高一数学1.3函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大（小）值（一）
教学内容：函数单调性的概念
教学目标：理解增函数、减函数、函数的单调性、单调区间
等概念，明确函数单调性的几何意义.
教学过程： A.问题提出
观察课本27页图1.3-1中的各个图像，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律吗？ B.知识探究 （一） 增函数
思考1：（1）()f x x =； (2)2
()(0)f x x x =≥.
画出这两个函数的图象，观察二者有何共同特征？
思考2：如果一个函数的图象从左至右逐渐上升，那么当自变量x 从小到大依次取值时，函数值y 的变化情况如何？
思考3：如图为函数()f x 在定义域I 内某个区间D 上的图象，
对于该区间上任意两个自变量x 1和x 2，当12x x <时，
1()f x 与2()f x 的大小关系如何？
思考3：怎样定义“函数()f x
（二）减函数
（1）()f x x =-； (2)2
()(0)f x x x =≤.
思考1：画出这两个函数的图象，观察二者有何共同特征？
思考2：如图为函数()f x 在定义域I 内某个区间
D 上的图象，
对于该区间上任意两个自变量x 1和x 2，当12x x <时，
1()f x 与2()f x 的大小关系如何？
思考3：怎样定义“函数()f x 在区间D 上是减函数”？
小结：如果函数y=f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做
函数)(x f 的单调区间.
思考：（1）函数()f x x =-的单调区间如何？
（2）二次函数在R 上具有单调性吗？2
()(1)f x x =-的单调
区间如何？
C.理论迁移
例1 如图是定义在闭区间 [-5，6]上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，以及在每一单调区间上，函数)(x f y =是增函数还是减函数.
变式1: 画出反比例函数y=x
1的图像，根据图像说出 y=f （x ）的单调区间，以及在各个单调区间上函数)(x f y =是增函数还是减函数
例2 物理学中的玻意耳定律
)(为正常数k V
k
P =
告诉我们，
对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大.
试用
函数的单调性证明。
变式2.证明：函数f(x)=-2x+1在R上是减函数.
D.总结
利用定义确定或证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
1 任取x1，x2∈D，且x1 2 作差f(x1)－f(x2)； 3 变形（通常是因式分解和配方）； 4 定号（判断f(x1)－f(x2)的正负）； 5 小结（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． 1.3.1 单调性与最大（小）值（二） 教学内容：函数的最值 教学过程： A.复习回顾 1.确定函数的单调性有哪些手段和方法？ 2.函数图象上升与下降反映了函数的单调性，如果函数()f x 的图象存在最高点或最低点，它又反映了函数的什么性质？ B.知识探究 探究（一） 观察下列两个函数的图象： 思考1：这两个函数图象有何共同特征？函数图象上最高点的纵坐标是什么？ 思考2：设函数y=f （x ）图象上最高点的纵坐标为M ，则对函数定义域内任意自变量x ， f （x ）与M 的大小关系如何？ 图1 x x 思考3：设函数2()1f x x =-，则()2f x ≤成立吗？()f x 的最大值是2吗？为什么？ 思考4：怎样定义函数()f x 的最大值？用什么符号表示？ 一般地，设函数y =)(x f 的定义域为I ，如果存在实 数M 满足： （1） （2） 那么称M 是函数y =)(x f 的 ，记作 . 思考5：函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？如果函 数()f x 的值域是(,)a b ，则函数()f x 存在最大值吗？ 思考6：函数21,(1,)y x x =-+∈-+∞有最大值吗？为什么？ 探究（二） 观察下列两个函数的图象： 思考1：这两个函数图象各有一个最低点，函数图象上最低点的纵坐标是什么？ 图1 x x 思考2：仿照函数最大值的定义，怎样定义函数()f x 的最小值？ 一般地，设函数y =)(x f 的定义域为I ，如果存在实 数M 满足： （1） （2） 那么称M 是函数y =)(x f 的 ，记作 . 探究（三） 思考1：如果在函数f (x) 定义域内存在x 1和 x 2，使对定义 域内任意x 都有12()()()f x f x f x ≤≤成立，由此你能得到 什么结论？ 思考2：对一个函数就最大值和最小值的存在性而言，有哪几种可能情况？ 思考3：如果函数f (x)的最大值是b ，最小值是a ，那么函数f (x)的值域是[a ，b]吗？ C. 理论迁移 例1已知函数()[]2 ,2,61f x x x =∈-，求函数f (x)的最大值和最小值. 例2 已知函数f(x)=x2-2x, g(x)=x2-2x(x∈[2,4]). (1)求f(x),g(x)单调区间; (2)求f(x),g(x)的最小值. D.小结作业 P39 习题1.3A组：5 B组：1，2 1.3.2函数的奇偶性（一） 教学目标：1.理解奇函数、偶函数的概念，了解奇函数和偶 函数的图象特征及简单性质. 2.能根据定义判断函数的奇偶性，了解奇、偶函数的单调性特征. 教学重点：函数奇偶性的概念 教学难点：函数奇偶性定义的形成 第一课时 教学内容：函数的奇偶性 教学过程： A.问题提出 1.研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的需要，也是数学自身发展的必然结果. 例如事物的变化趋势，利润最大、效率最高等，这些特性反映在函数上，就是要研究函数的单调性及最值. 2.