离散填空题和答案
填空
1、p ：你努力，q ：你失败。“除非你努力，否则你将失败”的翻译为
；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为
。
2、论域D={1，2}，指定谓词P
则公式),(x y yP x ??真值为 。
3、设A={2，3，4，5，6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∧<><=，则R=
（列举法）。
R 的关系矩阵M R = 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 。
4、设代数系统，其中A={a ，b ，c},
则幺元是 ；是否有对称性 。 5、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 。
6．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+
x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶
数） 则 =?B A 。
7．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为
。
8．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则
)()))(((S R P R Q P ?∨→?∧→∨?的真值= 。
9．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ?→? 在I 下真值为
（T ，F ）。
10．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为
则 R 2 = 。
11．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系
R 的哈斯图为
则 R= 。 12．图的补图为
。
13．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：
那么代数系统的幺元是 a ，有逆元的元素为 a,b c,d ，它们的逆
元分别为 a,d,c,b 。
14．n 个结点的树中有 n-1 条边。
.15．设{}0,1,2,3A =，A 上的关系为{0,1,0,2,0,3,1,2,1,3,R =<><><><><>
}2,3<>,若{}0,3m R =<>，则m ＝ 3 ;若,n R n φ==则 4 。
16．设{},,A a b c =，A 上的二元关系R={
17．I 是整数集，如果（I ，+）是群，那么（I ，+）的幺元是 0 ；n 是任意一
个整数，则n 的逆元是 -n 。
18．若集合A={1, 2, 3}上的二元关系R1和R2的关系图如下所示，
则R 1oR 2 = {<1,1>,<3,1>,<1,3>,<3，3>} 19．设 f ，g 是自然数集N 上的函数x x g x x f N x 2)(,1)(,=+=∈?，
则=)(x g f 2x+2 。
20．设A={a ，b ，c}，A 上二元关系R={< a, a > , < a, b >,< a, c >, < c, c>} ,
则s （R ）= {
21．A={1，2，3，4，5，6}，A 上二元关系}|,{是素数y x y x T ÷><=，则用列举法
T= {<2,1>,<3,1>,<5,1>,<4,2>,<6,2>,<6,3>} ；
T 的关系图为
；
T 具有 反自反，反对称，反传递 性质。
22．集合}}2{},2,{{Φ=A 的幂集A
2= {∮,{{2}}，{{∮，2}},{ {∮,2},{2} } 。
23．P ，Q 真值为0 ；R ，S 真值为1。则))()(())((S R Q P S R P wff ∧∧∨→∨∧的真值
为 1 。
24．求一个公式的主析取或主合取范式的方法，有__真值表___法和___等值演算_______法。
25．给定谓词合式公式A ，其中一部分公式形式为(x ?)B(x)或(?x)B(x)，则量词?，?后面
所跟的x 称为______指导变元_____，而称B 为相应量词的__辖域________。
26．集合X={a ，b ，c ，d}上二元关系R={，，，，， d>}，则R 的自反闭包r(R)= _{ { 29．一个__连通_______且___无回路_________的无向图称为树。 30．在简单无向图G= 33．设X={1，2，3}，f：X→X，g：X→X，f={<1, 2>,<2,3>,<3,1>}, g={<1,2>,<2,3>,<3,3>}，则f g=_{<1,3>,<2,3>,<3,2>}_______________， g f=_{<1,3>,<2,1>,<3,1>}_______________。 34．设A={a,b,c}，R是A上的二元关系，且给定R={ 35．设Q为有理数集，笛卡尔集S=Q×Q，*是S上的二元运算，? 36．设*是集合S上的二元运算，若运算*满足___结合律___________且存在___单位元_____，则称 37．如下无向图割点是__{d}______________，割边是__e5______________。 38．无向图G具有生成树，当且仅当_连通且无回路________。G的所有生成树中__权最小____的生成树称为最小生成树。 39．所谓__简单命题__是指不能再分解的命题，而复合命题是由一些_简单命题___经过联结词复合而成的命题。 40．