(强烈推荐)嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略毕业论文设计

嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

摘要

嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，探测器在高速飞行情况下，通过多个发动机的脉冲组合以实现各种姿态的调整控制。要保证探测器在月球预定区域内实现软着陆，关键是着陆轨道与各个阶段控制策略的设计。本题要求我们根据嫦娥三号的预定着落点和六个阶段关键点的状态，建立数学模型，确定着陆准备轨道位置和六个阶段的最优控制策略，并对它们做相应的误差分析和敏感性分析。

对于问题一，要求得着陆准备轨道（即椭圆轨道）近月点和远月点的位置，通过查阅资料，对一般底轨月球卫星，地球引力摄动几乎与月球非球形引力摄动相当，假设不能忽略地球扁率项摄动，通过建立嫦娥三号椭圆运动的主要摄动源及力模型，通过在3000m位置经纬度逆推法确定近月点的位置，并通过远月点和近月点位置关系，进而求出远月点位置。

题目中要求远、近月点相应的速度，我们通过简化的椭圆轨道模型，根据开普勒第二定律和机械能守恒（由于月球无大气，着陆器环月飞行无能量耗散），列出相应公式，求出近月点和远月点的速度。

对于问题二，要确定嫦娥三号的着陆轨道，我们采取基于蚁群算法的软着陆轨迹优化模型，将这一过程在二体模型下描述，建立整个过程的制动发动机推力方向角与时间t的关系函数。通过六个阶段的状态，确定线性方程。通过燃料消耗指标公式取得最小值，确定最优控制策略。

对于问题三，首先我们通过将题目中附件3和附件4导入matlab中，得出高程图和等高图，可以判断哪块区域较平坦，给卫星水平移动提供理论依据。接着我们建立了初始状态误差模型和传感器误差模型。然后又通过误差分析系统的建立，误差敏感系数矩阵的求取方法和步骤的分析，得

出设计的设计的着陆轨道和控制策略的误差分析和敏感性分析结论

关键词：逆推法开普勒第二定律机械能守恒蚁群分析最优控制策略

二体模型关系函数误差敏感系数矩阵

一、问题重述

嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940ms，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。根据其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段。既要满足每个阶段在关键点所处的状态，又要尽量减少软着陆过程的燃料消耗，我们需要建立数学模型并且讨论和求解以下问题：

1．通过建立月心平赤道坐标系，确定椭圆形轨道近月点和远月点的位置；利用开普勒第二定律和机械能守恒，求出嫦娥三号相应速度的大小与方向。

2. 根据附件2嫦娥三号着陆过程的六个阶段及其状态要求，建立适当的模型，确定嫦娥三号的着陆轨道；并在满足减少软着陆过程燃料消耗情况下，确定6个阶段的最优控制策略。

3. 对于问题2中我们设计的着陆轨道和控制策略，结合附件3和附件4的高程图，做相应的误差分析和敏感性分析。

二、问题假设

1．假设月球为均匀引力场；

2．假设着陆器软着陆过程中的月球自转忽略；

3．假设着陆器在一个固定的铅垂面内运动；

4．在模型一中，假设仅考虑地球引力摄动和月球非球形引力对着陆器的影响；

5．在模型三中，假设不考虑摄动项对着陆器的影响；

二、主要符号说明一览表

符号符符号的含义及单位

M 月球的质量（kg）

m 着陆器的质量(kg)

月球平均半径(km)

月球赤道平均半径(km)

F 主发动机的推力（N）

r着陆器与月心距离（km）

v着陆器的径向速度(kms)

着陆器极角（rad）

月球引力常数（）

主发动机推力方向角，其定义为F与当地水平方向夹角（rad）

I SP主发动机比冲（ms）

椭圆轨道近月点半径（km）

椭圆轨道远月点半径（km）

J 优化性能指标

四、问题分析

4.1对问题一的分析

题目要求根据探测器绕月椭圆轨道的半径及着陆过程的各个阶段的状态，求出远月点和近月点的位置，我们知道在从距离月球表面15km的位置到3km的位置，竖直方向下降了12km，我们可以建立适当的坐标系，由已知3km处位置和速度逆推出近月点15km的位置，并用投影在月球表面的经纬度和高度表示。由近月点和远月点的几何关系，进而确定远月点的位置。

