奥数-不等式-第十一讲学生版
第十一讲 实际问题（不等式）
一、基础知识
这一讲的基础是求解不等式和不等式组，同学们对此一定要非常熟练.不等式（组）在许多实际问题中都有重要的应用.遇到实际问题时，首先要读懂题意，将题目中的每一个条件都翻译成相应的数学语言，再求解得出答案.
二、名校真题回放与活题巧解
（一）不等式的求解与比较大小
例1. 第3届（1992年）初二第1试 已知m=34x -,n=,43+x p=5
32x
-,且m ＞n ＞p ，那么x 的取值范围是（ ）.
（A ） x ＜1 （B ）-
514
＜x ＜1 (C) -177＜x ＜1 (D) -514＜x ＜-17
7
例2. 第12届（2001年）初二第1试已知关于x 的不等式32x m +≤214-mx 的解是x ≥4
3
,那么m 的值是_______.
例3.（“希望杯”培训题）求同时满足不等式365mx mx -<与(12)8mx x m x +>-+的x 的范围．
例4．第9届（1998年）初二第1试 已知a 1，a 2，b 1，b 2均为正数，且a 1≥a 2, a 1≤b 1, a 1a 2≤b 1b 2，则a 1+ a 2与b 1+ b 2的大小关系是（ ）.
(A) a 1+ a 2≤b 1+ b 2 (B) a 1+ a 2≥b 1+ b 2 (C) a 1+ a 2= b 1+ b 2 (D) 无法确定
例5． 第12届（2001年）初二第2试 若|a|＜|c|，b=2
c
a +,|b|＜2|a|,S 1＜|
c b -a |.S 2=|a c -b |,S 3=|b
c
-a |,则S 1，S 2，S 3的大小关系是（ ）. (A) S 1＜S 2＜S 3 （B ）S 1＞S 2＞S 3 （C ）S 1＜S 2＜S 3 （D ）S 1＞S 2＞S 3
（二）不等式在实际问题中的应用
例6.(2002年上海市中考试题)某出租车公司在“五一”长假期间平均每天的营业额为5万元，由此推断5月份的总营业额约为5×31=155(万元)．根据所学的知识，你认为这样的推断是否合理?答：．
例7.(2000年“希望杯”初二试题)某次数学竞赛第一试有试题25道，阅卷规定，每答对一题得4分,每答错(包括未答)一题扣除1分，若得分不低于60分的同学可以参加第二试，那么参加第二试的同学在第一试中至少需要答对的题数是．
例8.(2004年第15届“希望杯”初二年级竞赛题)某出版社计划出版一套百科全书，固定成本为8万元，每印刷一套需增加成本20元．如果每套书定价100元，卖出后有3成收入给承销商，出版社要盈利10％，那么该书至少应发行( )(精确到千位)
A. 2千套
B. 3千套
C. 4千套
D. 5千套
例9.（海淀区八年级第一学期期末测评）北京动物园门票价格为10元／人，学生可购买半价门票．某旅游团共有25人，其中，学生人数不超过12人．如果领队购买门票的总金额不超过200元，求学生人数.
例10．（2001年全国初中数学竞赛试题）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次.在第6，第7，第8，第9次射击中，分别得了9.0环，8.4环，9.3环，他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均数，如果他要使10次射击所得到平均环数超过8.8环，那么他在第10次射击中至少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）
例11. （“希望杯”培训题）一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的乘客人数相等．起初每辆汽车乘了22人，结果剩下一人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有乘客正好能平均分乘到其它各车上．已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车?有多少名乘客?
例12.（河北省竞赛试题）商业大夏购进某种商品1000件，销售价定为购进价的125%，现计划节日期间按原定售价让利10%，售出至多100件商品，而在销售淡季按原定售价的60%大甩卖，为使全部商品售完后赢利，在节日和淡季之外要按原定售价销售出至少多少件商品？
例13.（2006年汇文中学初二下学期期末综合测试数学试卷）有A、B、C、D、E五个队分在同一小组进行单循环足球比赛（每两队只进行一场比赛）.为争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场每队各得1分，负一场得0分，小组赛结束后，小组中名次在前的两个队出线，请你解答下列问题：
+=，其中x、（1）小组赛结束后，若A队的积分为9分时，设A队胜x场，平y场，则3x y
+≤，根据这些相等关系和不等关系，可以确定x=，y为非负整数，且满足不等式x y
y=；
（2）小组赛结束后，设5个队积分总和为n分，则满足≤n≤；
（3）小组赛结束后，若A队的积分为10分，能出线吗？请你对A队能否出线做出分析.
例14.（全国联赛培训题）某一出租车的车费起点2千米是5元，往后每增加l千米车费增加2元．现从甲地到乙地乘出租车共支出车费35元．如果从甲到乙，先步行800米，然后乘车也是35元.求从甲、乙两地中点到乙地需支付多少车费?
