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2015年高中数学同步检测:2.1.3《空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系》(人教A版必修2)]

2015年高中数学同步检测:2.1.3《空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系》(人教A版必修2)]
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数学·必修2(人教A版)

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.3 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

基础达标

1.已知两条相交直线a,b,a∥平面α,b与α的位置关系是( )

A.b∥αB.b与α相交

C.b?α D.b∥α或b与α相交

解析:b?α,否则a与b异面或平行.

答案:D

2.直线a在平面γ外,则( )

A.a∥γ

B.a与γ至少有一个公共点

C.a∩γ=A

D.a与γ至多有一个公共点

解析:a在平面γ外,包括两种情况:一是直线a与平面γ相交,二是直线a与平面γ平行,故至多有一个公共点.

答案:D

3.若两个平面平行,则分别在这两个平行平面内的直线( )

A.平行 B.异面

C.相交 D.平行或异面

答案:D

4.直线与平面平行是指( )

A.直线与平面内的无数条直线都无公共点

B.直线上两点到平面的距离相等

C.直线与平面无公共点

D.直线不在平面内

答案:C

5.若不在同一直线上的三点A,B,C到平面α的距离相等,且A?α,则( )

A.α∥平面ABC

B.△ABC中至少有一条边平行于α

C.△ABC中至少有两条边平行于α

D.△ABC中只可能有一条边与α相交

解析:由题意,△ABC所在平面与平面α只可能为相交或平行的关系,若相交,则只有一边与α平行;若平行,则三边与α均平行.

答案:B

6.直线a∥平面α,直线b∥平面α,则a与b的位置关系为( )

A.相交 B.平行

C.异面 D.平行或异面或相交

解析:∵a∥平面α,∴a与α无公共点.

又∵b∥α,∴b与α也无公共点,

∴a∥b或a与b异面或a与b相交.

答案:D

巩固提升

7.已知a,b,c为三条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面.

①a∥c,b∥c?a∥b;②a∥β,b∥β?a∥b;

③a∥c,c∥α?a∥α;④a∥β,a∥α?α∥β;

⑤a?α,b?α,a∥b?a∥α.

其中正确的命题是( )

A.①⑤ B.①② C.②④ D.③⑤

解析:由公理4知①正确;由直线与平面平行的位置关系知⑤正确.从而选A.其中②是错误的,因为平行于同一平面的两条直线可能平行、可能相交,也可能异面.③是错误的,因为当a∥c,c∥α时,可能a∥α,也可能a?α.对于④,α,β可能平行,也可能相交.答案:A

8.证明:如果一条直线经过平面内的一点,又经过平面外的一点,则此直线和平面相交.

证明:原题可化为已知:A∈α,A∈a,B?α,B∈a.

求证:直线a与平面α相交.

证明:假设直线a和平面α不相交,即a∥α或a?α.

假设a∥α,就与A∈a,A∈α矛盾.

假设a?α,就与B∈a,B?α矛盾.

∴假设不成立.

∴直线a和平面α相交.

9.如图1是一个正方体(如图2)的表面展开图的示意图,MN和PQ是两个面的对角线,请在正方体中将MN和PQ画出来,并就这个正方体解答下列问题:

(1)求MN和PQ所成角的大小;

解析:MN与PQ是异面直线,如图,

在正方体中,PQ∥NC,∠MNC 为MN 与PQ 所成角.

∵MN=NC =MC ,

∴∠MNC=60°.

(2)求四面体MNPQ 的体积与正方体的体积之比.

解析:设正方体的棱长为a ,则正方体的体积V =a 3

.

而三棱锥MNPQ 的体积与三棱锥NPQM 的体积相等,且NP⊥面MPQ.

∴V NPQM =13×12MP·MQ·NP=16

a 3, 即四面体MNPQ 的体积与正方体的体积之比为1 : 6.

高中数学:空间点、直线、平面之间的位置关系 (1)

2.1.1平面 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 知识导图 学法指导 1.研究几何问题,不仅要掌握自然语言、符号语言、图形语言的相互转换,也要学会用符号语言表示点、直线、平面之间的位置关系.用图形语言表示点、直线、平面之间的位置关系时,一定要注意实线与虚线的区别. 2.学会用自然语言、符号语言描述四个公理的条件及结论,明确四个公理各自的作用. 3.要理解异面直线的概念中“不同在任何一个平面内”的含义,即两条异面直线永不具备确定平面的条件. 4.判断异面直线时,要更多地使用排除法和反证法. 5.作异面直线所成的角时,注意先选好特殊点,再作平行线. 高考导航 1.平面及其基本性质是后面将要学习的内容的基础和证明的依据,