在命题演算中，两个_命题___的合取、析取、条件、双条件均为_复合命题___。41．使公式)) A )x( )x ( ∧ ?成立的条件是_A___中不含y， ? ?)y(B)y (? (∧ A )x( y(B ? )( y x )( _B___中不含x。 42．设A={1，2，3，4}，R是A上的二元关系，R={ 4}__;ranR= {1,2}____。 43．设X={1，3，5，9，15，45}，R 是X 上的整除关系，则R 是X 上的偏序，其最大元是_45__，极小元是_1___。 44．树是不包含_回路____的_连通__图。 45.设F(x):x 是人，H(x,y):x 与y 一样高，在一阶逻辑中，命题“人都不一样 高”的符号化形式为_)),()()((y x H y F x F y x ?→∧??______ ___。 46.q p q p →?∧∨)(从公式分类角度来看，它为__重言式________式。 47.设R={<1,1>,<1,2>,<2,3>}，则R 的对称闭包是{<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>} 。 48．?∧?))()((x B x A x _)()()(x B x x xA ?∧?__________________。 49.设F(x):x 是人，H(x):x 呼吸，在一阶逻辑中，命题“凡人都呼吸”的符号 化形式为__))()()((x H x F x →?_____ _________。 50.一个3阶有向图的度序列是2，2，4，入度序列是2，0，2，出度序列是 0,2,2 。 51.一无向图存在生成树的充分必要条件是 无向图是连通图 。 52．量词否定等值式???)(x xA ___)(x A x ??________________。 53．设R 是A={1，2，3，4}上的二元关系,R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<3,4>},则R 的对称闭包是 {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>} 。 54．已知n 阶无向简单图G 有m 条边，则G 的补图有 (n(n-1)/2)-m 条边。 55．已知n 阶无向图G 中有m 条边，各顶点的度数均为3。又已知2n-3=m ， 则m= 9 . 56．设G 为9阶无向图，每个结点度数不是5就是6，则G 中至少有 2 个5度结 点。 57．有向图 中从v 1到v 2长度为2的通路有 0 条。 58．任何(n,m) 图G = (V,E) , 边与顶点数的关系是 ∑==n i m v d 12)( 。 59．已知一棵无向树T 有三个3顶点,一个2度顶点,其余的都是1度顶点, 则T 中有 2 个1度顶点。 60．n 阶完全图K n 的边数为 n(n-1)/2 。 的邻接矩阵A=????? ???????0110010000110101 61．右图 62．设< {a,b,c}, * >为代数系统，* 运算如下： 则它的幺元为 a ；零元为 c ； a 、 b 、 c 的逆元分别为 a b c 无逆元 。 63．设A={1，2，3，4}，A 上二元关系R={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>}画出R 的 关系图 。 64．设A={<1,2>,<2 , 4 >,<3 , 3 >} , B={<1,3>,<2,4>,<4,2>}, 则B A ?= {<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2>} 。 B A = {<1，4>,<2,2>} 。 65．设|A|=3，则A 上有 232 =512 个二元关系。 66．A={1，2，3}上关系R= {<1,1>,<2,2>,<3,3>} 时，R 既是对称的又是反 对称的。 67．偏序集><≤R A ,的哈斯图为， 则≤R = { 68．Q ：我将去上海，R ：我有时间，公式)()(Q R R Q →∧→的 自然语言为我在上海当且仅当我有空 。 69．若P ，Q 为二命题，Q P ?真值为1，当且仅当 P,Q 同为真命题或同为假命题 。 70．对公式),()),(),((y x xR z x zQ y x yP ?∨?∧?中自由变元进行代入的 公式为 ),()),(),((v x xR z u zQ y u yP ?∨?∧? 。 71．若R 是集合A 上的偏序关系，则R 满足 自反性 反对称性 传递性 。 72．设}2,121{Z x x x x M ∈≤≤=整除，被，}3,121{Z x x x x N ∈≤≤=整除，被， 则 =?N M {6，12} ，=-N M {2，4，8，10} 。 73．在一个有n 个元素的集合上，可以有 2n 2 种不同的关系，有 n n 种不同的函数。 74．若关系R 是反对称的，当且仅当关系矩阵中 以主对角线为对称的元素不能同时为1， 在关系图上 两个不同节点间的定向弧线，不可能成对出现 。 75．设f g 是一个复合函数，若g 和f 都是满射，则f g 为 满射 ， 若g 和f 都是单射，则f g 是 单射 。 76．设}4,}3{,,2{a A =，}1,4,3,}{{a B =，请在下列每对集合中填入适当的符号：?∈,。 （1）}{a ∈ B , (2) }}3{,4,{a ? A 。 77．设}1,0{=A ，N 为自然数集，???=是偶数。 ，是奇数，，x x x f 10)( 若A A f →：，则f 是 双射 射的，若A N f →： ，则f 是 满 射的。 78．