2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.4二次函数与幂函数学案理

2．4 二次函数与幂函数

[知识梳理]

1．二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．

③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

(2)二次函数的图象和性质

2．幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象

(3)常见的5种幂函数的性质

[诊断自测] 1．概念思辨

(1)当α<0时，幂函数y ＝x α

是定义域上的减函数．( ) (2)关于x 的不等式ax

2

＋bx ＋c >0恒成立的充要条件是?????

a >0，

b 2

－4ac <0.

( )

(3)二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b

2

4a

.( )

(4)在y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )

答案 (1)× (2)× (3)× (4)√

2．教材衍化

(1)(必修A1P 44T 9)函数y ＝(x 2

－3x ＋10)－1

的递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(5，＋∞)

C.? ????－∞，32

D.? ??

??32，＋∞

答案 C

解析 由于x 2

－3x ＋10>0恒成立，即函数的定义域为(－∞，＋∞)． 设t ＝x 2

－3x －10，则y ＝t －1

是(0，＋∞)上的减函数， 根据复合函数单调性的性质，

要求函数y ＝(x 2

－3x ＋10)－1

的递增区间， 即求t ＝x 2

－3x ＋10的单调递减区间，

∵t ＝x 2

－3x ＋10的单调递减区间是? ????－∞，32，

∴所求函数的递增区间为?

????－∞，32.故选C.

(2)(必修A1P 78探究)

课时跟踪检测(十二) 二次函数与幂函数

课时跟踪检测（十二） 二次函数与幂函数 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．函数y ＝x 的图象是( ) 解析：选B 由幂函数y ＝x α，若0＜α＜1，在第一象限内过(1,1)，排除A 、D ， 又其图象上凸，则排除C ，故选B. 2．(2018·丽水调研)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，x ∈R)，对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )成立，在函数值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的一个不可能是( ) A ．f (－1) B ．f (1) C ．f (2) D ．f (5) 解析：选B 由f (2＋t )＝f (2－t )知函数y ＝f (x )的图象对称轴为x ＝2. 当a >0时，易知f (5)＝f (－1)>f (1)>f (2)； 当a <0时，f (5)＝f (－1)

∴函数f (x )的单调递增区间是(－∞，0)． 4．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈ [a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为____________． 解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈????－9 4，－2，故当m ∈????－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2 －5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点． 答案：??? ?－9 4，－2 5．若二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t ＝________. 解析：由于f (x )＝－x 2＋4x ＋t ＝－(x －2)2＋t ＋4图象的顶点在x 轴上， 所以f (2)＝t ＋4＝0，所以t ＝－4. 答案：－4 二保高考，全练题型做到高考达标 1．已知f (x )＝x ，若00，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )

幂函数与二次函数

幂函数与二次函数基础梳理 1．幂函数的定义 一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数． 2．幂函数的图象 在同一平面直角坐标系下，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3 ，y ＝x 12， y ＝x －1的图象分别如右图． 3.二次函数的图象和性质 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 ???? ??4ac －b 24a ，＋∞ ? ????－∞，4ac －b 24a 单调性 在x ∈??????－b 2a ，＋∞上单调递增 在x ∈? ????－∞，－b 2a 上单调递减 在x ∈? ????－∞，－b 2a 上单调递增 在x ∈??????－b 2a ，＋∞上单调递减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数 顶点 ? ????－b 2a ，4ac －b 24a 对称性 图象关于直线x ＝－b 2a 成轴对称图形 5.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) (2)顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)

(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)

函数y ＝f (x )对称轴的判断方法 (1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 2 2对称． (2)一般地，函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)． 练习检测 1．(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－3. 答案 A 2.如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )． A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－12 答案 B 3．(2011·浙江)设函数f (x )＝? ???? －x ，x ≤0，x 2，x ＞0.若f (α)＝4，则实数α等于( )． A ．－4或－2 B ．－4或2 C ．－2或4 D ．－2或2 解析 由????? α≤0，－α＝4或? ???? α＞0，α2＝4，得α＝－4或α＝2，故选B. 答案 B 4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于( )． A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 解析 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[1，b ]上递增，

