基于多目标优化的免疫遗传算法在Matlab环境中的实现

湖南工业大学学报Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｕｎａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＶｏｌ．２１　Ｎｏ．２Ｍａｒ．　２００７

第２１卷　第２期２００７年３月收稿日期：２００６－１２－２１作者简介：陈峰（１９８２－），男，湖南衡阳人，湖南工业大学硕士生，主要研究方向为计算机过程控制；

秦

斌（１９６３－），男，河北承德人，湖南工业大学教授，博士，硕士生导师，主要从事复杂系统建模与优化控制

方面的研究．

基于多目标优化的免疫遗传算法

在Ｍａｔｌａｂ环境中的实现

陈

峰，秦

斌

　（湖南工业大学　电气与信息工程学院，湖南株洲４１２００８）

摘要：阐述了基于多目标优化的免疫遗传算法基本原理，合理地在抗原聚类算法中引入孤立度算法。在该算法中，将优化问题的可行解对应于抗体及ｐａｒｅｔｏ最优个体对应于抗原，并运用改进的抗原聚类算法不断更新抗原群中的抗原，从而得到分布均匀的ｐａｒｅｔｏ最优解。并探讨了在Ｍａｔｌａｂ环境下应用免疫遗传算法实现多目标优化，主要对增强度计算、ｐａｒｅｔｏ求优、抗原聚类等进行了算法实现。并以实例说明其在Ｍａｔｌａｂ环境中实现的可行性。

关键词：多目标优化；Ｍａｔｌａｂ；ｐａｒｅｔｏ解；免疫遗传算法中图分类号：ＴＰ２７３＋．５ 文献标识码　：Ａ 文章编号：１６７３－９８３３（２００７）０２－００９２－０４

Ｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｉｍｍｕｎｅ　Ｇｅｎｅｔｉｃ　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ

　Ｍｕｌｔｉ－Ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ｉｎ　Ｍａｔｌａｂ

Ｃｈｅｎ　Ｆｅｎｇ，Ｑｉｎ　Ｂｉｎ

（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｅｌｅｃｔｒｉｃ　＆　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　，Ｈｕｎａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，　Ｚｈｕｚｈｏｕ　Ｈｕｎａｎ４１２００８，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ　：Ｔｈｅ　ｂａｓｉｃ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ　ｏｆ　ｉｍｍｕｎｅ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｍｕｌｔｉ－ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ｉｓ　ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ　ａｎｄ　ｉｎ　ａ　ｉｓｏｌａｔｉｏｎｄｅｇｒｅｅ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｉｓ　ｒａｔｉｏｎａｌｌｙ　ｌｅａｄ　ｉｎｔｏ　ｃｌｕｓｔｅｒ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．　Ｉｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，　ｔｈｅ　ｆｅａｓｉｂｌｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｒｅｇａｒｄｅｄ　ａｓ　ａｎｔｉｂｏｄｉｅｓ　ａｎｄｐａｒｅｔｏ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ａｎｔｉｇｅｎｓ　ｐｒｅｓｅｒｖｅｄ　ｉｎ　ａｎ　ａｎｔｉｇｅｎ　ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ　ｕｐｄａｔｅｄ　ｂｙ　ａ　ｉｍｐｒｏｖｅｄ　ｃｌｕｓｔｅｒ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．　Ｔｈｅｎ，　ｔｈｅｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆｍｕｌｔｉ－ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ｉｎ　Ｍａｔｌａｂ　ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　Ｉｍｍｕｎｅ　Ｇｅｎｅｔｉｃ　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｉｓ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ，　ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙｆｏｒ　ｔｈｅ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｃ　ｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｓｔｒｅｎｇｔｈ　ｄｅｇｒｅｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ，　Ｐａｒｅｔｏ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ，　ａｎｄ　ｈｙｐｅｒ　ｍｕｔａｔｉｏｎ．　Ｆｉｎａｌｌｙ，　ａ　ｐｒａｃｔｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅ　ｉｓ　ｍａｄｅ　ｔｏ　ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ　ｔｈｅ　ｆｅａｓｉｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｕｇｇｅｓｔｅｄ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｉｎ　Ｍａｔｌａｂ　ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ．

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｍｕｌｔｉ－ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ；Ｍａｔｌａｂ；ｐａｒｅｔｏ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ；Ｉｍｍｕｎｅ　Ｇｅｎｅｔｉｃ　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ

引言

许多现实中的决策问题都要考虑多个目标函数的同时优化问题，这类问题称之为多目标优化问题（Ｍｕｌｔｉ－Ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ）。通常多目标问题中各个目标函数不可能找到使每个函数都同时满意的解，而只能是在各目标函数之间进行协调折衷［１］。在过去的一段时间里，国内外学者提出了许多的多目标优化算法。如文献［２］提出了ＳＰＥＡ充分利用ｐａｒｅｔｏ最优解的概

念，将种群的最优个体储存在种群外，通过不断更新

而获得ｐａｒｅｔｏ最优解，但该方法获得在各个子目标都同时达到最少值的ｐａｒｅｔｏ最优解所在区域内，所获ｐａｒｅｔｏ最优解较少；文献［３］提出了ｐａｒｅｔｏ遗传算法，可以搜索到整个ｐａｒｅｔｏ解集，但是解集分布极不均匀。本文中，将免疫遗传算法应用到多目标优化中，且将孤立度等概念应用到抗原聚类算法中，从而实现多目标优化，通过这种办法不仅能保存较好的ｐａｒｅｔｏ最优个体，而且ｐａｒｅｔｏ解集分布均匀，有利于决策者根据需

第２期９３

要做出判断，选取合适的折衷解。

１

多目标优化免疫遗传算法

1.1

免疫算法的基本原理

在自然界的演化过程中，生物体通过遗传（后辈与父辈非常相似）、变异（后辈与父辈不完全相同）来适应外界环境，一代又一代地优胜劣汰，发展进化［４］。而由生物免疫原理可知：生物免疫系统通过细胞的分裂和分化，自动产生相应的抗体来抵御入侵生命体的抗原，这一过程称为免疫应答［５］。免疫遗传算法是模拟遗传和免疫应答原理而提出的一种算法，它将实际求解问题的目标函数作为抗原，将抗体作为问题的解［５］。由于免疫系统有学习、记忆、自适应、群体多样性等特点，因此，将免疫遗传算法用来解决实际问题已成为时兴的研究领域。

１．２多目标优化问题与免疫遗传算法知识点

１）具有ｍ个变量，ｎ个目标，ｔ个约束条件的多

目标函数的数学描述［１］

：（ＶＰ） ｍｉｎ　ｆｕｎ（ｘ）　＝　［　ｆｕｎ１（ｘ）　，　ｆｕｎ２（ｘ）　，…　

，　ｆｕｎｎ（ｘ）］　；ｓ．ｔ． ｇｉ　（ｘ）≤０， ｉ＝１，２，…，　ｔ ； ｘ　＝　［ｘ１，　

ｘ２，…，　ｘｍ］。２）ｐａｒｅｔｏ最优解

ｐａｒｅｔｏ解又称非劣解。如果我们设ｘ　＝　［ｘ１，　ｘ２，…，　ｘｍ］是（ＶＰ）的最优解，如果找不到一个解ｘ＊，使得ｆｕｎ（ｘ＊）≤ｆｕｎ（ｘ）成立，也就是说找不到ｘ＊使得ｆｕｎｉ（ｘ＊）≤ｆｕｎｉ（ｘ），ｉ＝１，２，…，ｎ均成立，那么ｘ就是ｐａｒｅｔｏ解。

３）增强度设ｘ，ｙ∈Ｘ，Ｘ是所有抗体的集合；若ｆｕｎｉ（ｘ）≤ｆｕｎｉ（ｙ），

ｉ＝１，２，…，ｎ　，则ｘ对应ｙ的增强度ｄｙ（ｘ）＝１

；若ｆｕｎｉ（ｘ）＞ｆｕｎｉ（ｙ），ｉ＝１，２，…，ｎ，则ｘ对应ｙ的增强度ｄｙ（ｘ）＝　－１

；其它的时候，则ｘ对应ｙ的增强度ｄｙ（ｘ）＝０。

４）孤立度

个体ｘ的邻域Ｕ（ｘ）定义为该群体中与个体ｙ的距离小于δ的个体的集合，而个体ｘ的孤立度定义为其邻域Ｕ（ｘ）中个体的数目，即孤立度ｄｅｇ（ｘ）＝｜Ｕ（ｘ）｜。孤立度越大，该个体对种群的贡献就越小，则个体被选择的机会也应越小［１］。