需要牢固掌握,但高考中很少单独考查. 2.高考经常考查两条直线位置关系的判定和公理4的应用,常以选择题、填空题的形式出现,有时也以解答题某一问的形式出现,分值5~7分. 3.求异面直线所成的角,常与正、余弦定理(必修5中学习)综合考查,对于理科考生还需要掌握用空间向量法(选修2-1中学习)求角的大小.独立考查该知识的试题不多,有时以选择题、填空题的形式出现,有时以解答题的形式出现(一般作为第一问),分值5~7分. 第1课时平面 知识点一平面 概念 几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出 来的,是无限延展的 画法 常常把水平的平面画成一个平行四边形,并且其锐角画成 45°,且横边长等于邻边长的2倍,为了增强立体感,被 遮挡部分用虚线画出来 表示 方法 (1)一个希腊字母:如α,β,γ等; (2)两个大写英文字母:表示平面的平行四边形的相对的两 个顶点; (3)四个大写英文字母:表示平面的平行四边形的四个顶点 1.平面和点、直线一样,是只描述而不加定义的原始概念,不能进行度量; 2.平面无厚薄、无大小,是无限延展的. 1.直线在平面内的概念 如果直线l上的所有点都在平面α内,就说直线l在平面α内,或者说平面α经过直线l.2.一些文字语言、数学符号与图形的对应关系数学符号表 示 文字语言表达图形语言表达 A∈l 点A在直线l上 A?l 点A在直线l外 A∈α点A在平面α内 A?α点A在平面α外

高中数学专题讲义-直线与平面所成的角

【例1】 (全国2文7) 已知正三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍,则侧棱与底面所成角的余弦值等于( ) A .3 B .3 C .22 D .3 【例2】 (全国2理7) 已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等,则AB 1与侧面11ACC A 所成角的正弦等于( ) A .6 B .10 C .2 D .3 【例3】 (福建卷6) 如图,在长方体ABCD 1111A B C D -中,2AB BC ==,11AA =,则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为( ) A . 63 B . 26 5 C . 155 D . 105 D C B A A 1 D 1 B 1 C 1 【例4】 (浙江) 在三棱柱111ABC A B C -中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点D 是侧面11BB C C 的中心,则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( ) A .30° B .45° C .60° D .90° 典例分析 板块二.直线与平面所成的角

E A 1 C 1 B 1 D C B A 【例5】 (四川卷理13)在三棱锥O ABC -中,三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直,且 OA =OB =OC ,M 是AB 边的中点,则OM 与平面ABC 所成的角的大小是 ( 用反三角函数表示) 【例6】 (全国Ⅰ)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内 的射影为ABC △的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于( ) A .13 B C D . 23 【例7】 正三棱柱侧面的一条对角线长为2,且与底面成45o 角,求此三棱柱的体积. 【例8】 (四川卷15) 且对角线与底面所成角的余弦值 ,则该正四棱柱的体积等于________________. 【例9】 如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中, ⑴求1BC 与平面11ACC A 所成的角; ⑵求11A B 与平面11A C B 所成的角的余弦值. A B C D B 1 C 1 D 1 A 1

高中数学平面解析几何知识点总结

平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线的五种方程 (1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、). (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠; < ②1212120l l A A B B ⊥?+=; 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 (1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. (2)圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0).圆心??? ??--2,2E D ,半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;

高中数学《平面的基本性质》教案

§1.2.1平面的基本性质 一、教学目标: 1、知识与技能 (1)借助生活中的实物,学生对平面产生感性的认识; (2)掌握平面的表示法,认识水平放置的直观图; (3)掌握平面的基本性质及作用; (4)培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 通过师生的共同讨论,学生经历平面的感性认识。 3、情感与价值 使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间,进而增强了学习的兴趣。 二、教学重点、难点 重点:(1)平面的概念及表示; (2)平面的基本性质,注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。 难点:平面基本性质的掌握与运用。 三、学法与教学用具 (1)学法:学生通过阅读教材,联系身边的实物思考、交流,师生共同讨论等,从而较好地完成本节课的教学目标。 (2)教学用具:投影仪、投影片、正(长)方形模型、三角板 四、授课类型:新授课 五、教学过程 (一)创设引入情景 生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等,都给我们以平面的印象。你们能举出更多例子吗? 平面的含义是什么呢? (二)建立模型 1、平面含义 以上实物都给我们以平面的印象,几何里所说的平面,就是从这样的一些物体中抽象出来的,但是,几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示 在平面几何中,怎样画直线?一条直线平移就得到了一个平面。我们通常把一个“水平 放置的平面画成一个平行四边形,锐角画成450 ,且横边画成邻边的2倍长”。(如图): 平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 、平面ABCD 等。 如果几个平面画在一起,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应画成虚线或不画(打出投影片) D C B A α β β

高中数学直线与平面的夹角题库

3.2.3直线与平面的夹角 3.2.4二面角及其度量 学习目标 1.理解斜线和平面所成的角的定义,体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面的夹角θ.3.掌握二面角的概念,二面角的平面角的定义,会找一些简单图形中的二面角的平面角.4.掌握求二面角的基本方法、步骤. 知识点一直线与平面所成的角 1.直线与平面所成的角 2.最小角定理 知识点二二面角及理解 1.二面角的概念 (1)二面角的定义:平面内的一条直线把平面分成两部分,其中的每一部分都叫做半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.如图所示,其中,直线l叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面,如图中的α,β.