例15.（全国联赛培训题）有一个公寓住着若干户人家，每家有一对夫妇和他们未成年的孩子，各家孩子的人数都不相同．在这个公寓里,孩子的总数多于成人总数,成人总数多于男孩总数，男孩总数多于女孩总数，女孩总数多于户数，其中有一家孩子总数比其他各家孩子总数还多．每个女孩至少有一个兄弟,但至多只有一个姊妹．问这个公寓有几家住户，每家各有男女孩各几人？
三、练习
1.（北京市中考模拟题）解不等式|1||4|6x x ++-<
2．第14届(2003年)初二第2试 不等式0≤ax+5≤4的整数解是1,2,3,4，则a 的取值范围是（ ）.
A.45-
≤a B. 1- 5-≥a 3．第13届(2002年 )初二培训 已知n ＜0且|m|= n m n m +-,那么m 的取值范围是（ ）. A.1- B. 1>m C. 11≥- D. 101><<-m m 或 4.（人大附中2005—2006学年度第一学期期末初二年级数学练习）某校初二年级本学期进行了一次英语比赛，评出一等奖9人，二等奖17人，三等奖14人．学校决定给所有获奖学生各发一份奖品，同一等级的奖品相同．若三种奖品的单价都是整数(以元为单位)，且要求一等奖奖品的单价比二等奖奖品的单价多2元，二等奖奖品的单价比三等奖奖品的单价多1元．在总费用不少于200元且不超过250元的前提下，求三等奖奖品的单价. 5.(2002，重庆市中考试题)韩日“世界杯”期间，重庆球迷一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A 、B 两个出租车队，A 队比B 队少3辆车，若全部安排乘A 队的车，每辆坐5人，车不够，每辆坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B 队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满，求A 队有多少辆出租车. 6.（全国联赛培训题）某地区举办初中数学联赛，有A ，B ，C ，D 四所中学参加.选手中， A ， B 两校共16名；B ，C 两校共 20名； C ，D 两校共34名，并且各校选手人数的多少是按A ，B ，C ，D 中学的顺序选派的，试求各中学的选手人数． 四、难度系数 （1） 名校真题回放与活题巧解 题号 1 2 3 4 5 星级 ★★★ ★★★ ★★★ ★★★ ★★★★ 题号 6 7 8 9 10 星级 ★ ★★ ★★★ ★★ ★★★ 题号 11 12 13 14 15 星级 ★★★ ★★★ ★★★ ★★★★ ★★★★ （2） 练习 题号 1 2 3 4 星级 ★★ ★★★ ★★★ ★★ 题号 5 6 星级 ★★★ ★★★★ 一元一次方程只有一个根。 一元一次方程可以解决绝大多数的工程问题、行程问题、分配问 题、盈亏问题、积分表问题、电话计费问题、数字问题。 一元一次方程最早见于约公元前 1600 年的古埃及时期。 公元 820 年左右，数学家花拉子米在《对消与还原》一书中提出 了合并同类项、移项的一元一次方程思想。 16 世纪，数学家韦达创立符号代数之后，提出了方程的移项与 同除命题。 1859 年，数学家李善兰正式将这类等式译为一元一次方程。 下面是一、精心选一选每小题 4 分，共 32 分 1．已知＝，则下 列各式中﹣3＝﹣3；3＝3；﹣2＝﹣2；正确的有 ．1 个．2 个．3 个．4 个 2．下列方程中，解为＝3 的方程是 ．﹣2＝﹣3．﹣4＝﹣2．﹣8＝﹣4．﹣2＝﹣13．将方程 07+变 形正确的是 ．7+．07+．07+．07+15﹣1＝3﹣4．下列变形中①由方程＝2 去 分母，得-12＝10；②由方程＝两边同除以，得＝1；③由方程 6-4＝ +4 移项，得 7＝0；④由方程 2-＝两边同乘以 6，得 12--5＝3+3．错 误变形的个数是 ．．4 个 3 个 2 个 1 个 5．解方程 3+2+2[﹣1﹣2+1]＝6，得＝ ．2．4．6．86．种饮料比种饮料单价少 1 元，小峰买了 2 瓶种 饮料和 3 瓶种饮料，一共花了 13 元，如果设种饮料单价为元瓶，那 么下面所列方程正确的是 ．2﹣1+3＝13．2+1+3＝13．2+3+1＝13．2+3﹣1＝137．如图所 示，是某月份的日历表，任意圈出一横行或一竖列相邻的三个数，这 三个数的和不可能是 例1．如图，P是△ABC内任一点，求证： 1 2 (a+b+c)＜PA+PB+PC＜a+b+c。 例2．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，求证：AC＜2AB 。 例3．如图，设正△AB C的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上 的任意一点，PA+PM的最大值和最小值分别为S和t，求S2?t2的值。 例4．如图，△ABC中，BC为最大边，AB=AC，CD=BF，BD=CE，求∠ DEF的取值范围。 例5．已知一平面内的任意四点，其中任何三点都不在一条直线上，试问： 是否一定能从这样的四点中选出三点构成一个三角形，使得这个三角形至 少有一内角不大于45°？请证明你的结论。 A 卷 一、填空题 01．在周长为a 的等腰三角形中，腰长x 的取值范围是__________。 02．如图260，在△ABC 中，若AB=5，AC=3，则BC 边上的中线MA 的取值范围是__________。 03．在△ABC 中，若∠A=58°，AB ＞BC ，那么∠B 的取值范围是__________。 04．根据绝对值的几何意义，代数式321x x x ++-++的最小值为__________。 05．