第6章 题解
6-1 试判断图示电路中各二极管的工作状态。
第6章整流、滤波及稳压电路
+
－
D 1
D 2
15V
3kΩ－+3V （a ）
（b ）
+－
D 1
D 2
10V
2kΩ
－+4V 2kΩ
解：对含二极的电路分析时，一般把二极管看成理想二极管。先假定二极管都不导通则分析各二极管的偏置情况，并了解各二极管承受电压的大小，再确定二极管的工作状态。
图（a ）看似D1、D2都是正偏，但D1承受电压对于D2承受电压，故D1优先导通，D1一导通就使D2反偏而截止。图（b ）看似D1、D2都是正偏，但D1优先导通，D1导通不改D2的正偏状态，故D2也导通。
6-2试判断图示电路中各二极管是导通还是截止，并求出A、O 两端的电压U
AO
。
－+D
A
6V
3kΩ
－
+
12V
（a）
O
－
+
D
A
15V
3kΩ
－
+
12V
（b）
O
解：图（a）D导通，U
AO
=－6V，
图（b）D截止，U
AO
=－12V，
6-2(c) 、（d）
－+D2
A
15V 3kΩ－
+
12V
（c）O
D 1
－+D2
A
6V
3kΩ
+
－
12V （d）
O
D1
图（c）D1导通，D2截止，U
AO
=0，
图（d）D2优先导通致使D1截止，U
AO
=－6V。
6-3在图示电路中，已知R 1=R L ，二极管正向压降可忽略不计，U S =4V ，U i =6V ，求U 0。
D U i
R 1
R L
+－
U o U s
k
解：当D 未导通时V K =3V ，因U S =4V ，故D 正偏而导通，
并把k 点电位钳制在4V 。所以
U 0=U S =4V
电路如图所示，设U S =5V ，，二极管均为理想二极管（二极管正向压降可忽略不计），试分别画出输出电压u 0的波形。
102sin V i u t ω=6-4D +－
U S
R
u i
u 0
（a ）（b ）D +－U S
R
u i
u 0
（c ）
D +－U S
R u i
u 0
（d ）
D
+－U S R
u i
u 0
6-4解（a ）
D +－
U S
R
u i
u 0
（a ）
u/v 0ωt
14.14
u 0/v 0
ωt 5V u i ＜U s ，D 截止，u 0=u i u i ＞U s ，D 导通，u 0=U s
6-4解（b ）
u i ＞U s ，D 截止，u 0=u i （b ）
D +－U S
R u i
u 0
ωt
u 0/v 0
5V U S
ωt
u/v 0
14.14V
u i ＜U s ，D 导通，u 0=U s
6-4解（c ）
u i ＜U s ，D 导通，u 0=u i （c ）
D
+－U S
R u i
u 0
u i ＞U s ，D 截止，u 0=U s
u/v 0ωt
14.14
u 0/v 0
ωt 5V
6-4解（d ）
u i ＞U s ，D 导通，u 0=u i D
+－
U S R u i
u 0
ωt
u 0/v 0
5V U S
ωt
u/v 0
14.14V
u i ＜U s ，D 截止，u 0=U s
电路如图所示，设，D 均为理想二极管,已知U S =10V ，R 1=R 2=1k Ω；试画出电路中通过R 1的电流随输入电压变化的波形图和输出电压u 0的波形图。
15sin V i u t ω=6-5D 1
+－
U S u i
u 0
D 2R 1
R 2
i
i/mA
ωt
u/v 0ωt
10V 15V u 0
D1导通D2截止
D2导通D1截止
6-6 为了得到输出电压为50V 的直流电压，采用半波整流电路供电，负载电阻R L =50Ω。试求：（1）变压器副边电压和电流的有效值。（2）二极管中流过的平均电流和二极管承受的最高反向电压。
解：（1）变压器副边电压和电流的有效值
根据半波整流电路输出电压与变压器副边电压的关系
00.45U U
=50111V
0.45
U ==根据半波整流电路输出电流与变压器副边电流的关系
1.57I I =050
1.57 1.57 1.57A
50
L U I R =?=?=
6-6解（2）二极管中流过的平均电流和二极管承受的最高反向电压
01A
D I I ==22111157V
DRM U U ==?=
有一电压为110V ，电阻为55Ω的直流负载，采用单相桥式整流电路供电，试求变压器副边电压和电流的有效值，并选二极管。
6-7解（1）求变压器副边电压和电流的有效值
