2010年高考新课标全国卷理科数学试题及答案
2010年高考新课标全国卷理科数学试题及答案
( 宁夏、吉林、黑龙江、海南)
（新课标）理科数学
参考公式：
样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式
s =
13V Sh =
其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高
柱体体积公式 球的表面积，体积公式
V Sh = 24S R π= 34
3
V R π=
其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{||2,}A x x x R =≤∈},{4,}B x x Z =∈,则A B ?=
(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2}
(2)已知复数z =
，z 是z 的共轭复数，则z z ?= A.
14 B.1
2
C.1
D.2 (3)曲线2
x
y x =+在点（-1，-1）处的切线方程为
（A ）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2
(4)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0
，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为
https://www.docsj.com/doc/bc3065365.html, （5）已知命题
1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数， 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，
则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p -∨和4q ：()12p p ∧-中，真命题是
（A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4q （D ）2q ，4q
（6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为
（A ）100 （B ）200 （C ）300 （D ）400 （7）如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于
（A ）
54 （B ）4
5 （C ）65 （D ）56
（8）设偶函数()f x 满足3
()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->=
(A) {|24}x x x <->或 (B) {|04}x x x <>或 (C) {|06}x x x <>或
(D) {|22}x x x <->或
（9）若4
cos 5
α=-
，α是第三象限的角，则1tan 21tan
2
αα
+=-
(A) 12-
(B) 12
(C) 2
(D) -2
（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
(A) 2
a π (B)
2
73
a π (C)
2
113
a π (D) 25a π （11）已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤??
=?-+>??若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则
abc 的取值范围是
(A) (1,10) (B) (5,6)
(C) (10,12)
(D) (20,24)
（12）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为
(A)
22136x y -= (B) 22
145x y -= (C)
22
163
x y -= (D)
22
154
x y -= 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分
1
()f x dx ?
，
先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y …，由此得到N 个点11(,)(1,2,)x y i N =…,，再数出其中满足
11()(1,2,)y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分1
()f x dx ?的近似值
为 。
（14）正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种）
（15）过点A(4,1)的圆C 与直线x-y=0相切于点B （2,1），则圆C 的方程为____ (16)在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD=
1
2
DC ，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC
的面积为3∠BAC=_______
https://www.docsj.com/doc/bc3065365.html, 三，解答题：解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤 （17）（本小题满分12分）
设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S (18)（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB CD,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点 （1） 证明：PE ⊥BC
（2） 若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的
正弦值
(19)(本小题12分)
为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下： 是否需要志愿 性别 男 女 需要 40 30 不需要
160
270
（1） 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2） 能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （3） 根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的
老年人的比例？说明理由
附：
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
https://www.docsj.com/doc/bc3065365.html,
（20）（本小题满分12分）
设12,F F 分别是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线i 与
E 相交于,A B 两点，且22,,A
F AB BF 成等差数列。
（1）求E 的离心率；
（2） 设点(0,1)p -满足PA PB =，求E 的方程 （21）（本小题满分12分）
设函数2()1x f x e x ax =---。 （1） 若0a =，求()f x 的单调区间； （2） 若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围
https://www.docsj.com/doc/bc3065365.html, 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记
分。做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已经圆上的弧 AC BD
=，过C 点的圆切线与BA 的延长线交于E 点，证明： （Ⅰ）∠ACE =∠BCD ； （Ⅱ）BC 2
=BF ×CD 。
https://www.docsj.com/doc/bc3065365.html,
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线C 1x 1t cos sin y t αα=+??=?（t 为参数），C 2x cos sin y θ
θ=??=?
（θ为参数），
（Ⅰ）当α=
3
π
时，求C 1与C 2的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点O 做C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。
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（24）（本小题满分10分）选修4-5，不等式选项 设函数()|24|1f x x =-+ （Ⅰ）画出函数()y f x =的图像
（Ⅱ）若不等式()f x ≤ax 的解集非空，求a 的
取值范围。
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2010年普通高等学校招生全国统一考试 （新课标）理科数学试题参考答案
一、 选择题
（1）D （2）A （3）A （4）C （5）C （6）B （7）D （8）B （9）A （10）B （11）C （12）B
（1） 已知集合{||2,}A x x R =≤∈
},{|
4,}B x x Z =≤∈,则A B ?=
(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2} 解析：{22},{0,1,2,3,4}A B={0,1,2}A x x B =-≤≤=∴?，,选D 命题意图：考察集合的基本运算 (2)
已知复数z =
z 是z 的共轭复数，则z z ?= A.
