-0301x x 解得：13≤≤-x . 令???≤≤+=≤≤-=)20(3)20(1v x v u x u ，消去x 得：)20,20(422≤≤≤≤=+v u v u 则点()v u ,在422=+v u 的园弧上，又在直线1++-=y u v 上， 如图2，显然OB y OA ≤+≤1 又 ∵ 22,2==OB OA ∴ 1221-≤≤y 即为原函数所求的值域。 例3 求函数106422+-++=x x x y 的最小值. 分析：当我们把106422+-++=x x x y 化为： y 2222)10()3()20()0(-+-+-+-=x x 时，容易联想到两点间距离。 解： 106422+-++=x x x y 2222)10()3()20()0(-+-+-+-=x x 设P （x , 0），A （0, 2），B （3, 1），则问题转化 为在x 轴上找一点P ，使得P 到A 、B 两点的 距离之和最小。如图3，易求得点A 关于x 轴 的对称点A / 的坐标为（0, －2），则： B A BP P A BP AP //=+=+即为最小. ∴ 32)12()30(22/min =--+-==B A y . 评注：本题可用判别式法以及构造复数由模的重 要不等式进行求解，但是判别式法计算量很大，不易 图2 图3

高中数学求函数值域的类题型和种方法

高中数学求函数值域的类 题型和种方法 Last updated on the afternoon of January 3, 2021

求函数值域的 7类题型和16种方法 一、函数值域基本知识 1．定义：在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2．确定函数的值域的原则 ①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合； ②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数()y f x =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地，常见函数的值域： 1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 2.二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞?? ?? ，当0a <时的值域为24,4ac b a ?? --∞ ???.， 3.反比例函数()0k y k x = ≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.

6.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型 题型一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值） 1、一次函数：()0y ax b a =+≠当其定义域为R ，其值域为R ； 2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值，只需分别求出()(),f m f n ，并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时，需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域（最值） 1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，当其定义域为R 时，其值域为 ()()22 4 044 04ac b y a a ac b y a a ?-≥>???-?≤时，()2b f a -是函数的最小值，最大值为(),()f m f n 中 较大者；当0a <时，()2b f a -是函数的最大值，最大值为 (),()f m f n 中较小者。 （2）若[],2b m n a - ?,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大（小）值。 特别提醒： ①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时，要结合图像来确函数的值域； ③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。 例1：已知()22f x x --的定义域为[)3,-+∞，则()f x 的定义域为(],1-∞。 例2：已知()211f x x -=+，且()3,4x ∈-，则()f x 的值域为()1,17。 题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{}0x x ≠，值域为{}0y y ≠ 2、形如：cx d y ax b +=+的值域：

函数值域求法十一种

函数值域求法十一种 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数x 1y = 的值域。 解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 例2. 求函数x 3y - =的值域。 解：∵0x ≥ 3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞ 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-=的值域。 解：将函数配方得： 4)1x (y 2 +-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法 例4. 求函数 22x 1x x 1y +++= 的值域。 解：原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2=-+- （1）当1y ≠时，R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2≥----=? 解得：23y 2 1≤ ≤

（2）当y=1时，0x =，而? ?????∈23,211 故函数的值域为? ?????23,21 例5. 求函数) x 2(x x y -+ =的值域。 解：两边平方整理得： 0y x )1y (2x 22 2=++-（1） ∵R x ∈ ∴ 0y 8)1y (42 ≥-+=? 解得：21y 21+≤≤- 但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤ 由0≥?，仅保证关于x 的方程： 0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0 ≥?求出的围可能比y 的实际围大，故不能确定此函数的值域为? ?? ???23,21。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵2x 0≤≤ )x 2(x x y ≥-+=∴ 21y ,0y min + ==∴代入方程（1） 解得：] 2,0[2 2 222x 41∈-+= 即当 22222x 41-+= 时， 原函数的值域为：]21,0[+ 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6. 求函数6x 54 x 3++值域。 解：由原函数式可得： 3 y 5y 64x --=

高中数学求值域的10种方法

求函数值域的十种方法 一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1．求函数1y = 的值域。 【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【练习】 1．求下列函数的值域： ①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(； ③1 += x x y ； ○ 4()112 --=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。 【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)(1,)-∞+∞U ；○4{1,0,3}-。 二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如 2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。 例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。 ∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。 ∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。 例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设： )0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得 ][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ?∈?。 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为： 0)(≥x f 。 例4．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。

专题_高中函数值域的求法(讲义与练习)+

专题 求函数值域的常用方法及值域的应用 三、值域的概念和常见函数的值域 ........................................................................................ - 1 - 四、求函数值域（最值）的常用方法 ..................................................................................... - 1 - 4.1.直接法 ................................................................................................................. - 1 - 4.2配方法 .................................................................................................................. - 2 - 4.3换元法 .................................................................................................................. - 3 - 4.4基本不等式法 ........................................................................................................ - 4 - 4.5函数的单调性（导数）法 ......................................................................................... - 5 - 4.6数形结合法 ........................................................................................................... - 7 - 4.7函数的有界性法 ..................................................................................................... - 8 - 4.8分离常数法 ........................................................................................................... - 9 - 4.8 三角函数中的值域问题 ......................................................................................... - 10 - 五、高考真题汇编 ............................................................................................................ - 11 - 三、值域的概念和常见函数的值域 1、定义：函数值y 的取值围叫做函数的值域（或函数值的集合）。 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 2、常见函数的值域： 一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞?? ?? ，当0a <时的值域为24,4ac b a ?? --∞ ?? ?.， 反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R. 正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 四、求函数值域（最值）的常用方法 4.1.直接法 从自变量x 的围出发，推出()y f x =的取值围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。

高一数学函数解析式的七种求法

高一数学函数解析式的七种求 法(总4页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除

函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则 二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 例2 已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点 则?????=+'-=+'32 22y y x x ，解得：???-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上 把???-='--='y y x x 64代入得： 整理得672---=x x y