对远、近月点相应的速度，可以应用物理学公式和给定的数据求出，并可以把求得近月点的速度与附件1中给出的速度1.7kms比较，看误差的大小。

4.2对问题二的分析

由于月球表面附近没有大气，所以在飞行器的动力学模型中没有大气阻力项。而且从15km左右的轨道高度软着陆到月球表面的时间比较短，一般在几百秒的范围内，我们假定月球引力非球项、日月引力摄动等影响因素均可忽略不计，所以将这一过程可以二体模型下描述，建立动力学方程。

4.3对问题三的分析

首先我们对题目附录3和附录4中，距2400m的数字高程图和据月面100m的数字高程图，我们转化为三维高程图和等高图，见论文附录2和附录3。通过高程图分析着陆器下落过程中应避免障碍物，选择较为平坦的地区。又由于在测量数据中，惯性导航系统的初始速度误差是造成软着陆避障和精确定点软着陆的主要误差源, 它会造成位置误差随时间的累积而不断变大. 我们通过建立误差分析系统和误差敏感系数矩阵分别分析问题（2）中设计的着陆轨道和最优控制策略。

五、模型的建立与求解

5.1 准备工作

由于涉及到专业术语，为此我们首先给出必要的说明：

1.轨道根数：又称轨道参数，是用来描述天体在其轨道运行状态的一组参数，通常情况下指的是用万有引力定律描述天体按圆锥曲线运动时所必需的6个参数。

2.摄动：一个天体绕另一个天体沿二体问题的轨道运行时，因受到其

他天体的吸引或其他因素的影响，天体运动会偏离原来的轨道。这种偏离的现象称为摄动。

5.2 问题一模型的建立与求解

5.2.1模型一：月球卫星运动的主要摄动源及力模型的建立

摄动源的摄动量级进行分析，对此类模型只要考虑月球非球形引力和地球引力摄动。

为了便于分析，将着陆轨道的抛物线运动如下图5-2-1所示，

与地球卫星情况类似，分别采用如下长度、质量和时间单位：

?????≈=→=→==)7906.1034min(2465.17)/(][][646.1737][2/13e s GM R T GM M M km R L e 力常数月球质量，对应月心引

月球赤道平均半径

（1）

相应地，有，.建立月心平赤道坐标系如图5-2-2，卫星的运动方程如下：

（2）

也可以用椭圆轨道根数来表示，即

（3）

其中r 、和分别为着陆器的月心位置矢量、速度矢量和加速度矢量，而是6个开普勒轨道根数。

方程（3）中的右函数由方程（2）中的摄动加速度形成。和分别为

（4）

5.2.2模型二：对简化的椭圆轨道模型数学表达式的理论推导

设：嫦娥三号着陆器的质量为m ，月球的质量为M ，轨道半长轴为a ，

轨道半短轴为b ，月球中心到椭圆中心点的距离为c ，A 和B 点分别为椭圆运动的近月点和远月点，相对应的速度分别为和，相对应的半径分别为和。G 为万有引力常数，由附件1得月球平均半径=1737.013km 。

理论推导如下：

根据开普勒第二定律，在相等的时间内，行星与恒星的连线扫过的面积相等。则有，

(5)

有椭圆轨道要素几何关系有：

（6）

着陆器运动的总机械能等于其动能与势能之和，当它在近日点和远日点时，机械能应分别为

(7)

根据机械能守恒，应有,结合（1）（2）（3）故有，

)11()(2122c a c a GMm V V m B A +--=-

（8）

综合以上，可解得：

（9）

5.2.3对模型一的摄动解的构造求解和分析

根据对模型一的表述，在月心平赤道坐标系中，着陆器的摄动运动方程为

（10）

其中， ; =（0 0 0 0 0 1） ,。 （11）

由图5-2-1在3000米处经纬度坐标为19.51W,44.12N,由运动方程和逆推法，得近月点的经纬度坐标为19.046W ，28.999N,距月球表面上15km;由远月点和近月点的几何关系，经度之和为180度，纬度关于月球赤道面

对称，进而得出远月点经纬度坐标为160.954E ，28.999S ，距月球表面上100km.

