安徽省合肥八中2015届高三上学期第二次段考数学试卷(文科)
安徽省合肥八中2015届高三上学期第二次段考数学试卷（文科）
一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分．每小题只有一个选项符合题意．请1把正确答案填涂在答题卡的相应位置．）
1．（5分）设全集U是实数集R，M={x|x2＞1}，N={x|0＜x＜2}，则集合N∩?U M=（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|0＜x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}
2．（5分）已知命题p：“?x∈，a≥e x ”，命题q：“?x∈R，x2﹣4x+a=0”，若命题p，q均是真命题，则实数a的取值范围是（）
A．C．D．（﹣∞，1]
3．（5分）已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a3=5﹣a2，则S4=（）
A．9B．10 C．11 D．12
4．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）
A．若l⊥α，α⊥β，则l?βB．若l∥α，α∥β，则l?β
C．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
5．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x+log2（1﹣x）+a（a为常数），则f（3）=（）
A．B．C．﹣6 D．6
6．（5分）当函数y=x?2x取极小值时，x=（）
A．B．C．﹣ln2 D．ln2
7．（5分）在直角梯形ACBD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=45°，AB=2CD=2，M为腰BC 的中点，则=（）
A．1B．2C．3D．4
8．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，
所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）
A．B．3C．6D．9
9．（5分）已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（）
A．B．（2﹣，2+）C．D．（1，3）
10．（5分）f（x）是偶函数，且f（x）在恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．
二、填空题（本题5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案写在答题卷上．）11．（5分）已知f（x）=，则满足f（a）＞2的a的取值范围是．
12．（5分）若正数a，b满足a+2b=3，且使不等式﹣m＞0恒成立，则实数m的取值范围是．
13．（5分）已知向量满足||=1，||=2，（+2）（﹣）=﹣6，则|﹣2|=．14．（5分）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为．
15．（5分）以下是关于函数f（x）=的四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称；
②f（x）在区间∪上的最小值为﹣，求函数f（x）（x∈R）的值域．
17．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC 的中点，AA1=AB=2．
（1）求证：AB1∥平面BC1D；
（2）若BC=3，求三棱锥D﹣BC1C的体积．
18．（12分）△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，向量=（2sinB，2﹣cos2B），
=（2sin2（+），﹣1）且⊥．
（1）求角B的大小；
（2）若a=，b=1，求c的值．
19．（12分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=2，2a n=1+a n a n+1，b n=a n﹣1，b n≠0
（1）求证数列是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；
（2）令c n=求数列{c n}的前n项和T n．
20．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程；
（2）当a＞0时，若f（x）在区间，a≥e x ”，命题q：“?x∈R，x2﹣4x+a=0”，若命题p，q均是真命题，则实数a的取值范围是（）
A．C．D．（﹣∞，1]
考点：复合命题的真假．
专题：规律型．
分析：分别求出命题p，q成立的等价条件，利用p，q都是真命题，确定实数a的取值范围．
解答：解：?x∈，a≥e x，则∴a≥e，即p：a≥e．
若?x∈R，x2﹣4x+a=0，则判别式△=16﹣4a≥0，解得a≤4，
即q：a≤4．
∵p，q都是真命题，
∴，解得e≤a≤4．即实数a的取值范围是．
故选C．
点评：本题主要考查复合命题的与简单命题真假之间的关系，求出命题p，q成立的等价条件是解决此类问题的关键．
3．（5分）已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a3=5﹣a2，则S4=（）
A．9B．10 C．11 D．12
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．
解答：解：∵{a n}是等差数列，其前n项和为S n，a3=5﹣a2，