在锐角△ABC 中，a=1，b=3，则第三边。的变化范围是__________。 06．在△ABC 中AB ＞AC ，∠A 的平分线交BC 于D ，则BD_____CD （填“＞”或“＜”）。 07．如图261，设△ABC 为等边三角形，P 是任意点，则PB +PC ____PA （填“＜”、“＞”或“＝”）。 08．已知直角梯形ABCD ，AD ∥BC ，∠DAB=∠CBA=90°，O 为DC 的中点，则OA _____OB （填“＞”、“＝”或“＜”）。 09．如图262，五边形ABCDE 中，AB=AE ，BC +DE=CD ，∠ABC +∠AED=180°，连结AD ，则∠ADE_______∠ADC(填“＞”、“＝”或“＜”）。 10．如图263，△ABC 中，AB ＞AC ，P 是∠A 平分线AD 上一点，则PB ?PC_______（填“＞”或“＜”）AB ?AC 。 二、解答题 11．如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE +CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论。 12．如图，已知∠MON 内有一点P ，分别在OM 与ON 上，求作点A 与点B ，使△APB 的周长最小。 《一元一次方程》试题 【巩固练习】 一、选择题 1．下列方程中，是一元一次方程的是( )． A ．250x += B ．42x y +=- C ．162x = D ．x ＝0 2. 下列变形错误的是( ) A.由x + 7= 5得x+7－7 = 5－7 ; B.由3x －2 =2x + 1得x= 3 C.由4－3x = 4x －3得4+3 = 4x+3x D.由－2x= 3得x= － 32 3. 某书中一道方程题：213 x x ++=W ，□处在印刷时被墨盖住了，查书后面的答案，得知这个方程的解是 2.5x =-，那么□处应该是数字( )． A ．-2.5 B ．2.5 C ．5 D ．7 4. 将(3x ＋2)－2(2x －1)去括号正确的是( ) A 3x ＋2－2x ＋1 B 3x ＋2－4x ＋1 C 3x ＋2－4x －2 D 3x ＋2－4x ＋2 5. 当x=2时，代数式ax －2x 的值为4，当x=－2时，这个代数式的值为（ ） A.－8 B.－4 C.－2 D.8 6．解方程121153 x x +-=-时，去分母正确的是( )． A ．3(x+1)＝1-5(2x -1) B ．3x+3＝15-10x -5 C ．3(x+1)＝15-5(2x -1) D ．3x+1＝15-10x+5 7．某球队参加比赛，开局11场保持不败，积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该队获胜的场数为( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8．某超市选用每千克28元的甲种糖3千克，每千克20元的乙种糖2千克，每千克12元的丙种糖5千克混合成杂拌糖后出售，在总销售额不变的情况下，这种杂拌糖平均每千克售价应是( )． A ．18元 B ．18.4元 C ．19.6元 D ．20元 二、填空题 9．在0，－1，3中， 是方程3x －9=0的解. 10．如果3x 52a -＝－6是关于x 的一元一次方程，那么a ＝ ，方程的解=x . 11．若x ＝－2是关于x 的方程324=-a x 的解，则a ＝ . 12．由3x ＝2x ＋1变为3x －2x ＝1，是方程两边同时加上 . 13．“代数式9－x 的值比代数式x 3 2－1的值小6”用方程表示为 . 【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】 一元一次不等式的解法（基础）知识讲解 责编：常春芳 【学习目标】 1．理解一元一次不等式的概念； 2.会解一元一次不等式． 【要点梳理】 【：一元一次不等式 370042 一元一次不等式 】 要点一、一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如， 2 503 x >是一个一元一次不等式． 要点诠释： (1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1. (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 要点二、一元一次不等式的解法 1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：a x <（或a x >）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为ax b >（或ax b <）的形式（其中0a ≠）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. 要点诠释： （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变． 3.不等式的解集在数轴上表示： 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助． 要点诠释： 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 【典型例题】 课后练习 一元一次不等式 一、选择题 1. 