运筹学上机实验报告
西华大学上机实验报告
实验成绩：
课程名称：运筹学年级/专业：2011级水利
水电工程
指导教师：施浩然姓名：张晓实验日期：2013年10月实验名称：线性规划求解、运输问题、整数规划求解学号：310211*********实验学时：2
一、实验目的
掌握线性规划求解的基本方法，熟悉灵敏度分析的步骤和内容；掌握运输问题的模型，概念，求解方法；掌握整数规划的算法。在熟悉lingo软件基本功能基础上，能熟练操作，正确完成模型求解过程及分析过程。
二、实验内容或设计思想
1．lingo软件或运筹学实验软件的安装及菜单熟悉了解；
2．lingo软件或运筹学实验软件应用内容：任选几种不同类型的LP输入计算程序，运行求解；完成产销平衡的运输问题求解；求解任一整数规划。
三、实验环境与工具
计算机、lingo软件
四、实验过程或实验数据
1.用lingo求解线性规划
某家具公司制造书桌、餐桌和椅子，所用的资源有三种：木料、木工和漆工。生产数据如下表所示：
每个书桌每个餐桌每个椅子现有资源总数
木料6单位6单位2单位50单位
漆工4单位2单位 1.5单位20单位
木工2单位2单位 1.5单位10单位
成品单价70单位30单位20单位
若要求桌子的生产量不超过5件，如何安排三种产品的生产可使利润最大？
用DESKS、TABLES和CHAIRS分别表示三种产品的生产量，建立LP模型。
则使用LINGO软件，编制程序如下：
max=70*desks+30*tables+20*chairs;
6*desks+6*tables+2*chairs<=50;
4*desks+2*tables+1.5*chairs<=20;
2*desks+2*tables+1.5*chairs<=10;
tables<=5;
求解这个模型，并激活灵敏性分析。这时，查看报告窗口（Reports Window）,可以看到如下结果。
Global optimal solution found.
Objective value:350.0000
Infeasibilities:0.000000
Total solver iterations:1
Variable Value Reduced Cost
DESKS 5.0000000.000000
TABLES0.00000040.00000
CHAIRS0.00000032.50000
Row Slack or Surplus Dual Price
1350.0000 1.000000
220.000000.000000
30.0000000.000000
40.00000035.00000
5 5.0000000.000000
即最优解为：DESKS=5,TABLES=CHAIRS=0，最优值为max=350
2.用运筹学实验软件计算运输问题和整数规划问题
使用LINGO软件计算运输问题和整数规划问题
使用LINGO软件，编制程序如下：
model:
!6发点7收点运输问题;
sets:
warehouses/wh1..wh6/:capacity;
vendors/v1..v7/:demand;
links(warehouses,vendors):cost,volume;
endsets
!目标函数;
min=@sum(links:cost*volume);
!需求约束;
@for(vendors(J):
@sum(warehouses(I):volume(I,J))=demand(J));
!产量约束;
@for(warehouses(I):
@sum(vendors(J):volume(I,J))<=capacity(I));
!这里是数据;
data:
capacity=605551434152;
demand=35372232413243;
cost=5267429
4953858
5219743
7673927
2395726
5522814;
enddata
end
在LINGO软件中使用SOLVE命令，得到如下结果：
Global optimal solution found.
