全国高中数学联赛模拟试08
全国高中数学联赛模拟试题(八)
第一试
一、选择题：（每小题6分，共36分）
1、设log a b 是一个整数，且2log log 1
log a b b
b a a
>>，给出下列四个结论 ①
21
a b b
>>；
②log a b +log b a =0； ③0＜a ＜b ＜1； ④ab -1=0． 其中正确结论的个数是
（A ）1 （B ）2
（C ）3
（D ）4
2、若△ABC 的三边长a 、b 、c 满足???=+-+=---0
3220
222c b a c b a a ，则它的最大内角度数是
（A ）150°
（B ）120°
（C ）90°
（D ）60°
3、定长为l （a b l 22>）的线段AB 的两端点都在双曲线122
22=-b
y a x （a ＞0，b ＞0），
则AB 中点M 的横坐标的最小值为 （A ）
2
2
2b
a al + （B ）
2
2
2b
a l a ++
（C ）
()2
2
22b
a a l a +- （D ）
()2
2
22b
a a l a ++
4、在复平面上，曲线z 4+z =1与圆|z |=1的交点个数为
（A ）0
（B ）1
（C ）2
（D ）3
5、设E ={(x ,y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2}、F ={(x ,y )|x ≤10,y ≥2,y ≤x -4}是直角坐标平面上
的两个点集，则集合G =()()?
??
???∈∈??? ??++F y x E y x y y x x 2
2112121,,,2,2所组成的图形面积是
（A ）6
（B ）2
（C ）6.5
（D ）7
6、正方形纸片ABCD ，沿对角线AC 对折，使D 在面ABC 外，这时DB 与面ABC 所成的角
一定不等于
（A ）30°
（B ）45°
（C ）60°
（D ）90°
二、填空题：（每小题9分，共54分）
1、已知24
π
α=
，则
α
α
αααααααααcos sin cos 2cos sin 2cos 3cos sin 3cos 4cos sin +++的值等
于 ．
2、2004
321132112111+++++++++++
= ． 3、在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，以C 为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在
AB 内，且椭圆过A 、B 点，则这个椭圆的离心率等于 ．
4、从{1,2,3,…,20}中选出三个数，使得没有两个数相邻，有 种不同的选
法．
5、设a 、b 均为正数，且存在复数z 满足?????≤+=?+1
i z b a z z z ，则ab 的最大值等
于 ．
6、使不等式
13
7
158<+ 已知实数x 、y 满足x 2+y 2 ≤5．求f (x ,y )=3|x +y |+|4y +9|+|7y -3x -18|的最大值与最小值． 四、（20分） 经过点M (2,-1)作抛物线y 2 =x 的四条弦P i Q i (i =1,2,3,4)，且P 1、P 2、P 3、P 4 四点的纵坐标依次成等差数列． 求证： 4 4332211MQ M P MQ M P MQ M P MQ M P - >-． 五、（20分） n 为正整数，r ＞0为实数．证明：方程x n +1+rx n -r n +1=0没有模为r 的复数根． 第二试 一、（50分） 设C (I )是以△ABC 的内心I 为圆心的一个圆，点D 、E 、F 分别是从I 出发垂直于边BC 、CA 和AB 的直线C (I )的交点． 求证：AD 、BE 和CF 三线共点． 二、（50分） 非负实数x 、y 、z 满足x 2+y 2+z 2 =1． 求证：1≤ xy z zx y yz x +++++111≤2． 三、（50分） 对由n 个A ，n 个B 和n 个C 排成的行，在其下面重新定义一行（比上面一行少一个字母），若其头上的两个字母不同，则在该位置写上第三个字母；若相同，则写上该字母．对新得到的行重复上面的操作，直到变为一个字母为止．下面给出了n =2的一个例子． A C B C B A B A A A C C A A B B A C C B A 求所有的正整数n ，使得对任意的初始排列，经上述操作后，所得的大三角形的三个顶点上的字母要么全相同，要么两两不同． 参考答案 第一试 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A B D A D D 二、填空题： 1、 3 3； 2、 2005 4008 ； 3、36-； 4、816； 5、 8 1 ； 6、112． 三、最大值5627+，最小值10327-． 四、证略． 五、证略． 第二试 一、证略； 二、证略． 三、 n =1．