金融工程复习题及参考答案

远期习题

1、交易商拥有1亿日元远期空头，远期汇率为0.008美元/日元。如果合约到期时汇率分别为0.0074美元/日元和0.0090美元/日元，那么该交易商的盈亏如？

2、当前黄金价格为500美元/盎司，1年远期价格为700美元/盎司。市场借贷年利率（连续复利）为10%，假设黄金的储藏成本为0，请问有无套利机会？如果存在套利机会，设计套利策略。

3、每季度计一次复利的年利率为14%，请计算与之等价的每年计一次复利的年利率和连续复利年利率。

4、假设连续复利的零息票利率如下：

请计算第2、3、4、5年的连续复利远期利率。

5、假设连续复利的零息票利率分别为：

请计算第2、3、4、5、6季度的连续复利远期利率。

6、假设一种无红利支付的股票目前的市价为20元，无风险连续复利年利率为10%，求该股票3个月期远期价格。

7、某股票预计在2个月和5个月后每股派发1元股息，该股票日前市价等于30，所有期限的无风险连续复利年利率均为6％，某投资者刚取得该股票6个月期的远期合约空头，

请问：1）该远期价格等于多少?若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始值等于多少? 2）3个月后，该股票价格涨到35元，无风险利率仍为6％，此时远期价格和该合约空头价值等于多少?

8、假如英镑与美元的即期汇率是1英镑＝1.6650美元，远期汇率是1英镑＝1.660美元，6个月期美元与英镑的无风险连续复利年利率分别是6％和8％，问是否存在套利机会？如存在，如套利?

9、假设某公司计划在3个月后借入一笔为期6个月的1000万美元的浮动利率债务。根据该公司的信用状况，该公司能以6个月期的LIBOR 利率水平借入资金，目前6个月期的LIBOR 利率水平为6%，但该公司担心3个月后LIBOR 会上升，因此公司买入一份名义本金为1000万美元的3X9的远期利率协议。假设现在银行挂出的3X9以LIBOR 为参照利率的远期利率协议报价为6.25%。设3个月后6月期的LIBOR 上升为7%和下降为5%，则该公司远期利率协议盈亏分别为多少？该公司实际的借款成本为多少？

参考答案

1、如果到期时即期汇率为0.0074美元/日元，则交易商盈利（0.008-0.0074）x1亿=6万美元；如果到期时即期汇率为0.0090美元/日元，则交易商亏损（0.0090-0.008）x1亿=10万美元。

2、理论远期价格0.1*1500*500*1.105552.5F e ===美元/盎司，由于市场的远期价格大于理论远期价格，存在套利机会。套利策略为期借款500美元，买入一盎司黄金现货，同时卖出一盎司远期黄金。一年后进行交割黄金远期，得到700美元，偿还借款本息552.5美元，获利147.5美元。

3、由40.14(1)14A r +

=+，可得14.75%A r = 由40.14(1)4

c r e +=，可得13.76%c r =。 4、由()()()s

s F L S L L r T t r T T r T t e e e ---= 得()()L L S S F L s

r T t r T t r T T ---=- 因此，第二年的远期利率213.0%*212.0%*114.0%21

F r -=

=- 第三年的远期利率313.7%*313.0%*215.1%32

F r -==- 第四年的远期利率414.2%*413.7%*315.7%43

F r -==- 第五年的远期利率514.5%*514.2%*415.7%54F r -==-

5、由()()L L S S F L s

r T t r T t r T T ---=- 第二季度的远期利率为28.2%*0.58.0%*0.258.4%0.25

F r -== 第三、四、五、六季度远期利率略。

6、()0.1*0.252020*1.02520.5r T t F Se e -====

7、1）()0.06*2/120.06*5/120.06*6/12(0,6)()(30)28.89r T t F S I e e e e ---=-=--=

交割价格等于远期价格时，远期合约价值为0。

2）三个月时，远期价格()0.06*2/120.06*3/12(3,6)()(35)35.03r T t F S I e

e e --=-=-=

三个月时空头的价值为 (0.06*3/12)(0.06*3/12)0.06*2/12(0,6)(35)28.89*(35) 5.55F e I e e -----=--=-

8、()()(0.060.08)*0.51.665* 1.6567f r r T t F Se e ---===

存在套利机会。套利者借入1.665美元，换成1英镑，投资于英镑市场六个月，同时以1英镑=1.660的价格卖出远期英镑0.08*0.5e

，则六个月后，套利者获得1.660*0.08*0.5e 美元，归还1.665*0.06*0.5e 美元，套利者可以获利0.08*0.50.06*0.51.660* 1.665*0e e ->美元。