Objective value:625.0000 Infeasibilities:0.000000
Total solver iterations:13
Variable Value Reduced Cost CAPACITY(WH1)60.000000.000000
CAPACITY(WH2)55.000000.000000
CAPACITY(WH3)51.000000.000000
CAPACITY(WH4)43.000000.000000
CAPACITY(WH5)41.000000.000000
CAPACITY(WH6)52.000000.000000
DEMAND(V1)35.000000.000000
DEMAND(V2)37.000000.000000
DEMAND(V3)22.000000.000000
DEMAND(V4)32.000000.000000
DEMAND(V5)41.000000.000000
DEMAND(V6)32.000000.000000
DEMAND(V7)43.000000.000000 COST(WH1,V1) 5.0000000.000000
COST(WH1,V2) 2.0000000.000000
COST(WH1,V3) 6.0000000.000000
COST(WH1,V4)7.0000000.000000
COST(WH1,V5) 4.0000000.000000
COST(WH1,V6) 2.0000000.000000
COST(WH1,V7)9.0000000.000000
COST(WH2,V1) 4.0000000.000000
COST(WH2,V2)9.0000000.000000
COST(WH2,V3) 5.0000000.000000
COST(WH2,V4) 3.0000000.000000
COST(WH2,V5)8.0000000.000000
COST(WH2,V6) 5.0000000.000000
COST(WH2,V7)8.0000000.000000
COST(WH3,V1) 5.0000000.000000
COST(WH3,V2) 2.0000000.000000
COST(WH3,V3) 1.0000000.000000
COST(WH3,V4)9.0000000.000000
COST(WH3,V5)7.0000000.000000
COST(WH3,V6) 4.0000000.000000
COST(WH3,V7) 3.0000000.000000
COST(WH4,V1)7.0000000.000000
COST(WH4,V2) 6.0000000.000000
COST(WH4,V3)7.0000000.000000
COST(WH4,V4) 3.0000000.000000
COST(WH4,V5)9.0000000.000000
COST(WH4,V6) 2.0000000.000000
COST(WH4,V7)7.0000000.000000
COST(WH5,V1) 2.0000000.000000
COST(WH5,V2) 3.0000000.000000 COST(WH5,V3)9.0000000.000000
COST(WH5,V4) 5.0000000.000000
COST(WH5,V5)7.0000000.000000
COST(WH5,V6) 2.0000000.000000
COST(WH5,V7) 6.0000000.000000
COST(WH6,V1) 5.0000000.000000 COST(WH6,V2) 5.0000000.000000 COST(WH6,V3) 2.0000000.000000
COST(WH6,V4) 2.0000000.000000 COST(WH6,V5)8.0000000.000000
COST(WH6,V6) 1.0000000.000000
COST(WH6,V7) 4.0000000.000000
VOLUME(WH1,V1)0.000000 4.000000
VOLUME(WH1,V2)19.000000.000000
VOLUME(WH1,V3)0.000000 5.000000 VOLUME(WH1,V4)0.000000 6.000000 VOLUME(WH1,V5)41.000000.000000 VOLUME(WH1,V6)0.000000 2.000000 VOLUME(WH1,V7)0.000000 6.000000 VOLUME(WH2,V1)0.000000 1.000000 VOLUME(WH2,V2)0.000000 5.000000 VOLUME(WH2,V3)0.000000 2.000000 VOLUME(WH2,V4)32.000000.000000 VOLUME(WH2,V5)0.000000 2.000000 VOLUME(WH2,V6)0.000000 3.000000 VOLUME(WH2,V7)0.000000 3.000000 VOLUME(WH3,V1)0.000000 4.000000 VOLUME(WH3,V2)12.000000.000000 VOLUME(WH3,V3)0.0000000.000000 VOLUME(WH3,V4)0.0000008.000000 VOLUME(WH3,V5)0.000000 3.000000 VOLUME(WH3,V6)0.000000 4.000000 VOLUME(WH3,V7)39.000000.000000 VOLUME(WH4,V1)0.000000 4.000000 VOLUME(WH4,V2)0.000000 2.000000 VOLUME(WH4,V3)0.000000 4.000000 VOLUME(WH4,V4)0.0000000.000000 VOLUME(WH4,V5)0.000000 3.000000 VOLUME(WH4,V6) 6.0000000.000000 VOLUME(WH4,V7)0.000000 2.000000 VOLUME(WH5,V1)35.000000.000000 VOLUME(WH5,V2) 6.0000000.000000 VOLUME(WH5,V3)0.0000007.000000 VOLUME(WH5,V4)0.000000 3.000000 VOLUME(WH5,V5)0.000000 2.000000 VOLUME(WH5,V6)0.000000 1.000000 VOLUME(WH5,V7)0.000000 2.000000 VOLUME(WH6,V1)0.000000 3.000000 VOLUME(WH6,V2)0.000000 2.000000 VOLUME(WH6,V3)22.000000.000000 VOLUME(WH6,V4)0.0000000.000000 VOLUME(WH6,V5)0.000000 3.000000 VOLUME(WH6,V6)26.000000.000000 VOLUME(WH6,V7) 4.0000000.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1625.0000-1.000000