14 B.1
2
C.1
D.2
解析：z =
===
1
4
z z =
= ，所以选A 命题意图：考察复数的四则运算 (3)曲线2
x
y x =
+在点（-1，-1）处的切线方程为 （A ）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2 解析：'
'12
2
,|2(2)
x y k y x =-=
∴==+ ，所以点（-1，-1）处的切线方程为y=2x+1， 命题意图：考察导数的几何意义
(4)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0
，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为
解析：法一：排除法 取点0,t d ==时排除A 、D ，又当点P 刚从t=0开始运动，d 是
关于t 的减函数，所以排除B ，选C
法二：构建关系式 x 轴非负半轴到OP 的角4
t π
θ=-，由三角函数的定义可知
2sin()4p y t π
=-
，所以2sin()4
d t π
=-，选C 命题意图：考察三角函数的定义及图像 （5）已知命题
1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数，2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，
则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p -∨和4q ：()12p p ∧-中，真命题是 （A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4q （D ）2q ，4q
解析：对于1p ：1
22x
x y =-
显然在R 为增函数，命题为真 对于2p ：122x x y =+，'12ln 22ln 2(2)ln 22
x x x
x y -=-=-
当''00,00,x y y x y y <<>>时，单调递减，时，单调递增，命题为假
对于2p ，也可通过复合函数单调性法则，分解为简单函数1
2,x
t y t t
==+处理
利用复合命题真值表，显然12p p ∨，()12p p ∧-为真命题，选C 命题意图：复合命题真假判断为背景考察函数的单调性
（6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为
（A ）100 （B ）200 （C ）300 （D ）400 解析：设发芽的粒数为,~(1000,0.9),900B E ξξξ∴=则
又(1000)222000,22000200X EX E ξξξ=-?=-+∴=-+=，选B 命题意图：考察二项分布期望公式及公式()E a b aE b ξξ+=+ （7）如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于 （A ）
54 （B ）45（C ）65 （D ）56
解析：111111223344556
S =
++++????? 1111111115(1)()()()()2233445566
=-+-+-+-+-=
所以选D
命题意图：以算法为背景考察裂项相消求和
（8）设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->= (A) {|24}x x x <->或 (B) {|04}x x x <>或 (C) {|06}x x x <>或
(D) {|22}x x x <->或
解析：30()802x f x x x ≥=->>当时，由得
()()022f x f x x x ∴>><-又为偶函数，时或
(2)02222,40f x x x x x ∴->?->-<-><或即或，选B
另法：（特征分析法）偶函数()f x 的图像关于y 轴对称，函数(2)y f x =-的图形必关于直线2x =对称，由此可知不等式(2)0f x ->的解集应该关于2对称。符合这一条件的选项只有B ，故选B.
命题意图：利用函数性质解不等式 （9）若4
cos 5
α=-
，α是第三象限的角，则1tan 21tan
2
αα
+=-
(A) 12
-
(B)
12
(C) 2 (D) -2
解析：α 是第三象限的角，2
α
∴
是第二或四象限角
又2
22
22
2
2cos sin 1tan 42
22cos ,tan 9,tan 3522cos sin 1tan 2
2
2
ααα
αααα
α
α--=
==-=∴=-++化简得 故
1tan
1221tan 2
α
α+=--，选A 命题意图：考察三角函数的化简求值
（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (A) 2
a π
(B)
273
a π (C)
2
113
a π (D) 25a π 解析：2222
2
2
2
74312
a a R OB OE BE a ==+=
+= 227
43
S a a ππ∴==
命题意图：考察球与多面体的接切问题及球的表面积公式
（11）已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤??
