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不等式及其解集 学案

不等式及其解集 学案
不等式及其解集 学案

学习过程

一、预习

1. 什么样的式子是不等式?

2. 不等式解与解集的关系?

3. 什么是数轴?数轴的三要素是什么?

4. 如何在数轴上表示不等式的解集?

二、知识讲解

考点1 不等式的定义

定义:用“<”或“>”号表示大小关系的式子,叫做不等式。用“≤”“≥”“≠”表示不等关系的式子也是不等式。

注意:1.判断一个式子是否是不等式,关键是看所给的式子是否含有不等号;

2.有些式子不成立,如:2>5,但它仍然是不等式。

考点2 不等式的解与解集

不等式的解:能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。

不等式的解集:一般地,一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。 解不等式:求不等式的解集的过程叫做解不等式。

提示: 1.不等式的解是一个具体的值;

2.不等式的解集是一个集合,一个范围,包含不等式的每一个解;

3.一般的不等式有无数个解;

4.判断一个数值是否是不等式的解,只需用这个数代替不等式中的未知数,看不等式是否成立,若不等式成立,则该数值是不等式的一个解,若不成立,则该数值就不是不等式的解。 考点3 不等式解集的表示方法

不等式解集的表示:一个含有未知数的不等式有无数个解,它的解集是某个范围,一般用很简单的不等式a x >或a x ≥或a x <或a x ≤的形式表示出来。

数轴表示法:实心点可取到等号,空心点不包括该点,不能取等号。

提示:1.把不等式的解集在数轴上表示出来体现了数形结合思想的应用。

2.用数轴表示不等式的解集有两步:定“界点”,若解集含有界点用实心圆点,解集不含界点用空心圆圈;定“方向”,相对于界点而言,大于向右画,小于向左画。

三、例题精析

【例题1】

【题干】判断下列各式哪些是等式、哪些是不等式、哪些既不是等式也不是不等式。

(1)y x + (2)73>x (3)325+=x (4)0≥

2x (5)132=+y x (6)52 【答案】等式:(3)(5) 不等式:(2)(4) 既不是等式也不是不等式的有:(1)(6)

【解析】判断一个式子是不是不等式,从意义上看,要看这个式子是不是表达某种不等关系,从形式上看,要看这个式子是不是用不等号连接。

【例题2】

【题干】用适当的符号表示下列关系:

(1)a 的3倍与6的差大于0;

(2)x 的平方不小于5;

(3)m 与n 的和的平方不小于m 与n 的平方的和;

(4)a 与3的差是非负数。

【答案】(1)3a-6>0 (2)52≥x (3)()222

m n m n +≥+

(4)a-3≥0

【解析】理解文字中的一些关键词是列不等式的重要环节,如“不小于”即“大于或等于”,用“≥”表示,“非负数”即“正数或0”,用“0≥”表示;“非正数”即“负数或0”,用“0≤”表示。

【例题3】判断下列说法是否正确,并说明理由。

【题干】(1)x=3是不等式3x 9≥的解集;

(2)不等式3x 9≥的解是x=3;

(3)X=3是不等式3x 9≥的一个解;

(4)x 3≥是不等式3x 9≥的解;

(5)不等式3x 9≥的解集是x 3≥

【答案】(1)不正确,不等式3x 9≥的解集是所有解的集合,而x=3只是其中一个解。

(2)不正确,不等式3x 9≥的解有无数个,x=3只是其中一个。

(3)正确,当x=3时,不等式3x 9≥成立。

(4)不正确,不等式的解是具体的某个数,而不是取值范围。

(5)正确,x 3≥中的所以数都能使不等式3x 9≥成立,且使不等式3x 9≥成立的所有数值

都大于或等于3。

【解析】不等式的解集是一个取值范围,而不等式的解是某个或某些具体数值。

四、课堂运用

【基础】

1.

【题干】在下列各题中的空白处填上适当的不等号:

⑴ -3 -2 ⑵

34 4

3 ⑶ ()21- -2 2.

【题干】用适当的符号表示下列关系:⑴ a -b 是负数 ,⑵ a 比1大 , ⑶ x 是非负数 ,⑷ m 不大于5 ,

3.

【题干】正方形边长是xcm ,它的周长不超过160cm ,则用不等式来表示为 ;

4.

【题干】⑴ x +3>6的解集 ,⑵ 2x <12的解集 ,⑶ x -5>0的解集 ,⑷ 0.5x >5的解集 ;

5.

【题干】x 的3倍减去2的差不大于0,列出不等式是 ( )

A 、3x -2≤0

B 、3x -2≥0

C 、3x -2<0

D 、3x -2>0

【巩固】

1.

【题干】下列不等式一定成立的是( )

A 、2x <6

B 、-x <0

C 、12+x >0

D 、x >0

2.

【题干】下列解集中,不包括-4的是( )

A 、x ≤-3

B 、x ≥-4

C 、x ≤-5

D 、x ≥-6

3.

【题干】下列说法中,正确的有( )

①4是不等式x +3>6的解,②x +3<6的解是x <2③3是不等式x +3≤6的解,④x >4是不等式x +3≥6的解的一部分

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

4.

【题干】 下图中表示的是不等式的解集,其中错误的是( )

A 、x ≥-

2 B C 、x ≠、【拔高】

1.

【题干】恩格尔系数n 是指家庭日常饮食开支占家庭收入的比例,它反映了居民家庭的实际生活水平,各种类型

家庭的n 值如下所示:

0-1

-2

如用含n 的不等式表示,则贫困家庭为 ;小康家庭为 ;最富裕国家为 ;

当某一家庭n = 0.6时,表明该家庭的实际生活水平是 。 课程小结

1.判断一个式子是否是不等式,关键是看所给的式子是否含有不等号;

2.有些式子不成立,如:2>5,但它仍然是不等式;

3.判断一个数值是否是不等式的解,只需用这个数代替不等式中的未知数,看不等式是否成立,若不等式成立,则该数值是不等式的一个解,若不成立,则该数值就不是不等式的解。 课后作业

1.