20.000000-3.000000
30.000000-4.000000
40.000000-3.000000
50.000000-3.000000
60.000000-6.000000
70.000000-2.000000
80.000000-5.000000
90.000000 2.000000
1023.000000.000000
110.000000 2.000000
1237.000000.000000
130.000000 1.000000
140.000000 1.000000
即此运输问题产量大于销量。最优方案为：A1给B1运输19，给B5运输41;A2给B4运输32; A3给B2运输12，给B7运输39;A4给B6运输6;A5给B1运输35，给B2运输6; A6给B3运输22，给B6运输26，给B7运输4，
总运输费用为625。
示例2：使用LINGO软件计算3个发点4个收点的最小费用运输问题。产销单位运价如下
使用LINGO软件，编制程序如下：
model:
!3发点4收点运输问题;
sets:
warehouses/wh1..wh3/:capacity;
vendors/v1..v4/:demand;
links(warehouses,vendors):cost,volume;
endsets
!目标函数;
min=@sum(links:cost*volume);
!需求约束;
@for(vendors(J):
@sum(warehouses(I):volume(I,J))=demand(J));
!产量约束;
@for(warehouses(I):
@sum(vendors(J):volume(I,J))<=capacity(I));
!这里是数据;
data:
capacity=749;
demand=3656;
cost=311310
1928
74105;
enddata
end
在LINGO软件中使用SOLVE命令，得到如下结果：
Global optimal solution found.
Objective value:85.00000
Infeasibilities:0.000000
Total solver iterations:7
Variable Value Reduced Cost
CAPACITY(WH1)7.0000000.000000
CAPACITY(WH2) 4.0000000.000000
CAPACITY(WH3)9.0000000.000000
DEMAND(V1) 3.0000000.000000
DEMAND(V2) 6.0000000.000000
DEMAND(V3) 5.0000000.000000
DEMAND(V4) 6.0000000.000000
COST(WH1,V1) 3.0000000.000000
COST(WH1,V2)11.000000.000000
COST(WH1,V3) 3.0000000.000000
COST(WH1,V4)10.000000.000000
COST(WH2,V1) 1.0000000.000000
COST(WH2,V2)9.0000000.000000
COST(WH2,V3) 2.0000000.000000
COST(WH2,V4)8.0000000.000000
COST(WH3,V1)7.0000000.000000
COST(WH3,V2) 4.0000000.000000
COST(WH3,V3)10.000000.000000
COST(WH3,V4) 5.0000000.000000
VOLUME(WH1,V1)0.0000000.000000
VOLUME(WH1,V2)0.000000 2.000000
VOLUME(WH1,V3) 5.0000000.000000
VOLUME(WH1,V4) 2.0000000.000000
VOLUME(WH2,V1) 3.0000000.000000
VOLUME(WH2,V2)0.000000 2.000000
VOLUME(WH2,V3)0.000000 1.000000
VOLUME(WH2,V4) 1.0000000.000000
VOLUME(WH3,V1)0.0000009.000000
VOLUME(WH3,V2) 6.0000000.000000
VOLUME(WH3,V3)0.00000012.00000
VOLUME(WH3,V4) 3.0000000.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
185.00000-1.000000
20.000000-3.000000
30.000000-9.000000
40.000000-3.000000
50.000000-10.00000
60.0000000.000000
70.000000 2.000000
80.000000 5.000000
即此问题产销平衡。最优方案为：A1给B3运输5，给B4运输2;A2给B1运输3，给B4运输1; A3给B2运输6，给B4运输3，总运输费用为85。
model:
!4个工人，4个工作的分配问题;
sets:
workers/w1..w4/;
jobs/j1..j4/;
links(workers,jobs):cost,volume;
endsets
!目标函数;
min=@sum(links:cost*volume);
!每个工人只能有一份工作;
@for(workers(I):
@sum(jobs(J):volume(I,J))=1;
);
!每份工作只能有一个工人;
@for(jobs(J):
@sum(workers(I):volume(I,J))=1;
);
data:
cost=21097
154148
13141611
415139;
enddata
end
在LINGO软件中使用SOLVE命令，得到如下结果：
Global optimal solution found.