下列不等式中，是一元一次不等式的有（ ）个. ①x>－3；②xy≥1；③32 一元一次不等式单元测试（1）附答案 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.（2007年山东）不等式的x x 2572-<-正整数解有 （ ） 个 个 个 个 2.若关于x 的不等式02)1(2 >+--a x a 的解集为2 初一奥数一元一次方程测试题及答案 一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的次数为1且两边都为整式的等式。一元一次方程只有一个根。一元一次方程可以解决绝大多数的工程问题、行程问题、分配问题、盈亏问题、积分表问题、电话计费问题、数字问题。一元一次方程最早见于约公元前1600年的古埃及时期。公元820年左右，数学家花拉子米在《对消与还原》一书中提出了“合并同类项”、“移项”的一元一次方程思想。16世纪，数学家韦达创立符号代数之后，提出了方程的移项与同除命题。1859年，数学家李善兰正式将这类等式译为一元一次方程。下面是无忧考网为大家带来的初一奥数一元一次方程测试题及答案，欢迎大家阅读。 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 1．已知x＝y，则下列各式中：x﹣3＝y﹣3；3x＝3y；﹣2x＝﹣2y；正确的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．下列方程中，解为x＝3的方程是（） A．x﹣2＝﹣3 B．x﹣4＝﹣2 C．x﹣8＝﹣4 D．x﹣2＝﹣1 3．将方程0.7+ 变形正确的是（） A．7+ B．0.7+ C．0.7+ D．0.7+1.5x﹣1＝3﹣x 4．下列变形中：①由方程＝2去分母，得x-12＝10； ②由方程x＝两边同除以，得x＝1； ③由方程6x-4＝x+4移项，得7x＝0； ④由方程2- ＝两边同乘以6，得12-x-5＝3（x+3）． 错误变形的个数是（）． A．4个B.3个C.2个D.1个 5．解方程（3x+2）+2[（x﹣1）﹣（2x+1）]＝6，得x＝（）A．2 B．4 C．6 D．8 6．A种饮料比B种饮料单价少1元，小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共花了13元，如果设B种饮料单价为x元/瓶，那么下面所列方程正确的是（） A．2（x﹣1）+3x＝13 B．2（x+1）+3x＝13 C．2x+3（x+1）＝13 D．2x+3（x﹣1）＝13 7．如图所示，是某月份的日历表，任意圈出一横行或一竖列相邻的三个数，这三个数的和不可能是（） A．24 B．43 C．57 D．69 8．汽车以72千米/时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员揿一下喇叭，4秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340米/秒．设听到回响时，汽车离山谷x 米，根据题意，列出方程为（） A．2x+4×20＝4×340 B．2x﹣4×72＝4×340 C．2x+4×72＝4×340 D．2x﹣4×20＝4×340 二、细心填一填（每小题4分，共20分） 元一次方程50道练习题（含答案） 1.1、【基础题】解方程： (1) 2x +6=1； (2) 10x —3=9 ； ( 3) 5x —2=7x +8 ； (4) 3 5 1— x =3x + 2 2 (5) 4x —2=3— x ； (6) — 7x + 2=2x — 4 ； (7) — x =— 1 2 3 5 x +1 ； 1 x (8) 2x ------ = ------- + 2.1、【基础题】解方程： (1) 5 (x +8)— 5=0; (2) 2 (3— x )=9 ; (3) —3 (x +3)=24 ; 2 2 (4) — 2 (x —2)=12 ; ( 5) 12(2—3x )= 4x +4 ; (6) 6—3(x +土)=上； 3 3 (7) 2(200—15x )= 70+25x ； (8) 3(2x +1) =12. 3、【综合I 】解方程: 1 1 (4) —(x + 1)=—(x —1); 4 3 1 1 (7) -(x + 14)= —(x + 20)； 7 4 3.1、【综合I 】解方程: 1 (7) -(2x +14)= 4— 2x ； 7 色(200+ x )— 2(300- x )= 300 10 10 4、【综合I 】解方程: 1 1 (5)丄x — -(3— 2x )=1 ； 5 2 (1) 3— x x + 4 (2) = 2 3 1 1 ⑶ 3(x +1)=7(2x —3) ； (1) 1 1 3 x ----- =— 4 2 4 (2) 7x —5 3 __________ _____ ? 4 8 /c 、2x —1 5x +1 /八1 9x — (3) = (4) x _ 7= 6 8 2 6 1、【基础题】解方程： （1） 2x +1=7; （5） 11x —2=14x — (2) 5x —2=8; (6) x —9=4x + 27 ； (3) 3x +3=2x + 7; 1 1 (7) x =— — x +3 ； 4 2 (4) x +5=3x —7; 3 (8) x = x +16 . 2 2、【基础题】解方程： (1) 4 (x +0.5)+ x =7 ; (4) 2—(1- x )= — 2 ; (2) — 2 (x —1)=4 ; (5) 11x +1=5(2x +1); (3) 5(x —1)=1 ; (6) 4x —3(20— x )= 3. 