(2)二面角的记法:棱为l ,两个面分别为α,β的二面角,记作α—l —β.如图,A ∈α,B ∈β,二面角也可以记作A —l —B ,也可记作2∠l . (3)二面角的平面角:在二面角α—l —β的棱上任取一点O ,在两半平面内分别作射线OA ⊥l ,OB ⊥l ,则∠AOB 叫做二面角α—l —β的平面角,如图所示.由等角定理知,这个平面角与点O 在l 上的位置无关. (4)直二面角:平面角是直角的二面角叫做直二面角. (5)二面角的范围是[0°,180°]. 2.用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法 (1)如图,分别在二面角α—l —β的面α,β内,并沿α,β延伸的方向,作向量n 1⊥l ,n 2⊥l ,则〈n 1,n 2〉等于该二面角的平面角. (2)如图,设m 1⊥α,m 2⊥β,则角〈m 1,m 2〉与该二面角大小相等或互补. 1.直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余.( × ) 2.二面角的大小范围是??? ?0,π 2.( × ) 3.二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小.( × ) 题型一 求直线与平面的夹角 例1 已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为a ,侧棱长为2a ,求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角. 解 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ,

高中数学平面解析几何的知识点梳理

平面解析几何 1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. (2)直线的斜率:αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k .(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线方程的五种形式: (1)点斜式:)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ,且斜率为k ). 注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =. (2)斜截式:b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式:1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠,12x x ≠). 注:① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ② 方程形式为:0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以表示任意直线. (4)截距式:1=+b y a x (b a ,分别为x 轴y 轴上的截距,且0,0≠≠b a ). 注:不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与y 轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线. (5)一般式:0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0). 一般式化为斜截式:B C x B A y -- =,即,直线的斜率:B A k -=. 注:(1)已知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+或0x =. 已知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时,m 为k 的倒数)或0y =. 已知直线过点00(,)x y ,常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0. (1)直线在两坐标轴上的截距相等....?直线的斜率为1-或直线过原点. (2)直线两截距互为相反数.......?直线的斜率为1或直线过原点. (3)直线两截距绝对值相等.......?直线的斜率为1±或直线过原点. 4.两条直线的平行和垂直: (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?; ② 12121l l k k ⊥?=-. (2)若0:1111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l ,有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且.② 0212121=+?⊥B B A A l l . 5.平面两点距离公式: (111(,)P x y 、222(,)P x y ),22122121)()(y y x x P P -+-=.x 轴上两点间距离:A B x x AB -=. 线段21P P 的中点是),(00y x M ,则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x .

高中数学-直线与平面的夹角练习

高中数学-直线与平面的夹角练习 课后导练 基础达标 1.直线a与平面α内任一条线所成最小的角为θ,a是平面α的斜线,b是平面α内与a 异面的任意直线,则a与b所成的角() π A.最小值为θ,最大值为π-θ B.最小值为θ,最大值为 2 π C.最小值为θ,无最大值 D.无最小值,最大值为 2 答案:B 2.如右图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1C1与平面ABC1D1所成的角 () A.30° B.60° C.45° D.90° 答案:A 3.正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B和面BB1D1D所成的角为() A.15° B.45° C.60° D.30° 答案:D 4.如左下图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是CC1的中点,求BE与平面B1BD所成角的余弦值________________. 15 答案: 5 5.如右上图,S是△ABC所在平面外一点,SA,SB,SC两两垂直,判断△ABC的形状_________. 答案:锐角三角形 6.四面体S-ABC中,SA、SB、SC两两垂直,∠SBA=45°,∠SBC=60°,M为AB的中点,求:(1)BC与平面SAB所成的角; (2)SC与平面ABC所成角的正弦值. 解析:(1)如右图,∵SA、SB、SC两两垂直,