=?-+>??若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则
abc 的取值范围是
(A) (1,10)
(B) (5,6)
(C) (10,12)
(D) (20,24)
解析： ,,a b c 互不相等，不妨设a b c <<
()(),lg lg f a f b a b =-=由得，即ab=1
abc c ∴=，显然1012c <<
所以选C
命题意图：考察数形结合思想，利用图像处理函数与方程问题
（12）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为
(A)
22136x y -= (B) 22
145x y -= (C)
22
163x y -= (D)
22
154
x y -= 解析：设双曲线方程为22222222
221,x y b x a y a b a b
-=-=即，1122(,),(,)A x y B x y
由2
2
2
2
22
2
2
2
2
22
1122,b x a y a b b x a y a b -=-=得2
2
12121212()
()()
0()
y y b x x a y y x x -+-+=-
AB PN N 又中点（-12，-15），k =k ，2222-12+1504=5b a b a ∴=即，22+9b a =
所以2
2
4,=5a b =，选B
命题意图：利用点差法处理弦中点与斜率问题
二、填空题 （13）
1
N N
（14）三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分） （15）22(3)2x y -+= （16）60°
（13）设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分
1
()f x dx ?
，
先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y …，由此得到N 个点11(,)(1,2,)x y i N =…,，再数出其中满足11()(1,2,)y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分1
0()f x dx ?的近似值
为 。
1
N N
（14）正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种）
【解析】可以从①三棱锥、②四棱锥、③五棱锥、④三棱柱、⑤圆锥、…… 中任选填三个就可以了。
（15）过点A(4,1)的圆C 与直线x-y=0相切于点B （2,1），则圆C 的方程为22(3)2x y -+=
解析： 设圆心(,)O a b ，借助图形可知3a =，又1
1032
b OB b -∴=-=-与切线垂直，
即
22C (2)2r OB x y ==∴--=圆的方程为
(16)在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD=1
2
DC ，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC 的面
积为3∠BAC=_______
解析：
ADC 1S AD DC 22
=?∴
在△ADC ，
在△ADB ， 所以，在△ABC 中，由余弦定理的
cos ∠BAC=
222AB +AC -BC 1
=2AB AC 2
?,∠BAC=60°
另法：作AE⊥BE于E，由∠ADB=120°，AD=2知
DE=1,AE=，从而
有1
331)
2
D E D E
=?=-
所以
1
, BE=1)1
+=
3,
所以
4
BAE
π
∠=
,tan2
CAE
∠=
所以tan tan()
43
BAC EAC BAC
ππ
∠=+∠=?∠=.
------------------------------------------------------------------------------------
2010年全国高考课标数学解析
1．D解析：本题考查了集合的运算、绝对值不等式的解法。
∵{|22},{0,1,2,,16}
A x x B
=-≤≤=
，∴{0,1,2}
A B=
2．A解析：本题考查了复数的共轭复数、复数的基本运算。∵2
zz z
=，
∴
21
42
z===，∴
1
4
z z=
3．A解析：本题考查了导数的运算、导数的几何意义求切线方程。
∵
1
2
2
2
(2)x
y
x=-
'==
+
，∴切线方程为21
y x
=+
4．C解析：本题考查了三角函数图象及其应用。
∵初始位置为
P，
04
xOP
π
∠=，角速度1
ω=，P到x轴的距离为∴
2sin()
4
y x
π
=-，其周期Tπ
=，∵当
4
x
π
=时，∴0
y=，且0
x=时，y=，
故选C
5．C解析：本题考查了函数的单调性、简易逻辑的基础知识
∵
1
2
2
x
x
y=-在R上是增函数，∴
1
p真命题，
1
p
?假命题，∵
1
22
2
x
x
y=+≥，当
且仅当0x =时函数有最小值，1
22x
x
y =+
