数值计算方法实验报告6—数值微分!!!
标题：函数的数值微分计算
1.实验描述：
在科学技术工程和实践中，经常需要求解微分方程（包括：常微分方程、偏微分方程），而微分方程求解的基础正是：数值微分。数值微分的公式对开发求解微分方程的算法具有重要的意义。
一般来说，进行数值微分计算，其结果只有计算机表示能力的一半精度，因此，在进行数值微分计算时要小心处理，具体来说，就是要找到一个优化步长进行计算。当遇到大量的数据时，一种有效的方法是：先用最小二乘法进行曲线拟合，然后对曲线函数进行微分。
本次实验：通过对已知函数采用不同方法进行数值微分，分析各种方法的误差，画出误差曲线图，找到优化步长，最后比较各种方法的优缺点。
2.实验内容：
计算余弦函数f(x)=cos(x)的数值微分（一阶导数、二阶导数）并进行误差分析。具体内容如下：
1.分别利用O(h^2),O(h^4)中心差分法计算一阶导数及误差分析；
2.分别利用O(h^2),O(h^4)中心差分法计算二阶导数及误差分析；
3.对上面4种微分，画出其0~π上不同步长h 的误差曲线图；
4.在两端点0，π采用对应精度的Lagrange 多项式微分。
3.实验原理及分析：
①O(h^2),O(h^4)中心差分法计算一阶导数及误差分析：
O(h^2)中心差分法原理：
+??∈?+∈≈
=?==∈3'232()()
设[,],且,[,],则：()；
2()
截断误差(,)(),其中()[,]。
6
trunc f x h f x h f C a b x h x h a b f x h
h f c E f h O h c c x a b O(h^4)中心差分法原理
∈??++∈?+++??+?≈
=?==∈5'454设[,],且2,,,2[,],(2)8()8()(2)
则：()；
12()
截断误差(,)(),其中()[,]。
30
trunc f C a b x h x h x h x h a b f x h f x h f x h f x h f x h
h f c E f h O h c c x a b
②O(h^2),O(h^4)中心差分法计算二阶导数及误差分析：
O(h^2)中心差分法原理：
?∈?+∈?++?+?≈
==?=∈4(2)101
2
224设C [,],且,[,],2()2()()则()
截断误差：,其中()[,]
12
trunc f a b x h x h a b f f f f x h f x f x h f h h h f c E c c x a b O(h^4)中心差分法原理：
??∈??++∈?+?+?≈
=6(2)21012
2
4设C [,],且2,,,2[,],163016则截断误差：()
trunc
f a b x h x h x h x h a b f f f f f f h E O h ③误差分析及优化步长：
如前所述：截断误差已经求出，下面将分析总误差，既舍入误差和截断误差之和。
ξξξξξξ=+≤+=≤+=21231
24
2(,)下面以()中心差分法为例：
3一阶导数误差：,优化步长(),
6其中为舍入误差的界，为三阶导数的界；
448二阶导数误差：,优化步长()12其中为舍入误差的界，为四阶导数的界。
round trunc
E f h E E O h Mh E h h M
M Mh E h M h
M ④Lagrange 多项式微分：
如果函数必须求其单侧微分，则不能使用中心差分公式，此时需要应用Lagrange 多项式微分进行计算，计算公式分为：前向微分公式和后向微分公式，在左端点应用前向微分公式，在右端点应用后向微分公式。具体公式如下：?+?≈
≈?+?≈?+?≈'012
'0-1-2
(2)0123
2
(2)0-1-2-3
2
34(),(前向微分)；
23-4+()（后向微分）；
2254(),(前向微分)；254(),(后向微分)。f f f f x h f f f f x h
f f f f f x h
f f f f f x h
4.实验结果及结论分析：
①O(h^2),O(h^4)中心差分法计算一阶导数及误差分析：
关键代码：
X=[x'x'x'x'x'x'x'x'x'];
Y=-sin(X);%Y为真实导数
Y1=1/2*(f1-f_1)*diag(h1)^(-1);
%Y1为O(h^2)中心差分法计算的导数
Y2=1/12*(-f2+8*f1-8*f_1+f_2)*diag(h1)^(-1);
%Y2为O(h^4)中心差分法计算的导数
E1=Y1-Y;%E1为O(h^2)中心差分法计算的误差
E2=Y2-Y;%E2为O(h^2)中心差分法计算的导误差figure(1),plot(X,Y1,'r',X,Y2,'b',X,Y,'y')
%画出数值微分曲线及真实微分曲线
figure(2),plot(X,E1,'r',X,E2,'b')%画出误差曲线
EB1=0.5*10^(-9)*diag(diag(h1)^(-1))+diag(diag(h1)).^2/6;
%EB1为O(h^2)中心差分法计算的误差边界
EB2=1.5*10^(-9)*diag(diag(h1)^(-1))+diag(diag(h1)).^4/30;
%EB2为O(h^4)中心差分法计算的误差边界
figure(3),plot(h1',EB1,'r',h1',EB2,'k')%画出误差边界曲线曲线图如下：
由误差边界曲线图可知：最优步长h约为0.18；由误差曲线图可知：O(h^2)中心差分法误差比O(h^4)中心差分法误差大。
②O(h^2),O(h^4)中心差分法计算二阶导数及误差分析：
关键代码：
Y=-cos(X);%Y为真实二阶导数
Y1=(f1+f_1-2*f0)*diag(h1.^2)^(-1);
%Y1为O(h^2)中心差分法计算的二阶导数
Y2=1/12*(-f2+16*f1-30*f0+16*f_1-f_2)*diag(h1.^2)^(-1);
%Y2为O(h^4)中心差分法计算的二阶导数
E1=Y1-Y;%E1为O(h^2)中心差分法计算的误差E2=Y2-Y;%E2为O(h^2)中心差分法计算的误差figure(1),plot(X,Y1,'r',X,Y2,'b',X,Y,'y')
%画出数值微分曲线及真实二阶微分曲线
figure(2),plot(X,E1,'r',X,E2,'b')%画出误差曲线
EB1=4*0.5*10^(-9)*(diag(diag(h1)^(-1))).^2+diag(diag(h1)).^4/12;
%EB1为O(h^2)中心差分法计算的误差边界
EB2=16/3*0.5*10^(-9)*(diag(diag(h1)^(-1))).^2+diag(diag(h1)).^4/90; %EB2为O(h^4)中心差分法计算的误差边界
figure(3),plot(h1',EB1,'r',h1',EB2,'k')%画出误差边界曲线曲线图如下：
