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求函数值域的题型和方法

求函数值域的题型和方法
求函数值域的题型和方法

求函数值域的7类题型和16种方法

一、函数值域基本知识

1.定义:在函数()y f x =中,与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域(或函数值的集合)。

2.确定函数的值域的原则

①当函数()y f x =用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合;

②当函数()y f x =用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合;

③当函数()y f x =用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定;

④当函数()y f x =由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域,这是求其他复杂函数值域的基础。

函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。

一般地,常见函数的值域:

1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.

2.二次函数()2

0y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为24,4ac b a ??

-+∞??

??

,当0a <时的值域为24,4ac b a ??

--∞ ??

?., 3.反比例函数()0k

y k x

=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x

y a

a a =>≠且的值域为{}0y y >.

5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.

6.正,余弦函数的值域为[]1,1-,正,余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型

题型一:一次函数()0y ax b a =+≠的值域(最值)

1、一次函数:()0y ax b a =+≠ 当其定义域为R ,其值域为R ;

2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值,只需分别求出()(),f m f n ,并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时,需结合函数图像来确定函数的值域。

题型二:二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域(最值)

1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , 当其 定义域为R 时,其值域为

()()22

4 044 04ac b y a a

ac b y a a ?-≥>???-?≤

2、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间[],m n 上的值域(最值) 首先判定其对称轴2b

x a

=-

与区间[],m n 的位置关系 (1)若[],2b m n a -∈,则当0a >时,()2b

f a

-是函数的最小值,最大值为(),()

f m f n 中较大者;当0a <时,()2b

f a

-是函数的最大值,最大值为

(),()f m f n 中较小者。

(2)若[],2b

m n a

-

?,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大(小)值。 特别提醒:

①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;

②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时,要结合图像来确函数的值域;

③当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。

例1:已知 ()

22f x x --的定义域为[)3,-+∞,则()f x 的定义域为 (],1-∞ 。 例2:已知()2

11f x x -=+,且()3,4x ∈-,则()f x 的值域为 ()1,17 。

题型三:一次分式函数的值域 1、反比例函数)0(≠=k x

k

y 的定义域为{}0x x ≠,值域为{}0y y ≠ 2、形如:cx d

y ax b

+=

+的值域:

(1)若定义域为b x R x a ??∈≠-????

时,其值域为c y R y a ??∈≠

????

(2)若[],x m n ∈时,我们把原函数变形为d by

x ay c

-=-,然后利用[],x m n ∈(即x 的

有界性),便可求出函数的值域。

例3:函数23

321x x

y -=-的值域为 [)1,3,3?

?-∞+∞ ??

? ;若[]1,2x ∈时,其值域为

11,511??-????

。 例4:当(]3,1x ∈--时,函数1321

x

y x -=

+的值域 34,2??--????

。 (2)已知()3

12x f x x

-+=

-,且[)3,2x ∈-,则()f x 的值域为 6,5?

?-∞- ???

。 例5:函数2sin 1

3sin 2

x y x -=

+的值域为

[)1,3,5??-∞?+∞ ??? ;若3,22x ππ??

∈???

?

,其值域为 12,23??

-????

。 题型四:二次分式函数22

dx ex c y ax bx c

++=++的值域 一般情况下,都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题: ①检验二次项系数为零时,方程是否有解,若无解或是函数无意义,都应从值域中去掉该值;②闭区间的边界值也要考查达到该值时的x 是否存在;③分子、分母必须是既约分式。

例6:2216x x y x x +-=+-; ()21,,7?

?+∞?-∞ ??

?

例7:22

2

1x x y x +-=-; {}1y R y ∈≠ 例8:432+=x x y ; 33,44??

-????

例9:求函数()21

1,21

x y x x x -=∈-+∞++的值域

解:由原函数变形、整理可得:()2

2110yx y x y +-++=

求原函数在区间()1,-+∞上的值域,即求使上述方程在()1,-+∞有实数解时系数y 的取值范围

当0y =时,解得:()11,x =∈-+∞ 也就是说,0y =是原函数值域中的一个值 …① 当0y ≠时,上述方程要在区间()1,-+∞上有解,

即要满足()10f -<或0

211

2y y ≥??

-?->-??

解得:108y <≤ ……②

综合①②得:原函数的值域为:10,8??

????

题型五:形如y ax b cx d =++ 这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某

区间上求值域问题,然后求其值域。

例10: 求函数x x y -+=142在[]8,1x ∈-时的值域 []4,4- 题型六:分段函数的值域:

一般分别求出每一分段上函数的值域,然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出,从图像上便可很容易地得到函数的值域。 例11: 21++-=x x y [)3,+∞ 例12: 241y x x =-++ (],5-∞ 题型七:复合函数的值域

对于求复合函数的值域的方法是:首先求出该函数的定义域,然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。 例13: )1

112x y x x

+=-≤≤- []0,2 例14:234y x x =

-++ 50,2??

????

四、函数值域求解的十六种求法 (1)直接法(俗名分析观察法):

有的函数结构并不复杂,可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。即从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围。或由函数的定义域结合图象,或直观观察,准确判断函数值域的方法。注意此法关键是定义域。

例1:已知函数()112

--=x y ,{}2,1,0,1-∈x ,求函数的值域。 {}1,0,3-

例2:求函数1y x =的值域。 [1,)+∞

例3:求函数()11,1y x x x =-+≥的值域。

)

2,?+∞?