５）抗原聚类

随着迭代次数的增加，抗原群体的数目不断地增加，抗原与抗原之间具有相互竞争力，因此在不破坏抗原群的平衡特性条件下对抗原群进行聚类算法［６］。

其算法步骤为：

Ｓｔｅｐ１　置初始抗原群为Ｃ，每个个体作为一个聚类群；

Ｓｔｅｐ２　如果聚类群的个数小于等于Ｎ，跳到Ｓｔｅｐ５，否则跳到下一步；

Ｓｔｅｐ３　计算每２个抗原聚类群的欧几里得距离，

即计算｜｜ｐａｒｅｔｏｉ　

－　ｐａｒｅｔｏｊ｜｜　；Ｓｔｅｐ４　找出抗原聚类群中距离最少的２个聚类

群，将之合并为一个大的聚类群。如果聚类群的个数大于Ｎ，则跳到第３步；

Ｓｔｅｐ５　对于每一个聚类群，根据孤立度的大小将孤立度大的个体移出聚类群；

Ｓｔｅｐ６　将每个聚类群中个体集合起来组成新的抗原群。

我们根据基于多目标的免疫遗传算法原理［７］就可以得出程序流程图，如图１所示：

６）免疫遗传算法的主要思想

充分运用ｐａｒｅｏ最优解的概念，通过复制抗体群中最优个体到抗原群，在抗原群中通过抗原聚类算法来达到更新抗原群的ｐａｒｅｔｏ解并能均匀分布。将抗原群

图1程序流程图

Fig. 1Program flow diagram

陈峰，秦斌　基于多目标优化的免疫遗传算法在Ｍａｔｌａｂ

环境中的实现

湖南工业大学　学　报

９４２００７年

作用于抗体群，选择与当前抗原群亲和力高的抗体进行复制，突变；而亲和力低的抗体进行相互抑制，并随机产生一定数量的新抗体加入抗体群中，形成新的抗体群。即抗体群→亲和力选择→复制→突变→免疫选择＋未被选择的抗体进行相互抑制得到的抗体群＋随机产生的新抗体→下一代抗体。而在抗原群中即抗原群→抗原聚类算法→新一代抗原群。

2算法实现

Ｍａｔｌａｂ作为优秀的应用软件，它有很多由系统提供的处理矩阵的现成的函数，因此可以大大减少程序量，使程序简单易懂。用Ｍａｔｌａｂ进行编程有简单、简短等优势，虽然与ｃ语言等高级语言相比存在着运行效率低的缺陷，但对于运算效率要求不太高的场合非常合适。在很多文献中都有用Ｍａｔｌａｂ实现标准遗传操作（选择，交叉，变异）、单目标免疫算法的论述［５，６］，本文主要是基于多目标优化的免疫遗传算法在Ｍａｔｌａｂ中实现，在这里我只就多目标优化免疫遗传算法中的独到之处进行介绍，例如：增强度计算，ｐａｒｅｔｏ求优，聚类算法。