由误差边界曲线图可知：最优步长h约为0.38；由误差曲线图可知：O(h^2)中心差分法误差比O(h^4)中心差分法误差大。
③端点处的Lagrange多项式微分：
关键代码：
y11=0.5*(-3*f01+4*f11-f12)'.*diag(diag(h1)^(-1));
%y11为x=0处一阶导数计算值，计算中使用前向微分公式y21=0.5*(3*f02-4*f21+f22)'.*diag(diag(h1)^(-1));
%y21为x=pi处一阶导数计算值，计算中使用后向微分公式
y12=(2*f01-5*f11-4*f12-f13)'.*diag(diag(h1.^2)^(-1));
%y21为x=0处二阶导数计算值，计算中使用前向微分公式
y22=(2*f02-5*f21-4*f22-f23)'.*diag(diag(h1.^2)^(-1));
%y22为x=pi处二阶导数计算值，计算中使用前向微分公式e11=y11-y110;%e11为x=0处一阶导数误差值
e21=y21-y210;%e21为x=pi处一阶导数误差值
e12=y12-y120;%e12为x=0处二阶导数误差值
e22=y22-y220;%e2为x=pi处二阶导数误差值
figure(1),plot(h1',y11,'r',h1',y12,'b')%画出一阶，二阶导数曲线figure(2),plot(h1',e11,'r',h1',e12,'b')%画出一阶，二阶导数误差曲线曲线图如下：
由误差曲线图可知：最优步长h约为0.9；我们发现误差曲线图与计算曲线图几乎完全一样，这是因为步长较小，函数值也较小，故两者之间的差异不明显。
结论分析：
1.数值微分计算最重要的是选择恰当的步长，既优化步长，如果步长选择不当，则计算结果误差很大。
2.不同计算方法对应的优化步长不同，在确定优化步长时，我们往往通过误差边界来求解优化步长。
3.一般来说，在相同步长的条件下，高阶计算公式所得结果精度较高，误差较小，但方法较复杂。
4.利用拟合法（Lagrange多项式拟合法、Newton多项式拟合法等）可以计算端点处的微分值，这是中心差分法所不能做到的。
附件1（代码）：
①O(h^2),O(h^4)中心差分法计算一阶导数及误差曲线图：
h1=pi*(1:9)/20;%h1,h2为步长向量
h2=2*h1;
x=pi*(1:199)/200;
f1=[cos(x+h1(1))'cos(x+h1(2))'cos(x+h1(3))'cos(x+h1(4))'
cos(x+h1(5))'cos(x+h1(6))'cos(x+h1(7))'cos(x+h1(8))'cos(x+h1(9))']; %f1为f(x+h)
f_1=[cos(x-h1(1))'cos(x-h1(2))'cos(x-h1(3))'cos(x-h1(4))'
cos(x-h1(5))'cos(x-h1(6))'cos(x-h1(7))'cos(x-h1(8))'cos(x-h1(9))']; %f_1为f(x-h)
f2=[cos(x+h2(1))'cos(x+h2(2))'cos(x+h2(3))'cos(x+h2(4))'
cos(x+h2(5))'cos(x+h2(6))'cos(x+h2(7))'cos(x+2*h2(8))'
cos(x+h2(9))'];%f2为f(x+2h)
f_2=[cos(x-h2(1))'cos(x-h2(2))'cos(x-h2(3))'cos(x-h2(4))'
cos(x-h2(5))'cos(x-h2(6))'cos(x-h2(7))'cos(x-2*h2(8))'
cos(x-h2(9))'];%f_2为f(x-2h)
X=[x'x'x'x'x'x'x'x'x'];
Y=-sin(X);%Y为真实导数
Y1=1/2*(f1-f_1)*diag(h1)^(-1);
%Y1为O(h^2)中心差分法计算的导数
Y2=1/12*(-f2+8*f1-8*f_1+f_2)*diag(h1)^(-1);
%Y2为O(h^4)中心差分法计算的导数
E1=Y1-Y;%E1为O(h^2)中心差分法计算的误差
E2=Y2-Y;%E2为O(h^2)中心差分法计算的误差
figure(1),plot(X,Y1,'r',X,Y2,'b',X,Y,'y')
%画出数值微分曲线及真实微分曲线
figure(2),plot(X,E1,'r',X,E2,'b')%画出误差曲线
EB1=0.5*10^(-9)*diag(diag(h1)^(-1))+diag(diag(h1)).^2/6;
%EB1为O(h^2)中心差分法计算的误差边界
EB2=1.5*10^(-9)*diag(diag(h1)^(-1))+diag(diag(h1)).^4/30;
%EB2为O(h^4)中心差分法计算的误差边界
figure(3),plot(h1',EB1,'r',h1',EB2,'k')%画出误差边界曲线②O(h^2),O(h^4)中心差分法计算二阶导数及误差曲线图：
h1=pi*(1:9)/20;%h1,h2为步长向量
h2=2*h1;
x=pi*(1:199)/200;
X=[x'x'x'x'x'x'x'x'x'];
f0=cos(X);
f1=[cos(x+h1(1))'cos(x+h1(2))'cos(x+h1(3))'cos(x+h1(4))' cos(x+h1(5))'cos(x+h1(6))'cos(x+h1(7))'cos(x+h1(8))'cos(x+h1(9))']; %f1为f(x+h)
f_1=[cos(x-h1(1))'cos(x-h1(2))'cos(x-h1(3))'cos(x-h1(4))' cos(x-h1(5))'cos(x-h1(6))'cos(x-h1(7))'cos(x-h1(8))'cos(x-h1(9))']; %f_1为f(x-h)
f2=[cos(x+h2(1))'cos(x+h2(2))'cos(x+h2(3))'cos(x+h2(4))' cos(x+h2(5))'cos(x+h2(6))'cos(x+h2(7))'cos(x+2*h2(8))' cos(x+h2(9))'];%f2为f(x+2h)
f_2=[cos(x-h2(1))'cos(x-h2(2))'cos(x-h2(3))'cos(x-h2(4))' cos(x-h2(5))'cos(x-h2(6))'cos(x-h2(7))'cos(x-2*h2(8))' cos(x-h2(9))'];%f_2为f(x-2h)
Y=-cos(X);%Y为真实二阶导数
Y1=(f1+f_1-2*f0)*diag(h1.^2)^(-1);
%Y1为O(h^2)中心差分法计算的二阶导数
Y2=1/12*(-f2+16*f1-30*f0+16*f_1-f_2)*diag(h1.^2)^(-1);
%Y2为O(h^4)中心差分法计算的二阶导数
