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《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题(每小题3分,共15分)

1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发

生的概率为__________. 答案:0.3

解:

3.0)(=+B A B A P

)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=

所以

1.0)(=AB P

9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P .

2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______.

答案:

161-e

解答:

λλ

λ

λλ---=

=+==+==≤e X P e e

X P X P X P 2

)2(,

)1()0()1(2

由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λ

λλλλ---=+e e e 22 即 0122

=--λλ 解得 1=λ,故

16

1)3(-=

=e X P

3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2

X Y =在区间)4,0(内的概率

密度为=)(y f Y _________. 答案:

04,()()0,.

Y Y X y f y F y f <<'===?

其它

解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则

2

()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y

=≤=≤

=≤-

- 因为~(0,2)X U

,所以(0X F =

,即()Y X F y F = 故

04,

()()

0,.

Y Y X

y

f y F y f

<<

'

===

?其它

另解在(0,2)上函数2

y x

=

严格单调,反函数为()

h y=

所以

04,

()

0,.

Y X

y

f y f

<<

==

?其它

4.设随机变量Y

X,相互独立,且均服从参数为λ的指数分布,2

)1

(-

=

>e

X

P,则=

λ_________,}1

)

,

{min(≤

Y

X

P=_________.

答案:2

λ=,-4

{min(,)1}1e

P X Y≤=-

解答:

2

(1)1(1)

P X P X e e

λ

--

>=-≤==,故2

λ=

{min(,)1}1{min(,)1}

P X Y P X Y

≤=->

1(1)(1)

P X P Y

=->>

4

1e-

=-.

5.设总体X的概率密度为

??

?

?

?<

<

+

=

其它

,0

,1

,

)1

(

)

(

x

x

x

f

θ

θ

1

-

>

θ.

n

X

X

X,

,

,

2

1

是来自X的样本,则未知参数θ的极大似然估计量为_________.

答案:

1

1

1

1

ln

n

i

i

x

n

θ

=

=-

解答:

似然函数为

11

1

(,,;)(1)(1)(,,)

n

n

n i n

i

L x x x x x

θθ

θθθ

=

=+=+

1

ln ln(1)ln

n

i

i

L n x

θθ

=

=++∑

1

ln

ln0

1

n

i

i

d L n

x

dθθ=

=+

+

解似然方程得θ的极大似然估计为

1

111ln n

i i x n θ==

-∑.

二、单项选择题(每小题3分,共15分)

1.设,,A B C 为三个事件,且,A B 相互独立,则以下结论中不正确的是 (A )若()1P C =,则AC 与BC 也独立. (B )若()1P C =,则A C 与B 也独立. (C )若()0P C =,则A

C 与B 也独立.

(D )若C B ?,则A 与C 也独立. ( )

答案:(D ).

解答:因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立,所以(A ),(B ),(C )都是正确的,只能选(D ).

事实上由图

可见A 与C 不独立.

2.设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ,则(||2)P X >的值为 (A )2[1(2)]-Φ. (B )2(2)1Φ-.

(C )2(2)-Φ. (D )12(2)-Φ. ( )

答案:(A )

解答: ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤

1(2)(2)1[2(2)1]2[1=-Φ

+Φ-=-Φ-=-Φ 应选(A ).

3.设随机变量X 和Y 不相关,则下列结论中正确的是

(A )X 与Y 独立. (B )()D X Y DX DY -=+.

(C )()D X Y DX DY -=-. (D )()D XY DXDY =. ( )

解答:由不相关的等价条件知,0y x cov 0xy =?=),(ρ ()+2cov x y D X Y DX DY -=+(,) 应选(B ).

4.设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为

(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)

1111

69183

X Y P

αβ

若,X Y 独立,则,αβ的值为

(A )21,99αβ==. (A )12

,99αβ==.

(C ) 11,66αβ== (D )51

,1818

αβ=

=. ( )

解答: 若,X Y 独立则有

(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======

1121

()()()3939

αβαα=+++=+ ∴29α=, 19β= 故应选(A ).

5.设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本,则下列结论中

正确的是

(A )1X 是μ的无偏估计量. (B )1X 是μ的极大似然估计量. (C )1X 是μ的相合(一致)估计量. (D )1X 不是μ的估计量. ( )

答案:(A ) 解答:

1EX μ=,所以1X 是μ的无偏估计,应选(A ).