∴SC⊥面SAB. ∴∠CBS 是BC 与平面SAB 所成的角. ∵∠CBS=60°, ∴BC 与平面SAB 所成的角为60°. (2)连结MC,在Rt△ASB 中,∠SBA=45°,则SM⊥AB. 又SC⊥面SAB, ∴SC⊥AB, ∴AB⊥面SMC.过S 作SO⊥MC 于点O,则SO⊥AB, ∴SO⊥面ABC, ∴∠ SCM 是SC 与平面ABC 所成的角. 设SB=a,则SC=3a,SM= 2 2a, 在Rt△CSM 中,CM= 2 14a, ∴sin∠SCM= 7 7 =MC SM . 7.在Rt△ABC 中,∠A=90°,AB=3,AC=4,PA 是平面ABC 的斜线,∠PAB=∠PAC=60°, (1)求PA 与平面ABC 所成角的大小; (2)PA 的长等于多少时,点P 在平面ABC 上的射影O 恰好在BC 边上? 解:(1)如右图,过P 作PO⊥平面ABC 于O,则∠PAO 为PA 与平面ABC 所成的角, 易证AO 为∠BAC 的平分线,则∠OAB=45°. 由公式cosθ=cosθ1·cosθ2可得 cos∠PAO= OAB PAB ∠∠cos cos =22 45 cos 60cos =ο ο, ∴∠PAO=45°. ∴PA 与平面ABC 所成的角为45°.

高中数学课时作业:直线、平面平行的判定及其性质

课时作业44直线、平面平行的判定及其性质 一、选择题 1.已知直线a与直线b平行,直线a与平面α平行,则直线b与α的关系为(D) A.平行B.相交 C.直线b在平面α内D.平行或直线b在平面α内 解析:依题意,直线a必与平面α内的某直线平行,又a∥b,因此直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内. 2.已知α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m?α,n?α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是(D) A.垂直B.相交 C.异面D.平行 解析:对于选项A,当m⊥α时,因为n?α,所以m⊥n,可能; 对于选项B,当A∈n时,m∩n=A,可能; 对于选项C,若A?n,由异面直线的定义知m,n异面,可能; 对于选项D,若m∥n,因为m?α,n?α,所以m∥α,这与m∩α=A矛盾,不可能平行,故选D. 3.(四川乐山四校联考)平面α∥平面β的一个充分条件是(D) A.存在一条直线a,a∥α,a∥β B.存在一条直线a,a?α,a∥β C.存在两条平行直线a,b,a∥α,a∥β,b?β D.存在两条异面直线a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α 解析:存在一条直线a,a∥α,a∥β,有可能a平行于两平面的交线,该条件不是平面α∥平面β的一个充分条件,故A错;存在一条直线a,a?α,a∥β,有可能a平行于两平面的交线,该条件不是平面α∥平面β的一个充分条件,故B错;存在两条平行直线a,b,a∥α,a∥β,b?β,有可能a平行于两平面的交线,该条件不是平面α∥平面β的一个充分条件,故C错;存在两条异面直线a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α,据此可得平面α∥平面β,该条件是平面α∥平面β的一个充分条件.故选D.

高中数学 空间点,直线和平面的位置关系公式

空间点,直线和平面的位置关系 一,线在面内的性质: 定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上所有点都在这个平面内。 二,平面确定的判定定理: 定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 定里3.经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面。 定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。 定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。 三,两面相交的性质: 定里6. 如果两个平面有一个公共点,那么还有其它公共点,则这些公共点的集合是一条直线。 四,直线平行的判定定理: 定里7. 平行于同一直线的两直线平行。 五,等角定理: 定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向,那么这两个角相等。 六,异面直线定义: 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。(异面直线间的夹角只能是:锐角或直角) 七,直线和平面平行的判定定理: 定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么这条直线与这个平

面平行。

符合表示: β ββ////a b a b a ???????? 推理1. 如果一条直线与平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。 符号表示: b a b a a a ////??? ?????=??βαβαα 八,平面与平面平行判定定理: 定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行。 符号表示: β αββαα//////??????????=??b a M b a b a 推论1:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面平行。 九,平面与平面平行的性质: 定理1. 如果两个平面平行同时与第三个平面相交,那它们的交线平行。