第6讲 幂函数与二次函数

第6讲 幂函数与二次函数 一、选择题 1．已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点? ? ???4，12，则f (2)＝( ) A.1 4 B ．4 C.22 D. 2 解析 设f (x )＝x α，因为图像过点? ????4， 12，代入解析式得：α＝－1 2 ，∴f (2)＝2－12＝2 2. 答案 C 2．若函数f (x )是幂函数，且满足 f 4f 2＝3，则f (1 2 )的值为( ) A ．－3 B ．－1 3 C ．3 D.1 3 解析 设f (x )＝x α，则由 f 4f 2＝3，得4α 2 α＝3. ∴2α＝3，∴f (12)＝(12)α＝12α＝1 3. 答案 D 3．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为 ( )． A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3] D ．(1,3)

解析 f (a )＝g (b )?e a －1＝－b 2＋4b －3?e a ＝－b 2＋4b －2成立，故－b 2＋4b －2>0，解得2－20， x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于 ( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 解析 f (a )＋f (1)＝0?f (a )＋2＝0???? a >0，2a ＋2＝0或??? a ≤0，a ＋1＋2＝0，解得a ＝ －3. 答案 A 5 .函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－ b 2a 对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )． A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4} D ．{1,4,16,64} 解析 设关于f (x )的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0有两根，即f (x )＝t 1或f (x )＝t 2. 而f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象关于x ＝－ b 2a 对称，因而f (x )＝t 1或f (x )＝t 2的两根也关于x ＝－b 2a 对称．而选项D 中4＋162≠1＋642 . 答案 D 6．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，a 为正整数，c ≥1，a ＋b ＋c ≥1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值是 ( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析 由题意得f (0)＝c ≥1，f (1)＝a ＋b ＋c ≥1.当a 越大，y ＝f (x )的开口越小，当a 越小，y ＝f (x )的开口越大，而y ＝f (x )的开口最大时，y ＝f (x )过(0,1)，(1,1)，则c ＝1，a ＋b ＋c ＝1.a ＋b ＝0，a ＝－b ，－b 2a ＝1 2，又b 2－4ac >0，a (a －4)>0，

2.6 一次函数、二次函数与幂函数

§2.6 一次函数、二次函数与幂函数 (时间：45分钟 满分：100分) 一、选择题(每小题7分，共35分) 1．若函数y ＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a 等于 ( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 2．“a <0”是“方程ax 2＋1＝0有一个负数根”的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分必要条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( ) 4.幂函数y ＝f (x )的图象过点??? ?4，1 2，那么f (8)的值为 ( ) A ．2 6 B ．64 C. 2 4 D.164 5．已知幂函数f (x )＝(t 3－t ＋1)·2 7325 t t x +-(t ∈N)是偶函数，则实数t 的值为( ) A ．0 B ．－1或1 C ．1 D ．0或1 二、填空题(每小题6分，共24分) 6．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α，β，且α>0，1<β<2，则实数m 的取值范围是 . 7．对于函数y ＝x 2 ，y ＝12 x 有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内 都单调递增；③它们的图象关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图象都是抛物线型． 其中正确的有__________． 8．已知函数f (x )＝ ax ＋b x －b ，其图象关于点(－3,2)对称，则f (2)的值是________． 9．设二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a 的值为________．

湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析一元二次函数性质及其综合考查

湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析一元二次 函数性质及其综合考查 It was last revised on January 2, 2021

湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析2：一元二次函数性质及 其 综 合 考 查 一、一元二次函数图象与性质：（学生画出函数图象，写出函数性质） 二.高考题热身 1.若不等式x 2＋ax ＋10对于一切x （0，12 〕成立，则a 的取值范围是（ ） A ．0 B. –2 5 2 2.已知函数f(x)=ax 2+2ax+4(a>0),若x 1f(x 2) (x 1)与f(x 2)的大小不能确定 3．过点（－1，0）作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为 （A ）220x y ++= （B ）330x y -+= （C ）10x y ++= （D ）10x y -+= 3.设0a >，2 ()f x ax bx c =++，曲线 ()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的倾斜角的取值范围为 0,4π?????? ，则点Ｐ到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围是（ ） 1.0,2A ?????? B .]21,0[a .0,2b C a ?????? 1.0,2b D a ?-????? 4．设0>b ，二次函数122 -++=a bx ax y 的图像为下列之一（ ） 则a 的值为 （A ）1 （B ）1- （C ）2 5 1- - （D ）2 5 1+ - 5.不等式组???>-<-1)1(log 2 |2|2 2x x 的解集为 ( ) (A) (0, 3)； (B) (3,2)； (C ) ( 3,4)； (D) (2,4)。 6．一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（ ） A ．0a < B ．0a > C ．1a <- D ．1a > 7. 已知方程22 (2)(2)0x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为1 4的等差数列,则 m n -=( )

二次函数与幂函数专题复习

学校：年级：教学课题：二次函数与幂函数学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 教学目标专题复习二次函数和幂函数的图像与性质 教学内容 一. 【复习目标】 1.准确理解函数的有关概念. 2.体会数形结合及函数与方程的数学思想方法. 一、幂函数 (1)幂函数的定义 形如 (α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数 (2)幂函数的图象 函数y＝x y＝x2y＝x3y＝x 1 2 y＝x－1 定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R且x≠0} 值域R [0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇 单调性增x∈[0，＋∞)时，增，x ∈(－∞，0]时，减 增增 x∈(－∞，0)时， 减 定点(0,0)，(1,1) (1,1)

例1.下列函数中是幂函数的是（ ） A ．y ＝2x 2 B ．y ＝1x 2 C ．y ＝x 2＋x D ．y ＝－1 x 例2. (2011·陕西高考)函数y ＝ 13 x 的图象是( ) 例3.幂函数y ＝x m 2－2m －3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且当x ＞0时，函数是减函数，则m 的值为( )． A ．－1＜m ＜3 B ．0 C ．1 D ．2 练习：已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点? ? ? ??－2，12在幂函数y ＝g (x )的图象上，若f (x ) ＝g (x )，则x ＝________. 已知点M ? ?? ?? 33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝x 2 B ．f (x )＝x －2 C ．f (x )＝x 1 2 x D ．f (x )＝ 12 x - 设α ∈?????? ????－1，1，1 2，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 （ ） A ．1,3 B ．－1,1 C ．－1,3 D ．－1,1,3 对于函数y ＝x 2 ，y ＝x 1 2 有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图象关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图象都是抛物线型． 其中正确的有________． 二、二次函数 1、二次函数的三种形式【1】

高考数学总复习 二次函数

高考数学总复习 二次函数 1、二次函数解析式的三种设法：①一般式y=ax2+bx+c(a ≠0) ②顶点式y=a(x-h)2+k(a ≠0) ③两根式y=a(x-x1)(x-x2) )0(≠a . 2 3、三个“二次”之间的关系：二次函数、一元二次不等式和一元二次方程是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的关系，运用函数方程的思想方法将它们进行相互转化，才是准确迅速答题的关键. 二次方程ax2+bx+c=0的两根即为不等式ax2+bx+c>0)0(<解集的端点值，也是二次函数y=ax2+bx+c 图象与x 轴的交点的横坐标。

4、利用二次函数的知识解决实系数二次方程ax2+bx+c=0(a0)实根分布问题： （1）、二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的区间根问题．一般情况下，需要从四个方面考虑： 开口方向；②判别式的符号；③区间端点函数值的正负；④对称轴x=-b/2a 与区间端点的关系。 (2)对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根的分布问题，有如下结论： 令f(x)=ax2+bx+c(设a＞0) 注：在讨论方程根的分布情况时，要写出其充要条件，注意观察对应的函数图象是避免将充要条件写成必要条件的有效办法. 5、二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点