∴a2+a3=5，
∴S4==2×5=10．
故选：B．
点评：本题考查等差数列的前4项和的求法，是基础题，解题时要认真审题．
4．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）
A．若l⊥α，α⊥β，则l?βB．若l∥α，α∥β，则l?β
C．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
考点：空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离．
分析：本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．
解答：解：若l⊥α，α⊥β，则l?β或l∥β，故A错误；
若l∥α，α∥β，则l?β或l∥β，故B错误；
若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；
若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；
故选C
点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α? a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．
5．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x+log2（1﹣x）+a（a为常数），则f（3）=（）
A．B．C．﹣6 D．6
考点：函数奇偶性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用函数的奇偶性，结合解析式求解．
解答：解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），
得f（0）=0，20+0=0即a=﹣1，
∵当x≤0时，f（x）=2x+log2（1﹣x）+a（a为常数），
∴f（3）=﹣f（﹣3）=﹣2﹣3﹣log2（1+3）+1=﹣
故选：A
点评：考查了函数概念和性质，容易题．
6．（5分）当函数y=x?2x取极小值时，x=（）
A．B．C．﹣ln2 D．ln2
考点：利用导数研究函数的极值．
专题：导数的综合应用．
分析：对函数求导，由y′=2x+x?2x ln2=（1+xln2）?2x=0，即可得出结论．
解答：解：y′=2x+x?2x ln2=（1+xln2）?2x=0，
即1+xln2=0，x=．
故选B．
点评：本题考查利用导数研究函数的极值问题，属于基础题．
7．（5分）在直角梯形ACBD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=45°，AB=2CD=2，M为腰BC 的中点，则=（）
A．1B．2C．3D．4
考点：向量在几何中的应用．
专题：计算题．
分析：以直角梯形的两个直角边为坐标轴，写出点的坐标，求出向量的坐标，利用向量数量积的坐标形式的公式求．
解答：解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立直角坐标系．
则：A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（1，1），M（．
因为AB=2CD=2，∠B=45，所以AD=DC=1，M为腰BC的中点，
则M点到AD的距离=（DC+AB）=，M点到AB的距离=DA=
所以，，
所以=9/4﹣1/4=2．
故答案为B
点评：本题考查通过建立直角坐标系将几何问题问题转化为代数问题；考查向量的坐标形式的数量积公式．
8．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）
A．B．3C．6D．9
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题：三角函数的求值．
分析：函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．
解答：解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象
重合，说明函数平移整数个周期，所以，k∈Z．令k=1，可得ω=6．
故选C．
点评：本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．
9．（5分）已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（）
A．B．（2﹣，2+）C．D．（1，3）
考点：函数的零点与方程根的关系．
专题：计算题；压轴题．
分析：利用f（a）=g（b），整理等式，利用指数函数的性质建立不等式求解即可．
解答：解：∵f（a）=g（b），
∴e a﹣1=﹣b2+4b﹣3
∴﹣b2+4b﹣2=e a＞0
即b2﹣4b+2＜0，求得2﹣＜b＜2+
故选B
点评：本题主要考查了函数的零点与方程根的关系．
10．（5分）f（x）是偶函数，且f（x）在恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．
考点：函数恒成立问题．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据函数的奇偶性和单调性之间的关系转化为参数恒成立问题．
解答：解：∵f（x）是偶函数，且f（x）在
∵x∈，
∴不等式等价为，
则﹣∈，的最大值为﹣3，
则﹣3≤a≤﹣2，
故选：D．
点评：本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数的奇偶的和单调性的性质将不等式进行转化，利用参数分离法是解决本题的关键．