高中数学 平面

§2.1.1平面(1) 一、设问导读(预习教材P 40~ P 43,找出疑惑之处) 问题1:观察长方体,你能发现构成空间几何体的基本要素有哪些?这些点、线、面有怎样的位置关系?本节我们将讨论这个问题. 2.平面的概念: 问题2:生活中哪些物体给人以平面形象?你觉得平面可以拉伸吗?平面有厚薄之分吗? 问题3:什么是平面呢? 如何画平面?平面如何表示呢? 问题4:点动成线、线动成面.联系集合的观点,点与直线、点与平面的位置关系怎么表示?直线与平面? A a A a A α A α 用符号语言表示: 3.平面的基本性质: 问题5:直线l 与平面α有一个公共点P ,直线l 是否在平面α内?有两个公共点呢? 问题6:公理1的文字语言如何叙述,符号语言如何符号语言如何表示?表示? 问题7:公理1有何作用? 问题8:两点确定一条直线,两点能确定一个平面吗?任意三点能确定一个平面吗? 问题9:公理2的文字语言如何叙述,符号语言如何表示? 问题10:你从公理2出发还能得出哪些推论?它们的作用是什么? 问题11:把三角板的一个角立在课桌面上,三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于点B ?为什么? 问题12:公理3的文字语言如何叙述,符号语言如何表示? 问题13:公理3有何作用? 二、自学检测 例1:如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系. 例2:如图在正方体ABCD A B C D ''''-中,判断下列命题是否正确,并说明理由: ⑴直线AC 在平面ABCD 内; ⑵设上下底面中心为,O O ',则平面AA C C ''与平面BB 'D D ' 的交线为OO '; ⑶点,,A O C '可以确定一个平面; ⑷平面AB C ''与平面AC D '重合; ⑸由,,A C B ''确定的平面是ADC B ''; 练 一练 :用符号表示下列语句,并画出相应的图形: ⑴点A 在平面α内,但点B 在平面α外; ⑵直线a 经过平面α外的一点M ; ⑶直线a 既在平面α内,又在平面β内. 4.课堂练习:43页 1,2,3,4. 5.课外作业:51页 习题2.1 A 组 1,2 三、巩固训练: 1. 下面说法正确的是( ). ①平面ABCD 的面积为210cm ②100个平面重合比50个平面重合厚③空间图形中虚线都是辅助线④平面不一定用平行四边形表示. A.① B.② C.③ D.④ 2. 下列说法正确的是( ). ①空间任意三点可以确定一个平面; ②有三个公共点的两个平面必重合; ③空间两两相交的三条直线确定一个平面; ④三角形是平面图形 ⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形; ⑥垂直于同一条直线的两条直线平行; ⑦一条直线与两条平行线中的一条相交,也必和另一条相交; ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形. 3.直线12,l l 相交于点P ,并且分别与平面γ相交于点,A B 两点,用符号表示为____________________. 4..平面α?平面l β=,点A α∈,B α∈,C β∈,且AB l R ?=,过A 、B 、C 三点确定平面γ,则βγ?= ( ) A . 直线AC B .直线BC C .直线CR D .以上都不对. 5. 两个平面不重合,在一个面内取4点,另一个面内取3点,这些点最多能够确定平面_______个 ※ 学习小结 1. 平面的特征、画法、表示; 2. 平面的基本性质(三个公理); 3. 用符号表示点、线、面的关系. ※ 知识拓展 平面的三个性质是公理(不需要证明,直接可以用),是用公理化方法证明命题的基础.其中公理1可以用来判断直线或者点是否在平面内;公理2用来确定一个平面,判断两平面重合,或者证明点、线共面;公理3用来判断两个平面相交,证明点共线或者线共点的问题. 四、拓展延伸 1.①两个平面α,β可将空间分成几部分? ② 已知a αβ?=,b βγ?=,c αγ?=,则平面α,β,γ可将空间分成几部分? O ' O B ' C ' D 'A ' D C B A

高中数学直线平面平行的性质及判定

一、空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积:各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积2 2R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= 二、空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)31 下下上上( 4球体的体积 3 34R V π= 三、直线、平面平行的判定与性质 1、直线与平面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行, 用符号表示为a ?α,b ?α,且a ∥b ?a ∥α。 (1)运用直线与平面平行的判定定理时,必须具备三个条件: ①平面外一条直线;②平面内一条直线;③两条直线相互平行. (2)直线与平面平行的判定定理的关键是证明两直线平行,证两直线平行是平面几何的问题,所以该判定定理体现了空间问题平面化的思想. (3)判定直线与平面平行有以下方法:一是判定定理;二是线面平行定义;三是面面平行的性质定理. 【例1】 如右图所示,已知P 、Q 是单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面A 1B 1BA 和面ABCD 的中心. 求证:PQ ∥平面BCC 1B 1. 证:如右图,取B 1B 中点E ,BC 中点F ,连结PE 、QF 、EF , ∵△A 1B 1B 中,P 、E 分别是A 1B 和B 1B 的中点, ∴PE 1 2 A 1 B 1.同理QF 1 2 AB .又A 1B 1AB ,∴PE QF . ∴四边形PEFQ 是平行四边形. ∴PQ ∥EF . 又PQ ?平面BCC 1B 1,EF ?平面BCC 1B 1, ∴PQ ∥平面BCC 1B 1. 2 22r rl S ππ+=