我们从函数图象的升降变化引发了函数的单调性，从函数图象的最高点最低点引发了函数的最值，如果从函数图象的对称性出发又能得到什么性质？ B.知识探究 探究（一） 考察下列两个函数； （1）2 () =-；(2)()|| f x x =. f x x 思考1：这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特 征？ 图像关于（ ）对称 思考2：对于上述两个函数，f (1)与f (-1)，f (2)与f (-2)，f (3)与f (-3)有什么关系？ 思考3：一般地，若函数y=f (x)的图象关于y 轴对称，则f (x) 与f (-x)有什么关系？反之成立吗？ 思考4：我们把具有上述特征的函数叫做偶函数，那么怎样定义偶函数？ 思考5：等式f (-x)=f (x)用文字语言表述： 当自变量x 取一对相反数时，相应的两个函数值（ ） 思考6：函数2 (),[1,2]f x x x =∈-是偶函数吗？偶函数的定义 图（1） 图（2） 域有什么特征？ 探究（二） 考察下列两个函数； （1）()f x x =； (2) 1()f x x = . 思考1 征？ 图像关于（ ）对称 思考2：对于上述两个函数，f (1)与f (-1)，f (2)与f (-2)，f (3)与f (-3)有什么关系？ 思考3：一般地，若函数y=f (x)的图象关于原点对称，则f (x) 与f (-x)有什么关系？反之成立吗？ 思考4：我们把具有上述特征的函数叫做奇函数，那么怎样定义奇函数？ 图（1） 思考5：等式f (-x)= -f (x)用文字语言表述： 当自变量x 取一对相反数时，相应的两个函数值（ ） 思考6：函数(),[1,2]f x x x =∈-是奇函数吗？奇函数的定义域有什么特征？ C.理论迁移 例：判断下列函数的奇偶性： （1）1 ()f x x x =+； （2）()f x = 练习：P36:1,2 1.3.2 函数的奇偶性（二） 教学内容：函数奇偶性的性质 教学过程： A.问题提出 1.奇函数、偶函数的定义分别是什么？ 2.奇函数和偶函数的定义域、图象分别有何特征？ 3.函数的奇偶性有那些基本性质？ B.知识探究 探究（一） 思考1：是否存在函数f (x)既是奇函数又是偶函数？若存在，这样的函数有何特征？ 思考2：一个函数就奇偶性而言有哪几种可能情形？ 思考3：若f (x)是定义在R上的奇函数，那么f (0)的值如何？ a≠为常数，那么函数思考4：如果函数f (x)具有奇偶性，0 a·f (x)，f (a·x)的奇偶性如何？ 思考5：常数函数()(0) =≠具有奇偶性吗？ f x a a 探究（二） 思考1：如果函数f (x)和g (x)都是奇函数，那么f (x) + g (x)，f (x) - g (x)，f (x )×g (x) ，f (x )÷g (x)的奇偶性如何？ 思考2：如果f (x)是定义在R 上的任意一个函数，那么f (x) + f (-x)，f (x) - f (-x)奇偶性如何？ 思考3：二次函数2()f x ax bx c =++是偶函数的条件是什么？一 次函数()f x kx b =+是奇函数的条件是什么？ C.理论迁移 例 1 已知()f x 是奇函数，且当0x ≥时，2 ()3f x x x =-，求 当0x <时()f x 的解析式. 例2设函数 2 ()23f x x mx =-+，已知(1)f x -是偶函数，求实数m 的值. 例3 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 都有 (3)()0f x f x ++=，若当[3,2]x ∈--时，()2f x x =，求1() 2 f 的值. 例4 已知f (x)是定义在R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函 数，f (-2)=0，求不等式()0x f x ?<的解集. 例5已知()f x 是定义在（-1，1）上的奇函数，且()f x 在区间 （-1，1）上是增函数，求满足2(1)(1)0f a f a -+-<的实数a 的取值范围. D.小结作业 P39习题1.3A 组：6 B 组：3 答案： 例1：2 ()3f x x x =-- 例2：—4 例3：5 例4：(2,0)(2,)-+∞ 例5：（0,1） 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π -a) 半角公式 sin( 2 A )=2cos 1A - cos( 2 A )=2cos 1A + tan( 2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2 A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21 [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π -a) = cosa cos(2π -a) = sina sin(2π +a) = cosa cos(2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 题型一 指数数与式的运算 【例1】 求下列各式的值： ⑴ 33(5)-；⑵ 2(3)-； ⑶ 335； ⑷ 2()()a b a b -<； ⑸ 4334(3)(3)ππ---．⑹2 3 8；⑺12 25- ；⑻5 12-?? ???；⑼34 1681- ?? ??? ． 【例2】 求下列各式的值： ⑴ 44100；⑵ 55 (0.1)-；⑶ 2(4)π-；⑷ 66 ()()x y x y ->． 【例3】 用分数指数幂表示下列各式： （1）3 2x （2）43)(b a +（a ＋b ＞0） （3）32 )(n m - （4）4 )(n m -（m ＞n ） （5） 5 6 q p ?（p ＞0） （6）m m 3 典例分析 板块一.