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奥数：4-3-2平移、旋转、割补题库

图形变换，是指不改变图形的大小、形状，只通过位置关系的改变（旋转、平移、折叠等），构成新的图形．

【例 1】如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，

BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？

【解析】如图，我们将BCD ?平移使得CD 与AF 重合，将DEF ?平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都

重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432?=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．

【例 2】如图所示，梯形ABCD 中，AB 平行于CD ，又4BD =，3AC =，5AB CD +=．试求梯形ABCD 的

面积．

C D

C D E

【解析】如右图，将AB 沿AC 平移至CE ,连接BE ,在三角形BDE 中，有4BD =，3BE AC ==，

5DE AB CD =+=，有222BD BE DE +=，所以三角形BDE 为直角三角形．

由于ABD ABC BCE S S S ???==，所以梯形ABCD 的面积与三角形BDE 的面积相等，为1

3462

??=．

【例 3】右图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10．中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行

四边形，它们的宽都是2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？

例题精讲

平移、旋转、割补

【解析】如图所示，将道路平移后的（16-2）×（10-2）=112．

【例 4】如图所示，一个正十二边形的边长是1厘米，空白部分是等边三角形，一共有12个．请算出阴影部

分的面积．

1cm

【解析】如图，将阴影部分分割成一个正六边形和12个小三角形，再把正六边形分割成6个正三角形，由于

正十二边形的每个内角为()180********??-÷=?，所以阴影小三角形的顶角等于

15060230?-??=?，每个顶角的两边和与其相邻的正三角形的底边所成的角都是306090?+?=?，所

以通过如右上图所示的平移可以组成6个边长为1厘米的正方形，所以所求阴影部分面积为2166?=平方厘米．

【例 5】按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角边

分别为2cm 和4cm ，乙三角形两条直角边分别为3cm 和6cm ，求图中阴影部分的面积．

乙甲6

【解析】如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之

和．所以阴影部分面积为：2346236242211cm ?+?-?÷+?÷=（）（）

【例 6】在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图)，求图中阴影

部分的面积占整个图形面积的几分之几.

【解析】阴影总值是一个梯形.我们用三种方法解答.

⑴ 割补法

从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形.将这两个直角三角形拼成一个长方形(见下图).

显然，阴影部分正好是长方形的13，所以原题阴影部分占整个图形面积的1

⑵ 拼补法

将两个这样的三角形拼成一个平行四边形(下页左上图).显然，图中阴影面积占平行四边形面积的1

根据商不变性质，将阴影面积和平行四边形面积同时除以2，商不变.所以原题阴影部分占整个图形

面积的1

⑶ 等分法

将原图等分成9个小三角形(见右上图)，阴影部分占3个小三角形，所以阴影部分占整个图形面积的3193

=. 注意，后两种方法对任意三角形都适用.也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立.

【例 7】如下左图，有两个大小相同的完全重叠在一起的正方形，现在以点P 为中心转动一个正方形．当

5AB =厘米，13BC =厘米，12CA =厘米时(如下右图)，求右图中的两个正方形相重叠部分的面积(注意，图的尺寸不一定准确)．

【解析】右图由左图旋转而得，则右图中的8个空白小三角形都是完全相同的，右图中重叠部分的面积等于

正方形面积减去4个小三角形的面积，从右图中可以看出正方形的边长为5131230++=厘米，所以重叠部分的面积为：2304(5122)780-??÷=(平方厘米)．

【例 8】如图，在直角三角形中有一个正方形，已知10BD =厘米，7DC =厘米，求阴影部分的面积．

【解析】绕D 点逆时针旋转CED ?，使E 与F 重合，则C 点落在AB 边上的'C 点处，且'C D CD =．则阴影

部分面积转化为直角三角形'BC D 的面积，所以阴影部分的面积为107235?÷=平方厘米．

【例 9】如图所示的四边形的面积等于多少？

【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.

我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：

把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.

因此，原来四边形的面积为1212144?=.(也可以用勾股定理)

【例 10】如图，三角形ABC 是等腰直角三角形，P 是三角形外的一点，其中90BPC ∠=?，10cm AP =，

求四边形ABPC 的面积．

P D

【解析】因为BAC ∠和BPC ∠都是直角，和为180?，所以ABP ∠和ACP ∠的和也为180?，可以旋转三角形

APC ，使AC 和AB 重合，则四边形的面积转化为等腰直角三角形'AP P ，面积为1010250?÷=平方厘米．

【例 11】（2008年武汉明心奥数挑战赛）如图所示，ABC ?中，90ABC ∠=?，3AB =，5BC =，以AC

为一边向ABC ?外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ?的面积．

【解析】如图，将OAB ?沿着O 点顺时针旋转90?，到达OCF ?的位置．

由于90ABC ∠=?，90AOC ∠=?，所以180OAB OCB ∠+∠=?．而OCF OAB ∠=∠，所以180OCF OCB ∠+∠=?，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．

由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=?，所以BOF ?是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所

以它的面积为21

8164

=．根据面积比例模型，OBC ?的面积为5

16108

?=．

【例 12】（2008年武汉明心奥数挑战赛）如图，直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，2AD =，