E1=Y1-Y;%E1为O(h^2)中心差分法计算的误差E2=Y2-Y;%E2为O(h^2)中心差分法计算的误差figure(1),plot(X,Y1,'r',X,Y2,'b',X,Y,'y')
%画出数值微分曲线及真实二阶微分曲线
figure(2),plot(X,E1,'r',X,E2,'b')%画出误差曲线
EB1=4*0.5*10^(-9)*(diag(diag(h1)^(-1))).^2+diag(diag(h1)).^4/12;
%EB1为O(h^2)中心差分法计算的误差边界
EB2=16/3*0.5*10^(-9)*(diag(diag(h1)^(-1))).^2+diag(diag(h1)).^4/90; %EB2为O(h^4)中心差分法计算的误差边界
figure(3),plot(h1',EB1,'r',h1',EB2,'k')%画出误差边界曲线③端点处的Lagrange多项式微分：
h1=pi*(1:9)/20;%h1,h2为步长向量
h2=2*h1;
h3=2*h1;
f01=[111111111];%f01中各值为f(0)=cos(0)=1
f02=-f01;%f02中各值为f(pi)=cos(pi)=-1
f11=cos(h1);
f12=cos(h2);
f13=cos(h3);
f21=-f11;
f22=-f12;
f23=-f13;
y110=0;
y120=-1;
y210=0;
y220=1;
y11=0.5*(-3*f01+4*f11-f12)'.*diag(diag(h1)^(-1));
%y11为x=0处一阶导数计算值，计算中使用前向微分公式y21=0.5*(3*f02-4*f21+f22)'.*diag(diag(h1)^(-1));
%y21为x=pi处一阶导数计算值，计算中使用后向微分公式
y12=(2*f01-5*f11-4*f12-f13)'.*diag(diag(h1.^2)^(-1));
%y21为x=0处二阶导数计算值，计算中使用前向微分公式
y22=(2*f02-5*f21-4*f22-f23)'.*diag(diag(h1.^2)^(-1));
%y22为x=pi处二阶导数计算值，计算中使用前向微分公式e11=y11-y110;%e11为x=0处一阶导数误差值
e21=y21-y210;%e21为x=pi处一阶导数误差值
e12=y12-y120;%e12为x=0处二阶导数误差值
e22=y22-y220;%e2为x=pi处二阶导数误差值
figure(1),plot(h1',y11,'r',h1',y12,'b')%画出一阶，二阶导数曲线figure(2),plot(h1',e11,'r',h1',e12,'b')%画出一阶，二阶导数误差曲线附件2（流程图）：
①O(h^2),O(h^4)中心差分法计算一阶导数及误差曲线图：
②O(h^2),O(h^4)中心差分法计算二阶导数及误差曲线图：
③端点处的Lagrange多项式微分计算及误差曲线图：
积分电路和微分电路实验报告
竭诚为您提供优质文档/双击可除积分电路和微分电路实验报告 篇一：实验6积分与微分电路 实验6积分与微分电路 1.实验目的 学习使用运放组成积分和微分电路。 2.实验仪器 双踪示波器、信号发生器、交流毫伏表、数字万用表。 3.预习内容 1）阅读op07的“数据手册”，了解op07的性能。2）复习关于积分和微分电路的理论知识。3)阅读本次实验的教材。 4.实验内容 1）积分电路如图5.1。在理想条件下，为零时，则 dV(t)Vi(t) ??co，当c两端的初始电压Rdt Vo(t)?? 1t
Vi(t)dtRc?o 因此而得名为积分电路。 （1）取运放直流偏置为?12V，输入幅值Vi=-1V的阶跃电压，测量输出饱和电压和有效积分时间。 若输入为幅值Vi=-1V阶跃电压时，输出为 Vo(t)?? Vi1t Vdt??t，(1)i Rc?oRc 这时输出电压将随时间增长而线性上升。 通常运放存在输入直流失调电压，图6.1所示电路运放直流开路，运放以开环放大倍数放大输入直流失调电压，往往使运放输出限幅，即输出电压接近直流电源电压，输出饱和，运放不能正常工作。在op07的“数据手册”中，其输入直流失调电压的典型值为30μV；开环增益约为112db，即4×105。据此可以估算，当Vi=0V时，Vo=30μV×4×105=12V。电路实际输出接近直流偏置电压，已无法正常工作。 建议用以下方法。按图6.1接好电路后，将直流信号源输出端与此同时Vi相接，调整直流信号源，使其输出为-1V，将输出Vo接示波器输入，用示波器可观察到积分电路输出饱和。保持电路状态，关闭直流偏置电源，示波器x轴扫描
数值计算实验课题目
数值实验课试题 本次数值实验课结课作业，请按题目要求内容写一篇文章。按题目要求 人数自由组合，每组所选题目不得相同(有特别注明的题目除外)。试题如下： 1）解线性方程组的Gauss 消去法和列主元Gauss 消去法(2人)/*张思珍，巩艳华*/ 用C 语言将不选主元和列主元Gauss 消去法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解下列84阶的方程组 ???? ?????? ? ??=??????????? ????????????? ? ?1415151515768 168 168 168 1681684 8382321 x x x x x x 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值线性代数》，徐树方、高立、张平文编 3.《数值分析简明教程》，王能超编 2）解线性方程组的平方根法(4人)/*朱春成、黄锐奇、张重威、章杰*/ 用C 语言将平方根法和改进的平方根法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解对称正定方程组b Ax =，其中 (1)b 随机的选取，系数矩阵为100阶矩阵 ?????? ???? ? ? ?101 1101 1101 1101 1101110 ； (2)系数矩阵为40阶的Hilbert 矩阵，即系数矩阵A 的第i 行第j 列元素为 1 1-+= j i a ij ，向量b 的第i 个分量为∑=-+ = n j i j i b 1 1 1. 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值线性代数》，徐树方、高立、张平文编