例4:求函数2610y x x =

++ [)1,+∞

(2)配方法:

二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解,但在转化的过程中要注意等价性,特别是不能改变定义域。对于形如()2

0y ax bx c a =++≠或

()()()()2

0F x a f x bf x c a =++≠????类的函数的值域问题,均可使用配方法。

例1.求函数322+--=

x x y 的值域。

分析与解答:因为0322

≥+--x x ,即13≤≤-x ,4)1(2++-=

x y ,于是:

44)1(02≤++-≤x ,20≤≤y 。

例2.求函数x x x y 422++=在区间]4,4

1

[∈x 的值域。

分析与解答:由x x x y 422++=配方得:62242

+????

?

?-=++=x x x x y ,

241≤≤x 时,函数24++=x x y 是单调减函数,所以4

1186≤≤y ; 当42≤≤x 时,函数24

++=x

x y 是单调增函数,所以76≤≤y 。

所以函数在区间]4,41[∈x 的值域是4

1

186≤≤y 。

(3)最值法:

对于闭区间上的连续函数,利用函数的最大值、最小值,求函数的值域的方法。 例1 求函数y =3-2x -x 2 的值域。

解:由3-2x -x 2≥0,解出定义域为[-3,1]。 函数y 在[-3,1]内是连续的,在定义域内由3-2x -x 2 的最大值为4,最小值为0。 ∴函数的值域是[0,2]

例2:求函数2x

y =,[]2,2x ∈-的值域。 1,44??

????

例3:求函数2

256y x x =-++的值域。 73,

8??

-∞ ???

(4)反函数法(逆求或反求法):

利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值域。即通过反解,用y 来表示x ,再由x 的取值范围,通过解不等式,得出y 的取值范围。对于形如)0(≠++=

a b

ax d

cx y 的值域,用函数和它的反函数定义域和值域关系,通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。

例1:求函数1212

x

x

y -=+的值域。 解:由1212x x

y -=+解得121x

y y -=+,

∵20x

>,∴

101y

y

->+,∴11y -<< ∴函数1212x

x

y -=+的值域为(1,1)y ∈-。

(5)分离常数法:

分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法。小结:已知分式函数)0(≠++=c d

cx b

ax y ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的

要求)内,值域为?

??

???≠

c a y y ;如果是条件定义域(对自变量有附加条件)

,采用部分分式

法将原函数化为)(bc ad d cx c ad

b c a y ≠+-

+

=,用复合函数法来求值域。 例1:求函数125

x

y x -=+的值域。

解:∵177(25)112222525225x x y x x x -++

-===-++++, ∵7

2025

x ≠+,∴1

2y ≠-,

∴函数125x y x -=+的值域为1

{|}2

y y ≠-。

(6)换元法(代数/三角):

对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数,可以考虑运用代数或三角代换,将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数,从而求得原函数的值域。当根式里是一次式时,用代数换元;当根式里是二次式时,用三角换元。

对形如()

1

y f x =

的函数,令()f x t =;形如(,,,,0)y ax b cx d a b c d ac =+±+≠均为常数的函数,cx d t +=;22

a x -的结构的函数,可利用三角代换,令[]cos ,0,x a θθπ=∈,或令sin ,,22x a ππθθ??

=∈-

????

. 例1:求函数212y x x =-

解:令12t x =-0t ≥),则2

12

t x -=,

∴22151()24

y t t t =-++=--+ ∵当12t =

,即38x =时,max 5

4

y =,无最小值。 ∴函数212y x x =-5

(,]4

-∞。

例2.求函数21)45)(125(2

2

++-+-=x x x x y 的值域。

分析与解答:令4925452

2

-??? ?

?

-=+-=x x x t ,则49-≥t 。

()()542182182

2++=++=++=t t t t t y ,

当49-≥t 时,161854492

min =+??

?

??+-=y ,值域为??????≥1618|y y

例3.求函数23102--+=x x x y 的值域。

分析与解答:由23102--+=x x x y =()2

52--+x x ,令θcos 25=

-x ,

因为()1cos 10cos 220522

2

≤≤-?≥-?≥--θθx ,],0[πθ∈,则

()2

52--x =θsin 2,

于是54sin 25cos 2sin 2+??? ?

?

+=++=

πθθθy ,]45,4[4πππθ∈+,

14sin 22≤??? ?

?

+≤-

πθ,所以725≤≤-y 。 (7)判别式法:

把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =;通过方程有实数根,判别式0?≥,从

而求得原函数的值域。对形如21112

222

a x

b x

c y a x b x c ++=++(1a 、2a 不同时为零)的函数的值域,通常转化成关于x 的二次方程,由于方程有实根,即0≥?从而求得y 的范围,即值域。值得注意的是,要对方程的二次项系数进行讨论。

注意:主要适用于定义在R 上的分式函数,但定义在某区间上时,则需要另行讨论。

例1:求函数223

1

x x y x x -+=-+的值域。

解:由2231

x x y x x -+=-+变形得2

(1)(1)30y x y x y ---+-=,

当1y =时,此方程无解;

当1y ≠时,∵x R ∈,∴,2

(1)4(1)(3)0y y y ?=----≥ 解得1113y ≤≤

,又1y ≠,∴1113

y <≤ ∴函数2231x x y x x -+=-+的值域为11

{|1}3

y y <≤

(8)函数单调性法:

确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。例如,

()()0,0b

f x ax a b x

=+

>>.当利用不等式法等号不能成立时,

可考虑利用函数的单调性解题。

例1:求函数12y x x =-

解:∵当x 增大时,12x -随x 的增大而减少,12x -x 的增大而增大, ∴函数12y x x =-1(,]2

-∞上是增函数。

∴11112222

y ≤

--?=, ∴函数12y x x =-1

(,]2

-∞。 例2.求函数x

x y 1

+

=在区间()+∞∈,0x 上的值域。 分析与解答:任取()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则

()()()()

2

12121211x x x x x x x f x f --=

-,因为210x x <<,所以:0,02121><-x x x x ,

当211x x <≤时,0121>-x x ,则()()21x f x f >;

当1021<<

x y 1

+

=在区间()+∞∈,0x 上的值域为),2[+∞。 构造相关函数,利用函数的单调性求值域。 例3:求函数()x x x f -++=11的值域。

分析与解答:因为110

10

1≤≤-????≥-≥+x x x ,而x +1与x -1在定义域内的单调性

不一致。现构造相关函数()x x x g --+=11,易知)(x g 在定义域内单调增。

()21max ==g g ,()21min -=-=g g ,()2≤?x g ,()202≤≤x g ,

又()()422

=+x g x f

,所以:()422

≤≤

x f

,()22≤≤x f 。

(9)基本不等式法

利用基本不等式求函数值域, 其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值。

利用基本不等式2a b ab +≥,用此法求函数值域时,要注意条件“一正,二定,三相等”.如利用2a b ab +≥求某些函数值域(或最值)时应满足三个条件①0,0a b >>;②

()a b ab +或为定值;③取等号成立的条件a b =.三个条件缺一不可。此外,有时需要合理

地添项和拆项和两边平方等技巧, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量,比如求函数(0,)n k

y x k n N x

=+

>∈的值域。 例1 求函数12

++=

x x y 的值域.

解:

211

11

2≥++==

+++x x x x y , 当且仅当1=x 时""=成立. 故函数的值域为

),2[+∞∈y .

此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程.

例2:求函数的值域:2211212x x y x x -+??

=> ?-??

.

解:()2

1

21121111

2121212122

2

x x x x y x x x x x x -+-+===+=-++----

11

,022

x x >∴->

111122

22112222x x x x ??∴-

+≥-= ?????-- ??

?

当且仅当11

2

122

x x -

=

-时,即122x +=时等号成立, 122y ∴≥+

,所以元函数的值域为12,2??++∞????

. 例3. 求函数的值域。

解:原函数变形为:

当且仅当

即当

,等号成立 故原函数的值域为:

例4. 求函数的值域。

解:

当且仅当,即当

时,等号成立。

可得:

故原函数的值域为:

(10)函数有界性法:

利用某些函数有界性求得原函数的值域。对于对形如d

x b c

x a y ++=

cos sin ,由于正余弦函数

都是有界函数,值域为[-1,1],利用这个性质可求得其值域。

例1:求函数221

1

x y x -=+的值域。

解:由函数的解析式可以知道,函数的定义域为R ,对函数进行变形可得

2(1)(1)y x y -=-+,

∵1y ≠,∴2

1

1

y x y +=-

-(x R ∈,1y ≠), ∴1

01

y y +-

≥-,∴11y -≤<,s

∴函数221

1

x y x -=+的值域为{|11}y y -≤<

形如2

),(sin x y f =α0,1sin ),(2≥≤=x y g α因为可解出Yr 范围,从而求出其值域

或最值。

例2.求函数121

2--=x x y 的值域

解: 由1212--=x x y 得112--=y y x

1101

1

,022-<>?>--∴

>y y y y 或 例3:求函数2cos 1

3cos 2

x y x +=

-的值域。

[)1,3,5??-∞?+∞ ??

? 例4:求函数2sin 2sin x

y x

-=+的值域。

1,33??

????

(11)数型结合法:

如果所给函数有较明显的几何意义(如两点间距离,直线的斜率、截距等)或当一个函数的图象易于作出时,可借助几何图形的直观性来求函数的值域,如由12

21

y y x x --可联想到

两点()11,x y 与()22,x y 连线的斜率或距离。

例1:求函数y =|x +1|+|x -2|的值域。

解法1:将函数化为分段函数形式:??

?

??≥-<≤--<+-=)2(12)21(3)1(12x x x x x y ,

画出它的图象,由图象可知,函数的值域是{y |y ≥3}。

解法2(几何法或图象法):∵函数y =|x +1|+|x -2|表示数轴上的动点x 到两定点-1,2的距离之和,∴易见y 的最小值是3,∴函数的值域是[3,+∞]。如图

O 12

-1x

O 12-1x

例2.求函数224548y x x x x =

++-+

点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。

2-13

x

O y

函数的定义域与值域 知识点与题型归纳

了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域. ★备考知考情 定义域是函数的灵魂,高考中考查的定义域多以选择、填空形式出现,难度不大;有时也在解答题的某一小问当中进行考查;值域是定义域与对应法则的必然产物,值域的考查往往与最值联系在一起,三种题型都有,难度中等. 一、知识梳理《名师一号》P13 知识点一常见基本初等函数的定义域 注意: 1、研究函数问题必须遵循“定义域优先”的原则!!! 2、定义域必须写成集合或区间的形式!!! (1)分式函数中分母不等于零 (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0 (3)一次函数、二次函数的定义域均为R (4)y=a x(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R (5)y=log a x(a>0且a≠1)的定义域为(0,+∞) (6)函数f(x)=x0的定义域为{x|x≠0} 部分内容来源于网络,有侵权请联系删除!