指数基本运算 【例4】 用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) （1）43a a ? （2）a a a （3）3 22b a ab + （4）4233)(b a + 【例5】 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中0)a >：3a ；2a ． 【例6】 用根式的形式表示下列各式(a ＞0) 15 a ，34 a ，35 a -，23 a - 【例7】 用分数指数幂的形式表示下列各式： 2 a a ，3 3 2a a ,a a (式中a ＞0) 【例8】 求值：23 8，12 100 -,314-?? ???,3 41681- ?? ??? . 【例9】 求下列各式的值： (1)12 2 （2）1 2 6449- ?? ??? （3）34 10000- （4）23 12527- ?? ??? 基本初等函数 一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n ②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 。 （2）．幂的有关概念 ①规定：1）∈???=n a a a a n ( N * ；2）)0(10≠=a a ； n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ） ； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。 （3）．对数的概念 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的 对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质： 1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ； 高中数学公式：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全： 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) 页 1 第 =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 cos(2α))/2=versin(2α)/2sin^2(α)=(1- cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 -cos(2α))/(1+cos(2α))tan^2(α)=(1 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α 2cot2α-cotα=-tanα s2α=2cos^2α1+co 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα /2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina 页 2 第 =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa 指数函数与对数函数（讲义） ? 知识点睛 1. 指数函数及对数函数的图象和性质： 2. 利用指数函数、对数函数比大小 （1）同底指数函数，利用单调性比较大小； （2）异底指数函数比大小，可采用化同底、商比法、取中间值、图解法； （3）同底数对数函数比大小，直接利用单调性求解；若底数为字母，需分类讨论； （4）异底数对数函数比大小，可化同底（换底公式）、寻找中间量（-1，0，1），或借助图象高低数形结合． 3. 换底公式及常用变形： log log log c a c b b a =（a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0） 1 log log a b b a = （a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1） log log m n a a n b b m = （a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1） log a b a b =（a >0，且a ≠1；b >0） ? 精讲精练 1. 若a ，b ，c ∈R +，则3a =4b =6c ，则（ ） A ．b a c 111+= B ． b a c 122+= C ．b a c 221+= D ．b a c 212+= 2. 计算： （1）若集合{lg()}{0||}x xy xy x y =，，，，，则228log ()x y +=_________； （2）设0()ln 0x e x g x x x ?=?>?≤（）， （）则1 (())2g g =_____________； （3）若2(3)6()log 6f x x f x x x + 高一数学《函数的性质》知识点总结 二．函数的性质 函数的单调性 增函数 设函数y=f的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x12时，都有f2)，那么就说f在区间D上是增函数.区间D称为y=f的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x12时，都有f＞f，那么就说f在这个区间上是减函数.区间D称为y=f的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质； 图象的特点 如果函数y=f在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f在这一区间上具有单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. 函数单调区间与单调性的判定方法 定义法： 任取x1，x2∈D，且x12； 作差f－f； 变形； 定号； 下结论． 图象法 复合函数的单调性 复合函数f[g]的单调性与构成它的函数u=g，y=f的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. ．