根据单相桥式整流电路输出电压与变压器副边电压的关系可得变压器副边电压为
01.1 1.1110121V
U U ==?=根据单相桥式整流电路输出电流与变压器副边电流的关系可得变压器副边电流为
0110
1.1 1.1
2.2A
55
I I ==?=
6-7解（2）选二极管流过二极管的平均电流
02
1A
22
D I I ===二极管承受的最高反向电压
22121171V
DRM U U ==?=查附录选2CZ12C ，最大整流电流3A ，最高反向电压为200V 。
今有负载电压U 0=30V ，负载电流I 0=150mA ，采用单相桥式整流带电容滤波电路供电，已知交流电的频率为50Hz ，试选择整流二极管和滤波电容。
6-8解（1）选整流二极管
流过二极管的平均电流033150
225m A 22
D I I ?===根据单相桥式整流带电容滤波电路输出电压与变压器副边
电压的关系可得变压器副边电压为
03025V
1.2 1.2
U U ===二极管承受的最高反向电压
222535V
DRM U U ==?=查附录选2CP21，最大整流电流300mA ，最高反向电压为100V 。
6-8解（2）选择滤波电容
0.02
550.0522
L T R C s
=?=?=0.05250F
200
C μ==选用容量为250μF ，耐压为50V 的电解电容。
在图示电路中，已知U 2=17V ，R L =R =1kΩ，滤波电容C 值很大，使得放电时间常数远大于交流电的周期，当开关S 1、S 2、S 3全部闭合时，流过负载电阻R L 的直流电流为8mA ，试求下列情况下负载两端的电压U 0的大小。（1）S 1、S 2、S 3全部断开；（2）S 1、S 2、S 3全部闭合；（3）S 1断开、S 2、S 3闭合；（4）S 1、S 2
断开，S 3闭合。
6-9～
+-
S 1
S 2S 3
D z
2
U R U O R L
解：（1）S 1、S 2、S 3全部断开，此时为半波整流，负载为R 与R L 串联，此时负载电压为
/0
0.450.45177.65V U U ==?=/
00.57.65 3.825V
2
U U ==?=
6-9解（2）S 1、S 2、S 3全部闭合，此时为单相桥式整流带电容滤波、稳压电路，此时负载电压为
0000.00810008V
U I R ==?=（3）S 1断开、S 2、S 3闭合，此时为单相桥式整流带电容滤波电路，此时负载为R 与R L 串联，此时负载电压为
/0
1.2 1.21720.4V
U U ==?=/0
020.410.2V
22
U U ===（4）S 1、S 2断开，S 3闭合，此时为单相桥式整流电路，此
时负载为R 与R L 串联，此时负载电压为
/0
0.90.91715.3V
U U ==?=/0
015.37.65V
22
U U ===
第六章、数理统计的基本知识解答
第五章、数理统计的基本知识 五、证明题： 1．证：因为随机变量12,,,n X X X 相互独立，并且与总体X 服从相同的正态分布 2(,)N μσ，所以，它们的线性组合 112 22111111[, ()](,)n n i i i i n n i i X X X n n N N n n n σμσμ======??=∑∑∑∑ 即样本均值X 服从正态分布2 (, )N n σμ. 2．证：因为随机变量12,,,n X X X 相互独立，并且与总体X 服从相同的正态分布 2(,)N μσ，所以，它们的线性组合 112 22111111[, ()](,)n n i i i i n n i i X X X n n N N n n n σμσμ======??=∑∑∑∑ 即样本均值X 服从正态分布2 (, )N n σμ。所以，将X 标准化，即得 ~(0,1 )u N = . 3．证：因为随机变量12,,,n X X X 相互独立，并且与总体X 服从相同的正态分布 2(,)N μσ，即 2~(,),1,2,i X N i n μσ= 所以得 ~(0,1),1,2,,i X N i n μ σ -= 又因为12,,,n X X X 相互独立，所以 12,,, n X X X μ μ μ σσσ --- 也相互独立。 于是，2 2 222 1 1 1 ()( )~()n n i i i i X X n μ μσ σ ==-χ= -=χ∑∑.