3.《数值分析简明教程》，王能超编 3）三对角线方程组的追赶法(3人)/*黄佳礼、唐伟、韦锡倍*/ 用C 语言将三对角线方程组的追赶法法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解如下84阶三对角线方程组 ???? ?????? ? ??=??????????? ????????????? ? ?1415151515768 168 168 168 16816 84 8382321 x x x x x x 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值分析简明教程》，王能超编 4）线性方程组的Jacobi 迭代法(3人)/*周桂宇、杨飞、李文军*/ 用C 语言将Jacobi 迭代法编写成独立的子程序，并用此求解下列方程组， 精确到小数点后5位 ???? ? ??=????? ??????? ? ?-149012 2111221 3 2 1 x x x 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值线性代数》，徐树方、高立、张平文编 3.《数值分析简明教程》，王能超编 5）线性方程组的Gauss-Seidel 迭代法(3人)/*张玉超、范守平、周红春*/ 用C 语言将Gauss-Seidel 迭代法编写成独立的子程序，并用此求解下列方程组，精确到小数点后5位 ???? ? ??=????? ??????? ? ?--39721 1111112 3 2 1 x x x 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值线性代数》，徐树方、高立、张平文编 3.《数值分析简明教程》，王能超编 6）解线性方程组的最速下降法法(2人)/*赵育辉、阿热孜古丽*/ 用C 语言将最速下降法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解对称
081数值计算方法—常微分方程(组)
科学计算—理论、方法 及其基于MATLAB 的程序实现与分析 微分方程（组）数值解法 §1 常微分方程初值问题的数值解法 微分方程（组）是科学研究和工程应用中最常用的数学模型之一。如揭示质点运动规律的Newton 第二定律： ()()()?????'='==0 00022x t x x t x t F dt x d m （１） 和刻画回路电流或电压变化规律的基尔霍夫回路定律等，但是，只有一些简单的和特殊的常微分方程及常微分方程组，可以求得用公式给出的所谓“解析解”或“公式解”，如一阶线性微分方程的初值问题： () ()0 0y y t f ay dt dy =+= （２） 的解为： ()()()τττd f e y e t y t t a at ?-+=00 （３） 但是，绝大多数在实际中遇到的常微分方程和常微分方程组得不到“解析解”，因此，基于如下的事实：
１、绝大多数的常微分方程和常微分方程组得不到（有限形式的）解析解； ２、实际应用中往往只需要知道常微分方程（组）的解在（人们所关心的）某些点处的函数值（可以是满足一定精度要求的近似值）； 如果只需要常微分方程（组）的解在某些点处的函数值，则没有必要非得通过求得公式解，然后再计算出函数值不可，事实上，我们可以采用下面将介绍的常微分方程（组）的初值问题的数值解法，就可以达到这一目的。 一般的一阶常微分方程（组）的初值问题是指如下的一阶常微分方程（组）的定解问题： ()()0 00,y t y t t t y t F dt dy f =≤≤= （７） 其中 ()()()()???? ?? ? ??=t y t y t y t y n 21 （８） ()()()()???? ?? ? ??=y t f y t f y t f y t F n ,,,,21 （９） 常微分方程（组）的初值问题通常是对一动态过程（动态系统、动力系统）演化规律的描述，求解常微分方程（组）的初值问题就是要了解和掌握动态过程演化规律。 §１.1 常微分方程（组）的Cauch 问题数值解法概论
数值分析实验报告1
实验一误差分析 实验1.1（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 其中ε（1.1）和（1.221,,,a a 的输出b ”和“poly ε。 （1（2 （3）写成展 关于α solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。 实验过程： 程序： a=poly(1:20); rr=roots(a); forn=2:21 n form=1:9 ess=10^(-6-m);
ve=zeros(1,21); ve(n)=ess; r=roots(a+ve); -6-m s=max(abs(r-rr)) end end 利用符号函数：（思考题一）a=poly(1:20); y=poly2sym(a); rr=solve(y) n
很容易的得出对一个多次的代数多项式的其中某一项进行很小的扰动，对其多项式的根会有一定的扰动的，所以对于这类病态问题可以借助于MATLAB来进行问题的分析。 学号：06450210 姓名：万轩 实验二插值法
曲线拟合的数值计算方法实验
曲线拟合的数值计算方法实验 【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。 关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束 一、实验目的 1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。 2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。 3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。 二、实验原理 1.曲线拟合 曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中，通过 实验或观测得到量x与y的一组数据对（X i ，Y i )（i=1，2，...m），其中各X i 是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x，c）来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或 拟合已知数据。f(x，c)常称作拟合模型，式中c=(c 1，c 2 ，…c n )是一些待定参 数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在
太原理工大学数值计算方法实验报告
本科实验报告 课程名称：计算机数值方法 实验项目：方程求根、线性方程组的直接解 法、线性方程组的迭代解法、代数插值和最 小二乘拟合多项式 实验地点：行勉楼 专业班级： ******** 学号： ********* 学生姓名： ******** 指导教师：李誌，崔冬华 2016年 4 月 8 日