函数的奇偶性 偶函数 一般地，对于函数f的定义域内的任意一个x，都有f=f，那么f就叫做偶函数． ．奇函数 一般地，对于函数f的定义域内的任意一个x，都有f=—f，那么f就叫做奇函数． 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； 确定f与f的关系； 作出相应结论：若f=f或f－f=0，则f是偶函数；若 f=－f或f＋f=0，则f是奇函数． 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，再根据定义判定;由f±f=0或f／f=±1来判定;利用定理，或借助函数的图象判定. 函数的解析表达式 函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. 求函数的解析式的主要方法有： )凑配法 )待定系数法 )换元法 )消参法 0．函数最大值 利用二次函数的性质求函数的最大值 利用图象求函数的最大值 利用函数单调性的判断函数的最大值： 如果函数y=f在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f在x=b处有最大值f； 如果函数y=f在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f在x=b处有最小值f； 教学内容—正反比例函数的图像和性质知识精要 1、掌握正、反比例函数的概念； 2、掌握正、反比例函数的图象的性质； 3、会用待定系数法求正、反比例函数的解析式。 热身练习 一 填空： 1、若正比例函数13 52 )1(---=m m x m y 的图象经过二、四象限，则这个正比例函数的解析式 是 。3y x =- 2、已知点P （1，a ）在反比例函数x k y = （k ≠0）的图像上，其中322++=m m a （m 为实数），则这个函数的图像在第 象限。一、三 3.已知函数y = (m 2 -2)32-+m m x 是反比例函数，且它的图象在第一、三象限，那么m= ；-2 4.反比例函数4 y x =-，当x > 0时y ，这部分图象在第 象限内；当x < 0时，y ，这部分图象在第 象限内；<0,四，>0，二 5.如图，正比例函数kx y =（k ＞0）与反比例函数x y 3 =的图像交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于 B ，CD ⊥x 轴于D ，则ABCD S 四边形＝ 。6 名称 k 图像 取值范围 与x 轴交点 与y 轴交点 增减性 正比例函数()0y kx k =≠ k>0 一、三象限(直线) x 、y 任意实 数 (0,0) (0,0) y 随x 增大而增大 K<0 二、四象限(直线) x 、y 任意实 数 (0,0) (0,0) y 随x 增大而减小 反比例函数()0k y k x = ≠ k>0 一、三象限(双曲线) , 无 无 在每个象限内, y 随x 增大而减小 K<0 一、三象限(双曲线) , 无 无 在每个象限内, y 随x 增大而增大 三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即： 函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式： O O O O （1） （2） （3） （4） 时间 时间 时间 时间 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题 第一部分 函数及其表示 知识点一：函数的基本概念 1、函数的概念： 一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数。记作： A x x f y ∈=，)(。 x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，y 叫函数值，y 的取值范围叫函数的值域。 说明：①函数首先是两个非空数集之间建立的对应关系 ②对于x 的每一个值，按照某种确定的对应关系f ，都有唯一的y 值与它对应，这种对应应为数与数之间的“一对一”或“多对一”。 ③认真理解)(x f y =的含义：)(x f y =是一个整体，)(x f 并不表示f 与x 的乘积，它是一种符号，可以是解析式，也可以是图象，还可以是表格； 2、函数的三要素：定义域，值域和对应法则 3、区间的概念：三种区间：闭区间、开区间、半开半闭区间 4、两个函数相等：同时满足（1）定义域相同；（2）对应法则相同的两个函数才相等 5、分段函数： 说明：①在求分段函数的函数值时，首先要确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值。 ②分段函数是一种重要的函数，它不是几个函数，而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同。 6、函数图像 练习 1.下列图象中表示函数图象的是 （ ） （A ） (B) (C ) (D) 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．x x y y ==,1 B ．1,112 -=+?-=x y x x y C ．3 3 ,x y x y = = D ． 2 )(|,|x y x y == 3.下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。 A 、（1）（2）（4） B 、（4）（2）（3） C 、（4）（1）（3） D 、（4）（1）（2） 4.下列对应关系：（ ） ①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根 ②,,A R B R ==f ：x x →的倒数 ③,,A R B R ==f ：2 2x x →- ④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方 其中是A 到B 的映射的是 A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③ 5.