处取得.（★）二次函数f(x)=a(x-h)2+k (a ＞0)在区间[m ，n]上的最值问题，分3类讨论： ①若h ∈[m ，n]，则ymin=f(h)=k ，ymax=max{f(m),f(n)} 若h ],(m -∞∈则f(x)在[m,n]单调递增，ymin=f(m), ymax=f(n) 若),[+∞∈n h 则f(x)在[m,n]单调递减，ymin=f(n), ymax=f(m). （☆☆）对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k (a<0)在区间[m ，n]上的最值问题，也分3类讨论： ①若h ∈[m ，n]，则ymax=f(h)=k ，ymin=max{f(m),f(n)} ; ②若h ],(m -∞∈则f(x)在[m,n]单调递减，ymin=f(n), ymax=f(m) ; ③若),[+∞∈n h 则f(x)在[m,n]单调递增，ymin=f(m), ymax=f(n).

幂函数与二次函数专题

幂函数与二次函数专题 [最新考纲] 1．了解幂函数的概念． 2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2 ，y ＝x 3 ，y ＝1 x ，y ＝ 的图象，了解它们的变化情况． 3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质． 4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 知 识 梳 理 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图象 (3)常见的5种幂函数的性质 函数 特征 性质 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 1 2 y ＝x －1 定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ∈R ，且 x ≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ∈R ，且 y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 (－∞，0] 减，[0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)减，(0，＋∞)减

定点 (0,0)，(1,1) (1,1) 2.二次函数 (1)二次函数的定义 形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数． (2)二次函数的三种常见解析式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，(m ，n )为顶点坐标； ③两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)其中x 1，x 2分别是f (x )＝0的两实根． (3)二次函数的图象和性质 函数 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0) 图象 a >0 a <0 定义域 R R 值域 y ∈?? ?? ?? 4ac －b 2 4a ，＋∞ y ∈? ? ???－∞，4ac －b 2 4a 对称轴 x ＝－b 2a 顶点 坐标 ? ????－b 2a ，4ac －b 2 4a 奇偶性 b ＝0?y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数 递增 区间 ? ?? ?? －b 2a ，＋∞ ? ? ???－∞，－b 2a 递减 区间 ? ? ???－∞，－b 2a ? ???? －b 2a ，＋∞ 最值 当x ＝－b 2a 时，y 有最小值y min ＝4ac －b 24a 当x ＝－ b 2a 时，y 有最大值y max ＝4ac －b 2 4a

高三一轮复习二次函数复习(很全面的)

二次函数 ●知识梳理 二次函数的基本性质 （1）二次函数的三种表示法： y =ax 2+bx +c ；y =a （x －x 1）（x －x 2）；y =a （x －x 0）2+n . （2）当a ＞0，f （x ）在区间［p ，q ］上的最大值为M ，最小值为m ，令x 0= 2 1 （p +q ）. 若－ a b 2＜p ，则f （p ）=m ，f （q ）=M ； 若p ≤－a b 2＜x 0，则f （－a b 2）=m ，f （q ）=M ； 若x 0≤－a b 2＜q ，则f （p ）=M ，f （－a b 2）=m ； 若－a b 2≥q ，则f （p ）=M ，f （q ）=m . ●点击双基 1.设二次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a ≠0），如果f （x 1）=f （x 2）（其中x 1≠x 2），则f （2 2 1x x +）等于 A.－ a b 2 B.－ a b C.c D.a b a c 442- 解析：f （221x x +）=f （－a b 2）=a b ac 442-. 答案：D 2.二次函数y =x 2－2（a +b ）x +c 2+2ab 的图象的顶点在x 轴上，且a 、b 、c 为△ABC 的三边长，则△ABC 为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析：y =［x －（a +b ）］2+c 2+2ab －（a +b ）2=［x －（a +b ）］2+c 2－a 2－b 2. ∴顶点为（a +b ，c 2－a 2－b 2）. 由题意知c 2－a 2－b 2=0. ∴△ABC 为直角三角形. 答案：B 3.已知函数f （x ）=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞）上是增函数，则f （1）的范围是 A.f （1）≥25 B.f （1）=25 C.f （1）≤25 D.f （1）＞25 解析：由y =f （x ）的对称轴是x =8m ，可知f （x ）在［8 m ，+∞）上递增，由题设只

