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全国高中数学联赛模拟试08

全国高中数学联赛模拟试题(八)

第一试

一、选择题:(每小题6分,共36分)

1、设log a b 是一个整数,且2log log 1

log a b b

b a a

>>,给出下列四个结论 ①

21

a b b

>>;

②log a b +log b a =0; ③0<a <b <1; ④ab -1=0. 其中正确结论的个数是

(A )1 (B )2

(C )3

(D )4

2、若△ABC 的三边长a 、b 、c 满足???=+-+=---0

3220

222c b a c b a a ,则它的最大内角度数是

(A )150°

(B )120°

(C )90°

(D )60°

3、定长为l (a b l 22>)的线段AB 的两端点都在双曲线122

22=-b

y a x (a >0,b >0),

则AB 中点M 的横坐标的最小值为 (A )

2

2

2b

a al + (B )

2

2

2b

a l a ++

(C )

()2

2

22b

a a l a +- (D )

()2

2

22b

a a l a ++

4、在复平面上,曲线z 4+z =1与圆|z |=1的交点个数为

(A )0

(B )1

(C )2

(D )3

5、设E ={(x ,y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2}、F ={(x ,y )|x ≤10,y ≥2,y ≤x -4}是直角坐标平面上

的两个点集,则集合G =()()?

??

???∈∈??? ??++F y x E y x y y x x 2

2112121,,,2,2所组成的图形面积是

(A )6

(B )2

(C )6.5

(D )7

6、正方形纸片ABCD ,沿对角线AC 对折,使D 在面ABC 外,这时DB 与面ABC 所成的角

一定不等于

(A )30°

(B )45°

(C )60°

(D )90°

二、填空题:(每小题9分,共54分)

1、已知24

π

α=

,则

α

α

αααααααααcos sin cos 2cos sin 2cos 3cos sin 3cos 4cos sin +++的值等

于 .

2、2004

321132112111+++++++++++

= . 3、在Rt △ABC 中,AB =AC ,以C 为一个焦点作一个椭圆,使这个椭圆的另一个焦点在

AB 内,且椭圆过A 、B 点,则这个椭圆的离心率等于 .

4、从{1,2,3,…,20}中选出三个数,使得没有两个数相邻,有 种不同的选

法.

5、设a 、b 均为正数,且存在复数z 满足?????≤+=?+1

i z b a z z z ,则ab 的最大值等

于 .

6、使不等式

13

7

158<+

已知实数x 、y 满足x 2+y 2

≤5.求f (x ,y )=3|x +y |+|4y +9|+|7y -3x -18|的最大值与最小值.

四、(20分)

经过点M (2,-1)作抛物线y 2

=x 的四条弦P i Q i (i =1,2,3,4),且P 1、P 2、P 3、P 4

四点的纵坐标依次成等差数列.

求证:

4

4332211MQ M

P MQ M P MQ M P MQ M P -

>-.

五、(20分)

n 为正整数,r >0为实数.证明:方程x n +1+rx n -r n +1=0没有模为r 的复数根.

第二试

一、(50分)

设C (I )是以△ABC 的内心I 为圆心的一个圆,点D 、E 、F 分别是从I 出发垂直于边BC 、CA 和AB 的直线C (I )的交点.

求证:AD 、BE 和CF 三线共点.

二、(50分)

非负实数x 、y 、z 满足x 2+y 2+z 2

=1.

求证:1≤

xy

z

zx y yz x +++++111≤2. 三、(50分)

对由n 个A ,n 个B 和n 个C 排成的行,在其下面重新定义一行(比上面一行少一个字母),若其头上的两个字母不同,则在该位置写上第三个字母;若相同,则写上该字母.对新得到的行重复上面的操作,直到变为一个字母为止.下面给出了n =2的一个例子.

A C

B

C B A B A A A C C A A B B A C C B A

求所有的正整数n ,使得对任意的初始排列,经上述操作后,所得的大三角形的三个顶点上的字母要么全相同,要么两两不同.

参考答案 第一试

一、选择题:

题号 1 2 3 4 5 6 答案 A

B

D

A

D

D

二、填空题:

1、

3

3; 2、

2005

4008

; 3、36-; 4、816; 5、

8

1

6、112.

三、最大值5627+,最小值10327-.

四、证略.

五、证略.

第二试

一、证略;

二、证略.

三、 n =1.