【题干】比较下面两个算式结果的大小(在横线上填“>”“<”“=”) 2

243+ 432?? 2222+ 222?? 2

24

31+ 4312?? ()2252-+ ()52-2×× 223221+ 32212?? 2.

【题干】写出下列不等式的解集,并把解集在数轴上表示出来:⑴ x +5>7 ⑵ 2x ≤10 ⑶ x -2>1 ⑷ -3x <12

不等式的基本性质导学案(自动保存的)

2.1 不等式的基本性质 随堂练习1 姓名 不等式的一个等价关系(充要条件) 从实数与数轴上的点一一对应谈起 0>-?>b a b a 0=-?=b a b a 0<-?

例2 求证:x 2 + 3 > 3x 证:∵(x 2 + 3) - 3x = 04 3 )23(3)23()23(32222>+-=+-+-x x x ∴x 2 + 3 > 3x 例3 解关于x 的不等式(m-1)x >x+m 练习 解关于x 的不等式:)1(232≠+>+-a x a a ax .

2.1 不等式的基本性质 课后巩固1 姓名 1 比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小 2 已知0>>b a ,试比较2 222b a b a -+与b a b a -+的值的大小 此题作差后x 分大于0 ,等于0 ,小于0三种情况讨论差的符号 1. 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度m 行走,另一半时间以速度n 行走;有一半路程乙以速度m 行走,另一半路程以速度n 行走,如果m ≠ n ,问:甲乙两人谁先到达指定地点? 解:设从出发地到指定地点的路程为S , 甲乙两人走完全程所需时间分别是t 1, t 2, 则 : 21122,22t n S m S S n t m t =+=+ 可得: mn n m S t n m S t 2) (,221+= += ∴) (2)()(2])(4[2)(22 221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=- ∵S , m , n 都是正数,且m ≠ n ,∴t 1 - t 2 < 0 即:t 1 < t 2 从而:甲先到到达指定地点。 3 设 x ∈R 且x ≠-1,比较1 1+x 与1-x 的大小.

基本不等式(导学案)

基本不等式(导学案) ab,3.4 ab,2 1、学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等 号“?”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等 a,b2、理解利用基本不等式ab 证明不等式的方法 ,2 ab,3、进一步掌握基本不等式;会应用此不等式求某些函数的最值;能够解决ab,2 一些简单的实际问题 ab,应用数形结合的思想理解不等式并从不同角度探索不等式的证明过程;ab,2 理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵 1、回顾:二元一次不等式(组)与简单的线形规划问题。 2、如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。你能在这个图案 中找出一些相等关系或不等关系吗? 1、重要不等式: 22如果a,b,R,那么a,b,2ab(当且仅当a,b时取","号) 1

a,b2、基本不等式:如果a,b是正数,那么 ,ab(当且仅当a,b时取","号).2 a,b3、我们称ab为a,b的算术平均数,称的几何平均数为a,b2 a,b224、a,b,2ab和,ab成立的条件是不同的:前者只要求a,b都是实数,2 而后者要求a,b都是正数。 1、已知x、y都是正数,求证: 223333yx(1)?2; (2)(+)(+)(+)?8. xyxyxyxy,xy 92、求(x>5)的最小值. fxx()4,,x,5 283、若x>0,y>0,且,求xy的最小值. ,,1xy 11,4、设a、b?R且a+b=1,求+的最小值 1,a1,b 1、两正数a、b的算术平均数与几何平均数成立的条件。?理解“当且仅当a=b 时取等 号”的数学内涵。 2、当两个正数之积为定值时,其和有最小值 当两个正数之和为定值时,其积有最大值 3、利用基本不等式求最值时必须满足三个条件:一正二定三相等. 4、用均值不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行: (1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数; (2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题; (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (4)正确写出答案. 2

八年级数学下册2.3 不等式的解集导学案(新版)北师大版

八年级数学下册2.3 不等式的解集导学案(新 版)北师大版 【学习目标】 【学习过程】 一、温故知新: 1、设a>b,用“<”或“>”号填空。(1)a+1 b+1;(2)a-3 b-3;(3)3a3b;(4);(5)--;(6)- a -b。 二、新知探究: 【探究一】 1、研读课本 p47页的探究。 2、根据题意可得引火线的长度x应满足的关系式为: 。 3、利用不等式的基本性质,得x的取值范围是。 【探究二】 4、认真研读课本p47页的“ 想一想”。 (1)x=2,5,7, 8、3能使不等式x>5成立吗?(2)你还能找出一些使不等式x>5成立的x的值吗? 【探究三】

(1)方程2x=4的解有个; (2) 不等式2x<4的解有个; (3)不等式5x≥-10的解集是。 三、交流研讨 【研讨一】 5、认真研读课本p47页的有关概念。(1)能使不等式成立的,叫做不等式的解。例如:在4,5,-7,10, 13、9这些数中,是不等式x<7的解,而不是不等式x<7的解。(2)一个含有未知数的,组成这个不等式的解集。(3)求不等式的过程叫做解不等式。(4)不等式的解集在数轴上的表示方法:在数轴上表示不等式≥-2的解集,正确的是() A B C D 【研讨二】 尝试判断 1、-2是不等式 x<4的一个解; ( ) 2、x=7是不等式 x>3的解集; ( ) 3、x=3是不等式8-x<0的一个解; ( ) 4、不等式3x-12<0的解集是x>4。 ( ) 四、课堂内化:(你学到了什么?) 五、课后作业 1、如图所示,在数轴上表示x>-2的解集,正确的是() 2、在数轴上表示下列不等式的解集:(1)x≥3;(2)x≤-4;(3) x<0;(4)x>-2 。

