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线代答案

第五章 相似矩阵及二次型

1.试用施密特法把下列向量组正交化:
(1) ;
(2)
解(1)根据施密特正交化方法:



故正交化后得:
(2)根据施密特正交化方法令


故正交化后得

2.下列矩阵是不是正交阵:
(1) ; (2)
解(1)第一个行向量非单位向量,故不是正交阵。
(2)该方阵每一个行向量均是单位向量,且两两正交,故为正交阵。

3.设 与 都是 阶正交阵,证明 也是正交阵。
证明 因为 是 阶正交阵,故 ,

故 也是正交阵。

4.求下列矩阵的特征值和特征向量:
(1) ; (2) ; (3) .
并问它们的特征向量是否两两正交?
解 (1)①
故 的特征值为
②当 时,解方程 ,由
得基础解系
所以 是对应于 的全部特征值向量。
当 时,解方程 ,由
得基础解系
所以 是对应于 的全部特征向量。

故 不正交。

(2)①
故 的特征值为
②当 时,解方程 ,由
得基础解系
故 是对应于 的全部特征值向量.
当 时,解方程 ,由
得基础解系
故 是对应于 的全部特征值向量
当 时,解方程 ,由
得基础解系
故 是对应于 的全部特征值向量



所以 两两正交。

(3)
=

,
当 时



取 为自由未知量,并令 ,设 .
故基础解系为
当 时


可得基础解系

综上所述可知原矩阵的特征向量为


5.设方阵 与 相似,求 。
解 方阵 与 相似,则 与 特征多项式相同,即



6.设 都是 阶方阵,且 ,证明 与 相似。
证明 则 可逆
则 与 相似。

7.设3阶方阵 的特征值为 ;对应的特征向量依次为
, ,
求 。
解 根据特征向量的性质知 可逆,
得:
可得


8.设3阶实对阵 的特征值6,3,3为与特征值6对应的特征向量为 ,求 。
解 设
由 知①
3是 的二重特征值,根据实对称阵的性质定理知 的秩为1
故利用①可推出
秩为1.
则,存在实的 使得② 成立。
由①②解得


9.试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称阵化为对角阵:
(1) ;(2)
解(1)
故得特征值为
当 时,由
解得
单位特征向量可取:
当 时,由
解得
单位特征向量可取:
当 时,由
解得
单位特征向量可取:
得正交阵

(2)
故得特征值为
当 时,由
解得
此二个向量正交,单位化后,得两个单位正交的特征向量

单位化得
当 时,由
解得
单位化 :得正交阵



10.(1) 设 ,求 ;
(2) 设 ,求
解 (1) 是实对称矩阵.
故可找到正交变换矩阵
使得
从而
因此



(2)同(1)求得正交相似变换矩阵

使得




11.用矩阵记号表示下列二次型:
(1) ;
(2)
(3)
解 (1)
(2)
(3)

12.求一个正交变

换将下列二次型化成标准形:
(1) ;
(2)
解 (1)二次型的矩阵为

故 的特征值为
当 时, 解方程 ,由

得基础解系 。取
当 时,解方程 ,由

得基础解系 取
当 时,解方程 ,由

得基础解系 取
于是正交变换为

且有
(2)二次型矩阵为

故 的特征值为
当 时,可得单位特征向量
当 时,可得单位特征向量
当 时,可得单位特征向量 ,
于是正交变换为

且有

13.证明:二次型 在 时的最大值为方阵 的最特征值。
证明 为实对称矩阵,则有一正交阵 ,使得
成立
其中 为 的特征值,不妨设 最大
为正交阵,则 且 ,故

其中
当 时
即 即

故得证。

14.判别下列二次型的正定性:
(1) ;
(2)

解 (1) ,
, ,
故 为负定。
(2) , , ,
,
故 为正定。

15.设 为可逆矩阵, 证明 为正定二次型。
证明 设





若“ ”成立,则 成立。
即对任意 使 成立。
则 线性相关, 的秩小于 ,则 不可逆,与题意产生矛盾。于是 成立。
故 为正定二次型。

16.设对称阵 为正定阵,证明:存在可逆矩阵 ,使 。
证明: 正定,则矩阵 满秩,且其特征值全为正。
不妨设 为其特征值
由定理8知,存在一正交阵
使

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