设图G = < V ，E >中有7个结点，各结点的次数分别为2，4，4，6，5，5，2， 则G 中有 14 条边，根据 握手定理 。 79．两个重言式的析取是 重言式 ，一个重言式和一个矛盾式的合取是 矛盾式 。 80．设个体域为自然数集，命题“不存在最大自然数”符号化为 )(x y y x >?? 。 81、设I 为整数集合，}{} {}{5,3,1,20,,302=<=∈<=C x x x B I x x x A 是素数，，则 _______________)(=C B A {1,2,3,5} _______________)(=-C A B {1,3,5,7,11,13,17,19} _______________)(=-A C B Ф 82、设 离散数学试题库——填空题 （每空2分） 1 命题: ? ? {{a }} ? {{a },3,4,1} 的真值 = __ __ . 2. 设A= {a,b}, B = {x | x 2－(a+b) x+ab = 0}, 则两个集合的关系为: __ __. 3. 设集合A ＝{a ,b ,c },B ={a ,b }, 那么 P(B )－P(A )=__ __ . 4. 无孤立点的有限有向图有欧拉路的充分必要条件为: 5.公式))(),(()),()((x S z y R z y x Q x P x →?∨→?的自由变元是 , 约束变元是 . 6.)))()()(()),()(()((x R z Q z y x P y x →?→???的前束范式是 . 7．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+ x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶 数） 则 =?B A 。 8．A ，B ，C 。 9．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则 )()))(((S R P R Q P ?∨→?∧→∨?的真值= 。 10．公式P R S R P ?∨∧∨∧)()(的主合取范式为 。 11．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ?→? 在I 下真值为 。 12．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为 则 R 2 = 。 13．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为 则 R= 。 14．图的补图为。15．设A={a，b，c，d} ，A上二元运算如下： 那么代数系统 数理逻辑部分 选择、填空及判断 ?下列语句不就是命题的( A )。 (A) 您打算考硕士研究生不？ (B) 太阳系以外的星球上有生物。 (C) 离散数学就是计算机系的一门必修课。 (D) 雪就是黑色的。 ?命题公式P→(P∨?P)的类型就是( A ) (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?A就是重言式,那么A的否定式就是( A ) A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、不能确定 ?以下命题公式中,为永假式的就是( C ) A、p→(p∨q∨r) B、(p→┐p)→┐p C、┐(q→q)∧p D、┐(q∨┐p)→(p∧┐p) ?命题公式P→Q的成假赋值就是( D ) A、 00,11 B、 00,01,11 C、10,11 D、 10 ?谓词公式) x xP∧ ?中,变元x就是 ( B ) R , ( x ) (y A、自由变元 B、既就是自由变元也就是约束变元 C、约束变元 D、既不就是自由变元也不就是约束变元 ?命题公式P→(Q∨?Q)的类型就是( A )。 (A) 永真式 (B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式 ?设B不含变元x,) x x→ ?等值于( A ) A ) ( (B A、B (D、B x xA→ x ?) ( ( ?C、B x∧ A ?) (B、) ?) xA→ x ) ( A x (B x∨ ?下列语句中就是真命题的就是( D )。 A.您就是杰克不？ B.凡石头都可练成金。 C.如果2+2=4,那么雪就是黑的。 D.如果1+2=4,那么雪就是黑的。 ?从集合分类的角度瞧,命题公式可分为( B ) A、永真式、矛盾式 B、永真式、可满足式、矛盾式 C、可满足式、矛盾式 D、永真式、可满足式 ?命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。 A、﹁p∨q B、﹁(p∨q) C、﹁p∧q D、 p→﹁q ?一个公式在等价意义下,下面写法唯一的就是( D )。 (A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式 ?下列含有命题p,q,r的公式中,就是主析取范式的就是( D )。 离散数学试题(A卷及答案） 一、证明题（10分） 1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)?R 证明: 左端?(?P∧?Q∧R)∨((Q∨P)∧R)?((?P∧?Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)?(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R ?