《不等式及其解集》导学案

9.1.1 不等式及其解集 学习目标 1.了解不等式概念,会列不等式; 2.理解不等式的解与解集,能正确表示不等式的解集。培养数感,渗透数形结 合的思想. 重点:不等式的解集的表示 活动1 自学教材P114-115思考并完成下列问题(先独立思考后小组交流完善)问题:一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50千米,要在12:00正好到达A地,车速应满足什么条件? 1.变式: 一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50千米,要在12:00之前驶过 ....A地,车速应满足什么条件? 2.不等式的概念 3.不等式的解和解集 ⑴什么叫做不等式的解? ⑵什么叫做不等式的解集?怎样表示不等式的解集? 4.解不等式的含义 总结: ⑴不等式分两大类:①表示大小关系的不等式,其符号类型有:“>”、“<”、

“≤”、“≥”.“≤”读作“小于或等于”也可以说是“不大于”;“≥”读作“大于或等于”也可以说“不小于”.②表示不等关系的不等式,其符号为“≠”,读作“不等于”,它说明两个量之间的关系是不等的,但不明确谁大,谁小. 有些不等式不含未知数,有些不等式含未知数. ⑵不等式的解集的表示方法:①用最简的不等式表示:如26 x-<的解集为8 x<.②用数轴表示:如x a >在表示a的点上用空心圆圈表示不包括这一点,x a ≥在表示a的点上用实心点表示包括这一点. 活动2练习巩固 1.判断下列数中哪些是不等式2 50 3 x>的解:76,73,79,80,74.9,75.1,90, 60.你还能找出这个不等式的其他解吗?这个不等式有多少个解? 2.下列各数:-5,-4,-3,- 2,-1,0,1,2,3,4,5中,同时适合x+5<7和2x+2>0的有哪几个数? 3.用不等式表示 (1)a是正数;(2)a是负数;(3)a与5的和小于7;(4)a与2的差大于-1;(5)a的4倍大于8;(6)a的一半小于3. 4.直接想出不等式的解集,并用数轴表示: (1)x+3>6;(2)2x<8;(3)x-2≥0. 活动3课堂作业 1.用不等式表示: ⑴a与5的和是正数 ⑵b与15的差小于27 ⑶c的4倍大于或等于8 ⑷d与5的积不小于0 ⑸x的2倍与1的和是非正数

不等式的解集教学设计

第一章一兀一次不等式和一兀一次不等式组 3 ?不等式的解集 一、学生知识状况分析 学生在初一时已经学过数轴,对数轴有一定的了解,掌握了数轴的画法,知道实数与数轴上的点成一一对应关系,并且建立了一定的数形结合思想.以前学生所学的方程的解具有唯一性,而不等式的解的个数有无数个,这对学生来说是全新的开始;在前一课时,学习了不等式的基本性质,学生可利用性质解一些简单的不等式,为本节内容打下了基础。但对不等式解集的含义及表示方法还全然不知,因而在教学中要作更进一步的探索和学习. 二、教学任务分析 1、教材分析: 通过前面的学习,学生已初步体会到生活中量与量之间的关系,不仅有相等而且有大小之分,为了弄清这种大小关系,教材在此创设了丰富的实际问题情境引出不等式的解的问题,进一步探索出不等式的解集,同时还要求在数轴上把不等式的解集表示出来,从而渗透了“数----形”结合的思想,发展了学生符号表达的能力以及分析问题、解决问题的能力。教材中设置的“议一议”意在引导学生回忆实数与数轴上的点的对应关系,认识数轴上的点是有序的,实数是可以比较大小的,体现了新教材循序渐进,螺旋上升的特点.

2、教学目标: (1)知识与技能目标: ①能够根据具体情境中的大小关系了解不等式的意义 ②能够在数轴上表示不等式的解集 (2 )过程与方法目标: ①培养学生从现实情况中探索、发现并提出简单的数学问题的能力。 ②经历求不等式的解集的过程,并试着把不等式的解集在数轴上表示出 来,发展学生的创新意识。 (3)情感态度与价值观目标: 从实际问题中抽象出数学模型,让学生认识数学与人类生活的密切联系 及对人类历史的作用,通过探索求不等式的解集的过程,体验数学活动充满着探索与创造。 3、教学重点: (1)理解不等式中的相关概念 (2)探索不等式的解集并能在数轴上表示出来 4、教学难点: 探索不等式的解集并能在数轴上表示出来 三、教学过程分析 本节课设计了七个环节,第一环节----- 复习旧知识;第二环节---- 情境引 入;第三环节课堂探究;第四环节例题讲解;第五环节随堂练习;