部分内容来源于网络,有侵权请联系删除! (7)实际问题中的函数定义域,除了使函数的解析式有意 义外,还要考虑实际问题对函数自变量的制约. (补充) 三角函数中的正切函数y =tan x 定义域为 {|,,}2 ∈≠+∈x x R x k k Z π π 如果函数是由几个部分的数学式子构成的, 那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合. 知识点二 基本初等函数的值域 注意: 值域必须写成集合或区间的形式!!! (1)y =kx +b (k ≠0)的值域是R . (2)y =ax 2+bx +c (a ≠0)的值域是: 当a >0时,值域为{y |y ≥4ac -b 2 4a }; 当a <0时,值域为{y |y ≤4ac -b 2 4a } (3)y =k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0} (4)y =a x (a >0且a ≠1)的值域是{y |y >0} (5)y =log a x (a >0且a ≠1)的值域是R . (补充)三角函数中 正弦函数y =sin x ,余弦函数y =cos x 的值域均为[]1,1- 正切函数y =tan x 值域为R

高中数学-函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 2 1 )(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -+ +=211)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式 2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式 21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3-] ②要使函数有意义,必须:???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

函数的值域题型总结

求函数的值域 在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定,确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。函数的值域,就是已知函数的定义域,求函数值最值问题,或取值范围的过程。研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。对于如何求函数的值域,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,是高考中每年必考知识,而且试题占比很大,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下。 一、观察法求函数的值域 1 1+=x y 23+=x y 3 42-=x y 42sin +=θy 5 32-=x y 6 11+= x y 7 3cos 2+=θy 提示:(1)一次函数R y b kx y ∈+=,。 (2)二次函数0,2≥=y x y 。 (3)幂函数0,≥=y x y 。 (4)指数函数0,>=y a y x 。 (5)反比例函数0,≠=y x k y 。 (6)三角函数]1,1[,cos ,sin -∈==y y y θθ 二、利用函数的单调性求值域 1已知[0,1]x ∈,则函数21y x x = +-的值域是 23?? . 2函数4()([3,6])2 f x x x =∈-的值域为______[]1,4______。 3 已知函数]2,1[,42)(∈-=x x x x f 的值域 ]2,2[- 4 已知函数),1[,22+∞∈-=-x y x x 的值域 ),2 3[+∞ 5求函数]10,2[,1log 225∈-+=-x x y x 的值域。]33,8 1[ 提示:(1)利用函数的单调性,将定义域的取值带入函数求值。 三、分离常数法求函数的值域 1求函数x x y -+= 132的值域2-≠y 2求函数2323--=x x y 的值域 32-≠y 3求函数2 5422----=x x x x y 的值域 R y ∈{2≠y 且1≠y } 提示:(1)函数a c y b ax d cx y ≠++=,。(2)函数e f a b e f c d y a c y f ex b ax f ex d cx y --≠≠++++=且,,))(())(( 四、二次函数的值域问题 1函数22)(2+-=x x x f 在区间]4,0(的值域为( ]10,1[ ) 2函数2 1,(12)y x x =-+-≤<的值域是( (]3,1- ) 3函数1422 -+=x x y 的值域 ),3[+∞-

高中函数值域求法小结

函数值域求法小结 一、观察法(根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数) 1、求242-+-=x y 的值域。 由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得: )[)[∞+-∈∞+∈-+-=,2,,024)(2y x x g 所以 2、求函数1 11 y x = ++的值域。 分析:首先由1x +≥0,得1x ++1≥1,然后在求其倒数即得答案。 解: 1x +≥0∴1x ++1≥1,∴0< 1 11 x ++≤1,∴函数的值域为(0,1]. 二、配方法(当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可利用配方法求值域) 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 设:)0)((4)(2 ≥+-=x f x x x f 配方得:][)4,0(4)2()(2 ∈+--=x x x f 利用二次函数的 相关知识得][4,0)(∈x f ,从而得出:][2,2-∈y 。 说明:在求解值域(最值)时,遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为:0)(≥x f 。 2、求函数3 42-+-=x x e y 的值域。 解答:此题可以看作是u e y =和342-+-=x x u 两个函数复合而成的函数,对u 配方可得: 1)2(2+--=x u ,得到函数u 的最大值1=u ,再根据u e y =得到y 为增函数且0>y 故 函数3 42-+-=x x e y 的值域为:],0(e y ∈。 3、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。 本题可看成一象限动点),(y x p 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。利用两点(4,0),(0,2)确定一条直线,作出图象易得: 2 )1(2lg[)]24(lg[lg lg lg ),2,0(),4,0(2+--=-==+∈∈y y y xy y x y x 而,y=1时,y x lg lg +取最大值2lg 。 三、反函数法(分子、分母只含有一次项的函数,也可用于其它易