5.2.4对模型二的求解及结果分析

由上式和已知数据2211/1067259.6kg m N G ??=-，, ,，代入公式（9）中，可以得到，

（12）

可以看出近月点的速度为1.6922kms,与附件1中嫦娥三号在近月点处相对速度为 1.7kms 较为接近，说明求得结果比较准确。而相应的速度的方向为在近月点和远月点处轨道的切线方向。 5.3 对问题二模型的建立与求解

5.3.1模型三：基于蚁群算法的软着陆轨迹优化模型

基于模型三的假设和分析，从15km 左右的轨道高度软着陆到月球表面的时间比较短，一般在几百秒的范围内，可以假设如月球引力非球项、日月引力摄动等影响因素均可以忽略，所以这一过程可以二体模型下描述。其示意图如图5-2-3所示，其中O 为月球质心，x 轴方向为月心指向着陆器的初始位置，y 轴方向为初始位置着陆器速度方向。

其动力学方程如下：

SP

I F m r

v m F r m F v v

r //)2cos )/((/sin )/(2-=+ψ-=-ψ===?

????ωωμωθ （13）

根据动力下降段的起点位置可以确定动力学方程初值条件，由于起点处于霍曼转移轨道（椭圆轨道）的近地点，故其初始条件为：

(14)

终端条件为实现软着陆，即

（15）其中终端条件中对终端极角及终端时间t f无约束。我们取优化变量为制动发动机推力方向角。优化的性能指标为在满足上述初始条件和终端条件的前提下，使得着陆过程中消耗燃料最少，即

（16）

5.3.2模型三的求解过程及分析

对此类蚁群算法的求解较为复杂，首先介绍以下求解的理论知识：

1.参数化方法

本文也采用直接法进行轨迹优化，由于优化变量的搜索空间是一个泛函空间，无法直接应用优化算法，因此首先要将这个轨迹优化问题转化参数优化问题。采用函数逼近法进行参数化。在这里设主发动机的推力方向角可以表示成一个多项式的形式，即：

= （17）

这些轨迹优化问题就转化为对多项式系数三个参数的优化，但这三个参数没有明确的物理意义，确定初值及搜索空间比较困难，为此本文对函数逼近法作进一步改进。首先将月球软着陆轨迹离散化，由题中划分成6个小段，每段的节点设定一个推力方向角，那么可以将7个节点的推力方向角和终端时刻t f作为待优化的参数。每个节点的时刻可以由下式得到：

t i=t0+i（t f-t0）n，（i=0,1，···6）（18）这样，就使得每个节点的推力方向角都有一个对应的节点时刻。那么

利用者7个节点的推力方向角及对应时刻对式（17）进行拟合，可以求得多项式的系数（i=0,1,2），进而得到整个着陆轨迹的推力方向角曲线。

2.用于多元连续函数的十进制蚁群算法

用于多元连续函数的DACA算法与一元函数类似。设有8个优化参数，并要求第k个优化参数精确到小数点后d k位，那么可按照一元函数的情况从左到右依次构建列城市，其余路径转移规则、信息素更新规则和局部搜索策略都与一元连续函数情况相同。

3.算法的实现

下面给出DACA算法应用过程的具体步骤：

（1）设置初始参数，包括蚂蚁数num_ ant，循环次数num_clc，挥发系数，调节系数K、Q，所有路径信息素量初值，蚂蚁初始位置等。

（2）根据式（14）计算每只蚂蚁的转移概率，然后依据赌轮原则为每只蚂蚁选择下一个路径城市。重复上述操作直至所有蚂蚁均完成一次循环。

（3）将每只蚂蚁的路径解码为优化参数值，计算目标函数值，找出最好的前10只蚂蚁的路径。然后根据局部搜索策略规则更新相关路径上的信息素。

（4）判断是否满足终止条件，不满足则重复（1）至（3）步过程；满足则结束计算输出结果。

4.仿真实例

用函数逼近法进行参数化的相关参数设置为：设将轨迹离散化划为6段，那么待优化参数共8个参数，即7个推力方向角和1个终端时刻。在用蚁群算法进行优化过程中需要确定这个8个优化参数的搜索范围。对于7个方向角，由经验可知，推力方向与着陆器速度反方向夹角不会超过90度，否则着陆器将会被加速，燃料消耗将更多。所以确定7个推力的方向角的变化范围为:

<,i=1,2,…,7 （19）

对于终端时刻，很据齐奥尔科夫斯基公式和软着陆初始条件，可由下式估计：

)