不等式的基本性质培优导学案

不等式的基本性质导学案 知识导引 不等式和方程一样,也是代数里的一种重要模型,在概念方面,它与方程很类似,尤其重要的是不等式具有一系列基本性质,而且数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式. 本讲的主要知识点: 1、不等号有“≠”,“>”,“<”,“≥”,“≤”。“≥”表示大于或等于;“≤”表示小于或等于. 2、一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解的集合,即不等式的解集. 3、不等式性质1:不等式两边同时加上或减去一个相同的数,不等号方向不变; 不等式性质2:不等式两边同时乘以或除以同一个正数,不等号方向不变; 不等式性质3:不等式两边同时乘以或除以同一个负数,不等号方向改变; 4、在数轴上表示解集,必须注意空心圈与实心点表示的不同含义. 5、不等式解集口诀:大大取大,小小取小,小大大小连起写,大大小小题无解. 6、解决与不等式相关的问题,常用到分类讨论、数形结合等相关概念和方法. 典例精析 例1:下列四个命题中,正确的有( ) ①若a >b ,则a +1>b +1;②若a >b ,则a -1>b -1;③若a >b ,则-2a <-2b ;④若a >b ,则2a <2b . A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 例1—1:已知a ,b ,c 是有理数,且a >b >c ,则下列式子中正确的是( ) A 、ab >bc B 、a +b >b +c C 、a -b >b -c D 、 c b c a > 例2:若实数a >1,则实数a M =,32+=a N ,3 12+=a P 的大小关系为( ) A 、P >N >M B 、M >N >P C 、N >P >M D 、M >P >N 例3:解不等式54 56110312-≥+--x x x ,并把它的解集在数轴上表示出来. 例3—1:请你写出一个满足不等式2x -1<6的正整数x 的值: . 例3—2:若关于x 的不等式3m -2x <5的解集是x >2,则实数m 的值为 . 例4:某童装加工企业今年五月份,工人每人平均加工童装150套,最不熟练的工人加工的

数学新教材人教B版必修第一册 2.2.4 第1课时 均值不等式 学案

2.2.4 均值不等式及其应用 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 1.了解均值不等式的证明过程,理解均值不等式成立的条件,等号成立的条件及几何意义. 2.会运用均值不等式解决最值、范围、不等式证明等相关问题. 3.掌握运用均值不等式a +b 2≥ab (a ,b >0) 求最值的常用方法及需注意的问题. 1.注意从数与形的角度来审视均值不等式,体会数形结合思想的应用. 2.通过“积定”与“和定”来把握均值不等式并研究最值,加深对“一正、二定、三相等”的理解. 3.注重均值不等式的变形,体会其特征,强化记忆. 必备知识·探新知 基础知识 1.均值不等式(基本不等式) (1)算术平均值与几何平均值. 前提 给定两个正数a ,b 结论 数 a +b 2 称为a ,b 的__算术平均值__ 数ab 称为a ,b 的几何平均值 (2)前提 __a ,b __都是正数 结论 a +b 2 ≥ab 等号成立的条件 当且仅当a =b 时,等号成立 几何意义 所有周长一定的矩形中,正方形的面积最大 提示:(1)在a 2+b 2≥2ab 中,a ,b ∈R ;在a +b ≥2ab 中,a ,b >0. (2)两者都带有等号,等号成立的等件从形式上看是一样的,但实质不同(范围不同). (3)证明的方法都是作差比较法. (4)都可以用来求最值.

2.均值不等式与最值 两个正数的积为常数时,它们的和有最小值; 两个正数的和为常数时,它们的积有最大值. 思考2:应用上述两个结论时,要注意哪些事项? 提示:应用上述性质时注意三点:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”. 基础自测 1.下列不等式中正确的是( D ) A .a +4 a ≥4 B .a 2+b 2≥4ab C .ab ≥a +b 2 D .x 2+3 x 2≥2 3 解析:a <0,则a +4 a ≥4不成立,故A 错;a =1, b =1,a 2+b 2<4ab ,故B 错;a =4, b =16,则ab 2y ,当且仅当x -2y =1时取等号 C .x ≤2y ,当且仅当x -2y =1时取等号 D .x <2y ,当且仅当x -2y =1时取等号 解析:因为不等式成立的前提条件是各项均为正,所以x -2y >0,即x >2y ,且等号成立时(x -2y )2=1,即x -2y =1,故选B . 3.如果a >0,那么a +1 a +2的最小值是__4__. 解析:因为a >0,所以a +1 a +2≥2 a ·1a +2=2+2=4,当且仅当a =1 a ,即a =1(-1舍)时取等号. 4.已知00,所以x (1-x )≤[x +(1-x )2]2=(12)2=1 4,当且仅当x =1 -x ,即x =12时“=”成立,即当x =12时,x (1-x )取得最大值1 4 . 5.若x 2+y 2=4,则xy 的最大值是__2__.

八年级数学下册第2章第3节不等式的解集导学案无答案新版北师大版

不等式的解集 学习目标: ①能够根据具体情境中的大小关系了解不等式的意义 ②能够在数轴上表示不等式 学习过程 第一环节:复习旧知识 1.什么叫不等式?什么叫方程?什么叫方程的解? 2.用不等式表示: (1)x的3倍大于1; (2)y与5的差大于零; (3)x与3的和小于6; (4)x的小于2. 3.当x取下列数值时,不等式x+3<6是否成立? -4,,,3,0,. 第二环节:创设情境,导入新课 在某次数学竞赛中,教师对优秀学生给予奖励,花了30元买了3个笔记本和若干支笔,已知笔记本每本4元,笔每支2元,问最多能买多少支笔? 第三环节:师生互动,课堂探究 (一)提出问题,引发讨论探索交流: 1、若某人要完成一件工作,要求他完成这项任务的时间不得少于4小时,你知道他允许用的时间有多长吗? 2、燃放某种礼花弹时,为了确保安全,人在点燃导火线后要在燃放前转移到10米以外的安全区域,已知导火线的燃烧速度为s,人离开的速度为4 m/s,那么导火线的长度应为多少cm? (二)想一想: (1)x=4、5、6、能使不等式成立吗? (2)你还能找出一些使不等式x>5成立的x的值吗? (三)导入知识,解释疑难: 通过以上问题情境的引入可知:所列出的不等式中都含有未知数,而符合条件的未知数的值很多,只要将其中任一个未知数的值代入原不等式中,均能使不等式成立,把“能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。”不等式的解有时有无数个,有时有有限个,有时