二次函数与幂函数

二次函数与幂函数 1．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞) 值域 ? ? ? ? 4ac－b2 4a，＋∞? ? ? ? －∞， 4ac－b2 4a 单调性 在x∈? ? ? ? －∞，－ b 2a上单调递减； 在x∈? ? ? ? － b 2a，＋∞上单调递增 在x∈? ? ? ? －∞，－ b 2a上单调递增； 在x∈? ? ? ? － b 2a，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x＝－ b 2a对称 2. (1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较

(3)幂函数的性质比较 函数 特征 性质 y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数 单调性增 x∈[0，＋∞)时，增； x∈(－∞，0]时，减 增增 x∈(0，＋∞) 时，减； x∈(－∞，0)时，减判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是 4ac－b2 4a.(×) (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(×) (3)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．(×) (4)当n>0时，幂函数y＝x n是定义域上的增函数．(×) (5)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝± 2 2.(×) (6)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，则f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2.(×) 1．设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为() C．1 D．－1 答案D 解析因为b>0，故对称轴不可能为y轴，由给出的图可知对称轴在y轴右侧，故a<0，所以二次函数的图象为第三个图，图象过原点，故a2－1＝0，a＝±1，又a<0，所以a＝－1，故选D. 2．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为 ________． 答案[1,2]

(精心整理)高三数学复习二次函数

2.6 二次函数 ●知识梳理 二次函数的基本性质 （1）二次函数的三种表示法： y =ax 2+bx +c ；y =a （x －x 1）（x －x 2）；y =a （x －x 0）2+n . （2）当a ＞0，f （x ）在区间［p ，q ］上的最大值为M ，最小值为m ，令x 0= 2 1 （p +q ）. 若－ a b 2＜p ，则f （p ）=m ，f （q ）=M ； 若p ≤－a b 2＜x 0，则f （－a b 2）=m ，f （q ）=M ； 若x 0≤－a b 2＜q ，则f （p ）=M ，f （－a b 2）=m ； 若－a b 2≥q ，则f （p ）=M ，f （q ）=m . ●点击双基 1.设二次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a ≠0），如果f （x 1）=f （x 2）（其中x 1≠x 2），则f （2 2 1x x +）等于 A.－ a b 2 B.－ a b C.c D.a b a c 442- 解析：f （221x x +）=f （－a b 2）=a b ac 442-. 答案：D 2.二次函数y =x 2－2（a +b ）x +c 2+2ab 的图象的顶点在x 轴上，且a 、b 、c 为△ABC 的三边长，则△ABC 为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析：y =［x －（a +b ）］2+c 2+2ab －（a +b ）2=［x －（a +b ）］2+c 2－a 2－b 2. ∴顶点为（a +b ，c 2－a 2－b 2）. 由题意知c 2－a 2－b 2=0. ∴△ABC 为直角三角形. 答案：B 3.已知函数f （x ）=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞）上是增函数，则f （1）的范围是 A.f （1）≥25 B.f （1）=25 C.f （1）≤25 D.f （1）＞25 解析：由y =f （x ）的对称轴是x =8m ，可知f （x ）在［8 m ，+∞）上递增，由题设只 需

二次函数与幂函数

二次函数与幂函数 1．五种常见幂函数的图象与性质 R R R{x|x≥0}{x|x≠0} (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 3．二次函数的图象和性质 x∈R