在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重()040x x <≤克的函数，其表达式为()f x ＝____ ____ 6.设函数? ??<+≥-=10110 2)(2x x x x x f ，则)9(f = ，)15(f = 7.设函数?? ?<-≥-=5 35 2)(2 x x x x x f ，若)(x f =13，则x= 。 8.函数()1,3,x f x x +?=?-+? 1, 1,x x ≤>则()()4f f = ． 9.下列各组函数是同一函数的有 ①3()2f x x =-与()2g x x x =-；②()f x x =与2()g x x =； ③0 ()f x x =与0 1()g x x = ；④2()21f x x x =--与2 ()21g t t t =--。 10.作出函数(]6,3,762 ∈+-=x x x y 的图象 x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 高中三角函数公式大全[图] 1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义 图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 1.2 直角坐标系中的定义 图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 r ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 2 转化关系2.1 倒数关系 2.2 平方关系 2 和角公式 3.1 倍角公式 3.3 万能公式 4 积化和差、和差化积 4.1 积化和差公式 证明过程 首先，sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》）因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（正弦和角公式） 则 sin(α-β) =sin[α+(-β)] =sinαcos(-β)+sin(-β)cosα =sinαcosβ-sinβcosα 于是 sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα（正弦差角公式） 将正弦的和角、差角公式相加，得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 则 sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2（“积化和差公式”之一） 同样地，运用诱导公式cosα=sin(π/2-α)，有 cos(α+β)= sin[π/2-(α+β)] =sin(π/2-α-β) =sin[(π/2-α)+(-β)] =sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α) =cosαcosβ-sinαsinβ 于是 第四节、指数函数 一、初中根式的概念； 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根； （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示。 ． 式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数。 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）。 由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 思考：n n a =a 一定成立吗？ 结论：当n 是奇数时，a a n n = 当n 是偶数时，???<≥-==) 0()0(||a a a a a a n n 例1、（1）=-+125.08 33-4 1633 （2）7722)(2y x y xy x -+ +-= 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(11 *>∈>==-n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂． 3．有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 无理指数幂：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 对于根式的运算，简单的问题可以根据根式的意义直接计算，一般要将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质来进行计算。 例2、化简（1）=÷?----32 11321 32)(a b b a b a b a （2）=?÷?363342b ab a 函数的基本性质--综合训练B 组 一、选择题 1．下列判断正确的是（ ） A ．函数22)(2--=x x x x f 是奇函数 B ．函数()(1f x x =- C ．函数()f x x = D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．( -∞C ．(-∞3．函数A ．(∞-C ．[,24 则实数a A ．a ≤ 5． )x 是增函数； (2)23x --的 A ．0 6. 在下图中是（ ） 二、填空题 1．函数x x x f -=2 )(的单调递减区间是____________________。 2．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2 -+=x x x f ，那么0x <时， ()f x = . 