2x —1 x + 2 1 / 、 1 /(5) —1 ； (6) -(x — 1) =2 ------ (x + 2) 3 4 2 5 (8) 1 -(x +15) = 1 1 -—-(x —7) 5 2 3 (6) 9 25 (8) 第六讲 不等式 不等式是中学数学的主要内容之一，也是学习数学必不可少的工具。 一、基础知识回顾 1． 不等式的性质 （1）若a b >,则a c b c ±>±； （2）若0a b c >??>?，则,a b ac bc c c >>； （3）若0 a b c >??>，则a c >（传递性）； （5）若,a b c d >>，则a c b d +>+（可加性）； （6）若0,0a b c d >>>>，则0ac bd >>（可乘性）； （7）若0,0a b c d >>>>，则 0a b d c >>（可除性）； 2． 含绝对值的不等式的性质： (2)｜a ｜-｜b ｜≤｜a+b ｜≤｜a ｜+｜b ｜； (3)｜a ｜-｜b ｜≤｜a-b ｜≤｜a ｜+｜b ｜． 3． 两数大小比较的基本方法 （1）比差法 （2）比商法 二、典型例题 A ） 基本题目 例1 解不等式 2351 5124++->-+ -x x x x 例2 已知有理数x 满足：325372 13x x x +-≥--，若23+--x x 的最小值为a ，最大值为b ，则ab= 例3 （同步P125）求同时满足6,23a b c a b c ++=-+=和0b c >=>=的a 的最大值和 最小值。 B ） 带参数 例4 （同步P117）解关于x 的不等式2 (1)32a x a x -<++ 例5 如果关于x 的不等式51232<->-a x a a x 与同解，则a ( ) A 、不存在 B 、等于-3 C 、等于52- D 、大于52 - 例6 （同步P117）（1997年，安徽省竞赛题）已知关于x 的不等式(2)50a b x a b -+->的解是10 7 x < ，则0ax b +>的解是（ ） A 35x >- B 35x <- C 35x > D 3 5 x < 例7 已知m 、n 为实数，若不等式(2m-n) x+3m-4n<0的解集为 94 > x ，求不等式 (m-4n) x+2m-3n>0 的解。 解：由(2m-n) x+3m-4n<0得：(2m-n) x<4n-3m ， 因为它的解集为94>x ，所以有??? ??=--<-(2) 94234(1) 02n m m n n m 由(2)得 m n 87= 代入(1)得 m<0 把 m n 87= 代入(m-4n) x+2m-3n>0得 8525m x m >- ∵m<0 ∴ 41 - >x 一元一次不等式和一元一次不等式组单元测试 一、填空题(每小题2分，共16分) 1、（1）m 的2倍与n 的差是非负数：；(2)x 的3倍与8的和比x 的5倍大：；（3）a 2 的2倍与3的差不大于1：； 2、设a ＜b ，用“＞”或“＜”填空： a －2____ b －2， -3a____-3b ， －a+1____－b+1 3、若代数式 55-x 的值不大于22 -x 的值，则x 的取值范围是 4、若不等式组???<->+2 53 2b x a x 的解集为-1 一、方程的起源 方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》。《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作．书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章。在这一章里的所谓“方程”，是指一次方程和方程组。例如其中的第一个问题实际上就是求解三元一次方程组。 古代解方程的方法是利用算筹。我国古代数学家刘徽注释《九章算术》说，“程，课程也。二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这里所谓“如物数程之”，是指有几个未知数就必须列出几个等式。一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程。 《九章算术》中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产。同学们也要好好学习数学，将来争取为数学研究做出新的贡献！ 二、方程的重要性 方程作为一个小学数学的重要工具，是小学向初中过渡的重点也是难点。渗透方程思想，让学生能用字母表示数字，解决一些比较抽象的数学关系，所以学好方能对于学生以后学习数论等较难专题有很大帮助。 三、相关名词解释 （1） 算式：把数用运算符号与运算顺序符号连接起来是算式 （2） 等式：表示相等关系的式子 （3） 方程：含有未知数的等式 （4） 方程命名：未知数的个数代表元，未知数的次数：n 元a 次方程就是含有n 个未知数，且含未知数 项最高次数是a 的方程 例如：一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数的指数是1的方程； 如：37x +=，71539q +=，222468m ?+=（）， 一元一次方程的能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值； 知识框架 一元一次方程解法综合 一元一次不等式应用题(1)附答案 1.