1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则函数的解析式为________________． 答案：f (x )＝x 12 (x ≥0) 2．函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则y 的最小值是________． 解析：函数y ＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝3 2>1， ∴函数y ＝2x 2－6x ＋3在x ∈[－1,1]上为单调递减函数， ∴y min ＝2－6＋3＝－1. 答案：－1 1．对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况． 2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． [小题纠偏] 1．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.????0，1 20 B.????－∞，－1 20 C.??? ?1 20，＋∞ D.??? ?－1 20，0 解析：选C 由题意知????? a >0，Δ<0，即????? a >0，1－20a <0， 解得a >1 20. 2．给出下列命题： ①函数y ＝2x 是幂函数； ②如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点； ③当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数； ④二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[m ，n ]的最值一定是 4ac －b 2 4a . 其中正确的是________． 答案：②

幂函数与二次函数专题练习

幂函数与二次函数专题练习 一、选择题 1.(2020·郑州外国语学校期中)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为() A.1，3 B.－1，1 C.－1，3 D.－1，1，3 解析因为函数y＝xα为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又y＝x－1的值域为{y|y≠0}，函数y＝x，y＝x3的值域都为R.所以符合要求的α的值为1，3.答案 A 2.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则() A.a>0，4a＋b＝0 B.a<0，4a＋b＝0 C.a>0，2a＋b＝0 D.a<0，2a＋b＝0 解析因为f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图象应开口向上，即a>0，且其对称轴为 x＝2，即－b 2a ＝2，所以4a＋b＝0. 答案 A 3.在同一坐标系内，函数y＝x a(a≠0)和y＝ax＋1 a的图象可能是() 解析若a<0，由y＝x a的图象知排除C，D选项，由y＝ax＋1 a 的图象知应选 B；若a>0，y＝x a的图象知排除A，B选项，但y＝ax＋1 a 的图象均不适合，综 上选B.

答案 B 4.若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0，2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A.－1 B.1 C.2 D.－2 解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得， ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ， ∴?????－a ≥4－3a ，－a ＝1或?????－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 答案 B 5.若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞) C.(－6，＋∞) D.(－∞，－6) 解析 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ， 令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1，4)， 所以f (x )12>25，得? ?? ? ? 223 >? ?? ?? 123 >? ?? ?? 253 ，即P >R >Q . 答案 P >R >Q 7.若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是________.

高考数学专题训练 二次函数

二次函数注意事项：1.考察内容：二次函数 2.题目难度：中等难度题型 4道填空，4 道解答。 3.题型方面：10道选择， 4.参考答案：有详细答案 /单元测试课后练习/ 5.资源类型：试题 一、选择题2b?2f(x)?x?ax0)?f(x，∈(1x∈，设(0，1)，已知：函数 x，且的两根为x、 x1.21 122?b 2)，则）的取值范围是（1?a111) 1) D.(，4) B.(-1A.(1，， ) C.(-4， 44221x?(x)?2x?f(x)?3x?x?1g)(xf(x)g，则），的大小关系为若与 （2.)x(x)?g(x)f(x)?g(x)f(f(x)?g值变化而变化 B． D．随A．x C．2))(x?(0,??y?x?ax?b 是单调函数的充要条件是（函数）3.000a?a?a?0a? C。 B。 A． D。??????22?xx?2?a?f1x4,??a的取值范围是已知函数在区间上是单调函数，则实数4.（） 3?5a?a??3a??3a． D C． B．．A2)02(a(x)?ax??f2?f(2)?a）（若则且5.22?1?1 C．0 B ． A ．D．2 22(0,4)(1,5)点，则这个二次函数的解析式为（已知一个二次函数的顶点坐标为，且过） 6.112222?4?xx?1yy?44?x?1yy??x D、 B、 C、 A、442y??x?4axa[1,3]的取值 范围为（已知函数是单调递减的，则实数）在7.1331),??[(??,]],[,1)(?? B、、、 A D C、2222a]4??(,2上是减函数，则在（的取值范围是） y=x若函数+2ax+18.??4 ＜-4 C aA a=4 B a-4 D a???????????2f?3x1fx?2?f?x?2f0fm]，，又上有最[0，若在二次函数满足，9.m的取值范 围是（）1大值3，最小值，则 专心爱心用心． ????????2,0,??20, D. [2,4] C. B. A. 与，已知函数，，若对于任一实数10.的值至少有一个为正数，则实数）的取值范围是（． B． C A． ．D 二、填空题2x2x?f(2x?1)?)3f(= ，则若函数11. 25x?y?x?2。函数的单调增区间为12. 32 . f(之间的大小关系为1)，)，已知函数f(x)=x－2x＋2，那么f(1)f(－13. 2cbx?y?ax?0a?y