3．若函数2()1 x a f x x bx += ++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________. 4．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1-，则 2(6)(3)f f -+-=__________。 5．若函数2()(32)f x k k x b =-++在R 上是减函数，则k 的取值范围为__________。 1][]2,6 2()f b ，且当 0x >时，()y f x =是 奇函数。 3．设函数,且 ()(f x g + 4．设a 为实数，函数1||)(2 +-+=a x x x f ，R x ∈（1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值。 学习 目标核心素养 １．会根据函数奇偶性求函数值或解析式．２．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题.１．利用奇偶性求函数的解析式，培养逻辑推理素养． ２．借助奇偶性与单调性的应用提升逻辑推理、数学运算素养. 用奇偶性求解析式 【例１】（１）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）＝—x＋１，求f（x）的解析式； （２）设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝错误!，求函数f（x），g（x）的解析式． [思路点拨] （１）错误!错误! 错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误! （２）错误!错误! 错误!错误! 错误!错误!错误! [解] （１）设x<0，则—x>0， ∴f（—x）＝—（—x）＋１＝x＋１， 又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数， ∴f（—x）＝—f（x）＝x＋１， ∴当x<0时，f（x）＝—x—１． 又x＝0时，f（0）＝0， 所以f（x）＝错误! （２）∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数， ∴f（—x）＝f（x），g（—x）＝—g（x）． 由f（x）＋g（x）＝错误!，１ 用—x代替x得f（—x）＋g（—x）＝错误!， ∴f（x）—g（x）＝错误!，２ （１＋２）÷２，得f（x）＝错误!； （１—２）÷２，得g（x）＝错误!. 把本例（２）的条件“f（x）是偶函数，g（x）是奇函数”改为“f（x）是奇函数，g（x）是偶函数”，再求f（x），g（x）的解析式． [解] ∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数， ∴f（—x）＝—f（x），g（—x）＝g（x）， 又f（x）＋g（x）＝错误!，１ 用—x代替上式中的x，得 f（—x）＋g（—x）＝错误!， 即f（x）—g（x）＝错误!.２ 联立１２得 f（x）＝错误!，g（x）＝错误!. 利用函数奇偶性求解析式的方法 １“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设. ２要利用已知区间的解析式进行代入. ３利用f x的奇偶性写出—f x或f—x，从而解出f x. 提醒：若函数f x的定义域内含0且为奇函数，则必有f0＝0，但若为偶函数，未必有f0 ＝0． 函数单调性和奇偶性的综合问题 [探究问题] 高一数学复习讲义09年版 函数部分(1) 重点：1把握函数基本知识（定义域、值域） x（a>0、<0) 主要是指数函数y=a x（a>0、<0),对数函数y=log a 2二次函数（重点）基本概念（思维方式）对称轴、 开口方向、判别式 考点1：单调函数的考查 2：函数的最值 3：函数恒成立问题一般函数恒成立问题(重点讲) 4：个数问题（结合函数图象） 3反函数（原函数与对应反函数的关系）特殊值的取舍 4单调函数的证明(注意一般解法） 简易逻辑(较容易) 1. 2. 3. 4. 启示：对此部分重点把握第3题、第4题的解法（与集合的关系） 问题1：恒成立问题解法及题型总结(必考) 一般有5类：1、一次函数型：形如：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m, n]内恒有f(x)>0(<0) 练习：对于满足0 高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 函数综合练习 1 、映射、函数的定义； 2 、函数的基本性质（单调性，奇偶性，对称性，周期性） ； 3、基本函数（二次函数，幂函数，指数函数，对数函数）； 4、简单函数方程 5、极限、导数的定义、性质及其应用； 映射：（1）定义域中每个元素都在值域中有象（2）定义域中每个元素只对应一个象（良好定义） 单射：:f A B →，12x x ?≠都有12()()f x f x ≠ 满射：:f A B →，,,..()y B x A s t f x y ?∈?∈= 双射：是单射又是满射 逆映射：只有在:f A B →是双射才存在f 的逆映射，1()()f x y f y x -=?= 函数：定义域和值域元素都是数值的映射。 对于函数:f A B →： 单调性：1212,,x x x x A ?<∈，都有12()()f x f x <12(()())f x f x >，那么就称函数()f x 在区间A 上是单调增（减）函数 奇偶性：如果x A ?∈，都有x A -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；如果x A ?∈，都有x A -∈， 且()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数 周期性：存在非零常数T ，使得x A ?