在R 既不是增函数也不是减函数，∴2p 假命题，2p ?真命题，∴12p p ∨为真命题，12p p ∧为假命题，12p p ?∨为假命题，
12p p ∧?为真命题，故选C
6． B 解析：本题考查了概率分布列的二项分布及数学期望的基础知识。
∵需要补种为事件ξ，其概率0.1p =，其服从二项分布，1000n =，数学期望∴
100E np ξ== ，∴补种要2粒，∴200EX =
7． D 解析：本题考查了算法的流程图、数列求和的基础知识
∵从表格可得当k=5时，∴1122334455666
S =
++++=-=?????，故选D 8． B 解析：本题考查了函数的奇偶性、导数研究函数的单调性的基础知识。∵
30,()8x f x x ≥=-，∴()20f x x '=>，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数，∵()f x 为
偶函数，∴()()f x f x =，∵(2)0f =，(2)(2)0(2)f x f x f -=->=，∴
22x ->，∴04
x x <>或
9． A 解析：本题考查了同角三角函数关系、二倍角的正弦余弦公式。
∵
2
221tan
cos
sin
(cos
sin )1sin 22222cos 1tan cos sin cos sin 22222
αααα
α
ααααααα++++===---，4cos 5α
=-，α为第三象限角，∴3
sin 5
α=-
，1tan
1sin 12cos 21tan 2
α
ααα++==-- 10．B 解析：本题考查了空间直线与平面、直三棱柱、球的表面积公式。 ∵三棱柱内接于球，且各棱都相等，则上下底面的截面圆的圆心连线过球心O ，且ON=
1
2
a ，N 为截面圆的圆心且为底面正三角形的中
心，
则有
AN=
233
AE a =，∴球半径
2
2
2
2712OA AN ON a =+=，∴球的表面积为227
43
OA a ππ=
11．C 解析：本题考查了对数函数图象、分段函数的基本知识
作出函数图象如下，∵,,a b c 不相等，∴不妨设a b c <<，()()()f a f b f c t ===，所以
与函数y t =与()f x 三个交点即如图所示，c 的取值范围为(10,12)，∵,a b 是
lg y x =与y t =的两个交点的横坐标，∴lg lg a b =，∴1
,1a ab b
== ，∴abc
的取值范围为(10,12)
12．B 解析：1122(,),(,)A x y B x y ，双曲线方程为22
221x y a b
-=，∵AB 过F ，N ，∴斜率1AB k =
∵2222
1122
22221,1x y x y a b a b
-=-=，∴两式差有1
212121222()()()()0x x x x y y y y a b -+-+-=，∴2245b a =，又∵229a b +=，∴224,5a b ==，故选B
13．
1
N N
，解析：本题考查了几何概型、定积分的基本概念及几何意义。110()f x dx S =?，
,[0,1]x y ∈，其构成的边长1的正方形面积S ，由古典概型知11S N
S N
=，1S =，
1110()N S f x dx N
==?
14．三棱锥 解析：本题考查了立体几何的三视图的基础知识，直观的想象可知几何体为三棱锥 15．22
(3)2x y -+= 解析：本题考查了圆的标准方程、直线的垂直、直线与圆的位置关
系到的基础知识
∵直线10x y --=与圆切于点（2，1），∴圆心在过切点且垂直于直线10x y --=的直线上，该直线为30x y +-=，∵圆过点（4，1），（2，1），∴圆心在这两点的垂直平分线3x =上，圆心为（3，0），∴圆方程为22
(3)2x y -+= 16．60
解析本题考查了正弦定理、余弦定理的基础知识。
∵
1
sin 6032
ACD S AD DC ?=
= ，
∴1)DC =
，1
12
BD DC ==，∵在三角形
ABD 中由余弦定理2
6AB =，在三角形ACD 中由余弦
定理2
24AC =-ABC 中由余弦定理
A
B
C
D
cos BAC
∠===
1
2
==，60
BAC
∠=
另法：作AE⊥BE于E，由∠ADB=120°，AD=2知
从而有
1
31)
2
DE DE
=-=
所以
1
, BE=1)1
+=
3,
所以
4
BAE
π
∠=
,tan2
CAE
∠=
所以tan tan()
43
BAC EAC BAC
ππ
∠=+∠=?∠=.
三、解答题
（17）解：
（Ⅰ）由已知，当n≥1时，
111211
[()()()]
n n n n n
a a a a a a a a
++-
=-+-++-+
2123
3(222)2
n n
--
=++++
2(1)1
2n+-
=。
而
1
2,
a=
所以数列{
n
a}的通项公式为21
2n
n
a-
=。
（Ⅱ）由21
2n
n n
b na n-
==?知
3521
1222322n
n
S n-
=?+?+?++?
①从而
23572
21222322
n
n
S n+
?=?+?+?++?
②
①-②得
2352121
(12)22222
n n
n
S n
-+
-?=++++-?