高一数学求函数的定义域与值域的常用方法教案

一. 教学内容: 求函数的定义域与值域的常用方法 求函数的解析式,求函数的定义域,求函数的值域,求函数的最值 二. 学习目标 1、进一步理解函数的定义域与值域的概念; 2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式; 3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值; 4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题,重视函数单调性在确定函数最值中的作用; 5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题; 6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。 三. 知识要点 (一)求函数的解析式 1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形式是y=f(x),不能把它写成f(x,y)=0; 2、求函数解析式一般要写出定义域,但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时,可以不标出定义域;一般地,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形; 3、求函数解析式的一般方法有: (1)直接法:根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出y。 (2)待定系数法:若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值; (3)换元法:若给出了复合函数f[g(x)]的表达式,求f(x)的表达式时可以令t=g (x),以换元法解之; (4)构造方程组法:若给出f(x)和f(-x),或f(x)和f(1/x)的一个方程,则可以x代换-x(或1/x),构造出另一个方程,解此方程组,消去f(-x)(或f(1/x))即可求出f(x)的表达式; (5)根据实际问题求函数解析式:设定或选取自变量与因变量后,寻找或构造它们之间的等量关系,列出等式,解出y的表达式;要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,还受其实际意义限定。 (二)求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示; 2、常见题型是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的范围,最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题; 3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,还受实际意义限制,如时间变量一般取非负数,等等;

函数的概念及定义域、值域基本知识点总结.doc

函数的概念及定义域.值域基本知识点总结 函数概念 1.映射的概念 设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则/ ,对于集合4小的任意元素,在集合B 中都冇唯一确宦的元索与Z对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射,通常记为f :A^ B , f 表示对应法则 注意:(1)A中元素必须都有彖J1唯一;(2)B中元素不一定都有原彖,但原彖不一定唯一。 2.函数的概念 (1)函数的定义: 设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则/,对于集合4屮的每个数兀, 在集合B中都

冇唯一确怎的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数,通常

⑵函数的定义域、值域 在函数y = f(x\xeA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做y = f(x)的定义域;与x的值相对应的y值叫做两数值,函数值的集合{/⑴卜e △}称为函数y = /(%)的值域。 (3)函数的三要素:定义域、值域和对丿应法则 3.函数的三种表示法:图象法、列表法、解析法 (1).图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系; (2).列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系; (3).解析法:就是把两个变量的函数关系,用等式來表示。 4.分段函数 在H变量的不同变化范围屮,对应法则用不同式子來表示的函数称为分段函数。 (-)考点分析 考点1:映射的概念 例1. (1) A = R , B = {yly〉O}, f :x —> y =1 xI ; (2) A = {x\ x>2,x e N^}, B = {y\ y>O,y e N], / : x y = x2 - 2x + 2 ; (3) A = {xI x > 0}, = {>' I y e R}, / : x —> y = ±\[x . 上述三个对应是A到B的映射. 例2.若A = {1,2,3,4}, B = {aM,a,b,cwR,则A到B的映射有个,B到A的映射有个,A到B 的函数有个 例3.设集合M ={-1,0,1}, 7V = {-2,-1,0,1,2},如果从M到N的映射/满足条件:对 (4)8 个(3)12 个(C)16 个(0)18 个 M中的每个元素兀与它在N中的象/(兀)的和都为奇数,则映射/的个数是() 考点2:判断两函数是否为同一个函数

函数定义域与值域经典类型总结 练习题 含答案

<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳 一、基础知识整合 1.函数的定义:设集合A 和B 是非空数集,按照某一确定的对应关系f ,使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。 2.由定义可知:确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系(f ),②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域:由于定义域是决定函数的重要因素,所以必须明白定义域指的是: (1)自变量放在一起构成的集合,成为定义域。 (2)数学表示:注意一定是用集合表示的范围才能是定义域,特殊的一个个的数时用“列举法”;一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域:是由定义域和对应关系(f )共同作用的结果,是个被动变量,所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 (1)明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合:{y|y=f(x),x ∈A}。 (2)明白定义中集合B 是包括值域,但是值域不一定为集合B 。 二、求函数定义域 (一)求函数定义域的情形和方法总结 1已知函数解析式时:只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 (1)常见情况简总: ①表达式中出现分式时:分母一定满足不为0; ②表达式中出现根号时:开奇次方时,根号下可以为任意实数;开偶次方时,根号下满足大于或等于0(非负数)。 ③表达式中出现指数时:当指数为0时,底数一定不能为0. ④根号与分式结合,根号开偶次方在分母上时:根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时:底数和指数都含有x ,必须满足指数底数大于0且不等于1.(0<底数<1;底数>1) ⑥表达式中出现对数函数形式时:自变量只出现在真数上时,只需满足真数上所有式子大于0,且式子本身有意义即可;自变量同时出现在底数和真数上时,要同时满足真数大于0,底数要大于0且不等于 1. (2 ()log (1)x f x x =-) 注:(1)出现任何情形都是要注意,让所有的式子同时有意义,及最后求的是所有式子解集的交集。

高中数学求函数值域的方法十三种审批稿

高中数学求函数值域的 方法十三种 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

高中数学:求函数值域的十三种方法 一、观察法(☆ ) 二、配方法(☆) 三、分离常数法(☆) 四、反函数法(☆) 五、判别式法(☆) 六、换元法(☆☆☆) 七、函数有界性 八、函数单调性法(☆) 九、图像法(数型结合法)(☆) 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、 十三、一一映射法 十四、 多 种 方 法 综 合 运 用 一、观察法:从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围。 【例1】 求函数1y =的值域。 11≥, ∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【例2】求函数 x 1 y = 的值域。 【解析】∵0x ≠ ∴0 x 1≠ 显然函数的值域是: ),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ,{}2,1,0,1-∈x ,求函数的值域。