/))(/)exp((1(0F m I I V V t o sp sp f f --=

（20）

（式中和分别表示着陆器的终端速度和初始速度，经计算确定搜索范围为（单位秒）：

500<<800

(21)

十进制蚁群算法中的相关参数设置如表5-3-2所示：

实验的结果分析： 我们能通过仿真实验大致得出=0.1143， =-0.086 , =0.0043；得出两阶线性方程的表达式为：

= （22）

可知在主减速阶段：运动的轨迹方程大致用式（22）表示，运动轨迹大致为抛物线；在快速调整段的主要是调整探测器姿态，需要从距离月面3km 到 2.4km 处将水平速度减为0ms ，这需要调节四周的姿态发动机使主减速发动机的推力竖直向下，之后进入粗避障阶段；粗避障段的范围是距离月面2.4km 到100m 区间，其主要是要求避开大的陨石坑，实现在设计着陆点上方100m 处悬停，同样需要调整姿态发动机，并初步确定落月地点。

嫦娥三号在距离月面2.4km 处对正下方月面错误！未找到引用源。×2300m 的范围进行拍照，获得数字高程如图所示（相关数据文件见附件3），并嫦娥三号在月面的垂直投影位于预定着陆区域的中心位置。

图5-2-4：距月面2400m处的数字高程图

之后进入精避障段：要求嫦娥三号悬停在距离月面100m处，对着陆点附近区域100m范围内拍摄图像，并获得三维数字高程图。分析三维数字高程图，避开较大的陨石坑，确定最佳着陆地点，实现在着陆点上方30m处水平方向速度为0ms。我们需要对附录3和附录4的高程图在matlab软件中精确分析每个区域块是否平坦，同样需要调整姿态发动机，达到着陆器水平运动的目的。

5.仿真结果如下：

图5-2-5 横向速度的变化曲线

图5-2-6 径向速度的变化曲线

图5-2-7 月心距-时间变化曲线

图 5-2-8 推力方向角变化曲线

由燃料最优软着路方案的仿真结果可知，以燃料最优为性能指标的软着陆轨道是一条始终进行制动的轨道。由图 5-2-8所示的推力方向角变化曲线可知，制动过程中，制动初期推力方向基本上是沿着速度的反方向。由于这一阶段的飞行器的横向速度分量远远大于其径向速度分量，所以这一阶段发动机的推力主要是用来减小飞行器的横向速度，如图 5-2-5中所示，横向速度始终近线性减小直到相对月面速度变为零。

5.4对问题三模型的建立与分析

首先我们对题目附录3和附录4中，距2400m的数字高程图和据月面100m的数字高程图，我们转化为三维高程图和等高图，见论文附录2和附

录3。通过高程图分析着陆器下落过程中应避免障碍物，选择较为平坦的地区。

惯性导航系统的初始速度误差是造成软着陆避障和精确定点软着陆的主要误差源, 它会造成位置误差随时间的累积而不断变大. 通过对月表图像进行处理, 从中选择出目标着陆点和相关的特征点. 利用这些特征点进行匹配跟踪, 可以有效地消除惯性导航误差的影响, 实现高精度导航和避障.首先考虑着月点要满足的条件：

1.特征点必须清晰明确易于识别, 过小的岩石和月坑不用考虑;

2.选取的特征点必须在着陆器当前星下点到目标着陆点连线的附近;

3.着陆点的分布最好能够从疏到密, 即当前星下点附近特征点可较少,

但目标着陆点附近特征点应较多, 以适应着陆器高度不断下降, 导航相机所覆盖的月面越来越小的变化趋势。

5.4.1模型四：初始状态误差模型

记着陆器的实际初始状态为，标准初始状态为，则定义初始状态偏差为

（23）对于主制动段这一特定的飞行过程，这些偏差都是确定的；而针对整个月球探测任务，这些偏差就变得具有随机性。在本文中，假定的所有元素均服从零均值高斯分布，相互不独立，其相关性取决于前一阶段任务的特性。

5.4.2模型五：传感器误差模型

有前面的分析可知，观测量的实际输出值收到初始状态偏差、传感器测量误差以及传感器刻度因素误差的影响，故误差分析系统模拟程序的实际输入应包含以下几部分：标准初始状态向量、初始状态偏差、传感器测量误差、传感器刻度因素误差系数、传感器时间常数、期望终端状态；5.4.4误差敏感系数矩阵求取