∈，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数 二次函数：2 ()f x ax bx c =++，最值：0a <时，开口向下，在2b a -处取最大值244ac b a -；0a >时，开口向 上，在2b a -处取最小值2 44ac b a -。 幂函数： ()a y x a =∈ 指数函数：(0,1)x y a a a =>≠ 定义域：，值域： + 单调性：01a <<时，单调递减；1a >时，单调 递增。 指数与指数函数 一、指数 （一）n 次方根： 1的3次方根是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．以上都不对 2、若4 a －2＋(a －4)0有意义，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥2 B ．a ≥2且a ≠4 C ．a ≠2 D ．a ≠4 （二）、 n 为奇数，a a n n = n 为偶数,?? ?<-≥==0 ,0 ,a a a a a a n n 1．下列各式正确的是( ) ＝－3 ＝a ＝2 D ．a 0＝1 2、.(a －b )2＋5 (a －b )5的值是( ) A ．0 B ．2(a －b ) C ．0或2(a －b ) D ．a －b 3、若xy ≠0，那么等式 4x 2y 2＝－2xy y 成立的条件是( ) A ．x >0，y >0 B ．x >0，y <0 C ．x <0，y >0 D ．x <0，y <0 4、求下列式子 (1)．33 4433)32()23()8(---+- (2)223223--+ （三）、分数指数幂 1、求值 4 3 52 13 2811621258- --?? ? ????? ??；；； 243 的结果为 A 、5 B 、5 C 、－5 D 、－5 3、把下列根式写成分数指数幂的形式： （1）32ab （2）()42 a - （3） 3432x x x （四）、实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． 1．对于a >0，b ≠0，m 、n ∈N *，以下运算中正确的是( ) 4．下列函数中,在区间 (0,1)上是增函数的是（ ） A ．x y = B ．x y -3= C ．x y 1= D ．4+-=2x y 6．若一次函数y=kx ＋b 在集合Ｒ上单调递减，则点（k ，b ）在直角坐标系中的 ( ) Ａ．第一或二象限 Ｂ．第二或三象限 Ｃ．第一或四象限 Ｄ．第三或四象限 7. 函数y ＝＝x 2－6x ＋10在区间（2，4）上是（ ） A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增 D ．选递增再递 减． （1）f(x)=x 3+2x; (2) f(x)=2x 4+3x 2; (3) f(x)=x 2+2x+5; (4) f(x)=x 2,x ()∞+,0∈; (5) f(x)=x 1; (6) f(x)=x+x 1; 6．如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3-,7-上是（ ） A ．增函数且最小值是5- B ．增函数且最大值是5- C ．减函数且最大值是5- D ．减函数且最小值是5- 7 ． 已知函数()f x 对一切R y x ∈,，都有)(+)(=)+(y f x f y x f ， 求证：（1）()f x 是奇函数；（2）若a f =-3)(，用a 表示(12)f ． 答案:1.C 2.C 3.B 4.A 5.+∞,0[) 6.B 7.C 8.(0,2 1) 答案: 1.C 2.C 3.C 4.B 5.(1)(5)(6) 6.A 7.(1)证明:令x=y=0,)0(f = )0(f +)0(f =2)0(f ,∴)0(f =0. 令y= -x, =)+(y x f )0(f =(+)(f x f -)x , 即(+)(f x f -)x =0, ∴(f -)x =)(x f , ∴)(x f 为奇函数. (2) -4a 心智家三优教育高一特训营数学教学进度表 ¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、 集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. ¤知识要点： 1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性. 2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ???，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集. 3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ???表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或 N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R . 4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、?表示，例如3N ∈， 2N -?. ¤例题精讲： 【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数. 【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B . 【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2 y x =的自变量的值组成的集合. *【例4】已知集合2{| 1}2 x a A a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ．高中三角函数公式大全必背知识点
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