4．证：由§5.4定理2知，统计量 ~(0,1) u N =； 又由§5.4定理4知，统计量 2 22 2 (1) ~(1) n S n σ - χ=χ- 因为X与2S 独立，所以统计量u= 2 2 2 (1) n S σ - χ=也是独立的。于是，根据§5.3定理2可知，统计量 ~(1) t t n ===-. 5．证：由§5.4定理1知： 22 12 12 12 ~(,),~(,) X N Y N n n σσ μμ. 因为X与Y独立，所以可知： 22 12 12 12 ~(,) X Y N n n σσ μμ --+. 于是，得 ~(0,1) U N =. 6．证：由§5.4定理6的推论知，统计量 ~(0,1) U N =. 又由§5.4定理4知： 2 22 11 11 2 2 22 22 22 2 (1) ~(1), (1) ~(1). n S n n S n σ σ - χ=χ- - χ=χ- 因为2 1 S与2 2 S独立所以2 1 χ与2 2 χ也是独立的，由2χ分布的可加性可知，统计量
第六章 数理统计的基本知识课后习题参考答案
第六章 数理统计的基本知识 1 ．10 2 21 1 () 210110(,,)i i x f x x e μσ=--∑=K ；2 2()12*10 1(),1x f x e x μσ-- -∞<<+∞=。 2．t 分布；9. 3．11,, 2.20100 4．解： 0 (0,1)0.3 i X N -~Q 10 1 22 ( )(10)0.3 i i X χ=∴~∑ {} {}1010222 2 11 1.441.44()(10)160.10.3 0.3i i i i X P X P P χ==??∴>=>=>=∑∑???? ５．解：4 (12,)5 X N : 可参考书中67P 页 （1）{ } 121210.7372P X -<=Φ-=； （2）{}125max(,,,)15P X X X (1) ()1 c c c E X x c x dx c x dx θθθθθθθθ+∞ +∞ -+-=== -? ? 令 1c X θθ=-，得θ的估计量为$X X c θ =-，θ的估计值为$1 1 11n i i n i i x n x c n θ===-∑∑ （2）极大似然估计 (1)(1)(1)11()()()n n n L c x c x c x x θθθθθθθθθθ-+-+-+==L L 1 ln ()ln()(1)ln n i i L n c x θ θθθ==-+∑ 令1 ln ln ln 0n i i L n n c x θθ=?=+-=?∑ 得θ的估计值为$1 ln ln n i i n x n c θ ==-∑，θ的估计量为$1 ln ln n i i n X n c θ ==-∑ 3．（1） 矩估计 1214 33 X ++= = 22()122(1)3(1)32E X θθθθθ=?+?-+?-=- 令()E X X = 得θ的估计值为$5 6 θ = 极大似然估计 2256112233()()()()2(1)22L P X x P X x P X x θθθθθθθ=====?-?=- 令 ln 5101L θθθ?=-=?-，得θ的估计值为$56 θ= （2）矩估计量 1 1n i i X X n λ===∑ 极大似然估计 1 111211()()()...()... ! ! !...! i n x x x n n n n n e e L P X x P X x P X x e x x x x λ λ λλλλλ---∑ ===== = 令 ln ()0i x L n λθλ ?=-+=?∑，得λ的似然估计值为$i x n λ=∑， 第六章数理统计的基本概念 一、教学要求 1．理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念，掌握样本均值、样本方差及样本矩的计算。 2．了解分布、t分布和F分布的定义和性质，了解分位数的概念并会查表计算。 3．掌握正态总体的某些常用统计量的分布。 4．了解最大次序统计量和最小次序统计量的分布。 本章重点：统计量的概念及其分布。 二、主要内容 1．总体与个体 我们把研究对象的全体称为总体(或母体)，把组成总体的每个成员称为个体。在实际问题中，通常研究对象的某个或某几个数值指标，因而常把总体的数值指标称为总体。设x为总体的某个数值指标，常称这个总体为总体X。X的分布函数称为总体分布函数。当X为离散型随机变量时，称X的概率函数为总体概率函数。当X为连续型随机变量时，称X的密度函数为总体密度函数。当X服从 正态分布时，称总体X为正态总体。正态总体有以下三种类型： (1)未知，但已知； (2)未知，但已知； (3)和均未知。 2．简单随机样本 数理统计方法实质上是由局部来推断整体的方法，即通过一些个体的特征来推断总体的特征。要作统计推断，首先要依照一定的规则抽取n个个体，然后对这些个体进行测试或观察得到一组数据，这一过程称为抽样。