高中数学-直线与平面平行判定和性质

高中数学-立体几何典型例题一 例1简述下列问题的结论,并画图说明: (1) 直线a 平面 ,直线b a A ,则b 和 的位置关系如何? ,直线b//a ,则直线b 和 的位置关系如何? (1) 由图(1)可知:b 或b A ; (2) 由图(2)可知:b//或b . 典型例题二 例2 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点, Q 是PA 的中点,求证: PC//平面BDQ . 分析:要证明平面外的一条直线和该平面平行,只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以 了. 证明:如图所示,连结 AC ,交BD 于点0 , ???四边形 ABCD 是平行四边形 ??? AO CO ,连结0Q ,则0Q 在平面BDQ 内, APC 的中位线, ? PC // 0Q . ??? PC 在平面BDQ 外, ? PC//平面 BDQ . 说明:应用线面平行的判定定理证明线面平行时,关键是在平面内找一条直线与已知直线平行,怎样 找这一直线呢? 由于两条直线首先要保证共面,因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交,如果能证明已知 直线和交线平行,那么就能够马上得到结论?这一个证明线面平行的步骤可以总结为: 过直线作平面,得交线,若线线平行,则线面平行. 典型例题三 (2)直线a 分析: 且 OQ 说明:

例3经过两条异面直线a, b之外的一点P,可以作几个平面都与a , b平行?并证明你的结论. 分析:可考虑P点的不同位置分两种情况讨论. 解:(1)当P点所在位置使得a , P (或b , P )本身确定的平面平行于b (或a )时,过P点再作不出与a , b都平行的平面; (2)当P点所在位置a , P (或b , P)本身确定的平面与b (或a)不平行时,可过点P作a//a , b 〃b.由于a , b异面,则a , b不重合且相交于P .由于a b P , a , b确定的平面,则由线面平行判定定理知:a// , b〃?可作一个平面都与a , b平行. 故应作“ 0个或1个”平面. 说明:本题解答容易忽视对P点的不同位置的讨论,漏掉第(1)种情况而得出可作一个平面的错误结论?可见,考虑问题必须全面,应区别不同情形分别进行分类讨论. 典型例题四 例4平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,那么另 已知:直线a//b, a//平面,b . 求证:b// . 证明:如图所示,过a及平面内一点A作平面 . 设c, ??? a// ??? a//c. 又??? a//b, ? b//c. ??? b , c , ? b// . 说明:根据判定定理,只要在内找一条直线c//b,根据条件a// ,为了利用直线和平面平行的性 质定理,可以过a作平面与相交,我们常把平面称为辅助平面,它可以起到桥梁作用,把空间问题向平面问题转化. 和平面几何中添置辅助线一样,在构造辅助平面时,首先要确认这个平面是存在的,例如,本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的. 典型例题五 例5已知四面体S ABC的所有棱长均为a .求: (1 )异面直线SC、AB的公垂线段EF及EF的长;

高中数学平面

平面 立体几何课程是初等几何教育的内容之一,是在初中平面几何学习的基础上开设的,以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象,以演绎法为研究方法.通过立体几何的教学,使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形,完成由二维空间向三维空间的转化,发展学生的空间想象能力,逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力. 平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础.平面,是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象,在立体几何中是只描述而不定义的原始概念,但平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介,在立体几何问题平面化的过程中具有重要的桥梁作用. 一、素质教育目标 (一)知识教学点 1.“平面”是空间图形的基本元素,很多空间图形的面都是平面图形,平面图形及其性质是初中平面几何的主要学习内容,因此,要建立起“空间问题平面化”的观点. 2.虽然日常生活中的平面物体有一定的局限,但作为立体几何中的“平面”无大小之分,是无限延展的. 3.平面可用图形表示,也可用符号表示,应理清与其它图形表示法的联系与区别. (二)能力训练点 1.通过“平面”概念的教学,初步培养空间想象能力,如平面的无限延展性. 2.由叙述语言、图形语言和符号语言的互译,培养语言转换能力. (三)德育渗透点 通过通俗意义上的平面到数学意义上的平面的学习,了解具体与抽象,特殊与一般的辩证关系,由点、直线、平面间内在的联系逐渐形成“事物总是运动变化”的辩证观点. 二、教学重点、难点及解决办法 1.教学重点 (1)从客观存在的平面物体抽象出“平面”概念.