2.1对所有的抗体求其增强度值

其中：ｆｕｎ是目标函数，ｓｔｒｖａｌｕｅ是种群的增强度。ｆｕｎｃｔｉｏｎ　［ｓｔｒｖａｌｕｅ］＝ｓｔｒｅｎｇｔｈ（ｆｕｎ）　／／增强度计算，ｆｕｎ＝［ｆｕｎ

１

，

ｆｕｎ

２

］是目标函数。

［ｐｘ，ｐｙ］＝ｓｉｚｅ（ｆｕｎ）；

ｓｔｒｖａｌｕｅ＝ｚｅｒｏｓ（ｐｘ，１）；

ｆｏｒ　ｉ＝１：ｐｘ

ｆｏｒ　ｊ＝１：ｐｘ

ｂ＝ｆｕｎ（ｉ，：）＜＝ｆｕｎ（ｊ，：）；

ｉｆ　ａｌｌ（ｂ）＝＝１

ｓｔｒｖａｌｕｅ（ｉ）＝ｓｔｒｖａｌｕｅ（ｉ）＋１；

ｅｌｓｅ　ｉｆ　ａｎｙ（ｂ）＝＝０

ｓｔｒｖａｌｕｅ（ｉ）＝ｓｔｒｖａｌｕｅ（ｉ）－１；

ｅｌｓｅ

ｓｔｒｖａｌｕｅ（ｉ）＝ｓｔｒｖａｌｕｅ（ｉ）；

ｅｎｄ

ｅｎｄ

ｅｎｄ

2.2pareto解集求优

增强度最大所对应的抗体存入ｐａｒｅｔｏ解集中，再对解集进行去劣存优，找出非支配解。

其中：参数ｂｅｓｔｉｎｄｉｖｉｄｕａｌ是增强度最大的抗体，ｌｅｎｇｔｈ是每个变量所对应的染色体的编码长度，ｃａｌｏｂｊｖａｌｕｅ函数的功能是实现目标函数的计算。

ｆｕｎｃｔｉｏｎ［ｐａｒｅｔｏ］＝ｋｅｅｐｅｘｃｅｌｌｅｎｔ（ｐａｒｅｔｏ，ｂｅｓｔｉｎｄｉｖｉｄｕａｌ，ｌｅｎｇｔｈ）　ｐａｒｅｔｏ＝ｖｅｒｔｃａｔ（ｐａｒｅｔｏ，ｂｅｓｔｉｎｄｉｖｉｄｕａｌ）；

ｆｕｎ３＝ｃａｌｏｂｊｖａｌｕｅ（ｐａｒｅｔｏ，ｌｅｎｇｔｈ）； ／／计算ｐａｒｅｔｏ解集中的目标函数值

ｉ＝１；

［ｐｘ，ｐｙ］＝ｓｉｚｅ（ｐａｒｅｔｏ）；

ｗｈｉｌｅ　ｉ＜＝ｐｘ

ｆｏｒ　ｊ＝１：１：ｐｘ ／／如果第ｉ行所有的变量都大于第ｊ行变量

ｉｆ　ｉ￣＝ｊ＆ａｌｌ（ｆｕｎ３（ｉ，：）＞＝ｆｕｎ３（ｊ，：））＝＝１

ｆｕｎ３（ｉ，：）＝［］；　／／ｆｕｎ３中第ｉ行变量删除

ｐａｒｅｔｏ（ｉ，：）＝［］；　／／　ｐａｒｅｔｏ中第ｉ行变量删除

ｐｘ＝ｐｘ－１；

ｂｒｅａｋ　／／　终止最内的一个循环

ｅｎｄ

ｅｎｄ

ｉ＝ｉ＋１；

ｅｎｄ

2.3抗原聚类实现

将孤立度概念引入抗原聚类算法中，根据孤立度大小来实现抗原聚类，这样找出的ｐａｒｅｔｏ解集分布更均匀。

其中：参数ｌｅｎｇｔｈ是每个变量对应的染色体的编码长度，Ｃａｌｏｂｊｖａｌｕｅ函数的功能是实现目标函数的计算。ｆｕｎｃｔｉｏｎ　［ｐａｒｅｔｏ］＝ｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ（ｐａｒｅｔｏ，ｌｅｎｇｔｈ）