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∧R?T∧R(置换)?R 2)?x(A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x) 证明：?x(A(x)→B(x))??x(?A(x)∨B(x))??x?A(x)∨?xB(x)???xA(x)∨?xB(x)??xA(x)→?xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分） 证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)??(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) ?（?P∧(?Q∨?R)）∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q)∨(?P∧?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R))∨(?P∧?Q∧?R))∨(P∧Q∧R) ?m0∨m1∨m2∨m7 ?M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题（10分） 1）C∨D, (C∨D)→?E, ?E→(A ∧?B), (A∧?B)→(R∨S)?R∨S 证明：(1) (C∨D)→?E (2) ?E→(A∧?B) (3) (C∨D)→(A∧?B) (4) (A∧?B)→(R∨S) (5) (C∨D)→(R∨S) (6) C∨D (7) R∨S 2) ?x(P(x)→Q(y)∧R(x))，?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 证明（1）?xP(x) (2)P(a) (3)?x(P(x)→Q(y)∧R(x)) (4)P(a)→Q(y)∧R(a) (5)Q(y)∧R(a) (6)Q(y) (7)R(a) (8)P(a) (9)P(a)∧R(a) (10)?x(P(x)∧R(x)) (11)Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 四、设m是一个取定的正整数，证明：在任取m＋1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m的整数倍 证明设 1 a，2a，…，1+m a为任取的m＋1个整数，用m去除它们所得余数 只能是0，1，…，m－1，由抽屉原理可知， 1 a，2a，…，1+m a这m＋1个整 数中至少存在两个数 s a和t a，它们被m除所得余数相同，因此s a和t a的差是m的整数倍。 五、已知A、B、C是三个集合，证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) （15分）证明∵x∈ A-（B∪C）? x∈ A∧x?（B∪C）? x∈ A∧（x?B∧x?C）?（x∈ A∧x?B）∧（x∈ A∧x?C）? x∈（A-B）∧x∈（A-C）? x∈（A-B）∩（A-C）∴A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C） 六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：R={ 试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统 二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。 离散数学试题及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3},B={1,2},则A-B＝____________________; (A)-(B)＝__________________________. 2.设有限集合A,|A|=n,则|(A×A)|=__________________________. 3.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是 _______________________________________,其中双射的是 __________________________. 4.已知命题公式G＝(PQ)∧R，则G的主析取范式是 _______________________________ __________________________________________________________. 6设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从AB＝ _________________________;AB＝_________________________;A－B＝_____________________. 7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是 ______________________,________________________,__________________ _____________. 8.设命题公式G＝(P(QR))，则使公式G为真的解释有 __________________________， _____________________________,__________________________. 