高考数学专题训练 二次函数

二次函数 注意事项：1.考察内容：二次函数 2.题目难度：中等难度题型 3.题型方面：10道选择，4道填空，4道解答。 4.参考答案：有详细答案 5.资源类型：试题/课后练习/单元测试 一、选择题 1.已知：函数b ax x x f 2)(2 ++=，设0)(=x f 的两根为x 1 、x 2，且x 1∈(0，1)， x 2∈(1， 2)，则 1 2 --a b 的取值范围是（ ） A.(1，4) B.(-1， 41) C.(-4，1) D.(4 1 ，1) 2.若13)(2 +-=x x x f ，12)(2 -+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为 （ ） A ．)()(x g x f > B ．)()(x g x f = C ．)()(x g x f < D ．随x 值变化而变化 3.函数2 ((0,))y x ax b x =++∈+∞是单调函数的充要条件是（ ） A ．0a ≥ B 。0a ≤ C 。0a > D 。0a < 4.已知函数 ()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是单调函数，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．3a ≤- B ．3a ≥- C ．5a ≤ D ．3a ≥ 5.若)0(2)(2 >- =a ax x f 且2)2(=f 则=a （ ） A ．221+ B ．2 21- C ．0 D ．2 6.已知一个二次函数的顶点坐标为(0,4)，且过(1,5)点，则这个二次函数的解析式为 （ ） A 、2114y x = + B 、21 44 y x =+ C 、241y x =+ D 、24y x =+7.已知函数2 4y x ax =-+在[1,3]是单调递减的，则实数a 的取值范围为 （ ） A 、1(,]2-∞ B 、(,1)-∞ C 、13[,]22 D 、3[,)2 +∞8.若函数y=x 2 +2ax+1在]4,(-∞上是减函数，则a 的取值范围是 （ ） A a=4 B a ≤-4 C a ＜-4 D a ≥4 9.二次函数()x f 满足()()22+-=+x f x f ，又()30=f ，()12=f ，若在[0，m ]上有最 大值3，最小值1，则m 的取值范围是（ ）

二次函数与幂函数知识梳理

二次函数与幂函数 【考纲要求】 1.理解常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图象与性质。 2.幂函数 (1)了解幂函数的概念． (2)结合函数1(1,2,3,1,)2 y x α α==-的图象，了解它们的图象的变化情况． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、初中学过的函数 （一）函数的图象与性质 1.过原点的直线的方程,图象,性质； 2.函数的最高次项的系数能否为零。 （二）二次函数的最值 1.二次函数有以下三种解析式： 一般式：2 y ax bx c =++（0≠a ）， 顶点式：2 ()y a x h k =-+（0≠a ），其中顶点为(,)h k ，对称轴为直线x h =， 基 本 初 等 函 数 图象与性质 一次函数 二次函数 幂函数 常数函数

零点式：12()()y a x x x x =--（0≠a ），其中21,x x 是方程02 =++c bx ax 的根 2. 二次函数2y ax bx c =++（0a >）在区间[,]p q 上的最值： 二次函数2y ax bx c =++（0a >）在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令 01 ()2 x p q = + . （1） （2） （3） （4） （1）若2b p a - <，则min ()()f x f p m ==，max ()()f x f q M ==； （2）若02b p x a ≤-<，则min ()()2b f x f m a =-=，max ()()f x f q M ==； （3）若02b x q a ≤-<，则min ()()2b f x f m a =-=，max ()()f x f p M ==； （4）若2b q a ≤-，则min ()()f x f q m ==，max ()()f x f p M ==. 要点诠释： 1．二次函数的最值只可能在三处取得：两个区间端点以及顶点的函数值； 2. 求二次函数的最值一般要数形结合。 考点二、幂的运算 m n a =　，1n n a a -= ，m n m n a a -11 =(,1)m n N n +∈>、　 ； (2) (,1)n a n N n =∈>　 ， (1,a n n =>为奇数） ， (0)((0)a a a n a a ≥?=?-