(2)掌握点、直线、平面间的相互关系,并会用文字、图形、符号语言正确表示. (3)理解平面的无限延展性. 2.教学难点 (1)理解平面的无限延展性. (2)集合概念的符号语言的正确使用. 3.解决办法 (1)借助实物操作,抽象出“平面”概念. (2)运用正迁移规律,将直线的无限延伸性类比于平面的无限延展性. 三、课时安排 1课时. 四、学生活动设计 准备好纸板三块,纸盒一个,小竹签四根.纸板作为平面的模型,纸盒用于观察平面的位置,以便同画出的图形比较,小竹签用于表示直线. 五、教学步骤 (一)明确目标 1.能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”. 2.理解平面的无限延展性. 3.正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系. (二)整体感知 “立体几何”作为一门学生刚开始学习的学科,其内容对学生来说基本上是完全陌生的,应以“讲授法’的主,引导学生观察和想象,吸引学生的注意力,激发学生的学习兴趣,初步培养空间想象力. 本课是“立体几何”的起始课,应先把这一学科的内容作一大概介绍,包括课本的知识结构,“立体几何”的研究对象,研究方法,学习立体几何的方法和作用等.而后引入“平面”概念,以类比的方式,联系直线的无限延伸性去理解平面的无限延展性,突破教学难点.在进行“平面的画法”教学时,不仅要会画水平放置的平面,还应会画直立的平面和相

高中数学必修二教案-空间中直线与直线之间的位置关系示范

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 整体设计 教学分析 空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系,直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同,它是以否定形式给出的,因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础,而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础,请注意知识之间的相互关系,准确把握两异面直线所成角的概念. 三维目标 1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系. 2.以公理4和等角定理为基础,正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用. 3.进一步培养学生的空间想象能力,以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质. 重点难点 两直线异面的判定方法,以及两异面直线所成角的求法. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(情境导入) 在浩瀚的夜空,两颗流星飞逝而过(假设它们的轨迹为直线),请同学们讨论这两直线的位置关系. 学生:有可能平行,有可能相交,还有一种位置关系不平行也不相交,就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样. 教师:回答得很好,像这样的两直线的位置关系还可以举出很多,又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线,它们既不相交,也不平行,即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系. 思路2.(事例导入) 观察长方体(图1),你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中,线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何?

图1 推进新课 新知探究 提出问题 ①什么叫做异面直线? ②总结空间中直线与直线的位置关系. ③两异面直线的画法. ④在同一平面内,如果两直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗? ⑤什么是空间等角定理? ⑥什么叫做两异面直线所成的角? ⑦什么叫做两条直线互相垂直? 活动:先让学生动手做题,再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 讨论结果:①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的,以否定形式给出的问题一般用反证法证明. ②空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图1),引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系: ????????.,:; ,:;,:没有公共点不同在任何一个平面内异面直线没有公共点同一平面内平行直线有且只有一个公共点同一平面内相交直线共面直线 ③教师再次强调异面直线不共面的特点,作图时通常用一个或两个平面衬托,如图 2. 图2 ④组织学生思考: 长方体ABCD —A′B′C′D′中,如图1, BB′∥AA′,DD′∥AA′,BB′与DD′平行吗? 通过观察得出结论:BB′与DD′平行. 再联系其他相应实例归纳出公理4. 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.

高中数学:直线、平面平行的判定与性质练习

高中数学:直线、平面平行的判定与性质练习 (时间:30分钟) 1.已知直线a和平面α,那么a∥α的一个充分条件是( C ) (A)存在一条直线b,a∥b且b?α (B)存在一条直线b,a⊥b且b⊥α (C)存在一个平面β,a?β且α∥β (D)存在一个平面β,a∥β且α∥β 解析:在A,B,D中,均有可能a?α,错误;在C中,两平面平行,则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面,故C正确. 2.(全国Ⅰ卷)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( A ) 解析:如图,O为正方形CDBE的两条对角线的交点,从而O为BC的中点,在△ACB中,OQ为中位线,所以OQ∥AB,OQ∩平面MNQ=Q,所以,AB与平面MNQ相交,而不是平行,故选A. 3.已知a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列命题中正确的是( C ) (A)a∥b,b?α,则a∥α (B)a,b?α,a∥β,b∥β,则α∥β (C)a⊥α,b∥α,则a⊥b (D)当a?α,且b?α时,若b∥α,则a∥b 解析:由a∥b,b?α,也可能a?α,A错;B中的直线a,b不一定相交,平面α,β也可能相交,B 错;C正确;D中的直线a,b也可能异面,D错.故选C.