9.设集合A＝{1,2,3,4},A上的关系 R 1={(1,4),(2,3),(3,2)},R 2 ={(2,1),(3,2),(4,3)},则 离散数学考试题(后附详细答案) 一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分） 1.用命题逻辑把下列命题符号化 a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。 设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S表示命题“在家看报”，命题符号化为：（PQ）(PRS) b)我今天进城，除非下雨。 设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”，命题符号化为：Q→P或P→Q c)仅当你走，我将留下。 设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为：Q→P 2.用谓词逻辑把下列命题符号化 a)有些实数不是有理数 设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，命题符号化为： x(R(x) Q(x)) 或x(R(x) →Q(x)) b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。 设R(x)表示“x是实数”，E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为： x(R(x) E(x,0) →y(R(y) E(f(x,y),1)))) c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b. 设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“x∈A”, B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为：F(f)a(A(a)→b(B(b) E(f(a),b) c(S(c) E(f(a),c) →E(a,b)))) 二、简答题（共6道题，共32分） 1.求命题公式(P→(Q→R))(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。 （5分） (P→(Q→R))(R→(Q→P))（PQR）(PQR) (（PQR）→(PQR)) ((PQR) →（PQR）). (（PQR）(PQR)) ((PQR) （PQR）) (PQR)(PQR) 这是主合取范式 公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为 （PQR（PQR（PQR（PQR（PQR（PQR 2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分） a)xy(x+y=4) b)yx (x+y=4) a) T b) F 3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。（4分） x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x)) x(F(x)→G(x))→(yF(y)→zG(z)) x(F(x)→G(x))→yz(F(y)→G(z)) xyz((F(x)→G(x))→(F(y)→G(z))) 4.判断下面命题的真假，并说明原因。（每小题2分，共4分） 常熟理工学院20 ～20 学年第学期 《离散数学》考试试卷（试卷库01卷） 试题总分： 100 分考试时限：120 分钟 题号一二三四五总分阅卷人得分 一、单项选择题（每题2分，共20分） 1.下列表达式正确的有( ) （A）（B）（C）（D） 2.设P：2×2=5，Q：雪是黑的，R：2×4=8，S：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为 真。 （A）（B）（C）（D） 3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={ 1．n个命题变元组成的命题公式共有种不同的等价公式。 2．设〈L，≤〉为有界格，a为L中任意元素，如果存在元素b∈L,使，则称b是a 的补元。 3．设*，Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称运算*和运算Δ满足吸收律。 4．设T是一棵树，则T是一个连通且的图。 5．一个公式的等价式称作该公式的主合取范式是指它仅由组成。 6．量词否定等价式? ("x)P(x) ?，? ($x)P(x) ?。 7．二叉树有5个度为2的结点，则它的叶子结点数为。 8．设 《离散数学》考试题库及答案 一、 填空 10% （每小题 2分） 1、 若P ，Q 为二命题，Q P ?真值为1，当且仅当 。 2、 对公式),()),(),((y x xR z x zQ y x yP ?∨?∧?中自由变元进行代入的 公 式 为 。 3、 )) (()(x xG x xF ??∧?的 前 束 范 式为 。 4、 设x 是谓词合式公式A 的一个客体变元，A 的论域为D ，A （x ）关于y 的自由的， 则 被称为全称量词消去规则，记为US 。 5、 与非门的逻辑网络为 。 二、 选择 30% （每小题 3分） 1、 下列各符号串，不是合式公式的有（ ）。 A 、R Q P ?