Objective value:28.00000
Infeasibilities:0.000000
Total solver iterations:6
Variable Value Reduced Cost
COST(W1,J1) 2.0000000.000000
COST(W1,J2)10.000000.000000
COST(W1,J3)9.0000000.000000
COST(W1,J4)7.0000000.000000
COST(W2,J1)15.000000.000000
COST(W2,J2) 4.0000000.000000
COST(W2,J3)14.000000.000000
COST(W2,J4)8.0000000.000000
COST(W3,J1)13.000000.000000
COST(W3,J2)14.000000.000000
COST(W3,J3)16.000000.000000
COST(W3,J4)11.000000.000000
COST(W4,J1) 4.0000000.000000
COST(W4,J2)15.000000.000000
COST(W4,J3)13.000000.000000
COST(W4,J4)9.0000000.000000
VOLUME(W1,J1)0.0000000.000000
VOLUME(W1,J2)0.0000008.000000
VOLUME(W1,J3) 1.0000000.000000
VOLUME(W1,J4)0.000000 3.000000
VOLUME(W2,J1)0.00000011.00000
VOLUME(W2,J2) 1.0000000.000000
VOLUME(W2,J3)0.000000 3.000000
VOLUME(W2,J4)0.000000 2.000000
VOLUME(W3,J1)0.000000 4.000000
VOLUME(W3,J2)0.000000 5.000000
VOLUME(W3,J3)0.0000000.000000
VOLUME(W3,J4) 1.0000000.000000
VOLUME(W4,J1) 1.0000000.000000
VOLUME(W4,J2)0.00000011.00000
VOLUME(W4,J3)0.000000 2.000000
VOLUME(W4,J4)0.000000 3.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
128.00000-1.000000
20.000000-2.000000
30.000000-4.000000
40.000000-9.000000
50.000000-4.000000
60.0000000.000000
70.0000000.000000
80.000000-7.000000
90.000000-2.000000
即此分配问题的最优方案为：甲译成俄文，乙译成日文，丙译成英文，丁译成德文，所需时间总计为28小时。
示例4：解整数规划，在lingo窗口输入以下代码：
min=2*x1+10*x2+9*x3+3*x4+x5+x6+3*x7;
4*x1+3*x2+2*x3+x4+x5>=50;
x2+3*x4+x5+3*x6>=30;
x3+x5+2*x7>=25;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);
@gin(x4);@gin(x3);@gin(x6);@gin(x7);
END
在LINGO软件中使用SOLVE命令，得到如下结果：
Global optimal solution found.