ｆｕｎ９＝ｃａｌｏｂｊｖａｌｕｅ（ｐａｒｅｔｏ，ｌｅｎｇｔｈ）；　／／计算函数值

［ｐｘ，ｐｙ］＝ｓｉｚｅ（ｐａｒｅｔｏ）；

ｉｆ　ｐｘ＞３０ ／／　本例中初始设置的聚类群体个数

ａ＝ｆｕｎ９（２，：）－ｆｕｎ９（１，：）；

ｍｉｎｖａｌｕｅ＝ｎｏｒｍ（ａ）；

ｂ＝［ｐａｒｅｔｏ（１，：）；ｐａｒｅｔｏ（２，：）］；

ｆｏｒ　ｉ＝１：ｐｘ－１　／／找出欧里几何距离最少的二个聚类群体进行合并

ｆｏｒ　ｊ＝ｉ＋１：ｐｘ

ｃ＝ｆｕｎ９（ｊ，：）－ｆｕｎ９（ｉ，：）；

ｄ＝ｎｏｒｍ（ｃ）；

ｉｆ　ｄ＜ｍｉｎｖａｌｕｅ

ｍｉｎｖａｌｕｅ＝ｄ；

ｂ＝［ｐａｒｅｔｏ（ｉ，：）；ｐａｒｅｔｏ（ｊ，：）］；

ｅｎｄ

ｅｎｄ

　ｅｎｄ

［ｍ，ｎ］＝ｓｉｚｅ（ｂ）； ／／计算群体孤立度，将孤立度大的个体移出抗原群

ｆｕｎ１０＝ｃａｌｏｂｊｖａｌｕｅ（ｂ，ｌｅｎｇｔｈ）； ／／二个欧里几何距离最少的个体组成的新群体

ｅ＝１；ｆ＝１； ／／　计算新群体中个体的孤立度

ｆｏｒ　ｉ＝１：ｐｘ

ｉｆ　ｎｏｒｍ（ｆｕｎ９（ｉ，：）－ｆｕｎ１０（１，：））＜＝０．１０

ｅ＝ｅ＋１；

第２期９５

ｅｎｄ

ｉｆ　ｎｏｒｍ（ｆｕｎ９（ｉ，：）－ｆｕｎ１０（２，：））＜＝０．１０ ｆ＝ｆ＋１； ｅｎｄ

ｅｎｄ

ｆｏｒ　ｉ＝１：ｐｘ　／／比较新群体个体孤立度，将孤立度大的个体移出ｐａｒｅｔｏ解集

ｉｆ　ｅ＞＝ｆ＆ｐａｒｅｔｏ（ｉ，：）＝＝ｂ（１，：） ｐａｒｅｔｏ（ｉ，：）＝［］； ｂｒｅａｋｅｎｄ

ｉｆ　ｅ＜ｆ＆ｐａｒｅｔｏ（ｉ，：）＝＝ｂ（２，：） ｐａｒｅｔｏ（ｉ，：）＝［］； ｂｒｅａｋｅｎｄｅｎｄｅｎｄ

3

数值模拟

为了验证免疫遗传算法应用在多目标优化问题上

的有效性，本文选取了一个通用的测试问题。

（ＶＰ）　ｍｉｎ　Ｆｕｎ（ｘ）＝［ｆｕｎ１（ｘ）　，　ｆｕｎ２（ｘ）］　；ｆｕｎ１（ｘ）＝ｘ１＋２＊ｘ２　；　ｆｕｎ２（ｘ）＝－ｘ１－ｘ２　；０≤ｘ１≤１，０≤ｘ２≤１；ｘ＝［ｘ１　，　ｘ２］　。

图２是普通多目标优化算法得到的ｐａｒｅｔｏ解集。采用免疫遗传算法求解，取初始种群个数ｐｏｐｓｉｚｅ＝１００、染色体编码总长度ｃｈｒｏｍｌｅｎｇｔｈ＝２０、每个变量的染色体编码长度ｌｅｎｇｔｈ＝１０、克隆选择算子ｐｋｓ＝０．０８５、免疫选择算子ｐｉｓ＝０．０９５、新增随机抗体算子ｐｒ＝０．０１、迭代次数为１　０００次，其运行结果如图３所示。对比图２与图３可知：免疫遗传算法比普通的多目标优化算法搜索的ｐａｒｅｔｏ解集分布均匀，方便决策者根据自己的需要做出让自己满意的结果。而普通的多目标优化算法得出的解集中在子目标的最优解附近，整体分布不均匀。

4

结论

本文用Ｍａｔｌａｂ语言编写了基于多目标优化的免疫遗传算法程序，并给出了增强度计算、ｐａｒｅｔｏ最优解、抗原聚类等的Ｍａｔｌａｂ程序代码。程序在Ｍａｔｌａｂ６．５．１中调试通过，说明了用Ｍａｔｌａｂ实现基于多目标优化的免疫遗传算法的可行性，且从数据上表明免疫遗传算法在解决多目标优化问题时优于普通多目标优化算法。从其优化过程来看，虽然迭代次数较大，其所需时间却要小于普通多目标优化算法，这说明利用免疫遗传算法研究多目标优化问题具有一定的先进性。另外，对于将免疫遗传算法应用到工程实践如ＰＩＤ参数整定中还需进一步探讨。参考文献：

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图3 免疫遗传算法所获的pareto 最优解

Fig. 3 pareto -optimal solution of immune genetic algorithm

　图2普通算法所获得的pareto 解集

Fig. 2pareto -optimal solution of simple algorithm

陈峰，秦斌　基于多目标优化的免疫遗传算法在Ｍａｔｌａｂ

环境中的实现