【解析】因为{}2,1,0,1- =f f,()1 1- f所以: = 2 0= f,()()0 ∈ 3 x,而()()3 -f = 1= {}3,0,1- ∈ y 注意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如果该题的定义域为R x∈,则函数的值域为{}1 y。 y ≥ |- 二.配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2 =++的 F x af x bf x c ()()() 函数的值域问题,均可使用配方法。 【例1】求函数225,[1,2] y x x x =-+∈-的值域。 【解析】将函数配方得:∵由二次函数的性质可知:当x=1 ∈[-1,2]时,,当时,故函数的值域是:[4,8] 【变式】已知,求函数的最值。 【解析】由已知,可得,即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得,其对称轴方程,顶点坐标,且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内,如图2所示。函数的最小值为,最大值为。 图2

求函数值域的常见方法大全教师版

第 1 页 共 6 页 求函数值域的几种常用方法 在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。本文就求函数值域的方法归纳如下,供参考。 一、直接观察法 这是最基本的方法,通过对函数的定义域及其对应关系的观察分析,求函数的值域。 例1 求函数y = x 1 的值域。 解: x ≠0 ,∴ x 1 ≠0 显然函数的值域是:( -∞,0 )∪(0 ,+∞). 例2 求函数y = 3 -x 的值域。 解: x ≥0 ∴- x ≤0 3 -x ≤3 故函数的值域是:(,3]-∞ . 二、反函数法 当一个函数存在反函数又便于求其反函数时,可以通过求原函数的定义域来确定反函数的值域。 例3 求函数y = 6 54 3++x x 值域。 解:由原函数式可得:x = 3 564--y y , 则其反函数为:4653x y x -= - 其定义域为:x ≠5 3 , 故所求函数的值域为:33 (,)(,)55 -∞?+∞. 注:本题还可以用分离系数法,把原函数式变形为:3252530 y x = ++同样达到目的。 例4 求函数11()211()2 x x y -= +值域。 解:由原函数式可得:1 21log 1y x y -=+, 则其反函数为:1 2 1log 1x y x -=+ 由 101x x ->+,知11x -<<, 故所求函数的值域为:(1,1)-. 注:本题还可以利用函数的有界性法,把原函数式变形为:11()02 1x y y -= >+同样达到目的 三、配方法 配方法是求二次函数(即形如2 ()()()f x ag x bg x c =++的函数)值域最基本的方法之一。 例5 求函数y =2 x -2x + 5,x ∈[-1,2]的值域。 解:将函数配方得:y =(x -1)2 + 4, x ∈[-1,2], 由二次函数的性质可知: 当x = 1时,min y = 4 , 当x = - 1,时max y = 8 , 故函数的值域是:[ 4 ,8 ]. 例6 求函数y = 的值域。 解: 将函数变形为:y =故函数的值域是:[ 0 , 3 2 ].

高三总复习-指对数函数题型总结归纳

指对函数 1比较大小,是指对函数这里很爱考的一类题型,主要依靠指对函数本身的图像性质来做题,此外,对于公式的理解也很重要。常用方法有建立中间量;估算;作差法;作商法等。 1、若π2log =a ,6log 7=b ,8.0log 2=c ,则( ) A.c b a >> B.c a b >> C.b a c >> D.a c b >> 2、三个数6log ,7.0,6 7.067 .0的大小顺序是( ) A.60.70.70.7log 66<< B.60.70.70.76log 6<< C.0.760.7log 660.7<< D.60.7 0.7log 60.76<< 3、设 1.5 0.90.48 12314,8 ,2y y y -??=== ? ?? ,则( ) A.312y y y >> B.213y y y >> C.132y y y >> D.123y y y >> 4、当10<> B.a a a a a a >> C.a a a a a a >> D.a a a a a a >> 5、设 1)3 1()31(31<<>x x b a ,则下列不等式成立的是( ) A .10<<a 且1≠a ),则()f x 一定过点( ) A.无法确定 B.)3,0( C.)3,1( D.)4,2( 2、当10≠>a a 且时,函数()32-=-x a x f 必过定点( ) 3、函数0.(12>+=-a a y x 且)1≠a 的图像必经过点( ) 4、函数1)5.2(log )(-+=x x f a 恒过定点( ) 5、指数函数()x a x f =的图象经过点?? ? ??161,2,则a =( ) 6、若函数log ()a y x b =+ (0>a 且1≠a )的图象过)0,1(-和)1,0(两点,则b a ,分别为( ) A.2,2==b a B.2,2==b a C.1,2==b a D.2,2==b a 3针对指对函数图像性质的题

求函数值域 、 周期的方法总结(适合高一)

