江苏专用2020年高考数学一轮复习考点14导数的应用必刷题含解析.doc

考点14 导数的应用

1．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）已知e 为自然对数的底数，函数

()2

x f x e ax =-的

图像恒在直线

3

2y ax

=

上方，则实数a 的取值范围为_______．

【答案】(

1

2,0e -?-?

【解析】因为函数()2

x

f x e ax =-的图像恒在直线3

2

y ax =

上方， 所以x R ?∈，2

32x e ax ax >

-恒成立，即：232x e a x x >+?

? ??

?恒成立.

当0a >时，若x →-∞，0x e →，2

32a x x ?

?

→+∞ ??

?

+

， 不满足232x

e a x x >+?? ??

?恒成立.

当0a =时，2

3020x

e x x ??

? ?

>=??

+

恒成立. 当0a <时，不等式2

32x

e a x x >+

??

??

?

恒成立等价于： 2min

312x x x a e ??+ ? ? ?

??<， 记

()232x

x x e h x +

=

，则()(

)312x

h x e x x ?

?+- ???'=-， 此时，()h x 在(),1-∞-上递减，在31,

2?

?- ?

?

?上递增，在3,2??

+∞ ???

上递减，其简图如下：

所以

()()()

()12

min 13

112

2e h x h e -+-?-=-=

=-， 所以

12

a e

<-，又0a <， 解得：02

e

a -

<<. 综上所述：02

e

a -

<≤． 2．（江苏省苏州市2019届高三下学期阶段测试）若函数在其定义域上恰有两个零点，

则正实数a 的值为_____. 【答案】

【解析】当x≤0时，f （x ）＝x+2x ，单调递增， f （﹣1）＝﹣1+2﹣1＜0，f （0）＝1＞0，

由零点存在定理，可得f （x ）在（﹣1，0）有且只有一个零点； 则由题意可得x ＞0时，f （x ）＝ax ﹣lnx 有且只有一个零点， 即有a

有且只有一个实根．

令g （x ），g′（x ），

当x ＞e 时，g′（x ）＜0，g （x ）递减； 当0＜x ＜e 时，g′（x ）＞0，g （x ）递增． 即有x ＝e 处取得极大值，也为最大值，且为，当x

如图g （x ）的图象，当直线y ＝a （a ＞0）与g （x ）的图象

只有一个交点时，则a．

故答案为：．

3．（江苏省扬州市2018-2019学年度第一学期期末检测试）若存在正实数x，y，z满足，且，则的最小值为_______．

【答案】

【解析】

【分析】

由?，又ln ln（）＝ln ln e ln，令，则

ln e ln et﹣lnt，t，f（t）＝et﹣lnt，利用函数求导求最值．

【详解】

∵正实数x，y，z满足3y2+3z2≤10yz，

∴?，

∵，∴ln e，

ln ln（）＝ln ln e ln，

令，

则ln e ln et﹣lnt，t，

f（t）＝et﹣lnt，

f′（t）＝e0，则t，

可得f（t）在（）递减，在（）递增，

∴f（t）min＝f（）＝1﹣（﹣1）＝2，

即（ln）min＝2，

∴的最小值为e2，

故答案为：e2．

4．（江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港))2019届高三年级第一次质量检测）已知，，

，且，则的最小值为_________．

【答案】

【解析】

令，，

，，

在上递减，在上递增，

所以，

当时，有最小值：

所以，的最小值为

故答案为：．

5．（江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研考试）已知数列

满足（），（）．

（1）若，证明：是等比数列；

（2）若存在，使得，，成等差数列．

①求数列的通项公式；

②证明：．

【答案】（1）见解析；（2）①，②见解析

【解析】（1）由，得，得，即，

因为，所以，所以（），

所以

是以为首项，2为公比的等比数列．

（2）① 设，由（1）知，， 所以，即，

所以．因为，，成等差数列，

则

，所以

，所以

，

所以，即．

② 要证，

即证，即证

．

设

，则

，且

，

从而只需证，当

时，

． 设

（

），

则，所以在上单调递增，

所以，即，因为，所以，

所以，原不等式得证．

6．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）已知数列{}n a ，12a =，且2

11n n n a a a +=-+对任

意n N *∈恒成立．

（1）求证：112

211n n n n a a a a a a +--=+(n N *∈)；

（2）求证：11n

n a n +>+(n N *∈)． 【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】（1）①当1n =时，2

2

21112213a a a =-+=-+= 满足211a a =+成立.

②假设当n k =时，结论成立.即：112211k k k k a a a a a a +--=+成立

下证：当1n k =+时，1

12211k k k k a a a a a a +-+=+成立。

因为()2

11211111k k k k k a a a a a +++++=-+-+=

()()11221112

211111k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +--+--=+=++-

即：当1n k =+时，112211k k k k a a a a a a +-+=+成立

由①、②可知，112

211n n n n a a a a a a +--=+(n *N ∈)成立。

（2）（ⅰ）当1n =时，2

21

221311a >=-=++成立，

当2n =时，()2

322222

172131112a a a a a =-+=-+=>?>++成立，

（ⅱ）假设n k =时（3k ≥），结论正确，即：11k

k a k +>+成立 下证：当1n k =+时，()

1

211k k a k ++>++成立.

因为()()

2211112

111111k

k

k

k k k k k k a a a a a k k k

k +++++-+==-+>++=++

要证()

1

211k k a k ++>++，

只需证()1

2111k k k k k k +++>++

只需证：()

1

21k k k k ++>，

只需证：()

1

2ln ln 1k k k k ++>

即证：()()12l l n n 10k k k k -++>（3k ≥） 记()()()2ln 11ln h x x x x x -++=

∴()()()()2ln 1112ln 11ln ln x x x x h x +-++=-++???

=?' 21ln 1ln 12111x x x x ??=+=++-+ ?++??

当12x +≥时，1111ln 121ln 221ln 1ln 10122x x e ?

???

++

-+≥+-+=+>+= ? ?+?

???

所以()()()2ln 11ln h x x x x x -++=在[

)1,+∞上递增，

又()6

4

23ln34ln3ln 34ln729ln2564l 0n h ?-=-=->=

所以，当3x ≥时，()()30h x h ≥>恒成立。 即：当3k ≥时，()()30h k h ≥>成立。

即：当3k ≥时，()()12l l n n 10k k k k -++>恒成立. 所以当3k ≥，()

1

211k k a k ++>++恒成立.

由（ⅰ）（ⅱ）可得：对任意的正整数n *∈N ，不等式11n

n a n +>+恒成立，命题得证.

7．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）已知函数()()2

2ln f x x a x a x =+--，其中a ∈R ．

（1）如果曲线()y f x =在x ＝1处的切线斜率为1，求实数a 的值； （2）若函数()f x 的极小值不超过

2

a

，求实数a 的最小值； （3）对任意1x ∈[1，2]，总存在2x ∈[4，8]，使得()1f x ＝()2f x 成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）

32；（2）2；（3）1677

2ln273ln2

a ≤≤++

【解析】（1）由题可得：()()22a

f x x a x

'=+--

，所以()()122f a a '=+-- 又曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为1，所以()()1221f a a '=+--=， 解得：32

a =

（2）()()()()()221222220a x x x a x a a f x x a x x x x

?

?+- ?+--??'=+--==

> 因为函数()f x 的极小值不超过

2

a

，说明函数()f x 有极小值 则02

a

>，其极小值()2

2ln 24

222a a

a a a f a a ??=+-?-≤ ???

即：

1ln 0242

a a

--≤ 记：()1ln 242

a a

h a =

--，上述不等式可转化成()0h a ≤

当2a =时，()122

2ln 0242

h =

--=， 要使得()0h a ≤，则()()2h a h ≤ 因为()11

04h a a

'=-

-<恒成立， 所以()h a 在()0,∞+上递减，

∴2a ≥

所以实数a 的最小值为2

（3）记()f x 在[]

1,2x ∈的值域为A ，()f x 在[]4,8x ∈的值域为B 对任意[]11,2x ∈，总存在[]24,8x ∈，使得()()12f x f x =成立， 则A ?B 成立

()()()

2120a x x f x x x

?

?+- ?

??'=> （Ⅰ）当

12

a

≤时，()f x 在[]1,8递增，不满足A ?B （Ⅱ）当122a <<时，()f x 在1,2a ??????递减，在,82a ??

????

递增，不满足A ?B （Ⅲ）当242

a

≤

≤时，()f x 在[]1,2递减，在[]4,8递增， 要使得A ?B ，则()()()()2418f f f f ?≥??≤??

即：442ln 21684ln 4

1264168ln8

a a a a a a a +--≥+--??

+-≤+--?

整理得：

16

82ln 2

a ≤≤+

（Ⅳ）当482a <

<时，()f x 在1,2a ??????递减，在,82a ??

????

递增， 要使得A ?B ，则()()81f f ≥

即：64168ln812a a a +--≥+- 整理得：77

873ln 2

a <≤

+

（Ⅴ）当

82

a

≥时，()f x 在[]1,8递减，，不满足A ?B . 综上所述：

1677

2ln 273ln 2

a ≤≤++．

8．（江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考）某鲜花小镇圈定一块半径为1百米的圆形荒地，准备建成各种不同鲜花景观带．为了便于游客观赏，准备修建三条道路AB ，BC ，CA ，其中A ，B ，C 分别为圆上的三个进出口，且A ，B 分别在圆心O 的正东方向与正北方向上，C 在圆心O 南偏西某一方向上．在道路AC 与

BC 之间修建一条直线型水渠MN 种植水生观赏植物黄鸢尾（其中点M ，N 分别在BC 和CA 上，且M 在圆心O

的正西方向上，N 在圆心O 的正南方向上），并在区域MNC 内种植柳叶马鞭草．

（1）求水渠MN 长度的最小值；

（2）求种植柳叶马鞭草区域MNC 面积的最大值（水渠宽度忽略不计）． 【答案】（1）

百米；（2）

平方米.

【解析】（1）以圆心为原点，建立平面直角坐标系，则圆的方程为

设点，

直线的方程为，令，得

直线的方程为

，令

，得

所以

令

，

即，

则

令，得

当时，，则单调递减；

当时，，则单调递增；

所以当时，

所以

水渠长度的最小值为百米

（2）由（1）可知，，，且

则

设，因为，所以所以，

所以当时，

种植柳叶马鞭草区域面积的最大值为平方百米另法：（2）因为，所以

由

所以

设，因为，所以

所以，

所以当时，

种植柳叶马鞭草区域面积的最大值为平方百米．

9．（江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟）已知函数．（1）讨论的单调性；

（2）设的导函数为，若有两个不相同的零点．

①求实数的取值范围；

②证明：．

【答案】（1）见解析（2）①，②见解析

【解析】

（1）的定义域为，且．

当时，成立，所以在为增函数；

当时，

（i）当时，，所以在上为增函数；

（ii）当时，，所以在上为减函数．

（2）①由（1）知，当时，至多一个零点，不合题意；

当时，的最小值为，

依题意知，解得．

一方面，由于，，在为增函数，且函数的图

象在上不间断．

所以在上有唯一的一个零点．

另一方面，因为，所以．

，令，

当时，，

所以

又，在为减函数，且函数的图象在上不间断．所以在有唯一的一个零点．

综上，实数的取值范围是．

②设．

又则．

下面证明．

不妨设，由①知．

要证，即证．

因为，在上为减函数，

所以只要证．

又，即证．

设函数．

所以，所以在为增函数.

所以，所以成立．

从而成立.

所以，即成立.

10．（江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港))2019届高三年级第一次质量检测）如图，某公园内有两条道路，，现计划在上选择一点，新建道路，并把所在的区域改造成绿化区域．已

知，．

（1）若绿化区域的面积为1，求道路的长度；

（2）若绿化区域改造成本为10万元/，新建道路成本为10万元/．设（），

当为何值时，该计划所需总费用最小？

【答案】（1）（2）

【解析】（1）因为在中，已知，，

所以由的面积，

解得．

在中，由余弦定理得：

，

所以．

（2）由，则，．

在中，，，由正弦定理得，

所以，．

记该计划所需费用为，

则．

令，则， 由，得．所以当

时，

，

单调递减；

当时，

，

单调递增．

所以

时，该计划所需费用最小．

11．（江苏省淮安市淮安区2019届高三第一学期联合测试）已知函数，

R ．

（1）当a ＝2时，求函数的单调区间；

（2）若函数

在

处取得极值，对(0，

)，

恒成立，求实数b 的取值范围．

【答案】（1）递增区间为，单调减区间为；（2）

【解析】（1）在区间

上，

令，则.

令，则

.

从而函数

的递增区间为

，函数的单调减区间为

. （2）因为函数在处取得极值，所以

，解得

.

因为对恒成立

即

对

恒成立.

令，， 易得

在

上递减，在

上递增

所以，即．

12．（江苏省苏北四市2019届高三第一学期期末考试考前模拟）设区间[]-33D =，，定义在D 上的函数()()310,f x ax bx a b R =++>∈集合(){},0A a x D f x =?∈≥

()

1若1

6

b =，求集合A ()2设常数0b <.

①讨论()f x 的单调性； ②若1b <-，求证A =? 【答案】（1）1

{|0}54

A a a =<≤（2）①见解析；②见证明 【解析】 （1）当16b =

时，()3116f x ax x =++，则()2

136

f x ax +'=． 由0a >可知()0f x '>恒成立，故函数()f x 在[]

33-，

上单调递增， 所以()()min 132702f x f a =-=-+≥，解得1

054

a <≤， 所以集合1{|0}54

A a a =<≤

（2）① 由()3

1f x ax bx =++得()2

3f x ax b '=+，

因为00a b ><，，则由()0f x '=，得1,212)x x x =<． 在R 上列表如下：

（ⅰ）当23x ≥，即027

a <≤-

时， 则][1233x x ??-???，，，所以()f x 在[]

33-，

上单调递减； （ⅱ）当23x <，即27

b

a >-

时，此时13x >-， ()f x 在[]13x -，和[]23x ，上单调递增；在()12x x ，上单调递减．

综上，当027

b

a <≤-

时，()f x 在[]33-，

上单调递减；

当27b

a >-时，()f x 在3?--??，

，3???上单调递增；

在? ?上单调递减 ②（方法一）当1b <-时，由①可知， （ⅰ）当027

b

a <≤-

时，()f x 在[]33-，

上单调递减， 所以()()min 32731312110f x f a b b b b ==++≤-++=+<-<， 这与()0x D f x ?∈≥，恒成立矛盾，故此时实数a 不存在；

（ⅱ）当27b

a >-时，()f x 在3?--??，

，3???上单调递增；

在? ?上单调递减， 所以()()(){}

2min min 3f x f f x ，=-．

若()327310f a b -=--+<，这与()0x D f x ?∈≥，恒成立矛盾， 故此时实数a 不存在；

若()327310f a b -=--+>，此时()3

2221f x ax bx =++，

又()2

2230f x ax b '=+=，则2

23

b ax =-

，

()3

222

22221111133bx b f x ax bx x bx ??

=++=-++=+== ???

．

下面证明10<，也即证：3427b a ->．

因为27

b

a >-

，且27310a b --+>，则2731a b <-+， 下证：3431b b ->-+．

令()3

431(1)g b b b b =-+<-，则()2

1230g b b -'=>，

所以()g b 在(]

,1-∞-上单调递增，所以()()10g b g <-=，即()20f x <． 这与()0x D f x ?∈≥，恒成立矛盾，故此时实数a 不存在．

综上所述，A =?．

（方法二）（ⅰ）当0x =时，()010f =≥成立；

（ⅱ）当(]

0,3x ∈时，由题意可知31ax bx ≥--恒成立，则23

1

b a x x ≥-

-， 设()231b g x x x =-

-，则()3

44

2323

b bx g x x x x ='+=+， 令()0g x '=，解得3

2x b =-．

因为1b <-，所以3

032b

<-<， 所以()g x 在302b ??- ???，

上单调递增，在332b ，

??

- ???

上单调递减， 所以()333max

3484292727b b b g x g b ??=-=-+=- ???

，所以3

427b a ≥-；

（ⅲ）当[

)30x ∈-，

时，由题意可知31ax bx ≥--恒成立，则23

1

b a x x ≤--． 设()231b g x x x =-

-，则()344

2323

b bx g x x x x

='+=+， 因为1b <-，所以()0g x '>恒成立，所以()g x 在[

)3,0-上单调递增， 所以()()min 1

3927

b g x g =-=-+， 所以1927

b a ≤-

+． 若A ≠?，则存在实数a 满足341

27927

b b a -≤≤-+

， 则341

27927

b b -≤-+成立，即34310b b -+≥，

也即()()2

1210b b +-≥成立，

则1b ≥-，这与1b <-矛盾，所以A =?．

13．（江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形

，

的长分别为

和

，上部是圆心为的劣弧

，

．

（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；

（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设与地面水平线所成的角为．记拱门上的点到地面的最大距离为，试用的函数表示，并求

出的最大值．

【答案】（1）拱门最高点到地面的距离为．（2），其最大值为

【解析】

（1）如图，过作与地面垂直的直线交于点，交劣弧于点，的

长即为拱门最高点到地面的距离．

在中，，，

所以，圆的半径．

所以．

答：拱门最高点到地面的距离为．

（2）在拱门放倒过程中，过点作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点．

当点在劣弧上时，拱门上的点到地面的最大距离等于圆的半径长与圆心到地面距离之和；

当点在线段上时，拱门上的点到地面的最大距离等于点到地面的距离．

由（1）知，在中，．

以为坐标原点，直线为轴，建立如图所示的坐标系．

当点在劣弧上时，．

由，，

由三角函数定义，

得，

则．

所以当即时，

取得最大值．

当点在线段上时，．设，在中，

，

．

由，得．

所以．

又当时，．所以在上递增．

所以当时，取得最大值．

因为，所以的最大值为．

综上，艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（）．

14．（江苏省扬州市2018-2019学年度第一学期期末检测试）已知函数f(x)＝(3－x)e x，g(x)＝x＋a(a∈R)(e 是自然对数的底数，e≈2.718…)．

(1)求函数f(x)的极值；

(2)若函数y＝f(x)g(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围；

(3)若函数h(x)＝在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值，并且函数h(x)的极大值小于整数b，求b的最小值．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）4

【解析】

（1），，令，解得，列表：

∴当时，函数取得极大值，无极小值

（2）由，得

∵，令，

∴函数在区间上单调递增等价于对任意的，函数恒成立

∴，解得．

（3），

令，

∵在上既存在极大值又存在极小值，∴在上有两个不等实根，

高考数学导数的解题技巧

2019年高考数学导数的解题技巧高考导数题主要是考查与函数的综合，考查不等式、导数的应用等知识，难度属于中等难度。 都有什么题型呢？ ①应用导数求函数的单调区间，或判定函数的单调性； ②应用导数求函数的极值与最值； ③应用导数解决有关不等式问题。 有没有什么解题技巧啦？ 导数的解题技巧还是比较固定的，一般思路为 ①确定函数f(x)的定义域（最容易忽略的，请牢记）； ②求方程f′(x)=0的解，这些解和f(x)的间断点把定义域分成若干区间； ③研究各小区间上f′(x)的符号，f′(x)＞0时，该区间为增区间，反之则为减区间。 从这两步开始有分类讨论，函数的最值可能会出现极值点处或者端点处，多项式求导一般结合不等式求参数的取值范围，根据题目会有一定的变化，那接下来具体总结一些做题技巧。 技巧破解+例题拆解 1．若题目考察的是导数的概念，则主要考察的是对导数在一点处的定义和导数的几何意义，注意区分导数与△y/△x 之间的区别。

观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。

高考数学导数题型归纳

导数题型归纳 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 解法二：分离变量法： ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三：变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.

2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数

2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数

2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一． 选择题： 1.（全国一1 ）函数y =的定义域为（ C ） A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥ D ．{}|01x x ≤≤ 2.（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ A ） 3.（全国一6）若函数(1)y f x =- 的图像与函数ln 1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ B ） A ．21x e - B ．2x e C ．21x e + D ．22x e + 4.（全国一7）设曲线11x y x += -在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 5.（全国一9）设奇函数()f x 在(0)+∞， 上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ D ） A ．(10)(1)-+∞，， B ．(1)(01)-∞-， ， C ．(1)(1)-∞-+∞， ， D ．(10)(01)-，， 6.（全国二3）函数1()f x x x = -的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 A B C D

C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称 8.（全国二4）若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，， ，，，则（ C ） A ．a > B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 10.（北京卷3）“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ B ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 11.（四川卷10）设()()sin f x x ω?=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f = （Ｄ）()'00f = 12.（四川卷11）设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( C ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213 13.（天津卷3）函数1y =04x ≤≤）的反函数是A （A ）2(1)y x =-（13x ≤≤） （B ）2(1)y x =-（04x ≤≤） （C ）21y x =-（13x ≤≤） （D ）21y x =-（04x ≤≤） 14.（天津卷10）设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值集合为B （A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3} 15.（安徽卷7）0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ B ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 16.（安徽卷9）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-，

高考数学真题导数专题及答案

2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）2（a﹣2）﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）2﹣﹣，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）﹣1﹣． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）321（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）2+2，g（x）（﹣2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

） 10．已知函数f（x）3﹣2，a∈R， （1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，≤1．已知函数f（x）3﹣6x2﹣3a（a﹣4），g（x）（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f（x）在0处的导数等于0； （）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）（﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

函数与导数大题部分-高考数学解题方法归纳总结专题训练

专题03 函数与导数大题部分 【训练目标】 1、 理解函数的概念，会求函数的定义域，值域和解析式，特别是定义域的求法； 2、 掌握函数单调性，奇偶性，周期性的判断方法及相互之间的关系，会解决它们之间的综合问题； 3、 掌握指数和对数的运算性质，对数的换底公式； 4、 掌握指数函数和对数函数的图像与性质； 5、 掌握函数的零点存在定理，函数与方程的关系； 6、 熟练数形结合的数学思想在解决函数问题的运用； 7、 熟练掌握导数的计算，导数的几何意义求切线问题； 8、 理解并掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数分析函数的单调性，会根据单调性确定参数的取 值范围； 9、 会利用导数求函数的极值和最值，掌握构造函数的方法解决问题。 【温馨小提示】 本章内容既是高考的重点，又是难点，再备考过程中应该大量解出各种题型，总结其解题方法，积累一些常用的小结论，会给解题带来极大的方便。 【名校试题荟萃】 1、（2019届新余四中、上高二中高三第一次联考）已知函数 .,R n m ∈ （1）若函数()x f 在()()2,2f 处的切线与直线0=-y x 平行，求实数n 的值； （2）试讨论函数()x f 在区间[)+∞,1上最大值； （3）若1=n 时，函数()x f 恰有两个零点，求证：221>+x x 【答案】（1）6n =（2）1ln m n --（3）见解析 【解析】（1）由， ，由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行， 故 2 14 n -=，解得6n =。 （2） ，由()0f x '<时，x n >；()0f x '>时，x n <，所以 ①当1n ≤时，()f x 在[)1,+∞上单调递减，故()f x 在[)1,+∞上的最大值为 ；

高考真题理科数学导数

2012年高考真题理科数学解析汇编：导数与积分 一、选择题 1 ．（2012年高考（新课标理））已知函数1 ()ln(1)f x x x = +-;则()y f x =的图像大致为 2 ．（2012年高考（浙江理））设a >0,b >0. （ ） A ．若2223a b a b +=+,则a >b B ．若2223a b a b +=+,则a b D ．若2223a b a b -=-,则a

5 ．（2012年高考（山东理））设0a >且1a ≠,则“函数()x f x a =在R 上是减函数 ”,是 “函数3 ()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6 ．（2012年高考（湖北理））已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴 所围图形的面积为 （ ） A ． 2π 5 B ． 43 C ． 32 D ． π2 7 ．（2012年高考（福建理））如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点 P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ） A ． 14 B ． 15 C ． 16 D ． 17 8 ．（2012年高考（大纲理））已知函数3 3y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个 公共点,则c = （ ） A ．2-或2 B ．9-或3 C ．1-或1 D ．3-或1 二、填空题 9 ．（2012年高考（上海理））已知函数 )(x f y =的图像是折线段ABC ,若中 A (0,0), B (21,5), C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ . 10．（2012年高考（山东理））设0a >.若曲线y x = 与直线,0x a y ==所围成封闭图形 的面积为2 a ,则a =______. 11．（2012年高考（江西理））计算定积分 1 21 (sin )x x dx -+=? ___________. 12．（2012年高考（广东理））曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为 ___________________. 三、解答题 13．（2012年高考（天津理））已知函数 ()=ln (+)f x x x a -的最小值为0,其中>0a . (Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2 ()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值; 1-y x O 第3题图 1 1

高考文科数学专题复习导数训练题文

欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。 二、经典例题剖析 考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以 答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。 考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案： 学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数

高考数学解题技巧大揭秘专题函数导数不等式的综合问题

专题五 函数、导数、不等式的综合问题 1.已知函数f (x )＝ln x ＋k e x (k 为常数，e ＝ 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间； (3)设g (x )＝xf ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，证明：对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2 . 解 (1)由f (x )＝ ln x ＋k e x ， 得f ′(x )＝1－k x －xln x xe x ，x ∈(0，＋∞)， 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1. (2)由(1)得f ′(x )＝ 1 xe x (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)， 令h(x )＝1－x －xln x ，x ∈(0，＋∞)， 当x ∈(0,1)时，h(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h(x )＜0. 又e x ＞0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0. 因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)因为g(x )＝xf ′(x )， 所以g(x )＝1 e x (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)， 由(2)得，h(x )＝1－x －xln x ， 求导得h′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －ln e －2 )． 所以当x ∈(0，e －2 )时，h′(x )＞0，函数h(x )单调递增； 当x ∈(e －2 ，＋∞)时，h′(x )＜0，函数h(x )单调递减． 所以当x ∈(0，＋∞)时，h(x )≤h(e －2 )＝1＋e －2 . 又当x ∈(0，＋∞)时，0＜1 e x ＜1， 所以当x ∈(0，＋∞)时，1e x h(x )＜1＋e －2，即g(x )＜1＋e －2 . 综上所述结论成立．

人教版2017年高考数学真题导数专题

2017年高考真题导数专题 　 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围． 5．设函数f（x）=（1﹣x2）e x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x （x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数． （Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；

（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 8．已知函数f（x）=e x cosx﹣x． （1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值． 9．设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数． （Ⅰ）求g（x）的单调区间； （Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且 ∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥． 10．已知函数f（x）=x3﹣ax2，a∈R， （1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x） =e x f（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0； （ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

高考题汇编2010-全国高考数学真题--第21题导数

2017-2019年全国高考数学真题--第21题导数 2018年：设函数2 ()1x f x e x ax =---。 （1）若0a =， 求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时()0f x ≥， 求a 的取值范围 2019年：已知函数ln ()1a x b f x x x = ++， 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=． （I ）求,a b 的值； （II ）如果当0x >， 且1x ≠时， ln ()1x k f x x x >+-， 求k 的取值范围． 2019年： 已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-． （Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间； （Ⅱ）若b ax x x f ++≥2 2 1)(， 求b a )1(+的最大值．

2019： 一卷：已知函数()f x ＝2 x ax b ++， ()g x ＝()x e cx d +， 若曲线()y f x =和 曲线()y g x =都过点P (0， 2)， 且在点P 处有相同的切线42y x =+ （Ⅰ）求a ， b ， c ， d 的值； （Ⅱ）若x ≥－2时， ()f x ≤()kg x ， 求k 的取值范围． 2019一卷：设函数1 ()ln x x be f x ae x x -=+， 曲线()y f x =在点（1， (1)f 处的切线为 (1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >． 2015一卷：已知函数3 1 ()4 f x x ax =++ ， ()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时， x 轴为曲线()y f x = 的切线； （Ⅱ）用min {},m n 表示m ， n 中的最小值， 设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x ， 讨论()h x 零点的个数．

高考数学专题导数题的解题技巧

第十讲 导数题的解题技巧 【命题趋向】导数命题趋势： 综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点： （1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题. （2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题. 【考点透视】 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2007年北京卷）()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2 2 ()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=Q 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实 数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.

高考数学理科导数大题目专项训练及答案

高一兴趣导数大题目专项训练 班级 姓名 1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+（其中e 为自然对数的底，a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）试问：是否存在实数0a <，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）设ln ||()||x g x x =（[,0)(0,]x e e ∈- ），求证：当1a =-时，1 |()|()2 f x g x >+； 2. 若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足： ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知 2()h x x =，()2ln x e x ?=（其中e 为自然对数的底数）． (1)求()()()F x h x x ?=-的极值； (2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

3. 设关于x 的方程012 =--mx x 有两个实根α、β，且βα<。定义函数.1 2)(2+-= x m x x f （I ）求)(ααf 的值；（II ）判断),()(βα在区间x f 上单调性，并加以证明； （III ）若μλ,为正实数，①试比较)(),( ),(βμ λμβ λααf f f ++的大小； ②证明.|||)()(|βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f 4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值. （I ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间； （II ）是否存在实数m ，使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -< 21[(2)]1m a m e -+++恒成立，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由． 5．若函数()()2 ln ,f x x g x x x ==- （1）求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间； （2）若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围.

高考理科数学全国卷三导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析 已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- （1） 若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2） 若0x =是()f x 的极大值点，求a . 考点分析 综合历年试题来看，全国卷理科数学题目中，全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中，很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问，主要通过函数的单调性证明不等式，第2小问以函数极值点的判断为切入点，综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题，对思维能力（化归思想与分类讨论）的要求较高。 具体而言，第1问，给定参数a 的值，证明函数值与0这一特殊值的大小关系，结合函数以及其导函数的单调性，比较容易证明，这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式，比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点，把ln(1)x +前面的系数化为1，判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系，仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数，解法更加容易，思维比较巧妙。总体来讲，题目设置比较灵活，不同能力层次的学生皆可上手。 理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系：对于任意函数，在极值点，导函数一定等于0么（存在不存在）？导函数等于0的点一定是函数的极值点么？因此，任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中，0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增)，对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减)，因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围，所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上，可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求，难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况，非常巧妙，但是思维跨度比较大，在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是，官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视，这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现，这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势，对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高，符合高考命题的思想。 下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。

高考导数题的解题技巧绝版

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导数题的解题技巧 导数命题趋势： （1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题. （2）求极值,证明不等式， 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 【考点透视】 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2007年北京卷）()f x '是31 ()213 f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2 2()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+= 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若 M P,则实数a 的取值范围是 ( )

A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由0,,1;, 1. 1 x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时 综上可得M P 时, 1.a ∴> 考点2 曲线的切线 （1）关于曲线在某一点的切线 求曲线y=f(x)在某一点P （x,y ）的切线，即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线 若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题 例3.（2007年湖南文）已知函数3211 ()32 f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各 有一个极值点． （I ）求24a b -的最大值； （II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点 A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式． 思路启迪：用求导来求得切线斜率. 解答过程：（I ）因为函数3211 ()32 f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一 个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根， 设两实根为12x x ，（12x x <），则2214x x a b -=-，且2104x x <-≤．于是 2044a b <-，20416a b <-≤，且当11x =-， 23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．

高三数学导数压轴题

导数压轴 一．解答题（共20小题） 1．已知函数f（x）＝e x（1+alnx），设f'（x）为f（x）的导函数． （1）设g（x）＝e﹣x f（x）+x2﹣x在区间[1，2]上单调递增，求a的取值范围； （2）若a＞2时，函数f（x）的零点为x0，函f′（x）的极小值点为x1，求证：x0＞x1． 2．设． （1）求证：当x≥1时，f（x）≥0恒成立； （2）讨论关于x的方程根的个数． 3．已知函数f（x）＝﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1（a∈R）．

（1）当a＝1时，判断g（x）＝e x f（x）的单调性； （2）若函数f（x）无零点，求a的取值范围． 4．已知函数． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若存在成立，求整数a的最小值．5．已知函数f（x）＝e x﹣lnx+ax（a∈R）．

（Ⅰ）当a＝﹣e+1时，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）当a≥﹣1时，求证：f（x）＞0． 6．已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax﹣1． （Ⅰ）若f（x）在定义域内单调递增，求实数a的范围； （Ⅱ）设函数g（x）＝xf（x）﹣e x+x3+x，若g（x）至多有一个极值点，求a的取值集合．7．已知函数f（x）＝x﹣1﹣lnx﹣a（x﹣1）2（a∈R）．

（2）若对?x∈（0，+∞），f（x）≥0，求实数a的取值范围． 8．设f′（x）是函数f（x）的导函数，我们把使f′（x）＝x的实数x叫做函数y＝f（x）的好点．已知函数f（x）＝． （Ⅰ）若0是函数f（x）的好点，求a； （Ⅱ）若函数f（x）不存在好点，求a的取值范围． 9．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+2（a为常数）．

(word完整版)高考导数解答题中常见的放缩大法

(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法 相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为 sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>. 将这些不等式简单变形如下： ex x ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。 例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(?≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。 放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x 高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。 第一组：对数放缩 （放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ??<-> ???，()11ln 012x x x x ??>-<< ??? ， ) ln 1x x <>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102 x x x x +≤--<<，()()21ln 102 x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x ≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+ 第二组：指数放缩

校级：高考数学试题导数内容探究

高考数学试题导数内容探究 现代中学数学组陈永生 导数是研究函数的工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值；以导数为工具，通过观察、分析三次函数图像的变化趋势，寻找临界状况，并以此为出发点进行推测、论证，实现对考生创造能力的考查是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商知识结合起来，以解答题形式综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。 《课程标准》中导数的内容有：导数概念及其几何意义、导数的运算、导数在研究函数中的应用、生活中的优化问题举例、（理科）定积分与微积分基本定理。文、理科考查形式略有不同。理科基本以一个解答题的形式考查。文科以一个选择题或填空题和一个解答题为主。从新课程高考分析，对导数的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念、求导公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用,包括求切线方程、求函数的单调区间, 求函数的极值；第三层次是综合考查,包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机的结合在一起，设计综合试题。本文以高考试题为例，谈谈高考导数的热点问题，供鉴赏。 一、函数，导数，不等式综合在一起，解决单调性，参数的范围等问题。解决单调性问题转化为解含参数的一元二次不等式或高次不等式的问题；求解参数的取值范围问题转化为不等式的恒成立，能成立，恰成立来求解。进一步转化求函数的最值或一元二次不等式在给定区间上（或实数集 ）上的恒成立问题来解决，从而达到考查分类与整合、化归与转化的数学思想。