三、(7分)已知一批产品中90%是合格品,检查时,一个合格品被误认为是次品的概率为

0.05,一个次品被误认为是合格品的概率为0.02, 求(1)一个产品经检查后被认为是合格品的概率;

(2)一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.

解:设A =‘任取一产品,经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’

则(1) ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+

0.90.950.10.020.857.=?+?= (2) ()0.90.95

(|)0.9977()0.857

P AB P B A P A ?===.

四、(12分)

从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数, 求X 的分布列、分布函数、数学期望和方差.

解:X 的概率分布为

3323()()()

0,1,2,3.5

5

k

k

k

P X k C k -===

01232754368125125125125

X

P

X 的分布函数为

0,

0,

27,01,12581

(),12,125117

,

23,1251, 3.x x F x x x x

≥??

26

3,55EX =?=

2318

35525

DX =??=.

五、(10分)设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤ 上服从

均匀分布. 求(1)(,)X Y 关于X 的边缘概率密度;(2)Z X Y =+的分布函数与概率密度.

(1)(,)X Y 的概率密度为

2,(,)(,)0,.x y D

f x y ∈?=?

?

其它 22,01

()(,)0,X x x f x f x y dy +∞-∞

-≤≤?=

=??

?

其它

(2)利用公式()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞

=-?

其中2,01,01(,)0,x z x x f x z x ≤≤≤-≤-?-=?

?其它2,01, 1.

0,x x z ≤≤≤≤?=?

?其它.

当 0z <或1z >时()0Z f z = 01z ≤≤时 00

()2

22z z

Z f z dx x z ===?

故Z 的概率密度为

2,01,

()0,Z z z f z ?≤≤?=???其它.

Z 的分布函数为

200,00,0,

()()2,01,01,1, 1.

1,

1z z Z Z z z f z f y dy ydy z z z z z -∞

=

=≤≤=≤≤????>?>???

?

或利用分布函数法

1

0,

0,()()()2,01,1, 1.Z D z F z P Z z P X Y z d x d

y z z ?

=≤=+≤=≤≤???>?

?? 2

0,

0,,01,1, 1.

z z z z ?

2,01,()()0,

Z Z z z f z F z ≤≤?'==?

?其它.

六、(10分)向一目标射击,目标中心为坐标原点,已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相

互独立,且均服从2

(0,2)N 分布. 求(1)命中环形区域22

{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率;(2

)命中点到目标中心距离Z =

.

1){,)}(,)D

P X Y D f x y dxdy ∈=

??

22

2228

8

1

1

1248x y r D

e dxdy e

rdrd πθππ

+-

-

=

=

?????

222

112

28

8

8

2

1

1

()8

r r r

e

d e

e e -

-

-

-

--=-=-?

(2)228

1

8x y EZ E e dxdy π

+-

+∞-∞-∞

==

??

22228

8

011

84

r r re

rdrd e r dr πθπ

-

-

+∞+∞

=

=

??

?

222

888

r r r

re e dr dr

+∞

---

+∞+∞

-∞

=-+==

?.

七、(11分)设某机器生产的零件长度(单位:cm)2

~(,)

X Nμσ,今抽取容量为16的

样本,测得样本均值10

x=,样本方差20.16

s=. (1)求μ的置信度为0.95的置信

区间;(2)检验假设2

:0.1

Hσ≤(显著性水平为0.05).

(附注)

0.050.050.025

(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,

t t t

===

222

0.050.050.025

(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.

χχχ

===

解:(1)μ的置信度为1α

-下的置信区间为

/2/2

(((

X t n X t n

αα

--+-

0.025

10,0.4,16,0.05,(15) 2.132

X s n t

α

=====

所以μ的置信度为0.95的置信区间为(9.7868,10.2132)

(2)2

:0.1

Hσ≤的拒绝域为22(1)

n

α

χχ

≥-.

2

2

15

15 1.624

0.1

S

χ==?=,2

0.05

(15)24.996

χ=

因为22

0.05

2424.996(15)

χχ

=<=,所以接受

H.

《概率论与数理统计》期末考试试题(A)

专业、班级:姓名:学号:

一、单项选择题(每题3分共18分)

《概率论与数理统计》课程期末考试试题(B)专业、班级:姓名:学号:

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