由于抽样前无法知道得到的数据值，因而站在抽样前的立场上，设有可能得到的值为，n维随机向量()称为样本。n称为样本容量。(）称为样本观测值。 如果样本()满足 （1）相互独立； (2) 服从相同的分布，即总体分布； 则称()为简单随机样本。简称样本。 设总体X的概率函数(密度函数)为，则样本（)的联合概率函数(联合密度函数为) 3. 统计量 完全由样本确定的量，是样本的函数。即：设是来自总体X 的 一个样本，是一个n 元函数，如果 中不含任何总体的未知参数， 则称 为一个统计量，经过抽样后得到一组样本观测值 ， 则称 为统计量观测值或统计量值。 4. 常用统计量 （1）样本均值： （2）样本方差： （3）样本标准差： 它们的观察值分别为： 这些观察值仍分别称为样本均值、样本方差和样本标准差。 （4）样本（k 阶）原点矩 1 1,1,2,n k k i i A X k n ===∑ （5）样本（k 阶）中心矩 1 1(),2,3,n k k i i B X X k n ==-=∑ 其中样本二阶中心矩21 1(),n k i i B X X n ==-∑又称为未修正样本方差。 （6）顺序统计量 将样本中的各个分量由小到大的重排成 (1)(2)()n X X X ≤≤≤ 则称(1)(2)(),,n X X X 为样本顺序统计量，()(1)n X X -为样本的极差。 （7）样本相关系数： 1 ()()()() n n i i i i i xy x y x x y y x x y y r S S =----= = ∑∑其中：,x y 分别为数据{,i i x y 的样本均值，,x y S S 分别为样本a 标准差。 5、直方图与箱线图 （1）直方图 先将所有采集的数据进行整理，得到顺序统计量，找出其中的最小值(1)x ，最大值()n x ，即所有的数据都落在区间(1)(),n x x ????上，现取区间(1)(),n x k x k ? ?-+?? （其 第六章 统计量与抽样分布 注意： 这是第一稿（存在一些错误） 1、解：易知的X 期望为μ，方差为2n σ ，则 ()0,1X N μσ-近似地 ， 所以，( ) (0.10.10.909X P X P μσ μσσ? ? - ? -<=<≈Φ= ? ? ??? 。 2、解 （1）由题意得： 2 2 2 2211111()()()()n n i i i i E X D X E X D X E X n n n σμ==??=+=+=+ ???∑∑ ()2211111111 ()()n n i i i i E X X E X X E X X n n n σμ==?=?==+∑∑ （2）1X X -服从正态分布，其中： 1()0E X X -=，22 1122111()( )()()n n n D X X D X D X n n n σ----=+= 从而 2 11~(0,)n X X N n σ-- 由于 ~(0,1)i X N μ σ -，1,2, i n =，且相互独立，因此： () ()2 22 1 ~n i i X n μχσ=-∑ ~(0,1)X N μ -，所以( ) ()2 22 ~1n X μ χσ- 由于 ()2 22 (1)~1n S n χσ--，所以 () () ()2 2 2 2 22 (1)/~1,1(1) n X n X n S F n n S μ μ σσ---=-- （3）由于 () 2 /2 2 1 ~(/2)n i i X n μχσ =-∑ ，以及 () 2 2 1/2 ~(/2)n i i n X n μχσ =+-∑ ，因此有： 1.抽样分布 2.点估计 3.区间估计 4.假设检验 统计量：是指样本的函数（不能含有其它未知数）. 常用的统计量有： 一、四大分布 1.标准正态分布N（0，1） 服从自由度为n的x2分布，记为x2（n）. 3.t－分布 （1）定义：设，且X与Y相互独立，那么称服从自 由度为n的t-分布，记为t（n）. （2）t分布的密度函数为偶函数，且当n→∞时，t（n）→N（0，1） 4.F—分布 （1）定义：设且X与Y相互独立，那么我们称服从自由度为n,m的F分布，记为F（n,m）； （2）若F～F（n,m），则（m,n）； （3）若t～t（n），则t2～F（1，n）. 【例93·填空题】设X与Y相互独立，且均为N（0，9），X1，X2，…，X9与Y1，Y2，…， Y9分别为X与Y的样本. 则 [答疑编号986306101：针对该题提问] 答案：t（9） 【例94·填空题】设X1，X2，…，X15为N（0，4）的样本，则 [答疑编号986306102：针对该题提问] 答案：F（10，5） 【例95·填空题】设X1，X2，…，X n是来自总体X～N（0,1）的简单随机样本，则统计 量 [答疑编号986306103：针对该题提问] 答案： 【例96·填空题】设X1，X2，…，X n是来自总体X～N（0，σ2）的简单随机样本，则统计量 服从＿分布. [答疑编号986306104：针对该题提问] 答案： 【例97·解答题】假设（X1，…，X10）为总体N（0，4）的样本，求系数a，b，c使Q=a （X1+X2）2+b（X3+X4+X5）2+c（X6+X7+X8+X9+X10）2服从x2分布，并求其自由度. [答疑编号986306105：针对该题提问] 习题六 1.