无解。 一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集,求不等式的解集的过程叫做解不等式。 既然不等式的解集在通常情形下有很多个符合条件的解,那么我们能否用一种直观的方法把不等式的解集表示出来呢?请同学们相互交流,发表自己的见解。 (四)议一议: 请同学们用自己的方式将不等式X >5的解集和不等式X-5≤-1的解集分别表示在数轴上,并与同伴进行交流 注意:将不等式的解集表示在数轴上时,要注意: 1)指示线的方向,“>”向右,“<”向左. 2)有“=”用实心点,没有“=”用空心圈. 三、应用举例,变式练习 例1 在数轴上表示下列不等式的解集: (1)x≤-5; (2)x≥0; (3)x >-1;(4)1≤X≤4; (5)-2<X≤3; (6)-2≤x<3. 例2 用不等式表示下列数量关系,再用数轴表示出来: (1)x 小于-1; (2)x 不小于-1;(3)a 是正数; (4)b 是非负数. 练习:用简明语言叙述下列不等式表示什么数: ①x>0;②x<0;③x>-1;④x≤-1. 四、师生共同小结 针对本节课所学内容,请学生回答以下问题: 1.如何区别不等式的解,不等式的解集及解不等式这几个概念? 2.找出一元一次方程与不等式在“解”,“求解”等概念上的异同点. 3.记号“≥”、“≤”各表示什么含义? 4.在数轴上表示不等式解集时应注意什么 当堂检测: 1.不等式中,解集不包括25 的是 ( )

三个数的均值不等式

平均值不等式导学案2 ☆学习目标: 1.理解并掌握重要的基本不等式; 2.理解从两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式的推广; 3.初步掌握不等式证明和应用 一、课前准备(请在上课之前自主完成) 1.定理1 如果,a b R ∈, 那么22 2a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立. 2. 定理2(基本不等式) 如果+∈R b a ,, 那么 . 当且仅当 时, 等号成立. 利用基本不等式求最值的三个条件 推论10. 两个正数的算术平均数 , 几何平均数 , 平方平均数 ,调和平均数 , 从小到大的排列是: ☆课前热身: (1) 某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利 润y (单位:10万元)与营运年数x 的函数关系为),(11)6(2* ∈+--=N x x y 则每辆客车 营运多少年,其运 营的年平均利润最大( ) A .3 B .4 C .5 D .6 (2) 在算式“4130??+?O =”中的△,〇中,分别填入两个正整数,使它们的倒数和最步, 则这两个数构成的数对(△,〇)应为 . (3) 设+∈R x 且12 22 =+y x ,求21y x +的最大值. 二、新课导学 请你类比两个数的基本不等式得出三个数的基本不等式: 如果+ ∈R b a ,, 那么2a b +≥.当且仅当a b =时, 等号成立. 如果,,a b c R +∈,那么 .当且仅当 时, 等号成立. ?建构新知: 问题:已知,,a b c R +∈, 求证:3333.a b c abc ++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立. 证明: ∵3333a b c abc ++-= 定理3 如果,,a b c R +∈, 那么3 a b c ++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立. 语言表述:3个数的 平均数不小于它们的 平均数 推论 对于n 个正数12,,,n a a a L , 它们的

七年级下册不等式及其解集导学案范文整理

七年级下册《不等式及其解集》导学案 一、内容和内容解析 内容 概念:不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式以及能在数轴上表示简单不等式的解集. 内容解析 现实生活中存在大量的相等关系,也存在大量的不等关系.本节课从生活实际出发导入常见行程问题的不等关系,使学生充分认识到学习不等式的重要性和必然性,激发他们的求知欲望.再通过对实例的进一步深入分析与探索,引出不等式、不等式的解、不等式的解集以及解不等式几个概念.前面学过方程、方程的解、解方程的概念.通过类比教学、不等式、不等式的解、解不等式几个概念不难理解.但是对于初学者而言,不等式的解集的理解就有一定的难度.因此教材又进行数形结合,用数轴来表示不等式的解集,这样直观形象的表示不等式的解集,对理解不等式的解集有很大的帮助. 基于以上分析,可以确定本节课的教学重点是:正确理解不等式、不等式的解与解集的意义,把不等式的解集正确地表示在数轴上.

二、目标和目标解析 教学目标 .理解不等式的概念 .理解不等式的解与解集的意义,理解它们的区别与联系.了解解不等式的概念 .用数轴来表示简单不等式的解集 目标解析 .达成目标1的标志是:能正确区别不等式、等式以及代数式. .达成目标2的标志是:能理解不等式的解是解集中的某一个元素,而解集是所有解组成的一个集合. .达成目标3的标志是:理解解不等式是求不等式解集的一个过程. 达成目标4的标志是:用数轴表示不等式的解集是数形结合的又一个重要体现,也是学习不等式的一种重要工具.操作时,要掌握好“两定”:一是定界点,一般在数轴上只标出原点和界点即可,边界点含于解集中用实心圆点,或者用空心圆点;二是定方向,小于向左,大于向右. 三、教学问题诊断分析 本节课实质是一节概念课,对于不等式、不等式的解以及解不等式可通过类比方程、方程的解、解方程类比教学,学生不难理解,但是对不等式的解集的理解就有一定的难