二、填空题（本题5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案写在答题卷上．）
11．（5分）已知f（x）=，则满足f（a）＞2的a的取值范围是x＜﹣1或
x＞4．
考点：指、对数不等式的解法．
专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析：本题先对参数a进行讨论，确定f（a）的表达式，再解不等式f（a）＞2，得到a 的取值范围，即本题结论．
解答：解：∵f（x）=，
f（a）＞2，
∴当a≥1时，
原不等式转化为log2a＞2，
解得：a＞4．
∴a＞4；
当a＜1时，
原不等式转化为a2﹣a＞2，
解得：a＜﹣1或a＞2，
∴a＜﹣1．
综上，x＜﹣1或x＞4．
故答案为：x＜﹣1或x＞4．
点评：本题考查的是对数不等式的解法、一元二次不等式的解法，还有分类讨论的数学思想，本题难度适中，有一定的运算量，属于中档题．
12．（5分）若正数a，b满足a+2b=3，且使不等式﹣m＞0恒成立，则实数m的取值范围是m．
考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数恒成立问题．
专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析：分离参数m，然后利用基本不等式求出的最小值得答案．
解答：解：不等式﹣m＞0恒成立，即
恒成立，
∵a+2b=3，
∴，
则．
当且仅当，即a=b=1时上式等号成立．
∴实数m的取值范围是．
故答案为：．
点评：本题考查了恒成立问题，考查了分离变量法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
13．（5分）已知向量满足||=1，||=2，（+2）（﹣）=﹣6，则|﹣2|=．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：先根据已知条件求出，然后根据求出结果即可．解答：解：=；
∴；
∴=．
故答案为：．
点评：考查数量积的运算，以及求向量长度的方法：对向量的平方开方．
14．（5分）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的
值为3．
考点：简单线性规划的应用．
专题：计算题；压轴题；数形结合．
分析：根据m＞1，我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（，）上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，再根据目标函数z=x+5y在直线
y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此构造出关于m的方程，解方程即可求出m 的取值范围．
解答：解：满足约束条件的平面区域如下图所示：
目标函数z=x+5y可看做斜率为﹣的动直线，其纵截距越大z越大，
由可得A点（，）
当x=，y=时，
目标函数z=x+5y取最大值为4，即；
解得m=3．
故答案为：3．
点评：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中判断出目标函数z=x+my在
点取得最大值，并由此构造出关于m的方程是解答本题的关键．
15．（5分）以下是关于函数f（x）=的四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称；
②f（x）在区间∪递减，
画出函数f（x）的草图：
∴f（x）分别在区间和上的最小值为﹣，求函数f（x）（x∈R）的值域．
考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：（1）直接结合三角恒等变换公式化简，然后，借助于三角函数的单调性求解其单调区间；
（2）结合，然后，借助于三角函数的单调性确定其值域．
解答：解：（1）∵函数f（x）=sin2x+cos2x+a﹣2，
∴，
其单调递增区间为．
（2）∵，
则，
∴．
∴函数f（x）（x∈R）的值域．
点评：本题重点考查了三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．
17．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC 的中点，AA1=AB=2．
（1）求证：AB1∥平面BC1D；
（2）若BC=3，求三棱锥D﹣BC1C的体积．
考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（1）连接B1C，交BC1相交于O，连接OD，可证明OD是△AB1C的中位线，再根据线面平行的判定定理即可证明．
（2）由已知可得侧棱CC1⊥面ABC，把计算三棱锥D﹣BC1C的体积转化为计算三棱锥C1﹣BCD的体积．
解答：解：（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于O，连接OD，
∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．
∵D为AC的中点，
∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥B1A．
OD?平BC1D，AB1?平面BC1D，
∴AB1∥平面BC1D．
（2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴侧棱CC1∥AA1，
又∵AA1底面ABC，∴侧棱CC1⊥面ABC，
故CC1为三棱锥C1﹣BCD的高，A1A=CC1=2，