修筑高速公路经过某村，需搬迁一批农户，为了节约土地资源和保持环境，政府统一规划搬迁建房区域，规划要求区域内绿色环境占地面积不得低于区域总面积的20%若搬迁农民 建房每户占地150mf,则绿色环境面积还占总面积的40%政府又鼓励其他有积蓄的农户到 规划区域建房，这样又有20户加入建房，若仍以每户占地150m2计算，则这时绿色环境面积只占总面积的15%为了符合规划要求，又需要退出部分农户。 (1)最初需搬迁的农户有多少户？政府规划的建房区域总面积是多少？ (2)为了保证绿色环境占地面积不少于区域总面积的20%至少需要退出农户几户？ 2.某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元。 (1) (2)若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪 种方案？ 3.有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，若使总收入不低于15.6万，则最多只能安排多少人种 甲种蔬菜？ 4.小杰到学校食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多(设为a人，a>8),就站到A窗口队伍的后面.过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人. (1)此时，若小杰继续在A窗口排队，则他到达窗口所花的时间是多少(用含a的代数式表不)? (2)此时，若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队，且到达B窗口所花 初一奥数复习题 2．设a，b，c为实数，且｜a｜+a=0，｜ab｜=ab，｜c｜-c=0，求代数式｜b｜-｜a＋b｜-｜c-b｜＋｜a-c｜的值． 3．若m＜0，n＞0，｜m｜＜｜n｜，且｜x＋m｜＋｜x-n｜=m＋n，求x的取值范围．4．设(3x-1)7=a7x7＋a6x6+…+a1x＋a0，试求a0+a2＋a4＋a6的值． 5．已知方程组 有解，求k的值． 6．解方程2｜x+1｜+｜x-3｜=6． 7．解方程组 8．解不等式｜｜x＋3｜-｜x-1｜｜＞2． 9．比较下面两个数的大小： 10．x，y，z均是非负实数，且满足： x＋3y＋2z=3，3x＋3y+z=4， 求u=3x-2y＋4z的最大值与最小值． 11．求x4-2x3＋x2+2x-1除以x2+x＋1的商式和余式． 12．如图1－88所示．小柱住在甲村，奶奶住在乙村，星期日小柱去看望奶奶，先在北山坡打一捆草，又在南山坡砍一捆柴给奶奶送去．请问：小柱应该选择怎样的路线才能使路程最短？ 13．如图1－89所示．AOB是一条直线，OC，OE分别是∠AOD和∠DOB的平分线，∠COD=55°．求∠DOE的补角． 14．如图1－90所示．BE平分∠ABC，∠CBF=∠CFB=55°，∠EDF=70°．求证：BC ∥AE． 15．如图1－91所示．在△ABC中，EF⊥AB，CD⊥AB，∠CDG=∠BEF．求证：∠AGD=∠ACB． 16．如图1－92所示．在△ABC中，∠B=∠C，BD⊥AC于D．求 17．如图1－93所示．在△ABC中，E为AC的中点，D在BC上，且BD∶DC=1∶2，AD与BE交于F．求△BDF与四边形FDCE的面积之比． 18．如图1－94所示．四边形ABCD两组对边延长相交于K及L，对角线AC∥KL，BD 延长线交KL于F．求证：KF=FL． 19．任意改变某三位数数码顺序所得之数与原数之和能否为999？说明理由． 20．设有一张8行、8列的方格纸，随便把其中32个方格涂上黑色，剩下的32个方格涂上白色．下面对涂了色的方格纸施行“操作”，每次操作是把任意横行或者竖列上的各个方格同时改变颜色．问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸？ 21．如果正整数p和p+2都是大于3的素数，求证：6｜(p＋1)． 第八章一元一次不等式测试题 一、选择题： 1、如果，那么下列不等式不成立的是（） A、B、C、D、 2、不等式的解集是（） A、B、C、D、 3、下列各式中，是一元一次不等式的是（） Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、 4、已知不等式，此不等式的解集在数轴上表示为（） 5、在数轴上从左至右的三个数为a，1＋a，－a，则a的取值范围是（） A、a＜ B、a＜0 C、a＞0 D、a＜－ 6、（2007年湘潭市）不等式组的解集在数轴上表示为（） 7、不等式组的整数解的个数是（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 8、在平面直角坐标系内，P（2x－6,x－5）在第四象限，则x的取值范围为（） A、3＜x＜5 B、－3＜x＜5 C、－5＜x＜3 D、－5＜x＜－3 9、方程组的解x、y满足x＞y，则m的取值范围是（） A. B. C. D. 10、、（2013?荆门）若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为（） A.≤C．D．m≤ 11、（2013?孝感）使不等式x﹣1≥2与3x﹣7＜8同时成立的x的整数值是（） A．3，4 ，5 ，4，5 D．不存在 12、某种肥皂原零售价每块2元，凡购买2块以上（包括2块）,商场推出两种优惠销售办法. 第一种：一块肥皂按原价，其余按原价的七折销售；第二种：全部按原价的八折销售.你在 购买相同数量肥皂的情况下，要使第一种方法比第二种方法得到的优惠多，最少需要买 （）块肥皂. 二、填空题 13、若不等式组无解，则m的取值范围是． 