4.过直线l外两点,作与l平行的平面,则这样的平面( D ) (A)不存在(B)只能作出1个 (C)能作出无数个(D)以上都有可能 解析:设直线l外两点确定直线AB,①当AB与l相交时,满足题意的平面不存在;②当AB与l 异面时,满足题意的平面只能作一个;③当AB∥l时,满足题意的平面有无数多个. 5.(咸宁模拟)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1 C 1 中,点D为AC的中点,点D 1 是A 1 C 1 上的一点,若DC 1 ∥平 面AB 1D 1 ,则等于( B ) (A)(B)1 (C)2 (D)3 解析:因为DC 1∥平面AB 1 D 1 ,DC 1 ?平面ACC 1 A 1 ,平面ACC 1 A 1 ∩平面AB 1 D 1 =AD 1 ,所以DC 1 ∥AD 1 ,又AD ∥C 1D 1 ,所以四边形ADC 1 D 1 是平行四边形,所以AD=C 1 D 1 .又D为AC的中点,所以D 1 为A 1 C 1 的中点, 所以=1. 6.(丽江模拟)若正n边形的两条对角线分别与平面α平行,则这个正n边形所在的平面一定平行于平面α,那么n的取值可能是( A ) (A)5 (B)6 (C)8 (D)12 解析:因为正五边形的对角线都相交,所以正五边形所在的平面一定与平面α平行. 7.(益阳模拟)设a,b为不重合的两条直线,α,β为不重合的两个平面,给出下列命题: ①若a?α,b?α,a,b是异面直线,那么b∥α; ②若a∥α且b∥α,则a∥b; ③若a?α,b∥α,a,b共面,那么a∥b; ④若α∥β,a?α,则a∥β. 上面命题中,所有真命题的序号是. 解析:①中的直线b与平面α也可能相交,故不正确;②中的直线a,b可能平行、相交或异面,故不正确;由线面平行的性质得③正确;由面面平行的性质可得④正确. 答案:③④

高中数学空间图形平面

高中数学空间图形——平面 空间图形的基本关系 一、教学目标: 1、知识与技能: (1)利用生活中的实物对平面进行描述; (2)掌握平面的表示法及水平放置的直观图; (3)掌握平面的基本性质及作用; (4)培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法: (1)通过师生的共同讨论,使学生对平面有了感性认识; (2)让学生归纳整理本节所学知识。 3、情感与价值:使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间,进而增强了学习的兴趣。 二、教学重点、难点 重点: 1、平面的概念及表示; 2、平面的基本性质,注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。 难点:平面基本性质的掌握与运用。 三、学法与教法 1、学法:学生通过阅读教材,联系身边的实物思考、交流,师生共同讨论等,从而较好地完成本节课的教学目标。 2、

教法:思考交流讨论法 四、教学过程 (一)实物引入、揭示课题 生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等,都给我们以平面的印象,你们能举出更多例子吗?引导学生观察、思考、举例和互相交流。与此同时,教师对学生的活动给予评价。 那么,平面的含义是什么呢?这就是我们这节课所要学习的内容。 (二)研探新知 1、平面含义 师:以上实物都给我们以平面的印象,几何里所说的平面,就是从这样的一些物体中抽象出来的,但是,几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示 师:在平面几何中,怎样画直线?(一学生上黑板画) 之后教师加以肯定,解说、类比,将知识迁移,得出平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450,且横边画成邻边的2倍长(如图) 平面通常用希腊字母、、等表示,如平面、平面等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点 的大写字母来表示,如平面AC、平面ABCD等。

高中数学§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系优质课教案教学设计

§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 一、教学目标: 1、知识与技能 (1)了解空间中两条直线的位置关系; (2)理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力; (3)理解并掌握公理4; (4)理解并掌握等角定理; (5)异面直线所成角的定义、范围及应用。 2、过程与方法 (1)师生的共同讨论与讲授法相结合; (2)让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。 3、情感与价值 让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学生的学习兴趣。 二、教学重点、难点 重点:1、异面直线的概念; 2、公理4及等角定理。 难点:异面直线所成角的计算。 三、学法与教学用具 1、学法:学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括,从而较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具:投影仪、投影片、长方体模型、三角板 四、教学思想 (一)创设情景、导入课题 1、通过身边诸多实物,引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 2、师:那么,空间两条直线有多少种位置关系?(板书课题) (二)讲授新课 1、教师给出长方体模型,引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 教师再次强调异面直线不共面的特点,作图时通常用一个或两个平面衬托,如下图: 2、(1)师:在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行。在空间中,是否有类似的规律? 组织学生思考: 共面直

长方体ABCD-A'B'C'D'中, BB'∥AA',DD'∥AA', BB'与DD'平行吗? 生:平行 再联系其他相应实例归纳出公理4 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。 (2)例2(投影片) 例2的讲解让学生掌握了公理4的运用 (3)教材P47探究 让学生在思考和交流中提升了对公理4的运用能力。 3、组织学生思考教材P47的思考题 (投影) 让学生观察、思考: ∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何? 生:∠ADC = A'D'C',∠ADC + ∠A'B'C' = 1800 教师画出更具一般性的图形,师生共同归纳出如下定理 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 教师强调:并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。 4、以教师讲授为主,师生共同交流,导出异面直线所成的角的概念。 (1)师:如图,已知异面直线a 、b ,经过空间中任一点O 作直线a'∥a 、b'∥b ,我们把a'与b'所成的锐角(或直角)叫异面直线a 与b 所成的角(夹角)。 (2)强调: ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为了简便,点O 一般取在两直线中的一条上; =>a ∥c 2

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