高中数学第一讲坐标系一平面直角坐标系学案含解析新人教A版选修4_4
一平面直角坐标系
1．平面直角坐标系
数与
建立联系，从而实现方程、曲线与坐标平面直角坐标系的作用：使平面上的点与(1)的结合．
形
(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；
代数元素，将几何问题转化为几何题中涉及的结论．几何第三步：把代数运算结果翻译成
2．平面直角坐标系中的伸缩变换
伸缩变
坐标平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为(1)变换．
几何研究代数方法换，这就是用
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，在
为φ，称′)y ，′x ′(P 对应到点)y ，x (P 的作用下，点?
??
??
x′＝λλ＞y′＝μμ＞
：φ变换平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m >0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .
求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标． 设出点M 的坐标(x ，y )，直接利用条件求解．
如图，设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由|DM |＝m |DA |(m >0，且m ≠1)，可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，
所以x 0＝x ，|y 0|＝1
m |y |. ①
因为A 点在单位圆上运动， 所以x 20＋y 20＝1. ② 将①式代入②式，
即得所求曲线C 的方程为x 2
＋y2m2＝1(m >0，且m ≠1)．
因为m ∈(0,1)∪(1，＋∞)，
所以当0
求轨迹的常用方法
(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可用求
曲线方程的步骤直接求解．
(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程．
(3)代入法：如果动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 1，y 1)，而Q (x 1，y 1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x ，y ，x 1，y 1的方程组，利用x ，y 表示x 1，y 1，把x 1，y 1代入已知曲线
方程即为所求．
(4)参数法：动点P (x ，y )的横纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方
程．
1．二次方程x 2
－ax ＋b ＝0的两根为sin θ，cos θ，求点P (a ，b )的轨迹方程
?
????其中|θ|≤π4.
解：由已知可得
????
?
a ＝sin θ＋cos θ， ①
b ＝sin θcos θ. ②
①2－2×②，得a 2
＝2b ＋1.
∵|θ|≤π4，由sin θ＋cos θ＝2sin ?
????θ＋π4，
知0≤a ≤ 2.
由sin θcos θ＝12sin 2θ，知|b |≤1
2
.
∴点P (a ，b )的轨迹方程是a 2
＝2b ＋1(0≤a ≤2)．
2．△ABC 中，若BC 的长度为4，中线AD 的长为3，求点A 的轨迹方程．
解：取BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则D (0,0)，B (－
2,0)，C (2,0)．
设A (x ，y )为所求轨迹上任意一点，
则|AD |＝x2＋y2.