设总体X ~N （60，152），从总体X 中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值 之差的绝对值大于3的概率. 【解】μ=60,σ2=152,n =100 ~(0,1)/X Z N n σ-= 即60 ~(0,1)15/10 X Z N -= (|60|3)(||30/15)1(||2)P X P Z P Z ->=>=-< 2[1(2)]2(10.9772)0.0456.=-Φ=-= 2.从正态总体N （4.2，52）中抽取容量为n 的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2,6.2）内的概率不小于0.95，则样本容量n 至少取多大？ 【解】 ~(0,1)5/X Z N n -= 2.2 4.2 6.2 4.2 (2.2 6.2)( )55 P X P n Z n --<<=<< 2(0.4)10.95,n =Φ-= 则Φ(0.4n )=0.975，故0.4n >1.96, 即n >24.01，所以n 至少应取25 3.设某厂生产的灯泡的使用寿命X ~N （1000，σ2）（单位：小时），随机抽取一容量为9的样 本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果， 只记得样本方差为S 2=1002，试求P （X ＞1062）. 【解】μ=1000,n =9，S 2=1002 1000 ~(8)100/3/X X t t S n -= = 10621000 (1062)()( 1.86)0.05100/3 P X P t P t ->=> =>= 4.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差. 【解】~(0,1)/X Z N n σ=，由P (|X -μ|>4)=0.02得 第六章.抽样与抽样分布习题解 (习题六) 1.从总体X 中抽取容量为5的样本，得数据如下：－1.5， 2.8，1.4，0，1.4，据此写出X 的样本分布函数. 解：把样本数据顺序排列为：－1.5，0，1.4，1.4，2.8，则由样本分布函数的定义，题设样本的分布函数为： ?????????≥<≤<≤<≤??<=) 8.2()8.24.1()4.10()05.1()5.1(,,,,,15/45 /25/10)(5x x x x x x F 2.从总体X 中抽取样本1x ,2x ,…,n x ，用x 表示样本均值，试证：(1).∑=?0(x x i ；(2).∑?2)(C x i 在x C =时达最小. 证明：(1).∑∑=?=?=?0)(x n x n x n x x x i i ； (2).设)(C f ＝∑?2)(C x i ＝∑+?) 2(22C Cx x i i ＝∑+?222nC x nC x i ， 求解对C 的导数方程：022)(=?=′x n nC C f ，得唯一驻点C ＝x ，而且，当x C <时，0)(<′C f ；当x C >时，0)(>′C f ，∴C ＝x 是使)(C f 取极小值的点，故∑?2)(C x i 在x C =时达最小. 3.考察幼林胸径，任意抽取10株作为样本，得数据如下(单位：厘米)： 3.0，2.0，5.5，5.0，3.0，6.5，7.0， 4.0，4.0，6.0， 试计算样本均值、方差、修正方差. 解：样本均值： x ＝6.4)0.620.40.75.60.55.50.220.3(10 1=+×++++++×；样本方差：2221x n x n S i ?= ∑＝2222222226.410)62475.655.5223(10 1×?+×++++++×＝2.49； 样本修正方差： 77.249.29 10122≈×=?=?S n n S .4.设总体X ～N (0,23.0)，从中抽取容量为15的样本1x ,2x ,…,15x ，求概率∑>)25.2(2i x P . 解：∵1x ,2x ,…,15x 是来自总体X 的样本，∴i x ～N (0,23.0)，从而有标准化随机变量：3 .0i i x y =～N (0，1)，(i ＝1,2,…,15),于是由2χ-分布定义有：∑∑====151215 12209.01i i i i x y χ～)15(2χ，∴∑>)5.2(2 i x P ＝05.0)25()25.209.0(15 1 21512≈>=>∑∑==i i I i y P y P .