Objective value:40.00000
Objective bound:40.00000
Infeasibilities:0.000000
Extended solver steps:0
Total solver iterations:5
Variable Value Reduced Cost
X1 5.000000-2.000000
X20.0000007.000000
X30.0000007.000000
X40.000000 2.000000
X530.000000.000000
X60.000000 1.000000
X70.000000 3.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
140.00000-1.000000
20.000000-1.000000
30.0000000.000000
4 5.0000000.000000
即此线性规划的最优解为：X1=5,X2=X3=X4=0,X5=30,X6=X7=0,最优值Z=40。
五、总结
学习和使用了Lingo软件，能更快的求解线性规划和非线性规划等问题，它的功能十分强大，是求解优化模型的最佳选择，也可以将线性、非线性和整数问题迅速得予以公式表示，并且容易阅读、了解和修改。此软件就是把数学模型转译成计算机语言，并借助于计算机来求解问题，使得问题变得简单而被快速求解。其操作步骤也简单：①根据实际问题，建立数学模型，即使用数学建模的方法建立优化模型；②根据优化模型，利用LINGO来求解模型。
而一般的运输问题也可以转换成线性问题，两者的解法可以互换使用，从而也使得运输问题变得简单。
通过对Lingo软件的学习，我也能更好的使用Lingo软件，能更迅速的利用此软件来解决一般的线性问题。
西华大学上机实验报告
课程名称：运筹学年级/专业：2011级水利水电工程实验成绩：
指导教师：施浩然姓名：张晓实验日期：2013年10月实验名称：图论、动态规划求解学号：312011*********实验学时：2
一、实验目的
掌握网络图的计算机输入，求解最小树、最短路、最大流问题
二、实验内容或设计思想
首先将欲求的网络用计算机语言表达，再用lingo计算软件求出模型问题的解；
最小树应用破圈方法求解；
最大流算法用找流量可增链的方法求解；
网络最短路运用了动态规划，函数迭代、矩阵运算等的基本原理求解。
三、实验环境与工具
计算机，lingo软件
四、实验过程或实验数据
1.最小树问题
②3
24⑤
①45④3
③
11
使用LINGO软件，编制程序如下：
!最小树问题;
model:
sets:
city/1..5/:U;
link(city,city):dist,x;
endsets
data:
dist=024********
2099999943
499999905999999
114503
999999399999930;
enddata
N=@size(city);
min=@sum(link:dist*x);
@for(city(k)|k#gt#1:
@sum(city(i)|i#ne#k:x(i,k))=1;
@for(city(j)|j#gt#1#and#j#ne#k:
U(j)>=U(k)+x(k,j)-(n-2)*(1-x(k,j))+(n-3)*x(j,k););); @sum(city(j)|j#gt#1:x(1,j))>=1;
@for(link:@bin(x););
@for(city(k)|k#gt#1:
@bnd(1,U(k),999999);
U(k)<=n-1-(n-2)*x(1,k););
End
在LINGO软件中使用SOLVE命令，得到如下结果：
Global optimal solution found.
Objective value:12.00000
Objective bound:12.00000 Infeasibilities:0.000000
Extended solver steps:0
Total solver iterations:7
Variable Value Reduced Cost
N 5.0000000.000000
U(1)0.0000000.000000
U(2) 1.0000000.000000
U(3) 1.0000000.000000
U(4) 3.0000000.000000
U(5) 2.0000000.000000
DIST(1,1)0.0000000.000000
DIST(1,2) 2.0000000.000000
DIST(1,3) 4.0000000.000000
DIST(1,4)11.000000.000000
DIST(1,5)999999.00.000000
DIST(2,1) 2.0000000.000000
DIST(2,2)0.0000000.000000
DIST(2,3)999999.00.000000
