函数及其表示
(一)知识梳理
1.映射:设,A B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射.
如果集合A 中的元素x 对应集合B 中元素y ,那么集合A 中的元素x 叫集合B 中元素y 的原象,集合B 中元素y 叫合A 中的元素x 的象.
映射概念的理解
(1)映射B A f →:包含三个要素:原像集合A ,像集合B(或B 的子集)以及从集合A 到集合B 的对应法则f .两个集合A,B 可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则f 可用文字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有:
①方向性:映射是有次序的,一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的; ②任意性:集合A 中的任意一个元素都有像,但不要求B 中的每一个元素都有原像; ③唯一性:集合A 中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”。
(2)一一映射:一般地,设A ,B 是两个集合,B A f →: 是集合A 到集合B 的映射,如果在这个映射下,对于A 中的不同元素,在集合B 中有不同的像,而且B 中每一个元素都有原像,那么这个映射叫做A 到B 的一一映射。
(3)函数与映射的关系
函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出.
2.函数的概念
(1)函数的定义:
设B A 、是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对A 中的 任意数 x ,在集合B 中都有 唯一确定 的数y 和它对应,则这样的对应关系叫做从A 到B 的一个函数,
通常记为___y=f(x),x ∈A
(2)函数的定义域、值域
在函数y=f(x),x ∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值, 函数值的集合{y|y=f(x),x ∈A},叫做函数y=f(x)的值域。
(3)函数的三要素: 定义域 、 值域 和 对应法则
3.函数的三种表示法:图象法、列表法、解析法
(1).图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系;
(2).列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系;
(3).解析法:就是把两个变量的函数关系,用等式来表示。
4.分段函数
在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
(二)考点分析
考点1:判断两函数是否为同一个函数
如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,称这两个函数相等。 考点2:求函数解析式
方法总结:(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则用待定系数法;
(2)若已知复合函数)]([x g f 的解析式,则可用换元法或配凑法;
(3)若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出)(x f 。
1.2函数及其表示练习题
一、选择题
1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( ) ⑴3)5)(3(1+-+=
x x x y ,52-=x y ; ⑵111-+=x x y ,)1)(1(2-+=x x y ;
⑶x x f =)(,2)(x x g =
;
⑷()f x =
()F x = ⑸21)52()(-=x x f ,52)(2-=x x f .
A. ⑴、⑵
B. ⑵、⑶
C. ⑷
D. ⑶、⑸
2. 函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是( )
A. 1
B. 0
C. 0或1
D. 1或2
3. 已知集合{}{}
421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+,且*,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应,则,a k 的值分别为( )
A. 2,3
B. 3,4
C. 3,5
D. 2,5
4. 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??=-<?≥?
,若()3f x =,则x 的值是( )
A. 1
B. 1或32
C. 1,32
或
5. 为了得到函数(2)y f x =-的图象,可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移, 这个平移是( )
A. 沿x 轴向右平移1个单位
B. 沿x 轴向右平移
12
个单位 C. 沿x 轴向左平移1个单位 D. 沿x 轴向左平移12个单位 6. 设?
??<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为( ) A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
二、填空题
1. 设函数.)().0(1),0(121)(a a f x x
x x x f >???????<≥-=若则实数a 的取值范围是 . 2. 函数4
22--=x x y 的定义域 . 3. 若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -,且函数的最大值为9,
则这个二次函数的表达式是 .
4.
函数0
y =_____________________.
5. 函数1)(2-+=x x x f 的最小值是_________________.
三、解答题
1.
求函数()1f x x =
+的定义域.
2. 求函数12++=
x x y 的值域.
3. 12,x x 是关于x 的一元二次方程2
2(1)10x m x m --++=的两个实根,又2212y x x =+,求()y f m =的解析式及此函数的定义域.
4. 已知函数2
()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2,求a 、
b 的值.
参考答案(2)
一、选择题 1. C 2. C 3. D 4. D
∴2()3,12,f x x x x ===-<<而∴ x =
5. D 平移前的“1
122()2
x x -=--”,平移后的“2x -”, 用“x ”代替了“12x -”,即1122
x x -+→,左移 6. B [][](5)(11)(9)(15)(13)11f f f f f f f =====.
二、 1.(),1-∞- 当10,()1,22a f a a a a ≥=
-><-时,这是矛盾的; 当10,(),1a f a a a a
<=><-时; 2. {}|2,2x x x ≠-≠且 240x -≠
3. (2)(4)y x x =-+- 设(2)(4)y a x x =+-,对称轴1x =, 当1x =时,max 99,1y a a =-==-
4. (),0-∞ 10,00x x x x -≠??
->?? 5. 54- 22155()1()244
f x x x x =+-=+-≥-. 三、 1. 解:∵10,10,1x x x +≠+≠≠-,∴定义域为{}|1x x ≠-
2. 解: ∵221
331(),244x x x ++=++≥∴y ≥,∴值域为)+∞ 3. 解:2
4(1)4(1)0,30m m m m ?=--+≥≥≤得或,222121212()2y x x x x x x =+=+- 224(1)2(1)
4102
m m m m =--+=-+ ∴2()4102,(03)f m m m m m =-+≤≥或.
4. 解:对称轴1x =,[]1,3是()f x 的递增区间,
max ()(3)5,335f x f a b ==-+=即
min ()(1)2,32,f x f a b ==--+=即∴3231,.1
44a b a b a b -=?==?--=-?得