在误差输入的情况下，首先根据图1生成一个模拟真个闭环制导控制系统的数字仿真程序，然后运行该程序，对比程序输出即可得到误差敏感系数矩阵。具体运行过程如下：

第一步：将传感器误差设置为零，初始状态设置为标准值，运行模拟程序。这一步称为标准运行。

第二步：将其中一个传感器误差设置为非零输入或者设置一个非标准初始状态，然后进行一系列运行。

第三步：将第二步运行的系统输出和标准运行的系统输出进行比较即可确定各误差源的影响。如X通道标准初始偏差为x

i

，输入该误差前后，

X通道终端状态分别为X

0和X

1

，则X通道对标准初始偏差x

i

的敏感性可用

（X

1-X

）x

i

来反映。

通过这种方法，可得到一组反映月球软着陆主制动段终端总误差向量

和两个传感器误差向量以及初始状态偏差向量之间关系的误差敏感系数矩阵。由参考文献可知，其相互关系可表示为：

（27）

其中，S

1、S

2

和S

3

分别表示相对于的误差敏感系数矩阵。

终端误差向量能用这种形式表示的假设条件是动力学的线性化必须在标准轨迹区域内。验证该假设条件的方法有两种：扩大输入误差仿真法和复合仿真法，这里略去其验证过程。

5.4.5误差分析

假设导航系统采用常规惯性测量单元，位置误差能保持在102数量级，速度在101数量级，加速度为10-5

g 数量级。

运用上述方法得到的敏感系数矩阵给出如下：（只给出S 1，S 2、S 3略） 343122455233354222145.50210 2.08010 1.05010 1.41810 4.024108.939103.85010 1.401107.30110 1.00110 3.21010 4.030101.69210 6.41110 3.24010 4.40710 1.23910 1.833108.36210

S -------------------?-?-??-?-?-???-??????-???=?431214552233542222.57010 1.86210 5.580108.74210 1.414105.86010 1.41010 1.31210 3.93610 1.196109.901102.575107.90210 5.71010 1.73210 2.69010 4.57710-----------------??????????-?-?-???????-????-?-???-????-?-????

? A 1、A 3:、

A 2：、

由于数值仿真的起始点选为（1,0，-1），靠近平衡点（1.5,0，-1.05），仿真实验中混沌系统的基频=2.1329，基周期为。有前面的数值仿真实验知要是Chua ‘s 混沌系统保持其类随机性，仿真步长选在（0.0001,0.7）较为合适，用基周期来表达即为（129940 T 0，15 T 0）。

综观三个连续混沌系统仿真步长的理论计算，我们可以统一选取（15000 T 0，1100 T 0）内，这样即可以提高仿真运算速度，又可以使混沌

吸引子的形状和类随机性不发生变化，这个选择范围也与通常连续混沌系统数值仿真步长的经验取值相吻合。

数学仿真分析表明:

(1) 月球软着陆最终避障段, 若只依靠高度和速度修正, 不能抑制导航系统水平位置误差的发散,导致着陆器偏离目标着陆点, 不能实现准确和安全的着陆;

(2) 采用了依靠月表图像特征点匹配跟踪方法后, 导航系统的水平位置误差得到修正,最终相对目标着陆点的导航误差不大于2 m;

(3) 采用序列特征点图像匹配修正的定点着陆导航方法简捷有效, 能够满足避障和定点软着陆高精度导航的需要, 可用于月球软着陆工程实践.

六、模型评价与推广改进

6.1模型的优缺点分析

6.1.1模型的优点

1.对问题一月球卫星运动的主要摄动源及力模型，着陆器绕月飞行，与地球卫星情况类似，采用简化了的时间、单位、长度表示法，使卫星运动方程表示较为简便，且考虑比较完善。对问题一简化的椭圆轨道模型，理解起来较为简单，又能满足题目要求求远、近月点速度。

2对问题二的基于蚁群算法的软着陆轨迹优化模型，通过改进的函数逼近法，将月球软着陆轨迹问题转化为参数优化问题。在十进制蚁群算法中增加局部搜索策略提高了搜索精度，且能较好的找出推力方向角与时间的关系。

3对问题三的系统误差分析模型，能较好的反映出误差的来源和影响大小，以及等高图能使读者清楚着陆器是否该做水平位置，避免障碍。