y = x*x*x + 4 * x*x - 10; return y; } float Calculate(float a,float b) { c = (a + b) / 2; n++; if (GetY(c) == 0 || ((b - a) / 2) < 0.000005) { cout << c <<"为方程的解"<< endl; return 0; } if (GetY(a)*GetY(c) < 0) { return Calculate(a,c); } if (GetY(c)*GetY(b)< 0) { return Calculate(c,b); } } }; int main() { cout << "方程组为：f(x)=x^3+4x^2-10=0" << endl; float a, b; Text text; text.Getab(); a = text.a; b = text.b; text.Calculate(a, b); return 0; } 2.割线法： // 方程求根（割线法）.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。// #include "stdafx.h" #include"iostream"
心得体会 使用不同的方法，可以不同程度的求得方程的解，通过二分法计算的程序实现更加了解二分法的特点，二分法过程简单，程序容易实现，但该方法收敛比较慢一般用于求根的初始近似值，不同的方法速度不同。面对一个复杂的问题，要学会简化处理步骤，分步骤一点一点的循序处理，只有这样，才能高效的解决一个复杂问题。
RC一阶电路实验报告材料
实验二十一一阶线性电路过滤过程的观测 一、实验目的 1、测定RC一阶电路的零输入响应，零状态响应及完全响应。 2、学习电路时间常数的测量方法。 3、掌握有关微分电路和积分电路的概念。 4、学会用示波器测绘图形。 二、实验容 RC串联电路，在方波序列脉冲的重复激励下，当满足τ=RC< 时间常数的测量 R=4K R=1K R=6K C=0.22U R=1K R=1K 三、误差分析 1)实验过程中的读数误差 2）仪器的基本误差 3）导线连接不紧密产生的接触误差 四、实验总结 在RC一阶电路的R=2k，C=0.047u中理论值t=RC=0.094MS，在仿真实验中t=0.093.5ms 其相对误差为r=0.0005/0.094*100%=0.531%<5% 在误差允许的围测得的数值可以采用。 当T=t时，Uc(t)=0.368Us，此时所对应的时间就是t，亦可用零状态响应波形增长到0.632Us所对应的时间测量。 在RC的数值变化时，即t=RC也随之变化，t越小其响应变化就越快，反之越慢。 积分电路的形成条件：一个简单的RC串联电路序列脉冲的重复激励下，当满足t=RC>>T/2条件时，且由C端作为响应输出，即为积分电路。 积分电路波形变换的特征:积分电路可以使输出方波转换成三角波或斜波。积分电路可以使矩形脉冲波转换成锯齿波或三角波。 稍微改变电阻值或增大C值，RC值也会随之变化，t越大，锯齿波的线性越好。 (此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 2012级6班###(学号)计算机数值方法 实验报告成绩册 姓名:宋元台 学号： 成绩： 数值计算方法与算法实验报告 学期： 2014 至 2015 第 1 学期 2014年 12月1日课程名称: 数值计算方法与算法专业:信息与计算科学班级 12级5班 实验编号： 1实验项目Neton插值多项式指导教师：孙峪怀 姓名：宋元台学号：实验成绩： 一、实验目的及要求 实验目的： 掌握Newton插值多项式的算法，理解Newton插值多项式构造过程中基函数的继承特点，掌握差商表的计算特点。 实验要求： 1. 给出Newton插值算法 2. 用C语言实现算法 二、实验内容 三、实验步骤(该部分不够填写.请填写附页) 1.算法分析： 下面用伪码描述Newton插值多项式的算法： Step1 输入插值节点数n，插值点序列{x(i),f(i)},i=1,2,……,n,要计算的插值点x. Step2 形成差商表 for i=0 to n for j=n to i f(j)=((f(j)-f(j-1)(x(j)-x(j-1-i)); Step3 置初始值temp=1,newton=f(0) Step4 for i=1 to n temp=(x-x(i-1))*temp*由temp(k)=(x-x(k-1))*temp(k-1)形成 (x-x(0).....(x-x(i-1)* Newton=newton+temp*f(i); Step5 输出f（x）的近似数值newton(x)=newton. 2.用C语言实现算法的程序代码 #include ? 实验七 RC 一阶电路的响应测试 一、实验目的 1. 测定RC 一阶电路的零输入响应、零状态响应及完全响应。 2. 学习电路时间常数的测量方法。 3. 掌握有关微分电路和积分电路的概念。 4. 进一步学会用示波器观测波形。 二、原理说明 1. 动态网络的过渡过程是十分短暂的单次变化过程。要用普通示波器观察过渡过程和测量有关的参数，就必须使这种单次变化的过程重复出现。为此，我们利用信号发生器输出的方波来模拟阶跃激励信号，即利用方波输出的上升沿作为零状态响应的正阶跃激励信号；利用方波的下降沿作为零输入响应的负阶跃激励信号。只要选择方波的重复周期远大于电路的时间常数τ，那么电路在这样的方波序列脉冲信号的激励下，它的响应就和直流电接通与断开的过渡过程是基本相同的。 2.图7-1（b ）所示的 RC 一阶电路的零输入响应和零状态响应分别按指数规律衰减和增长，其变化的快慢决定于电路的时间常数τ。 3. 时间常数τ的测定方法: 用示波器测量零输入响应的波形如图7-1(a)所示。 根据一阶微分方程的求解得知u c ＝U m e -t/RC ＝U m e -t/τ 。当t ＝τ时，Uc(τ)＝0.368U m 。 此时所对应的时间就等于τ。亦可用零状态响应波形增加到0.632U m 所对应的时间测得，如图13-1(c)所示。 a) 零输入响应 (b) RC 一阶电路 (c) 零状态响应 图 7-1 4. 微分电路和积分电路是RC 一阶电路中较典型的电路， 它对电路元件参数和输入信号的周期有着特定的要求。一个简单的 RC 串联电路， 在方波序列脉冲的重复激励下， 当 满足τ＝RC<< 2 T 时（T 为方波脉冲的重复周期），且由R 两端的电压作为响应输出，则该电路就是一个微分电路。因为此时电路的输出信号电压与输入信号电压的微分成正比。如图 0.368t t t t 0.6320 000c u u U m c u c u u U m U m U m 实验一 误差分析 实验（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（）和（）根的差别，从而分析方程（）的解对扰动的敏感性。 