年高考数学二次函数精选试题汇编

2010年高考数学二次函数精选习题汇编 一、选择题 1．（2010福建福州）已知二次函数y ＝Ax 2 ＋Bx ＋C 的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A ．a ＞0 B ．c ＜0 C ．b 2 －4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＞0 3．（2010 山东莱芜）二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图所示，则一次函数a bx y +=的 图象不经过 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．（2010年贵州毕节）函数2 y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致 是 ( ) 5．（2010年贵州毕节）把抛物线y =x 2 +bx +c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y =x 2 －3x ＋5，则（ ） A ．b =3，c =7 B ．b =6，c =3 C ．b =-9，c =-5 D ．b =-9，c =21 10．（2010湖北鄂州）二次函数y =ax 2 +bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论①a 、b 异号；②当x =1和x=3时，函数值相等；③4a +b =0，④当y =4时，x 的取值只能为0．结论正确的个数有（ ） 个 A ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ． 4 （第9题图）

2．（2010湖南郴州）将抛物线y =x 2 +1向下平移2个单位，?则此时抛物线的解析式是_____________． 【答案】 y =x 2 －1 3．（2010江苏扬州）y ＝2x 2 －bx ＋3的对称轴是直线x ＝1，则b 的值为__________． 【答案】4 4．（2010山东泰安）将y=2x 2-12x-12变为y=a （x-m ）2 +n 的形式，则m·n= . 【答案】-90 5．（2010湖北襄樊）将抛物线2 12 y x =- 向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的解析式为____________． ．【答案】21(1)2 x --+或2132 x x -++ 6y x y x x +=-++则满足,0332 的最大值为 . 72 3x mx -+的图象与x 轴的交点如图所示，根据图中信 8．（2010安徽蚌埠）已知抛物线bx x y += 2 2 1经过点A(4,0)。设点C （1，-3） ，请在抛物线的对称轴上确定一点D,使得CD AD -的值最大，则D 点的坐标为＿＿＿＿＿＿＿。 【答案】﹝2,-6﹞ 9．（2010江苏盐城）写出图象经过点(1，－1)的一个函数关系式 ▲ ． 【答案】y =-x 或y =-1x 或y =x 2 -2x ，答案不唯一 10．（2010山东日照）如图，是二次函数y=ax 2 +bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x =1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2 +bx+c ＜0的解集是 .

第4节幂函数与二次函数

第4节幂函数与二次函数【考试要求】 1.通过具体实例，结合y＝x，y＝1 x ，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变 化规律，了解幂函数；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 【教学重点】幂函数的概念，三个二次的关系 【教学难点】幂函数性质，三个二次的转换 【教学方法】知识梳理、典例启发讲练 【教学手段】多媒体辅助教学 【教学过程】 【知识梳理】 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数， 其中x是自变量，α为常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.

(2)二次函数的图象和性质 函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0) y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 ???? ??4ac －b 24a ，＋∞ ? ? ???－∞，4ac －b 24a 对称轴 x ＝－ b 2a 顶点 坐标 ? ???? －b 2a ，4ac －b 24a 奇偶性 当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数 单调性 在? ? ???－∞，－b 2a 上是减函数； 在???? ?? －b 2a ，＋∞上是增函数 在? ? ???－∞，－b 2a 上是增函数； 在???? ?? －b 2a ，＋∞上是减函数 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)，则当???a >0，Δ<0时恒有f (x )>0；当???a <0， Δ<0 时，恒有f (x )<0. 3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； (2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 【诊 断 自 测】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x 1 3是幂函数.( ) (2)当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数.( ) (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b 2 4a .( )