DIST(2,4) 4.0000000.000000
DIST(2,5) 3.0000000.000000
DIST(3,1) 4.0000000.000000
DIST(3,2)999999.00.000000
DIST(3,3)0.0000000.000000
DIST(3,4) 5.0000000.000000
DIST(3,5)999999.00.000000
DIST(4,1)11.000000.000000
DIST(4,2) 4.0000000.000000
DIST(4,3) 5.0000000.000000
DIST(4,4)0.0000000.000000
DIST(4,5) 3.0000000.000000
DIST(5,1)999999.00.000000
DIST(5,2) 3.0000000.000000
DIST(5,3)999999.00.000000
DIST(5,4) 3.0000000.000000
DIST(5,5)0.0000000.000000
X(1,1)0.0000000.000000
X(1,2) 1.000000 2.000000
X(1,3) 1.000000 4.000000
X(1,4)0.00000011.00000
X(1,5)0.000000999999.0
X(2,1)0.000000 2.000000
X(2,2)0.0000000.000000
X(2,3)0.000000999999.0
X(2,4)0.000000 4.000000
X(2,5) 1.000000 3.000000
X(3,1)0.000000 4.000000
X(3,2)0.000000999999.0
X(3,3)0.0000000.000000
X(3,4)0.000000 5.000000
X(3,5)0.000000999999.0
X(4,1)0.00000011.00000
X(4,2)0.000000 4.000000
X(4,3)0.000000 5.000000
X(4,4)0.0000000.000000
X(4,5)0.000000 3.000000
X(5,1)0.000000999999.0
X(5,2)0.000000 3.000000
X(5,3)0.000000999999.0
X(5,4) 1.000000 3.000000
X(5,5)0.0000000.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
10.0000000.000000
212.00000-1.000000
30.0000000.000000
4 3.0000000.000000
5 5.0000000.000000
60.0000000.000000
70.0000000.000000
8 3.0000000.000000
9 5.0000000.000000
10 4.0000000.000000
110.0000000.000000
12 1.0000000.000000
13 1.0000000.000000
140.0000000.000000
150.0000000.000000
160.0000000.000000
17 2.0000000.000000
180.0000000.000000
19 1.0000000.000000
200.0000000.000000
210.0000000.000000
22 1.0000000.000000
23 2.0000000.000000
即由上面的结果可知：
最小树由（①，②），（①，③），（②，⑤），（⑤，④）组成，
最小树的树长为12。
2.最短路问题
给定10个点,各点城市之间的距离和路线如下程序所示。试用LINGO软件解网络最短路。使用LINGO软件，编制程序如下：
!最短路问题;
model:
data:
n=10;
enddata
sets:
cities/1..n/:F;!10个城市;
roads(cities,cities)/
1,21,3
2,42,52,6
3,43,53,6
4,74,8
5,75,85,9
6,86,9
7,10
8,10
9,10
/:D,P;
endsets
data:
D=
35
367
7510
51
865
49
5
7
10;
enddata
F(n)=0;
@for(cities(i)|i#lt#n:
F(i)=@min(roads(i,j):D(i,j)+F(j));
);
!显然，如果P(i,j)=1,则点i到点n的最短路径的第一步是i-->j，否则就不是。
由此，我们就可方便的确定出最短路径;
@for(roads(i,j):
P(i,j)=@if(F(i)#eq#D(i,j)+F(j),1,0)
);
end
在LINGO软件中使用SOLVE命令，得到如下结果：
Feasible solution found.