不等式及其解集导学案

9.1.1不等式及其解集 设计人: 宝福艳第周第课时总第( )节时间:月日 班级: 姓名 学习目标: 1.能说出不等式的定义. 2.会找不等式解集并会在数轴上表示解集。 一、自学指导 认真阅读课本114页---115页内容,记忆并完成下列问题: 1用“__________”或“_________”号表示大小关系的式子叫做不等式,用“______________”号表示不等关系的式子也是不等式。 2、使不等式成立的未知数的值叫做。 3、一般地,一个含有未知数的不等式的_________的解,组成这个不等式的解集 4、求不等式的______________________的过程叫做解不等式 二、预习检测 1、用不等式表示下列语句: ①、用不等式表示: a与5的和小于7;。 ②、a是正数;。 ③、a的4倍大于8; ④、a是负数;。 ⑤、a与2的差大于-1; ⑥、a的一半小于3 2、下列式子中哪些是不等式? (1)a+b=b+a () (2)-3>-5 ( )

(3)x ≠l ( ) (4)x 十3>6 ( ) (5) 2m< n ( ) (6)2x-3 ( ) ⑺ 4x-2y ≤0 ( ) ⑻ 7n-5≥2 ( ) ⑼ 3x 2+2>0 ( ) 3.不等式260x ->的解集在数轴上表示正确的是( ) 三、合作探究 1、判断下列数中哪些是不等式x+3﹥6的解? -4, -2.5, 0, 1, 2.5, 3, 3.2, 4.8, 8, 12 1)你认为x+3﹥6 有多少个解? 2)、当x 符合什么条件时x+3﹥6总成立 3)、所以不等式x+3﹥6的解集是 2、不等式解集在数轴上的表示方法。 四.课堂达标 基础练习 一、选择题 1、m 与5的和的一半是正数,用不等式表示( ) A . B . C . D .

9.1.1--不等式及其解集---导学案

9.1.1 不等式及其解集导学案 班级姓名组别 学习目标:1、了解不等式的概念,能用不等式表示简单的不等关系。 2、知道什么是不等式的解,什么是解不等式,并能判断一个数是否是一个不等式 的解。 3、理解不等式的解集,能用数轴正确表示不等式的解集,对于一个较简单的不等 式能直接说出它的解集。 学习重点:不等式的解集的表示. 学习难点:不等式解集的确定. 学习过程 一、独立阅读,自主探究 阅读P114—115,完成下列问题: 1、数量有大小之分,它们之间有相等关系,也有不等关系,请你用恰当的式子表示出下列数 量关系: (1)a与1的和是正数; (2)y的2倍与1的和大于3; (3)x的一半与x的2倍的和是非正数; (4)c与4的和的30%不大于-2; (5)x除以2的商加上2,至多为5; (6)a与b两数的和的平方不可能大于3. 二、课堂探究(先独立完成,再小组讨论完善答案) 1、对于下列各式中:①3﹥2;②x≠0;③a﹤0;④x+2=5;⑤2x+xy+y;⑥2a +1﹥5; ⑦a+b﹥0.不等式有______________(只填序号), 2、下列哪些数值是不等式x+3﹥6的解?那些不是? -4,-2.5,0,1,2.5,3,3.2,4.8,8,12 . 你还能找出这个不等式的其他解吗?这个不等式有多少个解? 3、用不等式表示. (1)a与5的和是正数;(2)b与15的和小于27; (3)x的4倍大于或等于8;(4)d与e的和不大于0. 4、直接写出下列不等式的解集,并把解集在数轴上表示出来: (1)x+2﹥6;(2)2x﹤10;(3)x-2≥0.5. 三、当堂反馈 1、下列数学表达式中,不等式有() ①-3﹤0;②4x+3y﹥0;③x=3;④x≠2;⑤x+2﹥y+3 (A) 1个. (B)2个. (C)3个. (D)4个. 2、当x=-3时,下列不等式成立的是() (A)x-5﹤-8. (B)2x+2﹥0. (C)3+x﹤0. (D)2(1-x)﹥7. 3、用不等式表示:(写在各题的后面) (1)a的相反数是正数;(2)y的2倍与1的和大于3; (3)a的一半小于3;(4)d与5的积不小于0; (5)x的2倍与1的和是非正数. 4、直接写出下列不等式的解集,并把解集在数轴上表示出来: (1)x+3﹥5;(2)2x﹤8;(3)x-2≥0. 5、不等式x﹤4的非负整数解的个数有() (A)4个. (B)3个. (C)2个. (D)1个. 6、已知(a-2)-5﹥3是关于x的一元一次不等式试求a的值. 四、课后反思:

《不等式的性质》导学案

第九章 不等式与不等式组 9.1 不等式 9.1.2 不等式的性质 第1课时 不等式的性质 1、2、3,并能灵活运用它们来解决问题,以提升. . 1、2、3. 3. (或减) ,不等号的方向 . a+c b+c ,a -c b -c. (或除以)同一个 ,不等号的方向 . ac bc ,或 ____a b c c . (或除以)同一个 ,不等号的方向 . ac bc ,或 ____a b c c . a+3 b+3,a+x b+x ; a-3 b-3,a-x b-x ; 3a 3b ; -3a -3b. )

一、要点探究 探究点1:不等式的性质问题1:比较-3与-5 问题2:-3+2 -5+2问题3:由问题2 问题4:35; 问题5:由问题4 问题6: 例1. (1)若x+3>6,则 (2)若a-2<3,则 探究点2:不等式的性质问题1:比较-4与6 问题2:-4×2______6×2 问题3:由问题2 问题4:4-8;4问题5:由问题4 问题6:

例2.用“>”或“<”填空: (1)已知 a>b ,则3a 3b ; (2)已知 a>b ,则-a -b . (3)已知 a

【七年级数学下册】《不等式及其解集》学案 新人教版

《不等式及其解集》学案新人教版 [学习目标] 1.了解不等式概念,理解不等式的解集,能正确表示不等式的解集 2.培养学生的数感,渗透数形结合的思想. [学习重点与难点] 重点:不等式的解集的表示. 难点:不等式解集的确定. [学习过程] 一.春耕(问题探知) 某班同学去植树,原计划每位同学植树4棵,但由于某组的10名同学另有任务,未能参加植树,其余同学每位植树6棵,结果仍未能完成计划任务,若以该班同学的人数为x,此时的x应满足怎样的关系式? 二.夏耘 1.不等式:_______________________________________ 解析:(1)用≠表示不等关系的式子也叫不等式 (2)不等式中含有未知数,也可以不含有未知数; (3)注意不大于和不小于的说法 例1 用不等式表示 (1)a与1的和是正数; (2)y的2倍与1的和大于3; (3)x的一半与x的2倍的和是非正数; (4)c与4的和的30%不大于-2; (5)x除以2的商加上2,至多为5; (6)a与b两数的和的平方不可能大于3. 2.不等式的解:_______________________________________ 解析:不等式的解可能不止一个. 例2 下列各数中,哪些是不等是x+1<3的解?哪些不是? -3,-1,0,1,1.5,2.5,3,3.5 练习:1.判断数:-3,-2,-1,0,1,2,3,是不是不等式2x+3<5 的解?再找出另外的小于0的解两个. 2.下列各数:-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5中,同时适合x+5<7和2x+2>0的有哪几个数? 3.不等式的解集:_______________________________________ 含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式.

一元一次不等式及其解法导学案

1. 理解不等式的解、不等式的解集、解不等式等概念的含义,会在数轴上表示不等式的解集; 2. 识别一元一次不等式,会解简单的一元一次不等式,并将其解集表示的数轴上; 3. 通过观察一元一次不等式的解法,对比解一元一次方程的步骤,让学生自己归纳解一元一次不等式的基本步骤. 一、课前准备 复习:(1)不等式的基本性质有哪些? (2)解方程:1132 x x ---,并体会其步骤. 二、新课探究 探究任务一:不等式的解和解集 情境:燃放某种烟花时,为了确保安全,燃放者在点燃引火线后要在燃放前转移到10m 以外的安全区域.已知引火线的燃烧速度为0.02m/s ,燃放者离开的速度为4m/s ,那么引火线的长度应满足什么条件? (1)设引火线的长度为x cm ,根据题意列出不等关系: _______________________________________; (2)根据不等式的基本性质,将上述不等关系转化为“x a >”或“x a <”的形式: _______________________________________; 因此,引火线的长度应该________________. 想一想. (1)4,5,6,7.2x =能使不等式5x >成立吗? (2)你还能找出一些使不等式5x >成立的x 的值吗? 新知:能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集(solution set ).求不等式解集的过程叫做解不等式. 试试:判断正误 ①不等式10x ->有无数个解. ( ) ②2x =是不等式25x <的一个解. ( ) ③不等式25x ≤的正数解为1和2. ( ) ④不等式230x -≤的解集为2 3 x ≥. ( ) 探究任务二:一元一次不等式及其解法 思考:观察下列不等式: 6330x +>,175x x +<,5x >,10 0.021004 x >? 上述不等式有哪些共同特点? 新知:这些不等式左右两边都是_________,只含有_____________,并且____________________,像这样的不等式叫做一元一次不等式(linear inequality with one unknown ). 试试:每人列举两个一元一次不等式,小组整理并检查. __________________________________________; __________________________________________; __________________________________________; __________________________________________; __________________________________________; __________________________________________; __________________________________________; __________________________________________.

2013-2014学年广东省清远市八年级数学(北师大版)下学期备课导学案:2.3不等式的解集

2.3 不等式的解集 一、问题引入: 1.能使不等式成立的 的值,叫做不等式的解. 2.一个含有未知数的不等式的 ,组成这个不等式的解集. 3. 求 的过程叫做解不等式,也就是将含有未知数x 的不等式化为“)(a x a x ≥>”或“)(a x a x ≤<”的形式,其变形依据是不等式的三条基本性质. 4.不等式解集的表示方法: (1)用不等式表示:一般地,一个含有未知数的不等式的解集是某个取值范围, 这个范围可用一个最简单的不等式a x >或a x <(或a x ≥或a x ≤)的形式表示出来. (2)用数轴表示不等式解集的步骤依次是:画数轴、定界点、定方向.其中, 应当注意“定界点”和“定方向”两点:若这个不等式的解集中含有这个边界点的对应数值,则画成实心圆点;若解集中不含有边界点的对应数值,则画成空心圆圈;方向也是相对边界点而言的,大于边界点对应的数值向右画,小于边界点对应的数值向左画. 二、基础训练: 1.用不等式表示图中的解集,其中正确的是( ) A. x ≥-2 B. x >-2 C. x <-2 D. x ≤-2 2.不等式x -3>1的解集是( ) A.x >2 B. x >4 C.x -2> D. x >-4 3.不等式2x <6的非负整数解为( ) A.0,1,2 B.1,2 C.0,-1,-2 D.无数个 4.不等式的解集在数轴上表示如图所示,则该不等 式可能是_____________. 5.一个不等式的解集如图所示,则这个不等式的正整数解是 . 43210-1 三、例题展示: - 3 -2 -1 0 1