∧∧)(； B 、)()((S R Q P ∧→→； C 、R Q P ∧∨∨； D 、S R Q P ∨∧∨?))((。 2、 下列语句是命题的有（ ）。 A 、2是素数； B 、x+5 > 6； C 、地球外的星球上也有人； D 、这朵花多好看呀！。 3、 下列公式是重言式的有（ ）。 A 、)(Q P ??； B 、Q Q P →∧)(； C 、P P Q ∧→?)(； D 、P Q P ?→)( 4、 下列问题成立的有（ ）。 A 、 若C B C A ∨?∨，则B A ?； B 、若C B C A ∧?∧，则B A ?； C 、若B A ???，则B A ?； D 、若B A ?，则B A ???。 5、 命题逻辑演绎的CP 规则为（ ）。 A 、 在推演过程中可随便使用前提； B 、在推演过程中可随便使用前面演绎出的某些公式的逻辑结果； C 、如果要演绎出的公式为C B →形式，那么将B 作为前提，设法演绎出C ； 离散数学复习注意事项： 1、第一遍复习一定要认真按考试大纲要求将本学期所学习内容系统复习一遍。 2、第二遍复习按照考试大纲的要求对第一遍复习进行总结。把大纲中指定的例题及书后习题认真做一做。检验一下主要内容的掌握情况。 3、第三遍复习把随后发去的练习题认真做一做，检验一下第一遍与第二遍复习情况，要认真理解,注意做题思路与方法。 离散数学综合练习题 一、选择题 1．下列句子中，（）是命题。 A．2是常数。B．这朵花多好看呀！ C．请把门关上！D．下午有会吗？ 2．令p: 今天下雪了，q:路滑，r:他迟到了。则命题“下雪路滑，他迟到了” 可符号化为（）。 A. p q r ∨→ ∧→ B. p q r C. p q r ∨? ∧∧ D. p q r 3．令:p今天下雪了，:q路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（）。 A.p q ∧ ∧? B.p q C.p q →? ∨? D. p q 4．设() Q x:x会飞，命题“有的鸟不会飞”可符号化为（）。 P x:x是鸟，() A. ()(()()) Q x ??∧()) x P x Q x ??→ B. ()(() x P x C. ()(()()) Q x ??∧()) x P x Q x ??→ D. ()(() x P x 5.设() L x y：x大于等于y；命题“所有整数 f x:x的绝对值，(,) P x:x是整数，() 的绝对值大于等于0”可符号化为（）。 A. (()((),0)) ?→ x P x L f x ?∧B. (()((),0)) x P x L f x C. ()((),0) ?→ xP x L f x ?∧ D. ()((),0) xP x L f x 6.设() F x:x是人，() G x:x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（）。 A．(()()) ??→? x F x G x ?∧B．(()()) x F x G x C．(()()) ??∧? x F x G x ??∧D．(()()) x F x G x 7.下列命题公式不是永真式的是（）。 A. () p q p →→ →→ B. () p q p C. () →∨ p q p p q p ?∨→ D. () 8．设() R x:x为有理数；() Q x:x为实数。命题“任何有理数都是实数”的符号化为（） 离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B ＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________， _____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。 离散数学测试题 一．选择题（10*2） 1.设L (x )：x 是演员，J (y )：y 是老师，A (x ,y )：x 佩服y. 那么命题“所有演员都佩服某些老 师”符号化为( ) (A) ),()(y x A x xL →? (B) ))),()(()((y x A y J y x L x ∧?→? (C) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧?? (D) )),()()((y x A y J x L y x →∧?? 2.令F(x):x 是有理数，G(x):x 是实数。将命题“所有的有理数都是实数，但有的有实数不是有理数”符号化为 （ ） A.?x(F(x)∧G(x))∧?x(G(x)→?F(x)) B.?x(F(x)→G(x))∧?x(G(x)∧?F(x)) C.?x(F(x)∧G(x))∧?x(G(x)∧?F(x)) D.?x(F(x)→G(x))∧?x(G(x)→?F(x)) 3．设R 是集合A={a,b,c,d}上的二元关系， R={ 9.给定算式: {[(a ＋b)＊c]＊(d ＋e)}＋[f －(g ＊h)] 此算式的波兰符号表示式为( ), 逆波兰符号表示式为( ). A 、＋＊＊a ＋bc ＋def －g ＊h B 、＋＊＊＋abc ＋de －f ＊gh C 、＊－＊＋abc ＋de －fgh ＋ D 、ab ＋c ＊de ＋＊fgh ＊－＋ 10．设R,Z,N 分别为实数,整数和自然数集，函数f ：R →R ，f(x)＝x ，f 是（ ）; g: Z →N, g(x)＝|x|, g 是( ); h: N →N ×N. h(n)＝﹤n,n ＋1﹥,h({5})＝( ) A ．满射函数 B ．单射函数 C ．双射函数 D ．非单射非满射 E. 满射非单射 F.