一、填空题(每小题3分,共15分)
1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发
生的概率为__________. 答案:0.3
解:
3.0)(=+B A B A P
即
)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=
所以
1.0)(=AB P
9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P .
2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______.
答案:
161-e
解答:
λλ
λ
λλ---=
=+==+==≤e X P e e
X P X P X P 2
)2(,
)1()0()1(2
由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λ
λλλλ---=+e e e 22 即 0122
=--λλ 解得 1=λ,故
16
1)3(-=
=e X P
3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2
X Y =在区间)4,0(内的概率
密度为=)(y f Y _________. 答案:
04,()()0,.
Y Y X y f y F y f <<'===?
其它
解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则
2
()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y
=≤=≤
=≤-
- 因为~(0,2)X U
,所以(0X F =
,即()Y X F y F = 故
04,
()()
0,.
Y Y X
y
f y F y f
<<
'
===
?其它
另解在(0,2)上函数2
y x
=
严格单调,反函数为()
h y=
所以
04,
()
0,.
Y X
y
f y f
<<
==
?其它
4.设随机变量Y
X,相互独立,且均服从参数为λ的指数分布,2
)1
(-
=
>e
X
P,则=
λ_________,}1
)
,
{min(≤
Y
X
P=_________.
答案:2
λ=,-4
{min(,)1}1e
P X Y≤=-
解答:
2
(1)1(1)
P X P X e e
λ
--
>=-≤==,故2
λ=
{min(,)1}1{min(,)1}
P X Y P X Y
≤=->
1(1)(1)
P X P Y
=->>
4
1e-
=-.
5.设总体X的概率密度为
??
?
?
?<
<
+
=
其它
,0
,1
,
)1
(
)
(
x
x
x
f
θ
θ
1
-
>
θ.
n
X
X
X,
,
,
2
1
是来自X的样本,则未知参数θ的极大似然估计量为_________.
答案:
1
1
1
1
ln
n
i
i
x
n
θ
=
=-
∑
解答:
似然函数为
11
1
(,,;)(1)(1)(,,)
n
n
n i n
i
L x x x x x
θθ
θθθ
=
=+=+
∏
1
ln ln(1)ln
n
i
i
L n x
θθ
=
=++∑
1
ln
ln0
1
n
i
i
d L n
x
dθθ=
=+
+
∑
解似然方程得θ的极大似然估计为
1
111ln n
i i x n θ==
-∑.
二、单项选择题(每小题3分,共15分)
1.设,,A B C 为三个事件,且,A B 相互独立,则以下结论中不正确的是 (A )若()1P C =,则AC 与BC 也独立. (B )若()1P C =,则A C 与B 也独立. (C )若()0P C =,则A
C 与B 也独立.
(D )若C B ?,则A 与C 也独立. ( )
答案:(D ).
解答:因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立,所以(A ),(B ),(C )都是正确的,只能选(D ).
事实上由图
可见A 与C 不独立.
2.设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ,则(||2)P X >的值为 (A )2[1(2)]-Φ. (B )2(2)1Φ-.
(C )2(2)-Φ. (D )12(2)-Φ. ( )
答案:(A )
解答: ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤
1(2)(2)1[2(2)1]2[1=-Φ
+Φ-=-Φ-=-Φ 应选(A ).
3.设随机变量X 和Y 不相关,则下列结论中正确的是
(A )X 与Y 独立. (B )()D X Y DX DY -=+.
(C )()D X Y DX DY -=-. (D )()D XY DXDY =. ( )
解答:由不相关的等价条件知,0y x cov 0xy =?=),(ρ ()+2cov x y D X Y DX DY -=+(,) 应选(B ).
4.设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为
(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)
1111
69183
X Y P
αβ
若,X Y 独立,则,αβ的值为
(A )21,99αβ==. (A )12
,99αβ==.
(C ) 11,66αβ== (D )51
,1818
αβ=
=. ( )
解答: 若,X Y 独立则有
(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======
1121
()()()3939
αβαα=+++=+ ∴29α=, 19β= 故应选(A ).
5.设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本,则下列结论中
正确的是
(A )1X 是μ的无偏估计量. (B )1X 是μ的极大似然估计量. (C )1X 是μ的相合(一致)估计量. (D )1X 不是μ的估计量. ( )
答案:(A ) 解答:
1EX μ=,所以1X 是μ的无偏估计,应选(A ).