(注：求)25)15((22=>αχχP ,在2χ-分布上侧临界值表中，由自由度n ＝15，及2χ-分布上侧临界值25)15(2=αχ，反找概率α值，即为所求概率). 5.对10<<α，试证) ,(1),(1m n F n m F αα=?，并利用此式求)2,28(90.0F 的值.证明：设{}αα?=>?1),(),(1n m F n m F P ------------------① 及{}αα=>),(),(m n F m n F P ，则应用F -分布性质(1)有： 第六章 数理统计的基本概念 §6.1基本概念 §6.2样本数字特征 一、填空题 1. 若12,,n X X X ,为来自总体X 的容量为n 的样本，则样本均值X = ，样本方差2S = ； 解：抽样分布定义：X = ∑=n i i X n 11 ，样本方差2S = 21 1()1n i i X X n =--∑ ； 2．设总体(4,40)X N , 1210,,X X X ,是X 的简单随机样本，则X 的概率密度()f x = ； 解：因为2 (, )(4,4)X N N n σ μ= ，所以2 2 (4)(4)8 24 ()x x f x --- - ?= = . 3．某种灯泡的寿命X 服从参数为(0)λλ>的指数分布，12,,n X X X ，是取自总体X 的简单随机样本，则12(,,)n X X X ，的联合密度函数为 ； 解： 因为X 服从参数为(0)λλ>的指数分布，其密度函数为，,0()0, 0i x i i i e x f x x λλ-?>?=?≤??， 所以12(,,)n X X X ，的联合密度函数为 1121,0,(,,)()0,n i i x n n i n i i e x f x x x f x λλ=-=?∑?>==??? ∏ ，其它. 4．设总体2 (,2)X N μ ，12,,n X X X ，为取自总体的一个样本，X 为样本均值，要使2()0.1E X μ-≤成立，则样本容量n 至少应取多大 ； 解：由题设：()4 (),()D X E X D X n n μ== =，利用公式：22()()()E X D X E X =+， 2 2 4 ()()()()00.1,40E X D X E X D X n n μμμ-=-+-=+= ≤?≥. 5．设n X X X ,,21 ， 是来自总体2 (,)N μσ的随机样本，,a b 为常数，且0a b <<，则随机区间2222 11()(),n n i i i i X X b a μμ==??-- ??? ∑∑的长度的数学期望为 。 解：长度为2222222 2222 222211 11()()()(2)n n n n i i i i i i i i i X X b a b a L X X X a b a b a b μμμμμ====----=-=-=-+∑∑∑∑， 所以 2222222222 2222222211()(2)(2)()n n i i i i b a b a n E L E X X b a a b a b a b σμμσμμμμ==--=-+=+-+=-∑∑. 49 第六章 数理统计的基本概念 一.填空题 1.若n ξξξ,,,21 是取自正态总体),(2σμN 的样本， 则∑==n i i n 11ξξ服从分布 )n ,(N 2 σμ . 2.样本),,,(n X X X 21来自总体),(~2 σμN X 则~)(22 1n S n σ- )(1χ2-n ； ~)(n S n X μ- _)(1-n t __。其中X 为样本均值，∑=--=n i n X X n S 122 11)(。 3.设4321X X X X ,,,是来自正态总体).(220N 的简单随机样本， =a X 4. 1(,y 122229 ~x x U y y y ++++ + 5. 设~(0,9),X Y N 为X 6. 随机变量 令T =, 则2~T F (1,n ) 分布. 解：由T =, 得22 X T Y n =. 因为随机变量~(0,1)X N , 所以22~(1).X χ 再由随机变量X 与Y 相互独立, 根据F 分布的构造, 得22 ~(1,).X T F n n = 50 7. 设12,, ,n X X X 是总体(0,1)N 的样本, 则统计量2 2 21 11n k k X n X =-∑服从的分布为 (1,1)F n - (需写出分布的自由度). 解：由~(0,1),1,2,,i X N i n =知22 221 2 ~(1),~(1)n k k X X n χχ=-∑, 于是 221 22 211(1) 1~(1,1)./1 1n k n k k k X n X F n X n X ==-=--∑∑ 8. 总体2 1234~(1,2),,,,X N X X X X 为总体X 的一个样本, 设 从 9. 对”) (1) 在 ， 则 样 本 对 ) (2) 若 0≠-θθ )?