单射非满射 G ,<5,6> H,{<5,6>} J,以上答案都不对. 11. 75个学生去书店买语文,数学,英语书,每种书每个学生至多买1本.已知20个学生每人 买3本书,55个学生每人至少买2本书.每本书的价格都是1元,所有学生总共花费 140元,恰好买2本书的有( )多少个学生.至少买2本书的学生花费( )元.买 1本书的有( )个学生.至少买1本书的有( )个学生.没买书的有( )个学生. A.55 B.40 C.35 D.15 E.30 F.130 G.65 H.140 J.60 K.10 12. 为每个逻辑断言选择正确的解释。T(x)：x 今天来上课，S(x)：x 学计算机专业的学生， P(x)：x 编程序，G(x)：x 玩游戏。个体域是殷都大学。 ?x T(x)表示（ ），??x T(x)表示（ ），?x ? T(x)表示（ ），?x(S(x)→P(x))表示（ ），?x(S(x)∧G(x))表示（ ），?x(S(x)∧P(x))表示（ ），?x(S(x)→G(x))表示（ ）。 A 学计算机专业的学生会编程序， B 殷都大学的学生都是计算机专业且会编程序。 C 有些计算机专业的学生玩游戏， D 所有同学今天都来上课了， E 今天有同学没来上课。 F 计算机专业的学生玩游戏， G 今天没有同学来上课。 二、计算与应用题（共40分） 1. S={ 1，2，…，10 }，定义S 上的关系R={ 离散数学练习题 第一章 一．填空 1.公式) ∨ ? ∧的成真赋值为 01；10 ? p∧ ( (q ) p q 2.设p, r为真命题，q, s 为假命题，则复合命题) ? ? →的真值为 0 p→ ( q (s ) r 3.公式) ∨ ? p∧ q ?与共同的成真赋值为 01；10 ? ∧ p ( ) ) (q q p ( 4.设A为任意的公式，B为重言式，则B A∨的类型为重言式 5．设p, q均为命题，在不能同时为真条件下，p与q的排斥也可以写成p与q的相容或。 二．将下列命题符合化 1. 7不是无理数是不对的。 解：) ? ?，其中p: 7是无理数；或p，其中p: 7是无理数。 (p 2.小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。 解：其中 ?p: 小刘怕吃苦，q：小刘很爱钻研 p∧ ,q 3.只有不怕困难，才能战胜困难。 解：p →，其中p: 怕困难，q: 战胜困难 q? 或q →，其中p: 怕困难， q: 战胜困难 p? 4.只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。 解：) → ?，其中p: 别人有困难，q:老王帮助别人，r: 困难解决了 p (q r→ 或：q ?) (，其中p:别人有困难，q: 老王帮助别人，r: 困难解决了r→ ∧ p 5.整数n是整数当且仅当n能被2整除。 解：q p?，其中p: 整数n是偶数，q: 整数n能被2整除 三、求复合命题的真值 P：2能整除5， q：旧金山是美国的首都， r：在中国一年分四季 1. )) p∧ → q ∨ r → ∧ ((q r ( ) ( ) p 2.r ?) → (( → (( ∨ ) ( )) p r p ∨ p q ? ∧ ? q∧ 解：p, q 为假命题，r为真命题 1.)) p∧ → q ∨的真值为0 r → ∧ ( ) ( ) ((q p r 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝{3} ; ?(A) - ?(B)＝ {3},{1,3},{2,3},{1,2,3}} . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|?(A×A)| = 2 2n. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是?1= {(a,1), (b,1)}, ?2= {(a,2), (b,2)},?3= {(a,1), (b,2)}, ?4= {(a,2), (b,1)}, 其中双射的是?3, ?4 . 4. 已知命题公式G＝?(P?Q)∧R，则G的主析取范式是(P∧?Q∧R) 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为12，分枝点数为 3. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝{4} ; A?B＝{1,2,3,4}; A－B＝{1,2} . 7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是自反性, 对称性 传递性. 8. 设命题公式G＝?(P?(Q?R))，则使公式G为真的解释有(1, 0, 0), (1, 0, 1),(1, 1, 0) 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R2 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1?R2 = {(1,3),(2,2),(3,1)} , R2?R1 = {(2,4),(3,3),(4,2)} _R12 ={(2,2),(3,3). 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |?(A?B)| = . 