实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b = 的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve = ))20:1((ve poly roots + 上述简单的Matlab 程序便得到（）的全部根，程序中的“ess ”即是（）中的ε。 实验要求： （1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。 如果扰动项的系数ε很小，我们自然感觉（）和（）的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现表明有些解关于如此的扰动敏感性如何 （2）将方程（）中的扰动项改成18x ε或其它形式，实验中又有怎样的现象 出现 （3）（选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将 方程（）写成展开的形式， ) 3.1(0 ),(1920=+-= x x x p αα 同时将方程的解x 看成是系数α的函数，考察方程的某个解关于α的扰动是否敏感，与研究它关于α的导数的大小有何关系为什么你发现了什么现象，哪些根关于α的变化更敏感 思考题一：（上述实验的改进） 在上述实验中我们会发现用roots 函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用符号函数solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。 实验九积分与微分电路 学院：信息科学与技术学院专业：电子信息工程 姓名：刘晓旭 学号：2011117147 一．实验目的 1．掌握集成运算放大器的特点、性能及使用方法。 2．掌握比例求和电路、微积分电路的测试和分析方法。 3．掌握各电路的工作原理和理论计算方法。 二．实验仪器 1．数字万用表2．直流稳压电源3．双踪示波器4．信号发生器5．交流毫伏表。三．预习要求 1.分析图7-8 实验电路，若输入正弦波，u o 与u i 的相位差是多少？当输入信号为100Hz、有 效值为2V时，u o =? 2.图7-8 电路中，若输入方波，u o 与u i 的相位差？当输入信号为160Hz幅值为1V时，输出 u o =? 3.拟定实验步骤，做好记录表格。 四．实验原理 集成运放可以构成积分及微分运算电路，如下图所示： 微积分电路的运算关系为： 五．实验内容： 1.积分电路 按照上图连接积分电路，检查无误后接通+12，-12V直流电源。 （1）取U i=-1v，用示波器观察波形u0，并测量运放输出电压的正向饱和电压值。 （2）取U i=1V,测量运放的负向饱和电压值。 （3）将电路中的积分电容改为改为0.1uF，u i分别输入1KHz幅值为2v的方波和正弦信号，观察u i和u o的大小及相位关系，并记录波形，计算电路的有效积分时间。 （4）改变电路的输入信号的频率，观察u i和u o的相位，幅值关系。 2.微分电路 实验电路如上图所示。 （1）输入正弦波信号，f=500Hz，有效值为1v，用示波器观察u i和u o的波形并测量输出电压值。 （2）改变正弦波频率（20Hz-40Hz），观察u i和u o的相位，幅值变化情况并记录。 （3）输入方波，f=200Hz,U=5V，用示波器观察u0波形，并重复上述实验。 （4）输入三角波，f=200Hz,U=2V，用示波器观察u0波形，并重复上述实验 3.积分-微分电路 实验电路如图所示 （1）输入f=200Hz,u=6V的方波信号，用示波器观察u i和u o的波形并记录。 （2）将f改为500Hz，重复上述实验。 解答： 1.（1）取U i=-1v，用示波器观察波形u0，并测量运放输出电压的正向饱和电压值 电路仿真图如下图所示： 实验报告 学院（系）名称： 主程序部分列选主元部分 实验结果： 一．列主元消去法 输入各个数据，最终使用列选主元法，得到结果为：x1=x2=x3=1二．高斯-赛德尔迭代法 输入各个数据，输出每一步迭代数据，最终结果为：x1=0.285716，附录（源程序及运行结果） 一．列主元高斯消去法 #include 模拟电路实验报告 微积分电路 一．实验目的 1.微积分电路的工作原理及计算方法。 2.微积分电路的测试分析方法。 二．实验仪器 数字万用表 信号发生器 示波器 交流毫伏表 直流稳压电源 三．实验原理 实验原理可以构成积分和微分运算电路： 微分电路的运算关系：u 。=-RC dt du i 积分电路的运算关系：u 。=-RC 1 i u dt 四．实验内容 1．积分电路 连接积分电路，检查无误后接通+12v 和-12v 直流电源。 ①取ui=-1v,用示波器观察波形u 。，并测量运放输出电压的正向饱和电压值。（即为积分带最大时，为11.118v ） ②取ui=1v,测量运放的负向饱和电压值。（为-11.118v ） 由于波形上下波动很快，所以无法在实验实测其饱和电压值。 ③将电路中的积分电容改为0.1uF ，ui 分别输入1KHz 幅值为2v 的方波和正弦信号，观察u i 和u 。的大小及相位关系，并记录波形，计算电路的有效积分时间。 a. 输入1KHz 的方波时(记录为幅值) b. 输入1KHz 的方波时(记录为幅值) 有效积分时间：31010?==RC τ6101.0-??=0.001s ④改变电路的输入信号的频率，观察ui 和u 。的相位，幅值关系。(输入为正弦波) 随着频率变大，幅值变小，相位不变。 2．微分电路 在输入端串联滑动变阻，改进微分电路,滑动变阻器可以减少电路反馈滞后与内部滞后产生自激引起的失真。 ①输入正弦波信号，f=500Hz,有效值为1v，用示波器观察Ui和U。的波形并测量输出电压值。（记录为幅值） 仿真值：ui=1.4V u。=4.3V 实验值：ui=1.4V u。=4.5V 此时滑动变阻为1k欧姆，波形无失真。 ②改变正弦波频率（20Hz——40Hz）,观察Ui和U。的相位，幅值变化的情况并记录。(记录为幅值) 随着频率的增大，幅值也在增大，相位没有变化。 ③输入方波，f=200Hz，U=±5v,用示波器观察U。波形，并重复上述实验。 实验：输入方波，f=200Hz，U=±5v，滑动变阻为45k欧姆。 ④输入三角波，f=200Hz,U=±2v,用示波器观察U。波形，重复上述实验。 仿真波形为：输出为4v. 实验：输入方波，f=200Hz，U=±5v，滑动变阻为45k欧姆。 3．积分——微分电路： 在输入端串联滑动变阻，改进微分电路,滑动变阻器可以减少电路反馈滞后与内部滞后产生自激引起的失真。 郑州大学研究生课程（2012-2013学年第一学期）数值分析 Numerical Analysis 习题课 第八章常微分方程数值解法 待求解的问题：一阶常微分方程的初值问题/* Initial-Value Problem */: ?????