9、当利率上升到7%时，远期利率协议的盈利为：

(7% 6.25%)*1000*0.536231.8817%*0.5

-=+ 当利率下降到5%时，远期利率协议的亏损为：

(6.25%5%)*1000*0.560975.6115%*0.5

-=+ 该公司的实际借款成本为6.25%。因为，假设3个月后利率上升到7%，该公司将获得36231.88美元的结算金，他可按当时的即期利率7%将结算金贷出6个月。9个月后，该公司收回37500美元的本息，刚好抵消掉多支付的37500美元的利息，从而公司的实际借款利率固定在6.25%的水平上。3个月后利率下降到5%时（分析略），该公司的实际借款成本也为6.25%。

期货习题

1、设2007年10月20日小麦现货价格为1980元/吨，商品交易所2008年1月小麦期货合约报价为2010元。面粉加工厂两个月后需要100吨小麦，为了规避小麦价格上升的风险，面粉加工厂可以怎样进行套期保值？（假设一单位小麦现货正好需要1单位小麦期货进行套期保值，小麦期货合约规模为10吨）。假设2007年12月20日小麦现货价格变为2020元，2008年1月小麦期货价格变为2040元/吨。则2007年10月20日和2007年12月20日小麦基差分别为多少？套期保值后，面粉加工厂获得的小麦的有效买价为多少？

2、活牛即期价格的月度标准差为1.2每分/磅，活牛期货合约价格的月度标准差为1.4

每分/磅，期货价格与现货价格的相关系数为0.7，现在是10月15日，一牛肉生产商在11月15日需购买200000磅的活牛。生产商想用12月份期货合约进行套期保值，每份期货合约规模为40000磅，牛肉生产商需要采取种套期保值策略。

3、假设2007年10月20日商品交易所大豆商品08年1月，3月，5月的期货合约的期货价格分别为4400，4520，4530，投机者预测大豆08年大豆期货价格应该大致在１月和５月的中间位置，则其应该怎样投机？假设11月20日时，大豆商品08年1月，3月，5月的期货合约的期货价格分别变为4500，4580，4630，则投机者获利或亏损多少？

参考答案

1、 买入10份08年1月的小麦期货合约来避险。

07年10月20日的基差为1980-2010=-30元/吨

07年12月20日的基差为2020-2040=-20元/吨

有效买价为：2020-（2040-2010）=1990元/吨。

2、S F 1.2h 0.70.61.4

δρδ=*=?= 200000

h 0.6340000=?

=?=需保值现货的面值

需要买进的期货合约数份每份期货和约的面值 3、10月20日：投机者卖出2份08年3月份的期货合约，买入一份08年1月份的期货合约，买入一份08年5月份的期货合约。

11月20日，由于投机者预测正确，其能够获利。获利为：（4520-4400）-（4580-4500）+（4630-4580）-（4530-4520）=80。

期权习题

1、期权价格的主要影响因素有哪些？与期权价格呈种关系？

2、谓欧式看跌看涨期权平价关系？

3、6个月后到期的欧式看涨期权的价格为2美元，执行价格为30美元，标的股票价格为29美元，预期2个月和5个月后的股利均为0.5美元，无风险利率为10%，利率期限结构是平坦的。6个月后到期的执行价格为30美元的欧式看跌期权的价格为多少？

4、证明1f d r u <+< 或rT d e u <<

5、假设某种不支付红利的股票市价为42元，无风险利率为10%，该股票的年波动率为20%，求该股票协议价格为40元，期限为6个月的欧式看涨期权和看跌期权价格分别为多少？

6、某股票目前价格为40元，假设该股票1个月后的价格要不42元，要不38元。无风险年利率（年度复利）为8%，请问一个月期的协议价格等于39元的欧式看涨期权的价格等于多少？

7、三种同一股票的看跌期权具有相同的到期日，其执行价格分别是55美元、60美元、65美元，市场价格分别为3美元、5美元和8美元。解释怎样构建蝶式价差。用图表表示这一策略的利润。股价在什么围该策略将导致损失呢？

8、假设你是一家负债率很高的公司的唯一股东，该公司的所有债务在1年后到期。如果到时公司的价值V 高于债务B ，你将偿还债务。否则的话，你将宣布破产并让债权人接管公司。

1）请将你的股权E 表示为公司价值的期权；

2）请将债权人的债权表示为公司价值的期权。

9、标的股票价格为31元，执行价格为30元，无风险年利率为10%，3个月期的欧式看涨期权价格为3元，欧式看跌期权价格为2.25元，如套利？如果看跌期权价格为1元呢？