Total solver iterations:0
Variable Value
N10.00000
F(1)14.00000
F(2)11.00000
F(3)15.00000
F(4)8.000000
F(5)13.00000
F(6)11.00000
F(7) 5.000000
F(8)7.000000
F(9)10.00000
F(10)0.000000
D(1,2) 3.000000
D(1,3) 5.000000
D(2,4) 3.000000
D(2,5) 6.000000
D(2,6)7.000000
D(3,4)7.000000
D(3,5) 5.000000
D(3,6)10.00000
D(4,7) 5.000000
D(4,8) 1.000000
D(5,7)8.000000
D(5,8) 6.000000
D(5,9) 5.000000
D(6,8) 4.000000
D(6,9)9.000000
D(7,10) 5.000000
D(8,10)7.000000
D(9,10)10.00000
P(1,2) 1.000000
P(1,3)0.000000
P(2,4) 1.000000
P(2,5)0.000000
P(2,6)0.000000
P(3,4) 1.000000
P(3,5)0.000000
P(3,6)0.000000
P(4,7)0.000000
P(4,8) 1.000000
P(5,7) 1.000000
P(5,8) 1.000000
P(5,9)0.000000
P(6,8) 1.000000
P(6,9)0.000000
P(7,10) 1.000000
P(8,10) 1.000000
P(9,10) 1.000000
Row Slack or Surplus
10.000000
20.000000
30.000000
40.000000
50.000000
60.000000
70.000000
80.000000
90.000000
100.000000
110.000000
120.000000
130.000000
140.000000
150.000000
160.000000
170.000000
180.000000
190.000000
200.000000
210.000000
220.000000
230.000000
240.000000
250.000000
260.000000
270.000000
280.000000
即由上面的结果可知：
1城市到10城市的最短路长为14，最短路径为1—2—4—8—10；
2城市到10城市的最短路长为11，最短路径为2—4—8—10；
3城市到10城市的最短路长为15，最短路径为3—4—8—10；
4城市到10城市的最短路长为8，最短路径为4—8—10；
5城市到10城市的最短路长为13，最短路径为5—7—10或5—8—10；
6城市到10城市的最短路长为11，最短路径为6—8—10；
7城市到10城市的最短路长为5，最短路径为7—10；
8城市到10城市的最短路长为7，最短路径为8—10；
9城市到10城市的最短路长为10，最短路径为9—10。
3.最大流问题
5②3④5
①124⑥
3③6⑤8
使用LINGO软件，编制程序如下：
!最大流问题;
model:
sets:
nodes/1..6/;
arcs(nodes,nodes)/1,21,32,32,42,53,54,65,45,66,1/:cap,flow; endsets
max=flow(6,1);
@for(arcs(i,j):flow(i,j) @for(nodes(i):@sum(arcs(j,i):flow(j,i)) =@sum(arcs(i,j):flow(i,j))); data: cap=5,3,1,3,2,6,5,4,8,1000; enddata end 在LINGO软件中使用SOLVE命令，得到如下结果： Global optimal solution found. Objective value:8.000000 Infeasibilities:0.000000 Total solver iterations:3 Variable Value Reduced Cost CAP(1,2) 5.0000000.000000 CAP(1,3) 3.0000000.000000 CAP(2,3) 1.0000000.000000 CAP(2,4) 3.0000000.000000 CAP(2,5) 2.0000000.000000 CAP(3,5) 6.0000000.000000 CAP(4,6) 5.0000000.000000 CAP(5,4) 4.0000000.000000 CAP(5,6)8.0000000.000000 CAP(6,1)1000.0000.000000 FLOW(1,2) 5.0000000.000000 FLOW(1,3) 3.0000000.000000 FLOW(2,3) 1.0000000.000000 FLOW(2,4) 2.0000000.000000 FLOW(2,5) 2.0000000.000000 FLOW(3,5) 4.0000000.000000 FLOW(4,6) 5.0000000.000000 FLOW(5,4) 3.0000000.000000 FLOW(5,6) 3.0000000.000000 FLOW(6,1)8.0000000.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 18.000000 1.000000 20.000000 1.000000 30.000000 1.000000 40.0000000.000000 5 1.0000000.000000 60.0000000.000000 7 2.0000000.000000 80.0000000.000000 9 1.0000000.000000 10 5.0000000.000000 11992.00000.000000 120.000000 1.000000 130.0000000.000000 140.0000000.000000 150.0000000.000000 160.0000000.000000 170.0000000.000000 即由上面的结果可知：最大流值为8； 即：①到②流量为5；①到③流量为3；②到③流量为1；②到④流量为2； ②到⑤流量为2；③到⑤流量为4；④到⑥流量为5；⑤到④流量为3； ⑤到⑥流量为3。 五、总结 第二次的使用lingo软件，能更加熟练的使用，也能更好的理解答案的各个数字代表的意思。在城市公交系统线路优化问题中，利用该软件，此问题也能得到更好更快更迅速的解决。此软件操作简单，计算机语言读起来更清楚明白。