例1:求不等式4 1-x +1>0的解集和它的非负整数解,并把解集在数轴上表示出来. 四、课堂检测: 1.在数轴上表示不等式2-≥x 的解集,正确的是( ) A B C D 2.已知不等式的解集在数轴上表示如图所示,则不等式的解集是( ) -3-410-1-2 A .x >-112 B . x <-112 C . x ≥-112 D .2 11-≤x 3.若(1)1a x a -<-的解集为x >1,那么a 的取值范围是( ) A .a >0 B .a <0 C .a <1 D .a >1 4.(2013四川成都)不等式312>-x 的解集为_______________. 5.(2013重庆)不等式x x ≥-32的解集是___ ___. 6.(2013贵州安顺)若关于x 的不等式2)1(>-x a 可化为a x -< 12,则a 的取值 范围是 . 7.在数轴上表示下列不等式的解集: (1)x ≥-3.5 (2)x <-1.5 2-110-2-3-43 2-110-2-3-43 (3)-1≤x <2

不等式及其解集学案

9.1.1不等式及其解集 执笔人:王瑞萍 学教目标 1. 了解不等式概念,理解不等式的解集, 2. 能在数轴上正确表示不等式的解集,渗透数形结合的思想. 3. 培养自主学习的能力,合作交流意识与探究精神. 学教重点 不等式的解集的表示 学教难点: 在数轴上正确表示不等式的解集 学教过程: 一、问题导入: 活动1 自学教材P121-123 思考并完成下列问题(先独立思考 后小组交流完善) 问题 一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A 地50千米,要在12:00之前驶过A 地,车速应满足什么条件? 设车速是x 千米/时. 从时间上看,汽车要在12:00这前驶过A 地,则以这个速度行驶50千米所用的时 间_____3 2小时(>或<),用式子表示:___________________. 从路程上看,汽车要在12:00这前驶过A 地,则以这个速度行驶23 小时的路程_____50千米(>或<),用式子表示:_________________ . 以上两个式子从不同角度表示了车速应满足的条件. 二、学教互动: 1.不等式的概念 什么叫做不等式? 练习:用不等式表示: ⑴a 是正数; ⑵a 是负数;⑶a 与5的和不小于7;⑷a 与2的差大于-1;⑸a 的4倍不等于8;⑹a 的一半小于3. 2.不等式的解和解集 ⑴什么叫做不等式的解? 练习:判断下列数中哪些是不等式2503 x 的解:76,73,79,80,74.9,75.1,90,60.你还能找出这个不等式的其他解吗?这个不等式有多少个解?

(2)什么叫做不等式的解集? 练习:直接想出不等式的解集: ⑴36x +>; ⑵28x <; ⑶20x -≥. (3)在数轴上怎样表示不等式的解集?如在数轴上表示下列不等式的解集: (a )0>x (b )2≤x (c )2- 在表示 a 的点上用空心圆圈表示不包括这一点,x a ≥在表示a 的点上用实心点表示包括这一点. 4. 解不等式的含义 什么叫解不等式? 5. 一元一次不等式 什么叫做一元一次不等式? 练习:下列不等式中,是一元一次不等式的有[ ] A .3x(x+5)>3x2+7; B .x 2≥0; C .xy-2<3; D .x+y >5.E.5023 x < 点评: ⑴不等式分两大类:①表示大小关系的不等式,其符号类型有:“>”、“<”、“≤”、“≥”. “≤”读作“小于或等于”也可以说是“不大于”;“≥”读作“大于或等于”也可以说“不小于”.②表示不等关系的不等式,其符号为“≠”,读作“不等于”,它说明两个量之间的关系是不等的,但不明确谁大,谁小.③有些不等式不含未知数,有些不等式含未知数. ⑵不等式的解集的表示方法:①用最简的不等式表示:如26x -<的解集为8x <○ 2一元一次不等式与一元一次方程的“两边”1.都是整式.若 x 在分母位置,这个不等式不是一元一次不等式.

人教B版(2019)数学必修(第一册):2.2.4 均值不等式及其应用 学案

均值不等式及其应用 【学习目标】 掌握基本不等式ab ≤a +b 2(a ,b ≥0).结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 【学习重难点】 均值不等式的应用. 【学习过程】 【第1课时】 一、自主学习 知识点一:数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式 1.数轴上两点之间的距离公式 一般地,如果A (a ),B (b ),则线段AB 的长为AB =|a -b |. 2.中点坐标公式 如果线段AB 的中点M 的坐标为x .若a 0,b >0),当且仅当a =b 时,等号成立.其中a +b 2和ab 分别叫做正数a ,b 的算术平均数和几何平均数. 2 a b +≤ (a ,b ∈R +)的应用: (1)两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若a >0,b >0,且a +b =M ,M 为定 值,则ab ≤M 24,当且仅当a =b 时等号成立.即:a +b =M ,M 为定值时,(ab )max =M 2 4. (2)两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若a >0,b >0,且ab =P ,P 为定值,则a +b ≥2P ,当且仅当a =b 时等号成立.

基础自测: 1.已知a,b∈R,且ab>0,则下列结论恒成立的是()A.a2+b2>2ab B.a+b≥2ab C.1 a+ 1 b> 2 ab D.b a+ a b≥2 解析:对于A,当a=b时,a2+b2=2ab,所以A错误;对于B,C,虽然ab>0,只能说 明a,b同号,当a,b都小于0时,B,C错误;对于D,因为ab>0,所以b a>0, a b>0,所以 b a +a b≥2 b a· a b,即 b a+ a b≥2成立. 答案:D 2.若a>1,则a+ 1 a-1的最小值是() A.2 B.a C. 2a a-1 D.3 解析:a>1,所以a-1>0, 所以a+ 1 a-1=a-1+ 1 a-1+1=3.当且仅当a-1= 1 a-1即a=2时取等号. 答案:D 3.下列不等式中,正确的是() A.a+ 4 a≥4 B.a2+b2≥4ab C.ab≥ a+b 2 D.x2+ 3 x2≥23

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