3BC =，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90?至ED ，连接AE 、CE ，则ADE ?的面积是．

D C

H F

【解析】如图所示，将ADE ?以D 为中心顺时针旋转90?，到FDC ?的位置．延长FD 与BC 交于H ．

由于ABCD 是直角梯形，AD 与FD 垂直，则四边形ADHB 是长方形，则BH AD =．

由于ADE ?与FDC ?面积相等，而FDC ?的底边2FD AD ==，高321CH BC BH =-=-=，所以FDC ?的面积为2121?÷=，那么ADE ?的面积也为1．

【例 13】如图，正方形ABCD 和DEFG 有一个公共点D ，试比较三角形ADG 和三角形CDE 的面积．

A'G

【解析】因为ADC ∠和GDE ∠是直角，所以ADG ∠和CDE ∠是互补角，将三角形ADG 顺时针旋转90?到达

'A DE ?的位置，则'A 、D 、C 在同一条直线上，且'A D AD CD ==，即D 是'A C 的中点，所以三角形CDE 和三角形'A D E 面积相等，则三角形CDE 和三角形ADG 面积相等．

【例 14】 (2008年全国小学数学资优生水平测试)如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角

形ABE ，90AEB ∠=?，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．

【解析】如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ?顺时针旋转90?到ABF ?的位置．

那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=?，而AEB ∠也是90?，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==，

所以梯形AFBE 的面积为：

()1

353122

+??=(2cm )．

又因为ABE ?是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以

172

ABD S AB ?==(2cm )．

那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ?????=-+=-=-=(2cm )，

所以1

2.52

OBE BDE S S ??==(2cm )．

【例 15】 (2008年迎春杯高年级组决赛)如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=?，

10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ???++= 2cm ．

C'E

【解析】将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接

''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系： ''AEC A DC S S ??=；''AEC A DC S S ??=；'CED C DE S S ??=．

所以2'''11

101050cm 22

ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ??????++=++==??=．

【例 16】 (第八届华杯赛总决赛)如图所示的四边形ABCD 中，45A C ∠=∠=°，105ABC ∠=°，

15AB CD ==厘米，连接对角线BD ，30ABD ∠=?．求四边形ABCD 的面积．

【解析】由45A ∠=°，30ABD ∠=?，可得1804530105ADB ∠=?-?-?=?，1053075DBC ∠=?-?=?．

将DBC ?剪下来，翻转，再贴在BD 边上，即将B 点粘在D 点上，D 点粘在B 点上，如右上图所示．则C 点在E 点的位置．

由于10575180ADB EDB ∠+∠=?+?=?，所以A 、D 、E 三点在同一条直线上．

由于45A E C ∠=∠=∠=°，所以90ABE ∠=?，即ABE ?是等腰直角三角形，它的面积就等于四边形

ABCD 的面积，所以四边形ABCD 的面积为

1515

112.52

?=平方厘米．

【例 17】如图，在ABD ?中，AB CD =，求“？”的度数．

40°

30°

【解析】如图，由于AB CD =，可以将ABC ?移动到D C E ?，由于180(3040)110A C B ∠=?-?+?=?，

18011070ACD ∠=?-?=?，所以7040110ACE ∠=?+?=?，又110CED ∠=?，而AC DE =，所以四边形ACED 是等腰梯形，有180********ADE CED ∠=?-∠=?-?=?，703040ADC ∠=?-?=?．点评：通过构造全等三角形来转化．

【例 18】下图三角形ABC 是等腰三角形，AB AC =，120BAC ∠=?．三角形ADE 是正三角形，点D 在BC

边上，:2:3BD DC =．当三角形ABC 的面积是250cm 时，三角形ADE 的面积是多少？

G P R Q F E

【解析】以点A 为中心，由三个三角形ABC 可拼成右图：连结QE 、RF 、GD ，则DEQFRG 是一个正六边

形．连结RD 、DQ 、RQ ，显然RDQ 是一个等边三角形，并且它的面积是正六边形面积的一半，所以是三角形ADE 的面积的3倍．

由于23150cm PBC ABC S S ??=?=，根据“鸟头定理”，223

36cm 3223

DQC PBC S S ??=??=++，

所以2342cm RDQ PBC DQC S S S ???=-?=，则2342314cm ADE RDQ S S ??=÷=÷=．

【例 19】如图，正方形PQRS 有三个顶点分别在ABC ?的三条边上，BQ QC =．求正方形PQRS 的面积．

【解析】如下图，我们设ABC ?的面积为1，有161279341()122132111311143

a e c d

b =---+=-?-?-?=，

所以682143

a e ==，751143

d a ++=-=，所以68

75a b c d =++．

如下图左，将三角形c 和三角形d 分别以P 、R 为中心按箭头方向旋转90?，形成由两个直角三角形连在一起的一个四边形，如下图右，b 、c 、d 被虚线分成两个直角三角形，它们的面积之和为：

276292230cm b c d ++=?÷+?÷=，所以268

3027.2(cm )75

a =?=．