三、(7分)已知一批产品中90%是合格品,检查时,一个合格品被误认为是次品的概率为
0.05,一个次品被误认为是合格品的概率为0.02, 求(1)一个产品经检查后被认为是合格品的概率;
(2)一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.
解:设A =‘任取一产品,经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’
则(1) ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+
0.90.950.10.020.857.=?+?= (2) ()0.90.95
(|)0.9977()0.857
P AB P B A P A ?===.
四、(12分)
从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数, 求X 的分布列、分布函数、数学期望和方差.
解:X 的概率分布为
3323()()()
0,1,2,3.5
5
k
k
k
P X k C k -===
即
01232754368125125125125
X
P
X 的分布函数为
0,
0,
27,01,12581
(),12,125117
,
23,1251, 3.x x F x x x x ??≤??=≤??≤?
≥??
26
3,55EX =?=
2318
35525
DX =??=.
五、(10分)设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤ 上服从
均匀分布. 求(1)(,)X Y 关于X 的边缘概率密度;(2)Z X Y =+的分布函数与概率密度.
(1)(,)X Y 的概率密度为
2,(,)(,)0,.x y D
f x y ∈?=?
?
其它 22,01
()(,)0,X x x f x f x y dy +∞-∞
-≤≤?=
=??
?
其它
(2)利用公式()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞
=-?
其中2,01,01(,)0,x z x x f x z x ≤≤≤-≤-?-=?
?其它2,01, 1.
0,x x z ≤≤≤≤?=?
?其它.
当 0z <或1z >时()0Z f z = 01z ≤≤时 00
()2
22z z
Z f z dx x z ===?
故Z 的概率密度为
2,01,
()0,Z z z f z ?≤≤?=???其它.
Z 的分布函数为
200,00,0,
()()2,01,01,1, 1.
1,
1z z Z Z z z f z f y dy ydy z z z z z -∞
???
=
=≤≤=≤≤????>?>???
?
或利用分布函数法
1
0,
0,()()()2,01,1, 1.Z D z F z P Z z P X Y z d x d
y z z ?
?
=≤=+≤=≤≤???>?
?? 2
0,
0,,01,1, 1.
z z z z ?=≤≤??>?
2,01,()()0,
Z Z z z f z F z ≤≤?'==?
?其它.
六、(10分)向一目标射击,目标中心为坐标原点,已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相
互独立,且均服从2
(0,2)N 分布. 求(1)命中环形区域22
{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率;(2
)命中点到目标中心距离Z =
.
1){,)}(,)D
P X Y D f x y dxdy ∈=
??
22
2228
8
1
1
1248x y r D
e dxdy e
rdrd πθππ
+-
-
=
=
?????
222
112
28
8
8
2
1
1
()8
r r r
e
d e
e e -
-
-
-
--=-=-?
;
(2)228
1
8x y EZ E e dxdy π
+-
+∞-∞-∞
==
??
22228
8
011
84
r r re
rdrd e r dr πθπ
-
-
+∞+∞
=
=
??
?
222
888
r r r
re e dr dr
+∞
---
+∞+∞
-∞
=-+==
?.
七、(11分)设某机器生产的零件长度(单位:cm)2
~(,)
X Nμσ,今抽取容量为16的
样本,测得样本均值10
x=,样本方差20.16
s=. (1)求μ的置信度为0.95的置信
区间;(2)检验假设2
:0.1
Hσ≤(显著性水平为0.05).
(附注)
0.050.050.025
(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,
t t t
===
222
0.050.050.025
(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.
χχχ
===
解:(1)μ的置信度为1α
-下的置信区间为
/2/2
(((
X t n X t n
αα
--+-
0.025
10,0.4,16,0.05,(15) 2.132
X s n t
α
=====
所以μ的置信度为0.95的置信区间为(9.7868,10.2132)
(2)2
:0.1
Hσ≤的拒绝域为22(1)
n
α
χχ
≥-.
2
2
15
15 1.624
0.1
S
χ==?=,2
0.05
(15)24.996
χ=
因为22
0.05
2424.996(15)
χχ
=<=,所以接受
H.
《概率论与数理统计》期末考试试题(A)
专业、班级:姓名:学号:
一、单项选择题(每题3分共18分)
《概率论与数理统计》课程期末考试试题(B)专业、班级:姓名:学号: