当前位置：文档视界 › 对数平均不等式学生

对数平均不等式学生

对数平均不等式学生Newly compiled on November 23, 2020

对

数平均不等式

1.定义：设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b a b

+->>-ln ln a b a b -- 为对数平均数. 2.几何解释：反比例函数()()10f x x x =>的图象，如图所示，AP BC TU KV

||||||，

MN CD x ||||轴， (),0,A a 1,,P a

a ?? ???()1,0,,B

b Q b b ?? ???,,T 作()f x 在点

2,2a b K a b +?? ?+??

处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知，变形公式： )0.()(2ln ln >≥+-≥-b a b

a b a b a 3.典例剖析

对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的．

（一） 0ln ln b a

b a a b a 的应用

例1 （2014年陕西）设函数

)1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数．

（1）（2）（略）

（3）设+∈N n ，比较()()()12g

g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明． .

（二）220ln ln b b a b a b a 的应用

例2 设数列{}n a 的通项(n a =，其前n 项的和为n S ，证明：()ln 1n S n <+．（三） 02ln ln a b b a b a b a 的应用

例3. 设数列{}n a 的通项111123n a n

=++++，证明：()ln 21n a n <+．

（四） 2011ln ln b a b a b a a b 的应用

例 4. （2010年湖北）已知函数0b

f x ax c a x 的图象在点1,1f 处的切线方程为1y x ．（1）用a 表示出,b c ；（2）（略）

（3）证明：1111ln 11.2321n n n n n （五） 0ln ln b a ab b a b a 的应用

例5. （2014福建预赛）已知1()ln(1)311

f x a x x x =+++-+．（1）（略）（2）求证：

()222223411ln 21411421431414n n n +++++>+?-?-?-?-对一切正整数n 均成立．

强化训练

1. （2012年天津）已知函数()()()ln 0f x x x a a =-+>的最小值为0．

（1）（2）（略）（3）证明：()()12ln 212*.21

n i n n N i =-+<∈-∑ 2.（2013年新课标Ⅰ）已知函数

()()()1ln 11x x f x x x λ+=+-+．（1）若0x ≥时, ()0,f x ≤求λ的最小值；

（2）设数列{}n a 的通项111123

n a n =++++，证明：21ln 24n n a a n -+>．

对数平均数

高考又见对数平均数在历年的高考压轴题中我们总是能见到对数平均数的影子。2018年高考理科数学全国Ⅰ卷的压轴题最后一问，实际上就是对数平均数不等式的应用。加强对对数平均数的理解，无疑能对我们解决压轴题有很大的帮助。对于a>b>0，我们把 b a b a ln ln --称作a 与 b 的对数平均数，并且有：算术平均数>对数平均数>几何平均数，即： 2b a +>b a b a ln ln -->a b 证明方法Ⅰ（几何证明）：如图，分别过A(a,0)、B(b,0)、C( 2b a +,0)、D(ab ,0)作x 轴的垂线，与函数y=x 1 交于F 、G 、E 、H 四点，过E 作函数的切线，分别与BG 、AF 交于M 、N 两点。比较曲边四边形GBAF 的面积S 1与梯形MBAN 的面积S 2，得S 1>S 2，其中： S 1=?a b dx x 1 =ln a-ln b ，

S 2= 2AN BM +?AB=CE ?AB=b a +2 ?(a-b) ∴ ln a-ln b>b a +2 ?(a-b) 即：2b a +>b a b a ln ln --……① 比较梯形GBDH 的面积S 3与曲边四边形GBDH 的面积S 4，得S 3>S 4，其中： S 3=21 (GB+HD)?BD=21(b 1+ab 1)(ab -b)=ab b a 2- S 4=?ab b dx x 1=ln ab -ln b= 2ln ln b a +-ln b=2 ln ln b a - ∴ ab b a 2->2ln ln b a - 即： b a b a ln ln -->a b ……② 综合①②，得：2b a +>b a b a ln ln -->a b (a>b>0) 证明方法Ⅱ（函数证明）：令f(x)= 2ln x +1 2 +x -1 (x>1)，则有： f`(x)=x 21 -2 )1(1+x =22)1(24)1(+-+x x x x =22)1(2)1(+-x x x >0 ∴ f(x)>f(1)=0，即： 2ln x +1 2 +x -1>0，令x=b a ，代入整理得： 2ln ln b a ->b a b a +- 即：2b a +>b a b a ln ln --……① 令g(x)=x-2?ln x-x 1 (x>1)，则有： g`(x)=1-x 2+21x =22 )1(x x ->0 ∴ g(x)>g(1)=0，即x-2?ln x-x 1 >0，令x= b a ，代入整理得：ab b a ->ln a-ln b

对数平均不等式学生

对数平均不等式 1.定义：设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b a b +->>-ln ln a b a b -- 为对数平均数. 2.几何解释：反比例函数()()10f x x x =>的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||， MN CD x ||||轴， (),0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???,,T 作()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+?? 处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知，变形公式： )0.()(2ln ln >≥+-≥-b a b a b a b a 3.典例剖析对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的．（一） ()0ln ln b a b a a b a ->>>-的应用例1 （2014年陕西）设函数 )1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数．（1）（2）（略）（3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n +++L 与()n f n -的大小，并加以证明． . （二） ()0ln ln b a b a b a ->>-的应用例 2 设数列{} n a 的通项n a =，其前n 项的和为n S ，证明：()ln 1n S n <+．

（三） ()02ln ln a b b a b a b a +->>>-的应用例3. 设数列{}n a 的通项111123n a n =++++L ，证明：()ln 21n a n <+．（四） ()2011ln ln b a b a b a a b ->>>-+的应用例4. （2010年湖北）已知函数()()0b f x ax c a x =++>的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-．（1）用a 表示出,b c ；（2）（略）（3）证明：()() ()1111ln 11.2321n n n n n ++++>++?+L （五） )0ln ln b a b a b a ->>>-的应用例5. （2014福建预赛）已知1()ln(1)311f x a x x x =++ +-+．（1）（略）（2）求证：()222223411ln 21411421431414 n n n +++++>+?-?-?-?-L 对一切正整数n 均成立．强化训练 1. （2012年天津）已知函数()()()ln 0f x x x a a =-+>的最小值为0．（1）（2）（略）（3）证明：()()12ln 212*.21 n i n n N i =-+<∈-∑ 2.（2013年新课标Ⅰ）已知函数()()()1ln 11x x f x x x λ+=+-+．

对数平均数的不等式链的几何解释及应用

对数平均数的不等式链的几何解释及应用中学数学教育专家安振平先生在剖析2014年陕西高考数学试题时指出，其压轴题的理论背景是：设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b ab a b +->>-，其中ln ln a b a b --被称之为对数平均数. 童永奇老师构造函数，借助于导数证明了对数平均数的上述不等式，难度较大，为此，我作了深入地探讨，给出对数平均数的不等关系的几何解释，形象直观，易于理解. 1 对数平均数的不等关系的几何解释反比例函数()()1 0f x x x = >的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||，MN CD x ||||轴，(),0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???,1,,T ab ab ?? ???作()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+?? 处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知，因为ABNM ABQP ABFE S S S >=矩形曲边梯形梯形，所以 ()12 ln ln ,b a dx b a b a x a b =->-+ò ① 又1 ln ln ab AUTP a S dx ab a x = =-ò 曲边梯形， ()11 ln ln 22ABQP b a S = -=曲边梯形， () 11111 222AUTP ABCD b a S ab a S a ab ab 骣-÷?=+ -=?÷?÷?桫梯形梯形，

根据右图可知，AUTP AUTP S S <曲边梯形梯形，所以ln ln b a b a ab --<， ② 另外，ABQX ABYP ABQP ABQP S S S S <<<矩形矩形曲边梯形梯形，可得： ()()()11111 ln ln ,2b a b a b a b a b a b a 骣÷?-<-<+-<-÷?÷?桫 ③ 综上，结合重要不等式可知： ()()()()211111 ln ln 2b a b a b a b a b a b a b a b a b a ab 骣--÷?-<<-<<+-<-÷?÷?桫+，即()2011 2ln ln a b b a b ab a b a b a a b +-> >>> >>>-+. ④ 2 不等式链的应用对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的． 2.1 ()0ln ln b a b a a b a -> >>-的应用例1（2014年陕西）设函数)1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数．（1）（2）（略）（3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n +++ 与()n f n -的大小，并加以证明．解析（3）因为()1x g x x = +，所以()()()121111223123 1n g g g n n n n ??+++= +++=-+++ ?++?? ，而()()ln 1n f n n n -=-+，因此，比较()()()12g g g n +++ 与()n f n -的大小，即只需比较 1 1 3121++++n 与()ln 1n +的大小即可．根据0b a >>时，ln ln b a b b a ->-，即()1ln ln , b a b a b -<- 令,1,a n b n = =+则 ()1 ln 1ln ,1 n n n <+-+ 所以1ln 2ln1ln 22<-=，1ln 3ln 23<-，1 , ln(1)ln 1 n n n <+-+ ，

对数平均数的不等式链的几何解释及应用

对数平均数的不等式链的几何解释及应用 [文档副标题] [日期] [公司名称] [公司地址]

对数平均数的不等式链的几何解释及应用中学数学教育专家安振平先生在剖析2014年陕西高考数学试题时指出，其压轴题的理论背景是：设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b a b +->>-ln ln a b a b --被称之为对数平均数. 童永奇老师构造函数，借助于导数证明了对数平均数的上述不等式，难度较大，为此，我作了深入地探讨，给出对数平均数的不等关系的几何解释，形象直观，易于理解. 1 对数平均数的不等关系的几何解释反比例函数()()1 0f x x x = >的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||，MN CD x ||||轴， () ,0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???, ,T 作()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+??处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知，因为ABNM ABQP ABFE S S S 矩形曲边梯形梯形，所以 1 2ln ln ,b a dx b a b a x a b ① 又1ln ln ab AUTP a S dx ab a x 曲边梯形， 1 1 ln ln 2 2 ABQP b a S 曲边梯形， 1111 222 AUTP ABCD S ab a S a ab ab 梯形梯形，

根据右图可知， AUTP AUTP S S 曲边梯形梯形，所以ln ln b a ab ， ② 另外，ABQX ABYP ABQP ABQP S S S S 矩形矩形曲边梯形梯形，可得： 11111ln ln ,2b a b a b a b a b a b a ③ 综上，结合重要不等式可知： 211111ln ln 2b a b a b a b a b a b a b a b a ab ，即20112 ln ln a b b a b ab a b a b a a b . ④ 2 不等式链的应用对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的． 2.1 0ln ln b a b a a b a 的应用例1,,（2014年陕西）设函数)1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数．（1）（2）（略）（3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n ++ +与()n f n -的大小，并加以证明．解析,,（3）因为()1x g x x =+，所以()()()121111223 123 1n g g g n n n n ?? ++ += +++ =-+++ ?++?? ，而()()ln 1n f n n n -=-+，因此，比较()()()12g g g n +++与()n f n -的大小，即只需比较 1 13121++++n 与()ln 1n +的大小即可．根据0b a 时， ln ln b a b b a ，即1ln ln , b a b a b 令,1,a n b n 则 1 ln 1 ln ,1 n n n 所以 1ln 2ln1ln 22<-=，1 ln 3ln 23 <-，1 , ln(1)ln 1 n n n <+-+，

对数平均不等式 - 学生

对数平均不等式 1.定义：设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b a b +->>-ln ln a b a b -- 为对数平均数. 2.几何解释：反比例函数()()10f x x x = >的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||，MN CD x |||| 轴， (),0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???,,T 作()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+??处的切线分别与 ,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知，变形公式： )0.()(2ln ln >≥+-≥-b a b a b a b a 3.典例剖析对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的．（一） ()0ln ln b a b a a b a ->>>-的应用例1 （2014年陕西）设函数 )1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数．（1）（2）（略）（3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n +++L 与()n f n -的大小，并加以证明． . （二）()0ln ln b a b a b a ->>-的应用例2 设数列{} n a 的通项n a =，其前n 项的和为n S ，证明：()ln 1n S n <+．（三） ()02ln ln a b b a b a b a +->>>-的应用

(完整版)极值点偏移问题专题——对数平均不等式

极值点偏移——对数平均不等式（本质回归）笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：，不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题．对数平均不等式：对于正数，，且，定义为，的对数平均值，且，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为．先给出对数平均不等式的多种证法．证法1（对称化构造）设，则，，构造函数，则．由得，且在上，在上，为的极大值点．对数平，等价于，这是两个常规的极值点偏移问题，留给读者尝试．证法2（比值代换）令，则，构造函数可证．证法3（主元法）不妨设， 1 1 1ln 2e e 2ln b a b a a a b b ab ab b a b a b a b a b b b a a a ---??-+?? < <<<<< ? ?+ -?? ??a b a b ≠ln ln a b a b --a b ln ln 2 a b a b a b -+< -()()(),,,G a b L a b A a b <<0 ln ln a b R a b -= >-ln ln k a k b a b -=-ln ln k a a k b b -=-()ln f x k x x =-()()f a f b =()1k f x x '= -()0f k '=()f x ()0,k Z (),k +∞]x k =()f x 2a b k +<< 2 2a b k ab k +>??()()11ln ln 2ln 2 b t b t a b a b a b t -+-+<

对数平均数不等式链的几何证明及变式探究

对数平均数不等式链的几何证明及变式探究中学数学教育专家安振平在剖析2013年陕西高考数学压轴题时指出，其理论背景是：设0b a >>，则211 2ln ln a b b a b ab a b a a b +-> >>> >-+，其中 ln ln a b a b --被称为“对数平均数”. 安振平老师通过构造函数，借助导数，证明了上述对数平均数不等式链，难度较大.基于此，笔者进行了深入的探讨，给出对数平均数不等式链的几何证明，形象直观，易于理解. 1 对数平均数不等式链的几何证明如图，先画反比例函数()()1 0f x x x = >的图象，再画其他的辅助线，其中AP BC TU KV ||||||，MN CD x ||||轴，(),0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???,1,T ab ab ?? ? ? ?.设函数()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+?? 处的切线分别与直线,AP BQ 交于点,E F ，则根据左图可知：因为ABNM ABQP ABFE S S S >=矩形曲边梯形梯形，所以 ()12 ln ln b a dx b a b a x a b =->-+ò . ① 因为1 ln ln ab AUTP a S dx ab a x = =-ò 曲边梯形()11ln ln 22ABQP b a S =-=曲边梯形， () 11111 222AUTP ABCD b a S ab a S a ab ab 骣-÷?=+ -=?÷?÷?桫梯形梯形，

而根据右图可知：AUTP AUTP S S <曲边梯形梯形，所以ln ln b a b a ab --<. ② 另外，根据ABQX ABYP ABQP ABQP S S S S <<<矩形矩形曲边梯形梯形，可得： ()()()11111 ln ln 2b a b a b a b a b a b a 骣÷?-<-<+-<-÷?÷?桫 . ③ 综上，结合重要不等式可知： ()()()()211111 ln ln 2b a b a b a b a b a b a b a b a b a ab 骣--÷?-<<-<<+-<-÷?÷?桫+，即()2011 2ln ln a b b a b ab a b a b a a b +-> >>> >>>-+. ④ 2 对数平均数不等式链的变式探究近年来，以对数平均数不等式链为落点的压轴试题层出不穷，如2010年湖北卷、2012年天津、2013年新课标Ⅰ、2014年陕西卷、2014福建预赛、2014年绵阳一、三诊、2015合肥最后一卷等等，因此关注对数平均数不等式链的变式探究是十分必要的. 为了行文叙述的方便，将对数平均数不等式链中的不等式 2ln ln a b b a b a +->-，记为①式；将ln ln b a ab b a -> -，记为②式；将2 11 ln ln b a b b a a b -> >-+，记为③式. 变式探究1：取12,a x b x ==，则由①知： 1221 21 2ln ln +-> -x x x x x x .于是，可编制如下试题：已知210>>x x ，求证：212112 2()ln ln --> +x x x x x x . 变式探究2：取12,a x b x ==，则由②知： 21 1221 ln ln ->-x x x x x x .于是，可编制如下试题：已知 210>>x x ，求证：21 2112 ln ln --< x x x x x x . 变式探究3：取12,a x b x ==，则由③知：2122112 2 11 ln ln -> > -+x x x x x x x .于是，可编制如下试题：已知210>>x x ，求证：22 12121212 1ln ln 2--<-< x x x x x x x x .

极值点偏移问题专题(五)——对数平均不等式(本质回归)

极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归）笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链： 1 1 1 ln 2 e e 2 ln b a b a a a b b ab ab b a b a b a b a b b b a a a - - - ?? -+ ?? <<<<<< ? ? +- ???? ，不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题．对数平均不等式：对于正数a，b，且a b≠，定义 ln ln a b a b - - 为a，b的对数平均值，且 ln ln2 a b a b a b -+ << - ，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为 ()()() ,,, G a b L a b A a b <<．先给出对数平均不等式的多种证法．证法1（对称化构造）设0 ln ln a b R a b - => - ，则l n l n k a k b a b -=-， ln ln k a a k b b -=-，构造函数()ln f x k x x =-，则()() f a f b =．由()1 k f x x '=-得 ()0 f k '=，且() f x在() 0,k 上，在() ,k+∞ 上，x k =为() f x的极大值点．对数平均不等式即 2 a b k + <，等价于 2 2 a b k ab k +> ? ?< ? ，这是两个常规的极值点偏移问题，留给读者尝试．证法2（比值代换）令1 a t b => ，则 ()() 11 ln ln2ln2 b t b t a b a b a b t -+ -+ <，

对数平均不等式在极值点偏移中应用

对数平均不等式的典型应用极值点偏移问题的母题对数、指数平均不等式与高考中的一类热点,即极值点的偏移(类对称或淮对称)问题具有深该的内在联系,利用对数与指数平均不等式可建立极值点的偏移母题如下. [母题结构]:(Ⅰ)(对数模型)设P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)是函数f(x)=mlnx+ax 2+bx+c(m ≠0)图像上的任意两点,则当m>0 时,f '( 221x x +)k PQ ; (Ⅱ)(指数模型)设P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)是函数f(x)=me x +ax 2 +bx+c(m ≠0)图像上的任意两点,则当m>0时,f '(2 2 1x x +)k PQ . [母题解析]:(Ⅰ)由f(x)=mlnx+ax 2+bx+c ? f '(x)= x m +2ax+b ?f '(221x x +)=212x x m ++a(x 1+x 2)+b;又由k PQ =2 121) ()(x x x f x f --= m ? 2121ln ln x x x x --+a(x 1+x 2)+b ?k PQ -f '(221x x +)=m(2121ln ln x x x x ---212x x +),由对数平均不等式:2b a +>b a b a ln ln --? 2 12 1ln ln x x x x --> 2 12 x x +?当m>0时,f '(221x x +)k PQ ; (Ⅱ)由f(x)=me x +ax 2 +bx+c ?f '(x)=me x +2ax+b ?f '(2 21x x +)=me 2 21x x ++a(x 1+x 2)+b;又由k PQ =2121)()(x x x f x f --=m ?2 121x x e e x x --+ a(x 1+x 2)+b ?k PQ -f '(221x x +)=m(2 12 1x x e e x x ---e 2 21x x +),由指数平均不等式:b a e e b a -->e 2 b a +? 2 12 1x x e e x x -->e 2 21x x +?当m>0时, f '( 221x x +)k PQ . 1.对数模型子题类型Ⅰ:(2011年辽宁高考试题)已知函数f(x)=lnx-ax 2 +(2-a)x. (Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设a>0,证明:当0f(a 1 -x); (Ⅲ)若函数y=f(x)的图像与x 轴交于A,B 两点,线段AB 中点的横坐标为x 0,证明:f '(x 0)<0. [解析]:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),由f(x)=lnx-ax 2+(2-a)x ? f '(x)=- x x 1 2+(ax-1);①当a ≤0时,f '(x)>0?f(x)在(0,+∞)上递增;②当a>0时,f(x)在(0, a 1)上递增,在(a 1 ,+∞)递减; (Ⅱ)令g(x)=f( a 1+x)-f(a 1-x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax,则g '(x)=ax a +1+ax a -1-2a=222 312x a x a ->0?g(x)在[0,a 1)上递增?g(x)>g(0)=0?f( a 1+x)>f(a 1 -x); (Ⅲ)设A(x 1,0),B(x 2,0),则k AB =0,由f '(2 2 1x x +)

对数平均不等式在极值点偏移中应用

对数平均不等式的典型应用极值点偏移问题的母题对数、指数平均不等式与高考中的一类热点，即极值点的偏移(类对称或淮对称)问题具有深该的内在联系，利用对数与指数平均不等式可建立极值点的偏移母题如下 . ［母题结构］:(I )(对数模型)设P(X 1 ,y 1 ) > Q(X 2 ,y 2 )是函数f(x)=mlnx+ax 2+bx+c(m 工0)图像上的任意两点，则当m>0 时，f ( △ 丝)k PQ ； 2 2 X +ax 2+bx+c(m ^ 0)图像上的任意两点，则当m>0时，「(空竺)0 时，f I X1;X 2 )vk PQ 当 mv0 时，超X 12X 2)>k PQ ; f ( X 12X 2 g 当 mv0 时，f (X 12X 2) >k P 。 1. 对数模型子题类型I ：(2011年辽宁高考试题)已知函数f(x)=lnx-ax 2+(2-a)x. (I )讨论f(x)的单调性； 1 1 1 (n )设 a>0,证明：当 0f( — -x); a a a (山)若函数y=f(x)的图像与x 轴交于A,B 两点，线段AB 中点的横坐标为X o ,证明: 在(0,+ 3)上递增；②当a>0时,f(x)在(0, 1)上递增，在(丄,+ 3)递减; a 1 1 (n )令 g(x)=f( +x)-f( -x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax, a a — — 1 1 增二 g(x)>g(0)=0 二 f( - +x)>f( --x); a a (山)设 A(X 1,0),B(x 2,0),贝U k AB =0,由「(丝三)k PQ . (I )由 f(x)=mlnx+ax 2+bx+c=. f (x)= m +2ax+b 二 f (亠竺)==+a(x 1+x?+b;又由 k PQ = f(x)」匈= x 2 X 1 - X 2 )=m( ln X 1」nx 2 x 1 亠x 2 X -X 2 +a(x 1+xd+b =. k pQ - f ( t X 2 )=m( ln —nX 2 - 2 ),由对数平均不等式：a 巾? a -b X ［ -X 2 ■ 2 x^ -X 2 为亠 X 2 ln x 1 _lnx 2 > X 1 丸 (n )由 f(x)=me X +ax 2 +bx+c - f (x)=me X +2ax+b - f ( X 1 ' x 2 )=me 2 2 +a(X i +X 2)+b;又由 X 1 X 2 X 1 X 2 1 a(x 1+X 2)+b =. k p? f ( x ^ )=m( e —-e 2 ),由指数平均不等式： 2 为7 e a _e b a _b >e a ：；b —二 k PQ =f (x 1)-f (x 2)=m.e X1-e X 2 + X ［ —X 2 X 1 X 2 X 1 佻 >e_ X 1 -X 2 =当m>0时, X 1 -,-x 2 f (x o )0 =f(x) +亠-2a=空爲 1 -ax 1 _a 2x 2 —— 1 >0= g(x )在［0, 一 )上递 a

对数平均不等式

对数平均不等式引申：已知a>b>0,求证：ab b a b a b a >--> +ln ln 2 对数平均值的不等式链：对数平均不等式灵活变形： ()1 21212122ln ln ,01x x x x x x x x +-> ->>求证：、已知 2、1 22 1ln ,0+>+>x x x x 求证：已知被称之对数平均值）其中 b a b a ln ln (- -

3、a x a x x a a x ) 2(2ln )ln(,20-> --<<求证：已知 4、2 11221212) (2)1ln()1ln(,10x x x x x x x x --->---<<<求证：已知 5、2 11212 12ln ,0x x x x x x x x -<>>求证：已知 6、x x x x x x 1 ln 1)121-<<+->（，求证：若 1) 1ln()1ln(171212121 212+++>+-+-->>x x x x x x x x x x ，求证：、若 2 12 12 21221122ln ln 1,08x x x x x x x x x x -< -<->>求证：、已知 9、2 1 2121 21 2122,x x x x x x e x x e e e e x x +>-->+>求证：若

对数平均不等式的应用： 1、设函数 ()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()f x 是()f x 的导函数. 设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n +++L 与()n f n -的大小，并加以证明. 2、已知函数的最小值为0，其中证明（） {}) 1ln(,1)1(1 3+<++=n S S n n n a a n n n n 证明：项的和为其前的通项公式、设数列 )ln()(a x x x f +-=.0>a ∑ =<+--n i n i 1 2)12ln(1 22 *N n ∈

利用对数平均数解导数压轴题例谈

利用对数平均数破解导数压轴题例谈广东佛山顺德莘村中学陈万寿2018.10.11 定义：设,0,,a b a b >≠则2ln ln b a b a b a ab +<--<，其中ln ln a b a b --被称为对数平均数.（为了叙述方便，这个不等式链后面我简称对均不等式）这个不等式链巧妙地将基本不等式的算术平均数、几何平均数结合在一起，给解决高考导数压轴题提供很大的便利。据我不完全统计，高考可以利用对均不等式这个工具解决导数的压轴题有2010年湖北高考题、2010年天津高考理科导数解答题、2011年辽宁高考导数解答题、2012年天津高考导数解答题、2013年新课标卷I 卷、2014年陕西高考导数解答题等等。可见这个不等式确实非常好用。值得注意的是对数平均数必须先证再用。故而读者需熟系对均不等式的证法原理方能熟练应用。对均不等式证明如下：不妨设0a b >> ln ln a b a b -<-，即证a b b a b a -，设1()2ln (1)f t t t t t =-+>，则0)1(112)(22 2<+-=--='t t t t t f ，所以()f t 在),1(+∞递减，而(1)0f =，因此当1t >时，1 ()2ln 0f t t t t =-+<恒成立，即a b b a b a -，2(1)g()ln (1)1 t t t t t -=->+，则0)1()1()1(41)(2 2 2>+-=+-='t t t t t t g ，所以g()t 在),1(+∞递增，而g(1)0=，因此当1t >时，2(1)ln 01t t t -->+恒成立，即ln ln 2 a b a b a b -+<-成立．该不等式本身的证明乃通过构造函数，借助于导数作为工具，利用函数单调性而得，当然也可以通过导数的几何意义等来证明（曲边梯形的不定积分，限于篇幅在此讨论）．在处理某些与指数、对数相关的不等式问题时，可以尝试应用它来帮助思考分析．简单拓展：设,0b a <<则.2 112 22b a b a a b ab b a a +<+<--<<+<例1（2010年天津高考理科21题）已知函数()()x f x xe x R -=∈．

对数平均不等式学生

对数平均不等式学生Newly compiled on November 23, 2020

对数平均不等式 1.定义：设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b a b +->>-ln ln a b a b -- 为对数平均数. 2.几何解释：反比例函数()()10f x x x =>的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||， MN CD x ||||轴， (),0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???,,T 作()f x 在点 2,2a b K a b +?? ?+?? 处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知，变形公式： )0.()(2ln ln >≥+-≥-b a b a b a b a 3.典例剖析对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的．（一） 0ln ln b a b a a b a 的应用例1 （2014年陕西）设函数 )1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数．（1）（2）（略）（3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明． . （二）220ln ln b b a b a b a 的应用例2 设数列{}n a 的通项(n a =，其前n 项的和为n S ，证明：()ln 1n S n <+．（三） 02ln ln a b b a b a b a 的应用例3. 设数列{}n a 的通项111123n a n =++++，证明：()ln 21n a n <+．

3直击高考之对数平均不等式

第三篇：对数平均数不等式高考相关：高考中很多题都是以对数平均不等式为背景，变形出题的，重要性毋庸置疑！例（2018全国Ⅰ卷理21）（12分）已知函数1 ()ln f x x a x x = -+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明： () 1212 ()2f x f x a x x -<-- 解： ⑴函数的定义域为()0,+∞ ()222 11 '1a x ax f x x x x -+-=--+= 24a ?=- ① 当22a -≤≤时，()'0f x ≤,()f x 在 ()0,+∞单调递减； ② 当2a >时， ()'0f x = ，1222 a a x x +== ，120x x << ()f x 在0,2a ??- ? ??? 和2a ??+∞ ? ??? 上单调递减，在,22a a ?+????? 上单调递增； ③ 当2a <-时，120x x <<，()f x 在 ()0,+∞单调递减. 综上所述：2a ≤时，()f x 在 ()0,+∞单调递减； 2a >时，()f x 在0,2a ? ??? 和2a ??++∞ ? ???上单调递减，在,22a a ?+????? 上单调递增. ⑵ ()f x 存在两个极值点12,x x ，由⑴知2a > 12x x a +=，121x x =

()() 2111222112121221121212 11 ln ln ln ln ()x x x a x x a x x x a x x f x f x x x x x x x x x x x --+-+-+-+--== --- 12 12 ln ln 2x x a x x -=-- 要证()1212()2f x f x a x x -<--，即证1212 ln ln 1x x x x -<- 方法一： 12 12 ln ln 1x x x x -<=- 12 12 ln ln 1x x x x -<-得证. 方法二：12x x a +=，121x x =，2a >，不妨设212 a x > > 将121 x x = 代入 1212 ln ln 1x x x x -<-得， 2 22 2ln 1 1x x x -<-， 22212ln x x x ->-，222 12ln 0x x x +-< 证1212 ln ln 1x x x x -<-，即证2 221 2ln 0x x x +-< 令()()12ln ,1g x x x x x =-+>，那么()()2222212121'1x x x g x x x x x ---+-=--== 0x >时，()'0g x <，()g x 在()+∞1，上单调递减, ()()21g x g <， ()2222 1 2ln g x x x x =+ -，()12ln1110g =+-= 222 1 2ln 0x x x + -<得证.

对数平均不等式学生

对数平均不等式学生文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）

对数平均不等式 1.定义：设,0,,a b a b >≠ 则2ln ln a b a b a b +->>-ln ln a b a b -- 为对数平均数. 2.几何解释：反比例函数()()1 0f x x x =>的图象，如图所示， AP BC TU KV ||||||，MN CD x ||||轴， (),0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ??? ,,T 作()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+??处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知，变形公式： )0.()(2ln ln >≥+-≥ -b a b a b a b a 3.典例剖析对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的．（一） 0ln ln b a b a a b a 的应用例1 （2014年陕西）设函数)1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数．（1）（2）（略）（3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n ++ +与()n f n -的大小，并加以证明． . （二） 220ln ln b b a b a b a 的应用例 2 设数列{}n a 的通项n a =，其前n 项的和为n S ，证明：

对数平均不等式在极值点偏移中应用

2 对数平均不等式的典型应用极值点偏移问题的母题对数、指数平均不等式与高考中的一类热点，即极值点的偏移（类对称或淮对称）问题具有深该的内在联系，利用对数与指数平均不等式可建立极值点的偏移母题如下. ［母题结构］：（!）（对数模型）设 P （x”yJ 、Q （X 2, y 2）是函数 f （X ）=mlnx+a X 2+bx+c （m HO ）图像上的任意两点，则当m>0时"（伴）5;当m<0时，/ （伴）畑 (II)(指数模型)设 P(x” Y1)、Q(X 2, yj 是函数 f(x)=me x +ax 2+bx+c(m^0)图像上的任意两点，则当m>0时，f （今）<也;当m<0时，厂（宁）>気 A B ]：( m - +a (xi+x ：) +b => 心厂 r ( )=m( — X\ ■ X? 2 X| ~ X2 式.a 十b 〉a-b = Inxj -lnx 2〉 ? 2 \na-lnb x } -x 2 n 当m 〉0时，f （宁）〈也;当nKO 时，/（呼）>扁; - X|*X 2 (II )由 f (x)二me^+ax^+bx+c =>『(x)二me”+2ax+b => r (土Hl) =me +a (xi+xj +b; 乂由 1￡疋二「w 巴二m ?八一"+ X|-X 2 X| - x 2 心+刈+」"八宁）讹罟-e 〒），由指数平均不等 u+6 r r 亍 n =>eh n 当 m>0 时，厂（宁）&? 1. 对数模型子题类型I : （2011年辽宁高考试题）已知函数f （x ）二lnx-/+（2-a ）x ? （1）f (x)二mlnx+ax~+bx+c => f (x)二—+2ax+b => y z (山十“ x 2 ）二 2m 勺+忑 +a(xi+x2)+b;又由）,由对数平均不等式：V>e a-b

对数平均不等式

a b b a a b a b ?, B a ? ? b , ? ， b ? d x < + ? ? ? 1 1 ? ( b - a ) ? b a ? 2 ? (l n b - l n a ) < ， 1 b - a 2 2 ab 秒杀秘籍：利用定积分秒杀对数平均不等式证明如右图 1 所示，在反比例函数 f (x ) = 1 上任取两点 A ?, x ? a , 1 ? B ?b , 1 ? ， ? a ? ? ? b ? 点 C ? a + b , ? ? 2 a + b 2 ? 为 AB 在双曲线上的中点， AA ⊥ x 轴交其于 A ， ? 1 1 BB 1 ⊥ x 轴交其于 B 1 ，过 C 作双曲线切线交 AA 1 和 BB 1 于 D , E 两点，根据 S ACBB A > S D EB A ? 1 1 ?a x b 1 d x > 2 1 1 a + b ? (b - a )，即 b - a a + b < l n b - l n a 2 如右图 2 所示，在 f (x ) = 1 x 上任取两点 A ? ? 1 ? ? 1 ? AA ⊥ x 轴交其于 A ， BB ⊥ x 轴交其于 B ，根据 S 1 1 1 1 ABB A 曲ABB A > S 1 1 1 1 ? b 1 a x 即 b - a l n b - l n a 对数平均不等式 ? a - b ? (a ≠ b ), 两个正数 a 和 b 的对数平均定义： L (a , b ) = ?ln a - ln b ??a (a = b ). 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： ab ≤ L (a , b ) ≤ a + b 2 （此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当 a = b 时，等号成立. 只证：当 a ≠ b 时， ab < L (a , b ) < a + b ，可设 a > b .（I ）先证： 2 ab < L (a , b ) …… ① a - b a 不等式① ? ln a - ln b < ? ln < - ? 2 ln x < x - 1 (中中 x = > 1) ab b x 构造函数 f (x ) = 2 l n x - (x - 1 ), (x > 1) ，则 f '(x ) = 2 -1- 1 = -(1- 1 )2 . x x x 2 x 因为 x > 1 时， f '(x ) < 0 ，所以函数 f (x ) 在 (1, +∞) 上单调递减，故 f (x ) < （II ）再证： L (a , b ) < a + b ……② 2 f (1) = 0 ，从而不等式①成立； 2(a - b ) a 不等式② ? ln a - ln b > ? ln 2( a -1) > b a ? ln x > 2( x -1) (中中 x = > 1) a + b b ( +1) b (x +1) 构造函数 g (x ) = ln x - 2(x -1) 1 4 (x -1)2 , (x > 1) ，则 g '(x ) = - = . (x +1) x (x +1) 2 x (x +1)2 因为 x > 1 时， g '(x ) > 0 ，所以函数 g (x ) 在 (1, +∞) 上单调递增，故 g (x ) < g (1) = 0 ，从而不等式②成立；综合（I ）（ II ）知，对 ?a , b ∈ R + ，都有对数平均不等式 ab ≤ L (a , b ) ≤ a + b 成立，当且仅当 a = b 时，等号成立. 2 题型一：指数换对数的证明极值偏移问题例 1：（2010 天津理）已知函数 f (x ) = xe - x ，如果 x ≠ x 且 f (x ) = f (x ) ，证明： x + x ＞2 1 2 1 2 1 2 例 2：已知 x 1 , x 2 是函数 f (x ) = e - ax 的两个零点，且 x 1 < x 2 .其极值点为 x 0 ，（1）求 a 的取值范围。（2）求证： x 1 + x 2 < 2x 0 （3）求证： x 1 + x 2 > 2 ；（4）求证： x 1 ? x 2 < 1. > ab ∴ x e - x 1 = x e - x 2 ? l n x e - x 1 = l n x e - x 2即l n x - x = l n x - x ,整理可得 x 1 - x 2 1 2 1 2 1 1 2 2 l n x - l n x = 1 1 2 a , 解：Θ f (x 1 ) = f (x 2 ),∴ x 1＞0，x 2＞0(请读者自己证明)，且x 1 ≠ x 2 Θ a - b ln a - ln b 2 ＜ a + b ，∴ x 1 - x 2 l n x 1 - l n x 2 = 1＜ x 1 + x 2 2 ? 即 x 1 + x 2＞2 x