四、导数的应用
1. 验证函数()ln sin f x x = 在[
π5π
,66
]上满足罗尔定理的条件,并求出相应的ξ,使()0f ξ'=
.
解:()lnsin f x x =在????
??65,6ππ上连续,在??
?
??6
5,6ππ上可导,且 2ln 656-=??
?
??=??? ??ππf f ,显然满足罗尔定理的三个条件. ()x x x f sin cos '=
,若令()0'=ξf ,则有2
π
ξ=. 2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件?有没有满足定理结论中的ξ
[]2
(1)()1,1,1x f x =--e
解:()1)1(1-==-e f f ,且连续、可导,满足罗尔定理中的三个条件. ()2
2'x xe x f =,若令()0'=ξf ,则有0=ξ.
[](2)(),0,21f x x =-
解:函数在1=x 点的导数不存在,故不满足罗尔定理的条件.
[]sin ,0π
(3)()0,π1,0x x f x x <≤?=?=?
解:函数在0=x 点不连续,故不满足罗尔定理的条件.
3. 不用求出函数()(1)(2)(3)f x x x x =---的导数,说明方程()0f x '=有几个实根,并指出它们所在的区间.
解:0)2()1(==f f ,根据罗尔定理知:存在)2,1(1∈ξ,使得0)('1=ξf ;
同理0)3()2(==f f ,根据罗尔定理知:存在)3,2(2∈ξ,使得0)('2=ξf ; 又由于)('x f 是二次方程,最多只有两个不相等的实根, 故0)('=x f 的两个实根分别为)2,1(1∈ξ,)3,2(2∈ξ.
4. 验证拉格朗日中值定理对函数3
()2f x x x =+在区间[0,1]上的正确性. 解:割线的斜率30
1)
0()1(=--=
f f k ,
23)('2
+=x x f ,若令()3'=ξf ,则有3
3=
ξ. 5. 已知函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且0)()(==b f a f ,试证:在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得()()0,(,)f f a b ξξξ'+=∈
证明:构造函数)()(x f e x F x
=,显然)(x F 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导, 且0)()(==b F a F ,根据罗尔定理:
在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得0)('=ξF , 进而得到()()0,(,)f f a b ξξξ'+=∈. 6. 若方程10110n n n a x a x a x --++
+=有一个正根0x ,证明方程 12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-+
+=必有一个小于0x 的正根.
解:令x a x a x a x f n n n 11
10)(--+++= ,
方程10110n n n a x a x a x --+++=有正根0x ,即0)(0=x f ,
同时0)0(=f ,得到)0()(0f x f =,根据罗尔定理,存在),0(0x ∈ξ,使得0)('=ξf , 即12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-+
+=必有一个小于0x 的正根.
7. 设()()()f a f c f b ==,且a c b <<,()f x ''在[],a b 上存在,证明在(),a b 内至少存在一点ξ,使()0f ξ''=
解:)()(c f a f =,根据罗尔定理:存在),(1c a ∈ξ,使得0)('1=ξf ;
)()(c f b f =,根据罗尔定理:存在),(2b c ∈ξ,使得0)('2=ξf ;
由)("x f 在],[b a 上存在,得到)('x f 在],[b a 上连续且可导,又0)(')('21==ξξf f ,根据罗尔定理知:存在),(21ξξξ∈,使得0)("=ξf . 8. 利用洛必达法则求下列极限. (1) sin3lim
tan5x x
x π
→5
3-= (2) 0e 1lim (e 1)x x x x x →---2
1
=
(3) lim m m n n x a x a x a →--n
m a n
m -=
(4)0
lim sin ln x x x +
→ 0= (5) 0e 1
lim()e 1x x x x →--2
3=
(6) 1
lim(1sin )x
x x →+e =
(7) 2
lim (arctan )π
x x x →+∞π2
-=e
(8)2
120
lim e x x x → +∞→
(9) lim )x x →+∞
3
1=
(10) 11
01lim (1)e x
x
x x →??
+????
2
1-=e
9
21lim
1
x x mx n
x →++-=5,求常数m ,
n
解:由521
2lim 1lim
121=+=+=-++→→m m
x x n mx x x x ,得到3=m ; 由01lim 2
1
=++=++→n m n mx x x ,得到4-=n .
10.设f (x )具有二阶连续导数,且f (0)=0,试证g (x )= ()
,0'(0),0
f x x x f x ?≠?
??=?
解:当0≠x 时,2
)
()(')('x x f x x f x g -=
,显然)('x g 连续; 当0=x 时,)0("212)0(')('lim )0(')
(lim )0('00f x f x f x f x x f g x x 导数定义洛必达法则
=-=-=→→;
)0("21
2)("lim 2)(')(')("lim )()('lim )('lim 00200f x f x x f x f x x f x
x f x x f x g x x x x ==-+=-=→→→→ )('x g 在0=x 点的函数值和极限值相等,故在0=x 点也连续;
综上得到)(x g 可导,且导函数连续.
11
.求下面函数的单调区间与极值
(1)3
2
()26187f x x x x =---
解:单调增区间为)1,(--∞,),3(+∞; 单调减区间为)3,1(-;
(2)()ln f x x x
=-
解:单调增区间为),1(+∞; 单调减区间为)1,0(;
12. 试证方程x x =sin 只有一个根.