14、不等式组的解集为x＞2，则a的取值范围是_____________. 15、（2013?厦门）某采石场爆破时，点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到400米以外的安全 区域．甲工人在转移过程中，前40米只能步行，之后骑自行车．已知导火线燃烧的速度为 米/秒，步行的速度为1米/秒，骑车的速度为4米/秒．为了确保甲工人的安全，则导火 线的长要大于米 16、（2013?白银）不等式2x+9≥3（x+2）的正整数解是． 17、（2013?宁夏）若不等式组有解，则a的取值范围是． 18、（2013?南通）关于x的方程12 -=的解为正实数，则m的取值范围是 mx x 19、（2013?包头）不等式（x﹣m）＞3﹣m的解集为x＞1，则m的值为． 三、解答题： 20、解不等式（组） (1) (2) 2x＜1－x≤x＋5 一元一次不等式（组） 一、填空题 1．已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰是1，2，3，则a 的取值范围是 。 2．已知关于x 的不等式组???-≥->-1 250x a x 无解，则a 的取值范围是 。 3．不等式组?????>+≤+022 1042x x 的整数解为 。 4．如果关于x 的不等式（a-1）x A ．2 116- <<-a B ．2116- <≤-a C ．2116-≤<-a D ．2116-≤≤-a 三、解答题 12．1022-≤-x x 13．已知a 、b 、c 是三个非负数，并且满足3a+2b+c=5，2a+b-3c=1，设m =3a+b-7c ，记x 为m 的最大值，y 为m 的最小值，求xy 的值。 14．已知关于x 、y 的方程组?? ?=++=-a y x a y x 523的解满足0>>y x ，化简a a -+3。 15．已知 2351312x x x --≥--，求31+--x x 的最大值和最小值。 初一奥数题及解答 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998 初一奥数复习题 2．设a，b，c为实数，且｜a｜+a=0，｜ab｜=ab，｜c｜-c=0，求代数式｜b｜-｜a＋b｜-｜c-b｜＋｜a-c｜的值． 3．若m＜0，n＞0，｜m｜＜｜n｜，且｜x＋m｜＋｜x-n｜=m＋n，求x的取值范围． 4．设(3x-1)7=a7x7＋a6x6+…+a1x＋a0，试求a0+a2＋a4＋a6的值． 5．已知方程组 有解，求k的值． 6．解方程2｜x+1｜+｜x-3｜=6． 7．解方程组 8．解不等式｜｜x＋3｜-｜x-1｜｜＞2． 9．比较下面两个数的大小： 10．x，y，z均是非负实数，且满足： x＋3y＋2z=3，3x＋3y+z=4， 求u=3x-2y＋4z的最大值与最小值． 11．求x4-2x3＋x2+2x-1除以x2+x＋1的商式和余式． 12．如图1－88所示．小柱住在甲村，奶奶住在乙村，星期日小柱去看望奶奶，先在北山坡打一捆草，又在南山坡砍一捆柴给奶奶送去．请问：小柱应该选择怎样的路线才能使路程最短 13．如图1－89所示．AOB是一条直线，OC，OE分别是∠AOD和∠DOB的平分线，∠COD=55°．求∠DOE的补角． 14．如图1－90所示．BE平分∠ABC，∠CBF=∠CFB=55°，∠EDF=70°．求证：BC ∥AE． 15．如图1－91所示．在△ABC中，EF⊥AB，CD⊥AB，∠CDG=∠BEF．求证：∠AGD=∠ACB． 16．如图1－92所示．在△ABC中，∠B=∠C，BD⊥AC于D．求 17．如图1－93所示．在△ABC中，E为AC的中点，D在BC上，且BD∶DC=1∶2，AD与BE交于F．求△BDF与四边形FDCE的面积之比． 18．如图1－94所示．四边形ABCD两组对边延长相交于K及L，对角线AC∥KL，BD 延长线交KL于F．求证：KF=FL． 19．任意改变某三位数数码顺序所得之数与原数之和能否为999说明理由． 20．设有一张8行、8列的方格纸，随便把其中32个方格涂上黑色，剩下的32个方格涂上白色．下面对涂了色的方格纸施行“操作”，每次操作是把任意横行或者竖列上的各个方格同时改变颜色．问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸 21．如果正整数p和p+2都是大于3的素数，求证：6｜(p＋1)． 22．设n是满足下列条件的最小正整数，它们是75的倍数，且恰有 23．房间里凳子和椅子若干个，每个凳子有3条腿，每把椅子有4条腿，当它们全被人坐上后，共有43条腿(包括每个人的两条腿)，问房间里有几个人 24．求不定方程49x-56y+14z=35的整数解． 25．男、女各8人跳集体舞． (1)如果男女分站两列； (2)如果男女分站两列，不考虑先后次序，只考虑男女如何结成舞伴． 五年级奥数练习题--一元一次方程 1、算式：把数用运算符号与运算顺序符号连接起来是算式 2、等式：表示相等关系的式子 3、方程：含有未知数的等式 4、方程命名：未知数的个数代表元，未知数的次数：n 元a 次方程就是含有n 个未知数，且含未知数项最高次数是a 的方程 例如：一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数的指数是1的方程； 如：37x +=，71539q +=，222468m ?+=（）， 一元一次方程的能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值； 如：4x =是方程37x +=的解，3q =是方程81539q +=的解， 5、解方程：求方程的解的过程叫解方程。