。
即 211
[(31)22]9
n n S n +=
-+ https://www.docsj.com/doc/bc3065365.html,
（18）解：
以H 为原点，,,HA HB HP 分别为,,x y z 轴，线段HA 的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则(1,0,0),(0,1,0)A B （Ⅰ）设 (,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n m n <>
则 1(0,,0),(,,0).22m
D m
E 可得 1(,,),(,1,0).22m
PE n BC m =-=- 因为0022
m m
PE BC ?=-+=
所以 P E B C ⊥
https://www.docsj.com/doc/bc3065365.html, （Ⅱ）由已知条件可得
1,33
m n C =-
=-故 (
1(0,,0),(,,0),(0,0,1)
326
D E P --
设 (,,)n x y x =为平面PEH 的法向量
则 ,,n H E o
n H P o ??=???=??
即1020
x z =????=?
因此可以取(1n =，
由(1,0,1)PA =-
，
可得
c o s ,4
P A n =
所以直线PA 与平面PEH
所成角的正弦值为4
（19）解：
（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为
70
14%500
= （2）2
2
500(4027030160)9.96720030070430
K ??-?=
=???。 由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。 (III)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好． （20.）解：
（I ）由椭圆定义知224AF BF AB a ++=，又222AB AF BF =+， 得4
3
AB a =
l 的方程为y x c =+
，其中c =
设()11,A x y ，()22,B x y ，则A 、B 两点坐标满足方程组
2
2
221y x c x y a b
=+???+=?? 化简的()()
2222222
20a b x a cx a c b +++-=
则()222212122222
2,a c b a c
x x x x a b a b
--+==++ 因为直线AB 斜率为1，所以AB
=
21x -=
得2
2
2
44,3ab a a b
=+故222a b = 所以E
的离心率2
c e a ===
（II ）设AB 的中点为()00,N x y ，由（I ）知
2120222
23
x x a c x c a b +-===-+，00
3c y x c =+=。 由PA PB =，得1PN k =-， 即
00
1
1y x +=- 得3
c =，从而3a b ==
故椭圆E 的方程为
22
1189
x y +=。 https://www.docsj.com/doc/bc3065365.html, （21）解：
（1）0a =时，()1x f x e x =--，'()1x
f x e =-.
当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少，在(0,)+∞单调增加
（II ）'()12x
f x e ax =--
由（I ）知1x
e x ≥+，当且仅当0x =时等号成立.故
'()2(12)f x x ax a x ≥-=-，
从而当120a -≥，即1
2
a ≤
时，'()0 (0)f x x ≥≥，而(0)0f =， 于是当0x ≥时，()0f x ≥. 由1(0)x e x x >+≠可得1(0)x e x x ->-≠.从而当1
2
a >时，
'()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --<-+-=--，
故当(0,ln 2)x a ∈时，'()0f x <，而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x <. 综合得a 的取值范围为1(,]2
-∞.
（22）解： （I ）因为 AC BC
=, 所以BCD ABC ∠=∠.
又因为EC 与圆相切于点C ，故ACE ABC ∠=∠， 所以ACE BCD ∠=∠.
（II ）因为,ECB CDB EBC BCD ∠=∠∠=∠, 所以BDC ?∽ECB ?，故BC CD
BE BC
=， 即2
BC BE CD =?.
(23)解： （Ⅰ）当3
π
α=
时，1C
的普通方程为1)y x =-，2C 的普通方程为22
1x y +=。联立
方程组22
1)
1
y x x y ?=-??+=?? ，解得1C 与2C 的交点为（1,0）
,122?- ??，。
（Ⅱ）1C 的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=。
A 点坐标为()
2
sin cos sin ααα-，
故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为：
()21sin 2
1sin cos 2
x y αααα?=???
?=-??为参数 P 点轨迹的普通方程为22
1
1()4
16
x y -+=。 故P 点轨迹是圆心为104?? ???
，，半径为1
4
的圆。
（24） 解：
https://www.docsj.com/doc/bc3065365.html, （Ⅰ）由于25,2
()23,2x x f x x x -+
-≥?
则函数()y f x =的图像如图所示。
1
2
a ≥
或2a <时，函数()y f x =与函数y ax =的图像有交点。故不等
式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为
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