解:构造函数x x x f -=sin )(,显然)(x f 连续.
0212>+-=???
??-
ππf ,
0212<-=??
?
??ππf
因此022?? ?????? ??-
ππf f ,根据零点定理:存在??
?
??-∈2,2ππξ,使得0)(=ξf . 又01cos )('≤-=x x f ,)('x f 只在一些孤立点上的值为0,因此)(x f 严格单调递减,
只能存在唯一的一个根.
13. 已知()([0,))f x C ∈+∞,若f (0) = 0, f ′(x )在[0,)+∞内存在且单调增加,证明
()
f x x
在[0,)+∞内也单调增加.
解:令x
x f x F )
()(=
,则 2
2)]
0()([)(')()(')('x
f x f x x f x x f x x f x F --=-= x f x f x
x f x x f )
(')(')(')('2
ξξ-=-=柯西中值定理, 其中()x ,0∈ξ 由于函数)('x f 在],0[+∞单调递增,故0)('>x F ,即)(x F 单调增加. 14.证明下列不等式
(1) 1+
1
2
x x >0; 解:构造函数x x
x f +-+=12
1)(
0,012121)('>>+-=
x x
x f ,即函数)(x f 单调增加,且0)0(=f ,则 0,0)(>>x x f 时恒成立,即证.
(2) x -2
2
x <ln (1+x )<x , x >
解:构造函数)1ln()(x x x f +-=
构造函数???
?
??--+=2)1ln()(2x x x x g
15. 试问a 为何值时,1
()sin sin 33
f x a x x =+在3
x π=处取得极值?是极大值还是极小值?
并求出此极值.
解:x x a x f 3cos cos )('+=,令03'=??
?
??πf ,则2=a ; 033"<-=??
?
??πf ,该点是极大点. 16.讨论下列函数的凸性,并求曲线的拐点: (1)2
3
y x x =- 解:062"=-=x y ,3
1=
x 当??? ??∞-∈31,x 时,0">y ,函数下凸;
当??
? ??+∞∈,3
1x 时,0" 拐点为?? ? ??272, 31. (2) 2 ln(1)y x =+ 解: (3) =e x y x 解: 17.利用函数的凸性证明下列不等式: (1) e e 2 x y +>2e x y +, x ≠y 解:构造函数x e x f =)(,0)(">=x e x f ,得到函数)(x f 下凸; 根据下凸的定义有:2) ()(2y f x f y x f +< ?? ? ??+, 即2 2 y x y x e e e +<+. (2) x ln x +y ln y >(x +y )ln 2 x y +,x >0,y >0,x ≠y 解:构造函数x x x f ln )(= 18. 当a ,b 为何值时,点(1,3)为曲线y =a 3 x +b 2 x 的拐点. 解:23-=a ,2 9=b 复习题四 一、填空 1.设2 )(x x f =,则在x x x ?+,之间满足拉格朗日中值定理结论的=ξ2 x x ?+ . 2.设函数)(x g 在],[b a 上连续,),(b a 内可导,则至少存在一点),(b a ∈ξ,使=-)() (a g b g e e ))((')(a b g e g -ξξ 成立. 3.)0,0()(≥>=-x n e x x f x n 的单增区间是),0(n ,单减区间是),(+∞n . 4.若点)3 4 ,1(为曲线b x ax y +-=2 3为拐点,则 a = 31,=b 3 2. 5.曲线1 1 +-=x x y 的水平渐近线为1=y ,铅垂渐近线为1-=x . 二、选择 1.函数)(x f y =具有下列特征:,0)0(',1)0(==f f 当0≠x 时, 0)('>x f ?? ?>><<=0 ,00 ,0)(''x x x f ,则其图形为 B (A ) (B ) (C ) (D ) 2.设)(x f 在],[b a 上连续,)()(b f a f =,且)(x f 不恒为常数,则在),(b a 内 A (A )必有最大值或最小值 (B )既有极大值又有极小值 (C )既有最大值又有最小值 (D )至少存在一点ξ,使0)('=ξf 三.求极限.) 1ln() 21(lim 22 10x x e x x ++-→ 解:洛必达法则得到极限为1. 四.证明:当2 0π < 解:x x x x f 3sin 2tan )(-+=,3cos 2sec )('2 -+=x x x f 20,0cos cos 1sin 2sin 2tan sec 2)("332 π <<>-=-=x x x x x x x x f , 故有)('x f 单调递增,0)0('=f ,得到0)('>x f , 函数)(x f 单调递增且0)0(=f ,得到0)(>x f ,即证. 五. 设,],,[)(b d c a b a C x f <<<∈且证明],,[b a ∈?ξ 使 ).()()()(d f c f f βαξβα+=+ 解:设函数)(x f 在],[b a 上的最小值和最大值分别为)(min x f 和)(max x f , 不妨设)()(d f c f ≤,则有)(max )()()(min x f d f c f x f ≤≤≤, )(m in )()()()()(x f c f c f c f d f c f ≥=++ +≥ ++ +βαββααβαββαα )(m ax )()()()()(x f d f d f d f d f c f ≤=+++≤+++βαββ ααβ αββ αα 根据介值定理,],[b a ∈?ξ,使得)()()(d f c f f β αββ αα ξ++ +=.