参考答案

1、

2、欧式看跌-看涨平价关系（put-call parity ）是指看跌期权的价格与看涨期权的价格，必须维持在无套利机会的均平的价格关系。如果该价格关系被打破，则在这两种价格之间存在着无风险套利机会。如果期权的有效期标的资产不产生收益时，欧式看跌-看涨之间满足c+ Ke

-r(T-t)=p+S 的平价关系；如果期权有效期标的资产产生收益的现值为D ，欧式看跌-看涨之间满足c+ D+Ke -r(T-t)=p+S 的平价关系。

3、 0.1*2/120.1*5/120.6*6/1220.5*0.5*30*292.508

rT p c D Ke S

e e e ----=+

+-=+++-=

4、设1f r u +>，则套利者套利策略为

1f r d +<时的套利策略（略）。

5、210.7693d == 220.6278d == 且0.1*0.540*38.049rT Ke e --==

查表得：

(0.7693)0.7791,(0.7693)0.2209(0.6278)0.7349,(0.6278)0.2651

N N N N =-==-= 因此：42(0.7693)38.049(0.6278) 4.76c N N =-=

38.049(0.6278)42(0.7639)0.81p N N =---=

6、max(4239,0)3u C =-=，max(3839,0)0d C =-=

42/40 1.05u ==，38/400.95d ==

(1)/()f p r d u d =+--=（1+0.08/12-0.95）/（1.05-0.95）≈0.57

由((1))/(1)u d f C pC p C r =+-+=（0.57*3+0）/（1+0.08/12）=1.70。

7、买一个执行价格为55的看跌，支付3元，买一个执行价格为65的看跌，支付8元，卖两个执行价格为60的看跌，收到10元。其损益图如下：

当股价小于56或大于64时，该策略将亏损（不考虑期权费的时间价值）。

8、1）股权价值)0,B V (Max E -=

2）债券价值为)0,B V (Max V E V --=-

9、1）当 2.25p =时，()32.26,33.25r T t c Xe p S --+=+=，所以正确套利法为买入看涨期权，卖空看跌期权和股票，将净现金收入30.25元进行3个月的无风险投资，到期时将获得31.02元。如果到期时股票价格高于30元，将执行看涨期权，如果低于30元，看跌期权将被执行，因此无论如，投资者均将按照30元购买股票，正好用于平仓卖空的股票，因此将获得净收益1.02。

2）当1p =时，()32.26,32r T t c Xe p S --+=+=，所以正确套利法为卖出看涨期权，买入看跌期权和股票，需要的现金以无风险利率借入，到期时需偿付的现金流将为29.73，如果到期时股票价格高于30元，看涨期权将被执行，如果低于30元，投资者将执行看跌期权，因此无论如，投资者均将按照30元出售已经持有的股票，因此将获得净收益0.27。

S T

互换习题

1、甲公司和乙公司各自在市场上的10年期500万美元的投资可以获得的收益率为： 公司 固定利率 浮动利率

甲公司 8.0% LIBOR

乙公司 8.8% LIBOR

甲公司希望以固定利率进行投资，而乙公司希望以浮动利率进行投资。请设计一个利率互换，其中银行作为中介获得报酬为0.2%的利差，而且要求互换对双具有同样的吸引力。

2、甲公司希望以固定利率借入100万美元，而乙公司希望以固定利率借入1亿日元，现时汇率为1美元=100日元。市场对这两个公司的报价如下：

公司 日元 美元

甲公司 5.0% 9.6%

乙公司 6.5% 10%

请设计一个货币互换，银行获得的报酬为0.5%，而且要求互换对双具有同样的吸引力，汇率风险由银行承担。

参考答案

1、互换总的收益为（8.8%-8.0%）-( LIBOR- LIBOR)=0.8%

中介银行获得0.2的利差，且要求互换对双具有同样吸引力，则每一的收益为（0.8%-0.2%）/2=0.3%。互换合约可设计如下：

LIBOR LIBOR

2、互换总的收益为（6.5%-5.0%）-( 10%- 9.6%)=1.1%

中介银行获得0.5的利差，且要求互换对双具有同样吸引力，则每一的收益为

（1.1%-0.5%）/2=0.3%。

1）货币互换初始现金流图

1亿日元 1亿日元

2）货币互换利息支付现金流图

美元利息9.3% 美元利息10%

3）货币互换期末本金支付现金流图

100万美元 100万美元

注：粗略答案，未经复核，仅供参考。