=∈=0 )(] ,[),(y a y b a x y x f dx dy 解的存在唯一性（“常微分方程”理论）：只要f (x , y ) 在[a , b ] ×R 1 上连续，且关于y 满足Lipschitz 条件，即存在与x , y 无关的常数L 使 对任意定义在[a , b ] 上的y 1(x ) 和y 2(x ) 都成立，则上述IVP 存在唯一解。 1212|(,)(,)||| f x y f x y L y y ?≤?一、要点回顾 §8.2 欧拉(Euler)法 通常取(常数),则Euler 法的计算格式 h h x x i i i ==?+1?? ?=+=+) (),(001x y y y x hf y y i i i i i =0,1,…,n ( 8.2 ) §8.2 欧拉(Euler)法(1) 用差商近似导数 )) (,()()()()(1n n n n n n x y x hf x y x y h x y x y +=′+≈+?? ?=+=+) (),(01a y y y x hf y y n n n n 差分方程初值问题向前Euler 方法h x y x y x y n n n ) ()()(1?≈ ′+)) (,() ()(1n n n n x y x f h x y x y ≈?+))(,()(n n n x y x f x y =′ 实验一 元件特性的示波测量法 一、实验目的 1、学习用示波器测量正弦信号的相位差。 2、学习用示波器测量电压、电流、磁链、电荷等电路的基本变量 3、掌握元件特性的示波测量法，加深对元件特性的理解。 二、实验任务 1、 用直接测量法和李萨如图形法测量RC 移相器的相移??即uC u s ??-实验原理图如图 5-6示。 2、 图5-3接线，测量下列电阻元件的电流、电压波形及相应的伏安特性曲线（电源频率在 100Hz~1000Hz 内）： （1）线性电阻元件（阻值自选） （2）给定非线性电阻元件（测量电压范围由指导教师给定）电路如图5-7 3、按图5-4接线，测量电容元件的库伏特性曲线。 4、测量线性电感线圈的韦安特性曲线，电路如图5-5 5、测量非线性电感线圈的韦安特性曲线，电源通过电源变压器供给，电路如图5-8所示。 图 5-7 图 5-8 这里，电源变压器的副边没有保护接地，示波器的公共点可以选图示接地点，以减少误差。 三、思考题 1、元件的特性曲线在示波器荧光屏上是如何形成的，试以线性电阻为例加以说明。 答：利用示波器的X-Y方式，此时锯齿波信号被切断，X轴输入电阻的电流信号，经放大后加至水平偏转板。Y轴输入电阻两端的电压信号经放大后加至垂直偏转板，荧屏上呈现的是u x,u Y的合成的图形。即电流电压的伏安特性曲线。 3、为什么用示波器测量电路中电流要加取样电阻r，说明对r的阻值有何要求？ 答：因为示波器不识别电流信号，只识别电压信号。所以要把电流信号转化为电压信号，而电阻上的电流、电压信号是同相的，只相差r倍。r的阻值尽可能小，减少对电路的影响。一般取1-9Ω。 四、实验结果 1．电阻元件输入输出波形及伏安特性 1． 设?+=1 05dx x x I n n ， （1） 由递推公式n I I n n 1 51+-=-，从0I 的几个近似值出发，计算20I ； 解：易得：0I =ln6-ln5=0.1823, 程序为： I=0.182; for n=1:20 I=(-5)*I+1/n; end I 输出结果为：20I = -3.0666e+010 （2） 粗糙估计20I ，用n I I n n 51 5111+- =--，计算0I ； 因为 0095.05 6 0079.01020 201 020 ≈<<≈??dx x I dx x 所以取0087.0)0095.00079.0(2 1 20=+= I 程序为：I=0.0087; for n=1:20 I=(-1/5)*I+1/(5*n); end I 0I = 0.0083 （3） 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。 首先分析两种递推式的误差；设第一递推式中开始时的误差为000I I E '-=，递推过程的舍入误差不计。并记n n n I I E '-=，则有01)5(5E E E n n n -==-=-Λ。因为=20E 20020)5(I E >>-，所此递推式不可靠。而在第二种递推式中n n E E E )5 1(5110-==-=Λ，误差在缩小， 所以此递推式是可靠的。出现以上运行结果的主要原因是在构造递推式过程中，考虑误差是否得到控制， 即算法是否数值稳定。 2． 求方程0210=-+x e x 的近似根，要求4 1105-+?<-k k x x ，并比较计算量。 （1） 在[0，1]上用二分法； 程序：a=0;b=1.0; while abs(b-a)>5*1e-4 c=(b+a)/2; 图５畅２ 令珔h ＝h λ，则y n ＋１＝１＋珔 h ＋１２珔h ２ ＋１６珔h ３＋１２４ 珔 h ４y n ．由此可知，绝对稳定性区域在珔h ＝h λ复平面上满足 ｜１＋珔 h ＋１２珔h ２＋１６珔h ３＋１２４珔h ４ ｜≤１的区域，也就是由曲线 １＋珔h ＋ １２珔h ２＋１６珔h ３＋１２４ 珔h ４＝e i θ 所围成的区域．如图５畅２所示． 例22 用Euler 法求解 y ′＝－５y ＋x ，y （x ０）＝y ０， x ０≤x ≤X ． 从绝对稳定性考虑，对步长h 有何限制？ 解 对于模型方程y ′＝λy （λ＜０为实数）这里λ＝抄f 抄y ＝－５．由 ｜１＋h λ｜＝｜１－５h ｜＜１ 得到对h 的限制为：０＜h ＜０畅４． 四、习题 １畅取步长h ＝０畅２，用Euler 法解初值问题 y ′＝－y －x y ２ ， y （０）＝ １． （０≤x ≤０畅６）， ２畅用梯形公式解初值问题 y ′＝８－３y ， （１≤x ≤２）， 取步长h＝０畅２，小数点后至少保留５位． ３畅用改进的Euler公式计算初值问题 y′＝１x y－１x y２， y（１）＝０畅５， １＜x＜１畅５， 取步长h＝０畅１，并与精确解y（x）＝ x １＋x比较． ４畅写出用梯形格式的迭代算法求解初值问题 y′＋y＝０， y（０）＝１ 的计算公式，取步长h＝０畅１，并求y（０畅２）的近似值，要求迭代误差不超过１０－５． ５畅写出用四阶经典Runge唱Kutta法求解初值问题 y′＝８－３y， y（０）＝２ 的计算公式，取步长h＝０畅２，并计算y（０畅４）的近似值，小数点后至少保留４位． ６畅证明公式 y n＋１＝y n＋h９（２K１＋３K２＋４K３）． K１＝f（x n，y n）， K２＝f x n＋h２，y n＋h２K１， K３＝f x n＋３４h，y n＋３４h K２， 至少是三阶方法． ７畅试构造形如 y n＋１＝α（y n＋y n－１）＋h（β０f n＋β１f n－１） 实验报告一 题目：非线性方程求解 摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。 