∴．
∴．
点评：本题考查了线面平行和线面垂直及体积，充分理解和掌握定理是解题的关键．18．（12分）△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，向量=（2sinB，2﹣cos2B），
=（2sin2（+），﹣1）且⊥．
（1）求角B的大小；
（2）若a=，b=1，求c的值．
考点：两角和与差的正弦函数；数量积的坐标表达式；余弦定理．
专题：计算题．
分析：（1）根据得关于角B的三角函数的方程，解方程即可求出角B；
（2）求出角B后，根据余弦定理可得一个关于c的一元二次方程，解这个方程求解c值．解答：解：（1）由于，所以，所以，即，
即2sinB+2sin2B﹣2+1﹣2sinB2=0，
解得．
由于0＜B＜π，所以或；（6分）
（2）由a＞b，得到A＞B，即B=，
由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，
代入得：1=3+c2﹣2c?或1=3+c2﹣2c?（﹣），
即c2+3c+2=0（无解）或c2﹣3c+2=0，
解得c=1或c=2．（12分）
点评：本题考查三角形中三角恒等变换、解三角形．方程思想在三角形问题中的应用极为广泛，根据已知条件可得方程、根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等都可以得到方程，解三角形问题的实质就是根据有关定理列方程求解未知元素．
19．（12分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=2，2a n=1+a n a n+1，b n=a n﹣1，b n≠0
（1）求证数列是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；
（2）令c n=求数列{c n}的前n项和T n．
考点：数列的求和；等差关系的确定．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）由题意可得a n=b n+1，结合2a n=1+a n a n+1，代入化简得：b n﹣b n+1=b n b n+1，从而可得﹣=1，{}是以1为首项，1为公差的等差数列，即可求得结论；
（2）由（1）知，C n=c n==，利用错位相减可求数列的和．
解答：解：（1）证明：∵b n=a n﹣1，b n≠0
∴a n=b n+1
又2a n=1+a n a n+1，
∴2（1+b n）=1+（b n+1）（b n+1+1）
化简得：b n﹣b n+1=b n b n+1…（2分）
∵b n≠0
∴﹣=1
∴﹣=1
∵==1
∴{}是以1为首项，1为公差的等差数列．…（4分）
∴=1+（n﹣1）×1=n，
∴b n=
∴a n=1+=…（6分）
（2）由（1）知，C n=c n==
∴T n=c1+c2+c3+…+c n=①，
T n=②…（9分）
∴①﹣②得：T n=﹣=﹣=1﹣，
∴T n=2﹣．
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列，求解数列的通项公式，错位相减求解数列的和是数列求和方法中的重点与难点，要注意掌握熟．
20．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程；
（2）当a＞0时，若f（x）在区间上单调递增，
所以f（x）在上的最小值是f（1）=﹣2；
当时，f（x）在上的最小值是，不合题意；
当时，f（x）在上单调递减，
所以f（x）在上的最小值是f（e）＜f（1）=﹣2，不合题意，
故a的取值范围为[1，+∞）．
点评：本题考查了导数的几何意义，导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．利用导数研究函数在闭区间上的最值，一般是求出导函数对应方程的根，然后求出跟对应的函数值，区间端点的函数值，然后比较大小即可得到函数在闭区间上的最值．属于中档题．
21．（15分）已知数列{a n}，a1=a，a2=p（p为常数且p＞0），S n为数列{a n}的前n项和，且
S n=．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）试判断数列{a n}是不是等差数列？若是，求其通项公式；若不是，请说是理由．（Ⅲ）若记P n=+（n∈N*），求证：P1+P2+…+P n＜2n+3．
考点：数列的求和；等差关系的确定．
专题：综合题；等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）由a1=S1可求a；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，则，两式相减得（n﹣1）a n+1=na n，利用累乘法可求得a n，由a n可得结论；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得P n=+==2+，由裂项相消法可求得
P1+P2+…+P n，于是可得结论；
解答：解：（Ⅰ）依题意a1=a，又a1==0，
∴a=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a1=0，
∴，则，两式相减得（n﹣1）a n+1=na n，
故有=（n﹣1）p，n≥2，
又a1=0也满足上式，∴a n=（n﹣1）p，n∈N+，
故{a n}为等差数列，其公差为p．
（Ⅲ）由题意，
∴P n=+==2+，
∴P1+P2+…+P n=（2+﹣）+（2+﹣）+…+（2+）
=2n+3﹣＜2n+3．
点评：该题考查等差关系的确定、数列求和等知识，裂项相消法、累乘法是解决数列问题的基本方法，要熟练掌握．