求函数值域 、 周期的方法总结(适合高一) 求值域 一、直接法:(从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围)例1.求函数2+=x y 的值域。 二、配方法(是求二次函数值域的基本方法,如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题,均可使用配方法)例2.求函数242y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域。 三、分离常数法(分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法)例3.求函数125 x y x -=+的值域。 四、换元法(运用代数代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函 数的值域,如y ax b =+a 、b 、c 、d 均为常数,且0a ≠)的函数常用此法 求解。例4.求函数2y x = 五、函数的单调性法(确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域,形如求函数()0>+=k x k x y 的值域(k x <<0时为减函数;k x >时为 增函数))例5.求函数y x = 六、利用有界性(利用某些函数有界性求得原函数的值域)例6求函数2211 x y x -=+的值域。 七、数型结合法(函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图像求得函数值域,是一种求值域的重要方法)例7.求函数11-++=x x y 的值域。 除此之外,还有反函数法(即利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系,通过求反函数的定义域而得到原函数的值域)和判别式法(即把函数转化成关于x 的二次方程()0,=y x F ,通过方程有实根,0≥?,从而求得原函数的值域,需熟练掌握一元二次不等式的解法),在今后的学习中,会具体讲述。 周期 一.定义:若T 为非零常数,对于定义域内的任一x ,使)()(x f T x f =+恒成立 则f (x )叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期。 二.重要结论 1、()()f x f x a =+,则()y f x =是以T a =为周期的周期函数; 2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 3、 若函数()()f x a f x a +=-,则()x f 是以2T a =为周期的周期函数

人教版必修一求函数值域的几种常见方法

人教版必修一求函数值域的几种常见方法 1.直接法:利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ,值域为R ; 反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}; 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R , 当a>0时,值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥};当a<0时,值域为{a b a c y y 4)4(|2 -≤}. 例1.求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1 += x x y ④x x y 1 + = 解:①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3, ∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域是[-1,5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2} ③1 111 111 +- =+-+= +=x x x x x y ∵ 01 1≠+x ∴1≠y 即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}(此法亦称分离常数法) ④当x>0,∴x x y 1+ ==2)1(2 +- x x 2≥, 当x<0时,)1(x x y -+ --==-2)1(2 --- -x x 2-≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2,+∞).(此法也称为配方法) 函数x x y 1+ =的图像为: 2.二次函数比区间上的值域(最值): 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域: ①142+-=x x y ; ②]4,3[,142∈+-=x x x y ;③]1,0[,142∈+-=x x x y ; ④]5,0[,142∈+-=x x x y ; 4 3 21 -1-2-3 -4 -6 -4 -2 2 4 6 y=x o -2 -112 f x () = x+ 1x

高中数学求函数值域的类题型和种方法

高中数学求函数值域的类 题型和种方法 Last updated on the afternoon of January 3, 2021

求函数值域的 7类题型和16种方法 一、函数值域基本知识 1.定义:在函数()y f x =中,与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域(或函数值的集合)。 2.确定函数的值域的原则 ①当函数()y f x =用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合; ②当函数()y f x =用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合; ③当函数()y f x =用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定; ④当函数()y f x =由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域,这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地,常见函数的值域: 1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 2.二次函数()2 0y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞?? ?? ,当0a <时的值域为24,4ac b a ?? --∞ ???., 3.反比例函数()0k y k x = ≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.

6.正,余弦函数的值域为[]1,1-,正,余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型 题型一:一次函数()0y ax b a =+≠的值域(最值) 1、一次函数:()0y ax b a =+≠当其定义域为R ,其值域为R ; 2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值,只需分别求出()(),f m f n ,并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时,需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二:二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域(最值) 1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ,当其定义域为R 时,其值域为 ()()22 4 044 04ac b y a a ac b y a a ?-≥>???-?≤时,()2b f a -是函数的最小值,最大值为(),()f m f n 中 较大者;当0a <时,()2b f a -是函数的最大值,最大值为 (),()f m f n 中较小者。 (2)若[],2b m n a - ?,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大(小)值。 特别提醒: ①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值; ②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时,要结合图像来确函数的值域; ③当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。 例1:已知()22f x x --的定义域为[)3,-+∞,则()f x 的定义域为(],1-∞。 例2:已知()211f x x -=+,且()3,4x ∈-,则()f x 的值域为()1,17。 题型三:一次分式函数的值域 1、反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{}0x x ≠,值域为{}0y y ≠ 2、形如:cx d y ax b +=+的值域:

函数的定义域与值域单调性与奇偶性三角函数典型例题

函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 一、知识归纳: 1. 求函数的解析式 (1)求函数解析式的常用方法: ①换元法( 注意新元的取值范围) ②待定系数法(已知函数类型如:一次、二次函数、反比例函数等) ③整体代换(配凑法) ④构造方程组(如自变量互为倒数、已知f (x )为奇函数且g (x )为偶函数等) (2)求函数的解析式应指明函数的定义域,函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围,同时也要注意变量的实际意义。 (3)理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式y =f (x )表示的函数的定义域时,常有以下几种情况: ①若f (x )是整式,则函数的定义域是实数集R ; ②若f (x )是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集; ③若f (x )是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合; ④若f (x )是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合; ⑤若f (x )是由实际问题抽象出来的函数,则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域(最值)的一般方法: (1)利用基本初等函数的值域; (2)配方法(二次函数或可转化为二次函数的函数); (3)不等式法(利用基本不等式,尤其注意形如)0(>+=k x k x y 型的函数) (4)函数的单调性:特别关注)0(>+ =k x k x y 的图象及性质 (5)部分分式法、判别式法(分式函数) (6)换元法(无理函数) (7)导数法(高次函数) (8)反函数法 (9)数形结合法 4. 求函数的单调性 (1)定义法: (2)导数法: (3)利用复合函数的单调性: (4)关于函数单调性还有以下一些常见结论: ①两个增(减)函数的和为_____;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是______; ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性;偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性; ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性; (5)求函数单调区间的常用方法:定义法、图象法、复合函数法、导数法等 (6)应用:比较大小,证明不等式,解不等式。 5. 函数的奇偶性 奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称,比较f (x ) 与f (-x )的关系。f (x ) -