前言：（目的和意义） 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。 数学原理： 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。 对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。重复运行计算，直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。 Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式 产生逼近解x*的迭代数列{x k}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为 其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计： 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下 function y=f(x); y=-x*x-sin(x); 写成如上形式即可，下面给出主程序。 二分法源程序： clear %%%给定求解区间 b=1.5; a=0; %%%误差 R=1; k=0;%迭代次数初值 while (R>5e-6) ; c=(a+b)/2; if f12(a)*f12(c)>0; a=c; else b=c; end R=b-a;%求出误差 k=k+1; end x=c%给出解 Newton法及改进的Newton法源程序：clear %%%% 输入函数 f=input('请输入需要求解函数>>','s') %%%求解f(x)的导数 df=diff(f); 北京交通大学电子信息工程学院2011~2012 实验报告 实验题目：一阶RC电路的研究。 实验内容及结果： 1.一阶RC电路的响应及τ值的测量 理论依据，当t=τ时，电压值为0.632A 实验电路： 激励方波周期T>8τ 实际实验数据为： 信号发生器频率 f = 83HZ 峰峰值U = 3.2V 示波器TIME/DIV = 2ms CH1/2 VOLT/DIV = 1v 电阻R = 5.1KΩ 电容 C = 0.22μF; 示波器上部分显示图像： 在两格时，电容器上的电压大概达到0.632A,对应的时间格时0.5格，即为1ms, 实验测的时间常数τ= 0.1ms,理论的τ值是R*C=0.1122ms.误差为%10.09。 2.设计一个积分电路： 根据实验要求：τ = 10T ，通过τ可计算出R 值。 R = C τ 实验电路： 实际实验数据为： 信号发生器 频率 f = 100HZ 峰峰值U = 4V 示波器 TIME/DIV = 2ms CH1 VOLT/DIV=1V CH2 VOLT/DIV=50mV 电阻 R = 10K Ω 电容 C = 10μF; 示波器上部分显示图像： 从图中可知微分信号的峰峰值为110mV 。 根据公式 20C *1t usdt R 得出理论峰峰值为100mV 。 误差为10%。 CH2(50mV) CH1(1V) 3.设计一个微分电路 根据实验要求：T = 10τ，通过τ可计算出R值。 τ R = C 实验电路： 实际实验数据为： 信号发生器频率 f = 100HZ 峰峰值U = 4V 示波器TIME/DIV = 2ms CH1 VOLT/DIV=2V CH2 VOLT/DIV=2V 电阻R = 2.13KΩ 电容 C = 470nF; 示波器上部分显示图像： 实验图像与理论图像相差不大，冲击信号的峰值大概是激励方波的两倍，在图上可以明显的看出。 数值分析实验报告总结 随着电子计算机的普及与发展，科学计算已成为现代科 学的重要组成部分，因而数值计算方法的内容也愈来愈广泛和丰富。通过本学期的学习，主要掌握了一些数值方法的基本原理、具体算法，并通过编程在计算机上来实现这些算法。 算法算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的完 整的解题步骤。算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然语言来进行描述。具有的特征：正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、使用资源少、逻辑结构简单、便于实现、计算结果可靠。 误差 计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差， 并且应能估计误差。误差是指近似值与真正值之差。绝对误差是指近似值与真正值之差或差的绝对值；相对误差：是指近似值与真正值之比或比的绝对值。误差来源见表 第三章泛函分析泛函分析概要 泛函分析是研究“函数的函数”、函数空间和它们之间 变换的一门较新的数学分支，隶属分析数学。它以各种学科 如果 a 是相容范数，且任何满足 为具体背景，在集合的基础上，把客观世界中的研究对象抽 范数 范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函 分析及相关的数学领域，泛函是一个函数，其为矢量空间内 的所有矢量赋予非零的正长度或大小。这里以 Cn 空间为例， Rn 空间类似。最常用的范数就是 P-范数。那么 当P 取1, 2 ,s 的时候分别是以下几种最简单的情形: 其中2-范数就是通常意义下的距离。 对于这些范数有以下不等式: 1 < n1/2 另外，若p 和q 是赫德尔共轭指标，即 1/p+1/q=1 么有赫德尔不等式: II = ||xH*y| 当p=q=2时就是柯西-许瓦兹不等式 般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之 矩阵范数通常也称为相容范数。 象为元素和空间。女口：距离空间，赋范线性空间， 内积空间。 1-范数: 1= x1 + x2 +?+ xn 2-范数: x 2=1/2 8 -范数: 8 =max oo ，那 外，还规定其必须满足相容性: 所以 实验一 误差分析 实验1.1（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（1.1）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的解对扰动的敏感性。 实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b = 的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve =数值计算实验报告
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