(E 则 称 θ为 θ 的 渐 近 无 偏 估 计 量 .( 错 ) (3) 设总体X 的期望E(X)，方差D(X)均存在，21x x , 是X 的一个样本 ， 则统计量213 2 31x x +是 E(X) 的无偏估计量。 ( 对 ) (4) 若 θθθ ==)?()?(2 1 E E 且 )?()?(2 1 θθD D <则 以 θ2估 计 θ 较 以 θ1估 计 θ 有 效 。 ( 错 ) 概率论与数理统计第六章课后习题及参考答案 1．已知总体X ～),(2σμN ，其中2σ已知，而μ未知，设1X ，2X ，3X 是取自总体X 的样本．试问下面哪些是统计量？(1)321X X X ++； (2)μ31-X ； (3)22 2σ+X ； (4)21σμ++X ；(5)},,max{321X X X ；(6)σ221++X X ；(7)∑=3 1 2 2 i i X σ ； (8) 2 μ -X ．解：(1)(3)(4)(5)(6)(7)是，(2)(8)不是．2．求下列各组样本值的平均值和样本差． (1)18，20，19，22，20，21，19，19，20，21；(2)54，67，68，78，70，66，67，70． 解：(1)9.19)21201919212022192018(10 1 101101=+++++++++==∑=i i x x ； 43.1)(9110 1 22 =-=∑=i i x x s ． (2)5.67)7067667078686754(10 1 8181=+++++++==∑=i i x x ； 018.292)(718 1 22 =-=∑=i i x x s ． 3．(1)设总体X ～)1,0(N ，则2X ～ ) 1(2χ． (2)设随机变量F ～),(21n n F ，则 F 1～) ,(12n n F ． (3)设总体X ～),(2 σμN ，则X ～),(2n N σμ，22 )1(S n σ -～)1(2 -n χ，n S X /μ -～)1(-n t ． (4)设总体X ～)10(2χ，Y ～)15(2χ，且X 与Y 相互独立，则=+)(Y X E 25， =+)(Y X D 50． 4．设随机变量X 与Y 都服从标准正态分布，则(C ) 第六章 样本及抽样分布 1.[一] 在总体N （52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率。 解： 8293 .0)7 8( )7 12( } 6 3.68.16 3.6526 3.62.1{}8.538.50{),36 3.6, 52(~2 =-Φ-Φ=< -< - =< 第六章 数理统计的基本概念 前面五章我们讲述了概率论的基本内容，随后的五章将讲述数理统计.数理统计是以概率论为理论基础的一个数学分支.它是从实际观测的数据出发研究随机现象的规律性.在科学研究中，数理统计占据一个十分重要的位置，是多种试验数据处理的理论基础. 数理统计的内容很丰富，本书只介绍参数估计、假设检验、方差分析及回归分析的部分内容. 本章中首先讨论总体、随机样本及统计量等基本概念，然后着重介绍几个常用的统计量及抽样分布. 第一节 随机样本 假如我们要研究某厂所生产的一批电视机显像管的平均寿命.由于测试显像管寿命具有破坏性，所以我们只能从这批产品中抽取一部分进行寿命测试，并且根据这部分产品的寿命数据对整批产品的平均寿命作一统计推断. 在数理统计中，我们将研究对象的某项数量指标值的全体称为总体（Population ），总体中的每个元素称为个体(Individual).例如上述的一批显像管寿命值的全体就组成一个总体，其中每一只显像管的寿命就是一个个体.要将一个总体的性质了解得十分清楚，初看起来，最理想的办法是对每个个体逐个进行观察，但实际上这样做往往是不现实的.例如，要研究显像管的寿命，由于寿命试验是破坏性的，一旦我们获得实验的所有结果，这批显像管也全烧毁了，我们只能从整批显像管中抽取一部份显像管做寿命试验，并记录其结果，然后根据这部份数据来推断整批显像管的寿命情况.由于显像管的寿命在随机抽样中是随机变量，为了便于数学上处理，我们将总体定义为随机变量.随机变量的分布称为总体分布. 一般地，我们都是从总体中抽取一部分个体进行观察，然后根据所得的数据来推断总体的性质.被抽出的部分个体，叫做总体的一个样本. 所谓从总体抽取一个个体，就是对总体X 进行一次观察（即进行一次试验），并记录其结果.我们在相同的条件下对总体X 进行n 次重复的、独立的观察，将n 次观察结果按试验的次序记为X 1，X 2，…，X n .由于X 1，X 2，…，X n 是对随机变量X 观察的结果，且各次观察是在相同的条件下独立进行的，于是我们引出以下的样本定义. 定义6.1 设总体X 是具有分布函数F 的随机变量，若X 1，X 2，…，X n 是与X 具有同一分布F （x ），且相互独立的随机变量，则称X 1，X 2，…，X n 为从总体X 得到的容量为n 的简单随机样本（Random sample ），简称为样本. 