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x?R}, B = {x | 0≤x < 2, x?R},则A-B = -1<=x<0 , B-A = {x | 1 < x < 2, x?R} , A∩B ={x | 0≤x≤1, x?R} , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除关系，则R以集合形式(列举法)记为 {(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)} . 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)??xQ(x)，则G的前束范式是?x(?P(x)∨Q(x)) . 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加21 条边才能把G变成完全图。(完全图的边数 2)1 (- n n ，树的边数为n-1) 16.设谓词的定义域为{a, b},将表达式?xR(x)→?xS(x)中量词消除，写成与之对应的命题公式是_ (R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)) _. 《离散数学》练习题和参考答案 一、选择或填空（数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式?x((A(x)→B(y，x))∧?z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是 （4）是，T （5）不是（6）不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） P Q→ ?（2）Q P? →（3）Q P? ?（4）Q P→ ? 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) ?x?y(x+y=0) (2) ?y?x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) ?x?y (xy=y) ( ) (2) ?x?y(x+y=y) ( ) (3) ?x?y(x+y=x) ( ) (4) ?x?y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（） (1) 永真式(2) 永假式(3) 可满足式(4) (1)--(3)均有可能答：（2） 13、公式(?P∧Q)∨(?P∧?Q)化简为（），公式 Q→(P∨(P∧Q))可化简为（）。答：?P ，Q→P 14、谓词公式?x(P(x)∨?yR(y))→Q(x)中量词?x的辖域是（）。答：P(x)∨?yR(y) 15、令R(x):x是实数，Q(x):x是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为（）。 《离散数学》题库答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式 x((A(x) B(y ，x)) z C(y ，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） P Q →? （2） Q P ?→ （3） Q P ?? （4）Q P →? 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。 答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（ ） (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答：（2） 13、公式(?P ∧Q)∨(?P ∧?Q)化简为（ ），公式 Q →(P ∨(P ∧Q))可化简为（ ）。 答：?P ，Q →P 离散数学考试试题(A卷及答案） 一、证明题（10分） 1) (P∧Q∧A C)∧(A P∨Q∨C ) (A∧(P Q ))C。P<->Q=(p->Q)合取（Q->p） 证明: (P∧Q∧A C)∧(A P∨Q∨C) (P ∨Q ∨A∨C)∧(A∨P∨Q∨C) ((P ∨Q ∨A)∧(A∨P∨Q))∨C反用分配律 ((P∧Q∧A)∨(A ∧P ∧Q))∨C ( A∧((P∧Q)∨(P ∧Q)))∨C再反用分配律 GAGGAGAGGAFFFFAFAF ( A∧(P Q))∨C (A∧(P Q ))C 2) (P Q)P Q。 证明：(P Q)((P∧Q))(P ∨Q))P Q。 二、分别用真值表法和公式法求(P(Q∨R))∧(P∨(Q R))的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值（15分）。 主析取范式与析取范式的区别：主析取范式里每个括号里都必须有全部的变元。 主析取范式可由析取范式经等值演算法算得。 GAGGAGAGGAFFFFAFAF 证明： 公式法：因为(P(Q ∨R))∧(P∨(Q R)) (P∨Q∨R)∧(P∨(Q ∧R )∨(Q ∧R)) (P∨Q ∨R)∧(((P∨Q)∧(P ∨R ))∨(Q ∧R ))分配律 (P∨Q∨R)∧(P∨Q ∨Q)∧(P∨Q ∨R)∧(P∨R ∨Q)∧(P∨R ∨R) (P∨Q ∨R)∧(P∨Q ∨R )∧(P ∨Q∨R) M∧5M∧6M使（非P析取Q析取R）为0 4 GAGGAGAGGAFFFFAFAF 所赋真值，即100，二进制为4 GAGGAGAGGAFFFFAFAF100道离散数学填空题分解
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