高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)

求函数值域的解题方法总结(16种) 在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。 一、观察法: 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例:求函数()x 323y -+=的值域。 点拨:根据算术平方根的性质,先求出 ()x 3-2的值域。 解:由算术平方根的性质知()0x 3-2≥,故()3x 3-23≥+。 点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)、被开方数的非负性,(2)、值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧发。 练习:求函数()5x 0x y ≤≤=的值域。(答案:{}5,4,3,2,1,0) 二、反函数法: 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例:求函数2 x 1x y ++=的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数2 x 1x y ++=的反函数为:y y --=112x ,其定义域为1y ≠的实数,故函数y 的值域为{}R y 1,y |y ∈≠。 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数x -x -x x 10101010y ++=的值域。(答案:{}1y 1-y |y 或)。 三、配方法: 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可利用配方法求函数的值域。 例:求函数() 2x x -y 2++=的值域。 点拨:将被开方数配方成平方数,利用二次函数的值求。 解:由02x x -2≥++可知函数的定义域为{}2x 1-|x ≤≤。此时2x x -2++=

函数定义域、值域求法总结(精彩)

函数定义域、值域求法总结 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 常用的求值域的方法:(1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 21)(-= x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -++=21 1)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式21 -x 无意义, 而2≠x 时,分式21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-3 2 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式 x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ?? ?≠-≥+020 1x x ?? ?≠-≥2 1 x x

求函数的定义域与值域的常用方法

求函数的定义域与值域的常用方法 引入: 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值 一、 求函数的解析式 (一)解析式的表达形式 (解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。) 1、一般式 (是大部分函数的表达形式) 例:一次函数:b kx y +=)0(≠k 二次函数:c bx ax y ++=2)0(≠a 反比例函数:x k y = )0(≠k 正比例函数:kx y =)0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数,u 又是x 的函数,即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==,那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ,则[]=)(x g f ,[]=)(x f g 。 解:[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g (二)解析式的求法 (根据已知条件求函数的解析式,常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值(式)法、方程法等。) 1. 配凑法 例1.已知 :23)1(2 +-=+x x x f ,求f(x); 解:因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 65)(6)1(5)1(22+-=++-+=x x x f ,x x 所以 例2、已知:221)1(x x x x f +=+,求)(x f 。 解: 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意:使用配凑法也要注意自变量的范围限制。

定义域和值域

定义域、解析式、值域方法总结 (一)定义域: 1. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备) 2. 求函数的定义域有哪些常见类型? () ()例:函数的定义域是 y x x x =--432lg ()()()(答:,,,)022334 函数定义域求法: ● 分式中的分母不为零; ● 偶次方根下的数(或式)大于或等于零; ● 指数式的底数大于零且不等于一; 对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。 ● 正切函数x y tan = ??? ??∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且 ● 反三角函数的定义域 ● 函数y =arcsinx 的定义域是 [-1, 1] ,值域是, 函数y =arccosx 的定义域是 [-1, 1] ,值域是 [0, π] ,函数y = arctgx 的定义域是 R ,值域是.,函数y =arcctgx 的定义域是 R ,值域是 (0, π) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条 件的自变量的范围,再取他们的交集,就得到函数的定义域。 3. 如何求复合函数的定义域? []的定,则函数,,的定义域是如:函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>-> 义域是_____________。 [] (答:,)a a - 复合函数定义域的求法:已知)(x f y =的定义域为[]n m ,,求[])(x g f y =的 定义域,可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围,即为[])(x g f y =的定义域。 例 若函数)(x f y =的定义域为??????2,21,则)(log 2x f 的定义域为 。

高一人教版必修一数学函数定义域、值域、解析式题型

高一函数定义域、值域、解析式题型 一、 具体函数的定义域问题 1 求下列函数的定义域 (1 )1 y = (2 )y = (2)(3) 若函数()f x =的定义域为R ,则实数m 的取值范围是( ) (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 二、 抽象函数的定义问题 (一)已知函数()f x 的定义域,求函数[()]f g x 的定义域 2. 已知函数()f x 的定义域为[0,1],求函数2(2)f x 的定义域。 (二)已知函数[()]f g x 的定义域,求函数()f x 的定义域 3. 已知函数(21)f x +的定义域为[1,2],求函数()f x 的定义域。 (三)已知函数[()]f g x 的定义域,求函数[()]f h x 的定义域 4. 已知函数2(1)f x -的定义域为(2,5),求函数1()f x 的定义域。 5.已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-,且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在,求实数m 的取值范围。

(一) 配凑法 5 .已知22113(1)x f x x x ++=+,求()f x 的解析式。 (二) 换元法 6.已知(12f x +=+()f x 的解析式。 (三) 特殊值法 7 .已知对一切,x y R ∈,关系式()()(21)f x y f x x y y -=--+且(0)1f =,求()f x 。 待定系数法 8.已知()f x 是二次函数,且2(1)(1)244f x f x x x ++-=-+,求()f x 。 (四) 转化法 9. 设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的函数,对一切x R ∈,均有()(2)0f x f x ++=,当11x -≤≤时,()21f x x =-,求当13x <≤时,函数()f x 的解析式。 (五) 消去法 11.已知函数()f x 21()()x f x x -=,求()f x (六) 分段求解法 12. 已知函数2,()21,()1,0x x o f x x g x x ?≥=-=?-

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