当n 次观察一经完成，我们就得到一组实数x 1，x 2，…，x n .它们依次是随机变量X 1，X 2，…，X n 的观察值，称为样本值. 对于有限总体，采用放回抽样就能得到简单样本，当总体中个体的总数N 比要得到的样本的容量n 大得多时（一般当 n N ≥10时），在实际中可将不放回抽样近似地当作放回抽样来处理. 若X 1，X 2，…，X n 为总体X 的一个样本，X 的分布函数为F （x ），则X 1，X 2，…，X n 的联合分布函数为 第6章 参数估计 选择题 1．设n X X X ,...,,21是来自正态总体X 的简单随机样本，X 的分布函数F(x;θ)中含未知参数，则 （A ）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量相同 (B) 用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不同 （C ）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不一定相同 (D) 用最大似然估计法求出的θ的估计量是唯一的 2．设n X X X ,...,,21是来自正态总体X 的简单随机样本，EX=μ，DX=σ2 ，其中μ，σ2 均为 未知参数，X =1?μ ，12?X =μ，下面结论哪个是错误的。 （A ）X =1?μ 是μ的无偏估计 (B) 12?X =μ是μ的无偏估计 （C ）X =1?μ 比12?X =μ 有效 (D) ∑=-n i i X n 1 2)(1μ是σ2的最大似然估计量 3．设n X X X ,...,,21是来自正态分布总体N(μ,σ2 )的简单随机样本，其中数学期望μ已知，则总体方差σ2 的最大似然估计量是 （A ） ∑=--n i i X X n 12)(11 (B) ∑=-n i i X X n 1 2)(1 （C ） ∑=--n i i X n 12 )(11μ (D) ∑=-n i i X n 1 2)(1μ 4．已知总体X 在区间[0,θ]上均匀分布，其中θ是未知参数，设n X X X ,...,,21是来自X 的简单随机样本，X 是样本均值，},...,max {1)(n n X X X = 是最大观测值，则下列选项错误的是 （A ）)(n X 是θ的最大似然估计量 (B) )(n X 是θ的无偏估计量 （C ）X 2是θ的矩估计量 (D) X 2是θ的无偏估计量 5． 设总体X~N(μ1,σ2 )，总体Y~N(μ2,σ2 )，m X X X ,...,,21和n Y Y Y ,...,,21分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，样本方差分别为2X S 与2Y S ，则σ2 的无偏估计量是 （A ）22Y X S S + (B) 22)1()1(Y X S n S m -+- 第六章 数理统计的基本概念 一.填空题 1.若n ξξξ,,,21Λ是取自正态总体),(2σμN 的样本， 则∑==n i i n 11ξξ服从分布 )n ,(N 2 σμ . 2.样本),,,(n X X X Λ21来自总体),(~2 σμN X 则~)(22 1n S n σ - )(1χ2-n ； ~)(n S n X μ- _)(1-n t __。其中X 为样本均值，∑=--=n i n X X n S 122 11)(。 3.设4321X X X X ,,,是来自正态总体).(220N 的简单随机样本， +-=221)2(X X a X 243)43(X X b -，则当=a 20 1=a 时，=b 1001=b 时，统计量X 服从2 X 分布，其自由度为 2 . 4. 设随机变量ξ与η相互独立, 且都服从正态分布(0,9)N , 而129(,,,) x x x L 和 129(,,,)y y y L 是分别来自总体ξ和η的简单随机样本, 则统计量 ~U = (9)t . 5. 设~(0,16),~(0,9),,X N Y N X Y 相互独立, 129,,,X X X L 与1216 ,,,Y Y Y L 分别 为X 与Y 的一个简单随机样本, 则22 2 129222 1216 X X X Y Y Y ++++++L L 服从的分布为 (9,16).F 6. 设随机变量~(0,1)X N , 随机变量2~()Y n χ, 且随机变量X 与Y 相互独立, 令T =, 则2~T F (1,n ) 分布. 解：由T =, 得22 X T Y n =. 因为随机变量~(0,1)X N , 所以22~(1).X χ 再由随机变量X 与Y 相互独立, 根据F 分布的构造, 得22 ~(1,).X T F n Y n =第六章数理统计学的基本概念
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