所以我们做方程的题时要先写“解”字，表示求方程的解的过程开始，也就是开始“解方程”。 6、方程的能使方程左右两断相等的未知数的值叫方程的解 四、解方程的步骤 1、解方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化未知数系数为1。 2、移项变号：根据等式的基本性质可以把方程的某一项从等号的一边移到另一边，但一定要注意改变原来的符号。我们常说“移项变号”。 3、移项的目的：是为了把含有x 的未知项和数字项分别放在等号的两端，使“未知项=数字项”，从而求出方程的解。 4、怎样检验方程的解的正确性？ 判断一个数是不是方程的解，就要把这个数代入原方程，看方程两边结果是否相同。 模块一、简单的一元一次方程 解下列一元一次方程：⑴ 38x +=；⑵ 83x -=；⑶ 39x ÷=；⑷ 39x =． 【巩固】 （1）解方程：38x += （2）解方程：96x -= （3）解方程：39x = （4）解方程42x ÷= 例题精讲 一元一次不等式解应用题 1.某部门规划建造面积为2400平方米的，内设A 种类型和B种类型的店面共80间，每间A种类型的店面的平均面积为28平方米，月租费为400元，每间B种类型的店面的平均面积为20平方米，，月租费为360元，全部店面的建造面积不低于总面积的85%。 (1) 试确定A种类型店面的数量？ （2）该大棚管理部门通过了解，A种类型店面的出租率为75%，B种类型店面的出租率为90%，为使店面的月租费最高，应建造A种类型的店面多少间？ 解：设A种类型店面为a间，B种为80-a间 根据题意 28a+20（80-a）≥2400×85% 28a+1600-20a≥2040 8a≥440 a≥55 A型店面至少55间 设月租费为y元 y=75%a×400+90%（80-a）×360 =300a+25920-324a =25920-24a 很明显，a≥55，所以当a=55时，可以获得最大月租费为25920-24x55=24600元 二、户李大爷准备进行与的混合养殖，他了解到情况：每亩地水面组建为500元;每亩水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤虾苗；每公斤蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年可获1400元收益；每公斤虾苗的价格为15元，其饲养费用为85元，当年可获160元收益； 问题：1、的成本包括水面年租金，苗种费用和饲养费用，求每亩水面虾蟹混合养殖的年利润（利润=收益—成本）； 2、李大爷现有资金25000元，他准备再向银行贷款不超过25000元，用于蟹虾混合养殖，已知银行贷款的为10％，试问李大爷应租多少亩水面，并向银行贷款多少元，可使年利润达到36600元？ 解：1、水面年租金=500元 苗种费用=75x4+15x20=300+300=600元 饲养费=525x4+85x20=2100+1700=3800元 成本=500+600+3800=4900元 七年级下册数学一元一次不等式单元测试题 （考试时间60分钟 试卷分数100分） 一、填空题：（每小题3分，共30分） 1、不等式62>-x 的解集是 ； 2、一个三角形的三边长分别为 3、5、a -1则a 的取值范围是 ； 3、当x 时，代数式32-x 的值是非负数； 4、不等式138≥-x 的正整数解是 ； 5、“a 的一半与负6的差不大于负2”所列的不等式是 。 6、用不等号填空：若0<，那么下列不等式不成立的是（ ） A 、33->-y x B 、y x 33> C 、3 3y x > D 、y x 33->- 12、不等式512>-x 的解集是（ ） A 、5>x B 、2>x C 、3>x D 、3初一奥数一元一次方程测试题及答案
．24．43．57．698．汽车以 72 千米时的速度在公路上行驶，开 向寂静的山谷，驾驶员揿一下喇叭，4 秒后听到回响，这时汽车离山 谷多远？已知空气中声音的传播速度约为 340 米秒．设听到回响时， 汽车离山谷米，根据题意，列出方程为
．2+4×20＝4×340．2﹣4×72＝4×340．2+4×72＝4×340．2 ﹣4×20＝4×340 二、细心填一填每小题 4 分，共 20 分 9．在公式＝ +中，已知＝16，＝3，＝4，则＝10．若+1||+3＝0 是关于的一元一 次方程，则＝
．11．当＝时，代数式 1-2 与代数式 3+1 的值相等．12 三个连 续偶数的和为 48，则这三个偶数为 13 某市自来水费实行阶梯水价， 收费标准如下表所示，某用户 5 月份交水费 44 元，则所用水为吨．月 用水量不超过 10 吨的部分超过 10 吨不超过 16 吨的部分超过 16 吨的 部分收费标准元吨 200250300 三、专心解一解 5 个小题，共 48 分 14．9 分解方程﹣＝1﹣．15．9 分阅读下列例题，并按要求完成问题例解 方程|2|＝1 解①当 2≥0 时，2＝1，它的解是＝②当 2≤0 时，﹣2＝ 1，它的解是＝﹣所以原方程的解是＝或＝﹣请你模仿上面例题的解 法，解方程|2﹣1|＝3．16．9 分解方程＝﹣1．17．10 分某单位计划 五一期间组织职工到东江湖旅游，如果单独租用 40 座的客车若干辆 刚好坐满；如果租用 50 座的客车可以少租一辆，并且有 40 个剩余座816.几何不等式初步-奥数精讲与测试8年级
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