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数列一教师版

数列（一）

一、知识网络

二、命题分析

数列一直是高考的重点和热点，有时甚至是难点．历年

来，数列在高考中的题型有如下特征：

1．每年必出一道选择题或填空题，主要考查等差、等比数列的概念和性质，以及通项公式、前n项和公式的灵活运用，题目具有“小、巧、活”的特点．

2．每年必出一道解答题，题目往往与函数、三角不等式、方程、平面向量、解析几何等知识综合起来考查，难度中等或中等偏难，突出考查对数列知识的理解、分析能力，创新能力，运算能力以及化归转化能力．相对于理科的命题，文科更注重基本解法、基本能力的考查．3．从新考纲的要求来看，高考仍将延续这些特征，并将更侧重于考查学生的创新能力与逻辑思维能力．

三、复习建议

针对新课标考试“强调基础，淡化技巧，提高能力”的特征，复习本单元时应注意以下几点：1．重视对等差数列、等比数列的概念的理解，掌握它们的通项公式，前n项和公式及其性质．

2．重视运算能力的提高，涉及的解不等式、解方程问题以及等式的相加减、相乘除等运算，力求熟练而准确．

3．重视知识的综合，深刻领悟蕴藏在数列概念及方法中的数学思想，对其中的函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想要在解题中进行感受和体会．

四、知识讲解

（一）高考目标

考纲解读

1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)．

2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．

考向预测

1．已知数列的通项公式或递推关系，求数列的各项．

2．以数列的前几项为背景，考查“归纳—推理”思想．

3．由数列的递推关系式求数列的通项公式的是本节重点，也是本节难点．

（二）课前自主预习

知识梳理

1．数列的定义

按照排成的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做 )．

2．数列与函数的关系

在函数意义下，数列是定义域为N＋(或它的)的函数，f(n)是当自变量n从1开始依次取时所对应的一列f(1)，f(2)，…，f(n)……通常用a n代替f(n)，故数列的一般形式为，简记为{a n}，其中a n是数列的第项．

3．数列的分类

分类

原则

类型满足条件

项数

有穷数列项数

无穷数列项数

项与项间的大小关系递增数列

a+ > n a

其中n∈N* 递减数列

a+ < n a

常数列

a+＝n a

其他标准摆动数列

从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项

小于它的前一项

4.数列的表示法

(1)数列的一般形式可以写成：

(2)数列的表示法分别为、5．数列的通项公式

如果数列{a n }的第n 项a n 与之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

6．数列的递推公式

若一个数列首项确定，其余各项用a n 与a n －1的关系式表示(如a n ＝2a n －1＋1，n >1)，则这个关系式就称为数列的递推公式．

（三）基础自测

1．设数列{

}的前n 项和S n ＝n 2

，则8a 的值为(

A )

A ．15

B ．16

C ．49

D ．64

2．数列12，－34，58，－7

，…的一个通项公式是( C )

A ．a n ＝(－1)n ＋1

2n －12n B ．a n ＝(－1)n 2n －1

2n C ．a n ＝(－1)

n ＋1

2n －12n D ．a n ＝(－1)n 2n －1

n 3．若数列{a n }(n ∈N*)的首项为14，前n 项的和为S n ，点(a n ，a n ＋1)在直线x －y －2＝0上，

那么下列说法正确的是( C )

A ．当且仅当n ＝1时，S n 最小

B ．当且仅当n ＝8时，S n 最大

C ．当且仅当n ＝7或8时，S n 最大

D ．Sn 有最小值，无最大值

4．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1

n n ＋1，则S 5等于( B )

A ．1 B.56 C.16 D.1

5．将全体正整数排成一个三角形数阵：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

… … … … … … …

按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为__n 2－n ＋6

2______．

6．已知数列{a n }的首项a 1＝13，且满足1a n ＋1＝1a n ＋5(n ∈N *

)，则a 2012＝_____110053___.

7．写出分别满足下列条件的数列的前4项，并归纳出通项公式：

(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N ＋)；a n ＝(n －1)2

(2)a 1＝3，a n ＋1＝3a n (n ∈N ＋)．a n ＝3n

（四）典型例题

1.命题方向：有数列的前几项探索数列的通项公式

[例1] 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：

(1)45，12，411，27，…； a n ＝43n ＋2 (2)1,3,6,10,15，…；2

)

1(+=

n n a n (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…；a n ＝(－1)n

·2n

－32n (4)3,33,333,3333，…. a n ＝13(10n

－1) 跟踪练习1：

根据下面各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)1，13，935，1763，3399，… )12)(12(12+-+=n n a n

(2)－37，25，－513，38，－719，411，… a n ＝(－1)n n ＋23n ＋4

(3)12，34，78，1516，3132，…；a n ＝2n

－12

n (4)23，－1，107，－179，2611，－3713，….a n ＝(－1)n ＋1·n 2

＋12n ＋1. (5)1,3,7,15,31，…an ＝2n －1 2.命题方向：由

与

的关系求通项

[例2] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *

)．

(1)求a 1，a 2，a 3的值；a 1＝－12,a 2＝14.同理a 3＝－1

(2)求a n 的通项公式及S 10.S 10＝a 11－q 101－q ＝－3411024.a n ＝(－12

跟踪练习2：

已知数列{an }的前n 项和Sn ，求{an }的通项公式．(1)S n ＝2n 2

－3n ；(2)Sn ＝3n ＋b .

（1）a n ＝4n －5;（2）当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；

当b≠－1时，a n ＝??? 3＋b n ＝12·3n －1

n≥2

3.命题方向：根据递推公式求通项公式

[例3] 根据下列条件，写出数列的通项公式． (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ；(2)a 1＝1,n a n )12(-＝1-n a . a n ＝n 2－n ＋42

；a n ＝????12n －1n

跟踪练习3：

根据下列各个数列{a n }的首项和基本关系式，求其通项公式． (1)a 1＝1，a n ＝a n －1＋3n －1

(n ≥2)； a n ＝3n

－12

(2)a 1＝1，a n ＝

n －1n a n －1(n ≥2)．a n ＝1

4.命题方向：函数与方程思想在数列中的应用

[例4]已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)·(910)n

，求n 为何值时，a n 取最大值．

当n ＝8或n ＝9时，a 8＝a 9两项都是数列{a n }中的最大项

跟踪练习4：

已知函数f (x )＝22x x --，数列{a n }满足f (2

log a

)＝－2n .

(1)求数列{a n }的通项公式；a n ＝n 2＋1－n (2)求证：数列{a n }是递减数列．

（五）思想方法点拨：

1．数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列的项和数集中元素的异同．数列可以看作是一个定义域为正整数集或它的子集的函数，因此在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性．

2．观察法是求数列通项公式的最基础的一个方法，它一般适用于给出了数列的前几项，根据这些项来写出该数列的通项公式，一般来说，所给的数列的前几项规律性特别强并且规律也比较明显，要么能直接看出，要么需略作变形即可．

3．通项an 与前n 项和Sn 的关系是一个十分重要的考点．运用时，不要忘记对an ＝Sn －Sn －1(n ≥2)的条件的验证．

4．数列的通项公式与递推公式是表达数列特征与构造的两种方法．观察法和猜想法一般适

合于选择题和填空题；如果在解答题中用猜想法，则一定要用数学归纳法加以证明．而特定系数法一般是适合已知数列的类型的题目．

(六)课后强化作业

一、选择题

1．已知数列{a n }对任意的p 、q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( C )

A ．－165

B ．－33

C ．－30

D ．－21

2．已知函数f (n )＝?

????

n 2 (当n 为奇数时)

－n 2 (当n 为偶数时)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100

等于( B )

A ．0

B ．100

C ．－100

D ．10200

3．将数列{3n －

1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第

100组中的第一个数是( A )

A ．34950

B ．35000

C ．35010

D ．35050 4．对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( B )

A ．必要不充分条件

B ．充分不必要条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条

5．已知数列{a n }的通项公式a n ＝3n 2－(9＋a )n ＋6＋2a (其中a 为常数)，若a 6与a 7两项中至少有一项是a n 的最小值，则实数a 的取值范围是( A )

A ．[24,36]

B ．[27,33]

C ．{a |27≤a ≤33，a ∈N *}

D ．{a |24≤a ≤36，a ∈N *} 6．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，那么a 2012的值是( D )

A ．2009×2010

B ．2011×2010

C ．20112

D ．2011×2012 7．若数列{a n }是正项递增等比数列，T n 表示其前n 项的积，且T 8＝T 4，则当T n 取最小值时，n 的值等于( B )

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8 8．数列{a n }中，若a n ＋1＝a n

3a n ＋1，a 1

＝1，则a 2012等于( B )

A.16031

B.16034

C.16037

D.16040 二、填空题

9．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．

已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝2，公积为5，T n 为数列{a n }前n 项的积，则T 2005＝_______2·51002_.

10．设{a n }是正项数列，其前n 项和S n 满足：4S n ＝(a n －1)(a n ＋3)，则数列{a n }的通项

公式a n ＝_____2n ＋1

11．已知a n ＝n －98

n －99(n ∈N *)，则在数列{a n }的前30项中，最大项和最小项分别是第

_____10 9___项．

三、解答题

12．已知数列{a n }满足：a 1＝1,4n －

1a n ＝a n －1(n ∈N ，n ≥2)

(1)求数列{a n }的通项公式； a n ＝(12)n (n －

(2)这个数列从第几项开始以后各项均小于

11000？从第4项开始各项均小于11000

13．下图是由一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，记OA 1，OA 2，OA 3，…，OA 7，OA 8的长度所成的数列为{a n }(n ∈N,1≤n ≤8)．

(1)写出数列的前4项； a 1＝OA 1＝1，由勾股定理得

a 2＝a 12＋1＝2，a 3＝a 22＋1＝3，a 4＝a 32＋1＝4＝2

(2)求{a n }的通项公式；a n ＝n

(3)如果把图中的直角三角形继续作下去，那么OA 9，OA 2012的长分别是多少？OA 9＝a 9

＝3，OA 2012＝a 2012＝2012＝2503

14．已知数列{a n }的前n 项和为n 2＋pn ，数列{b n }的前n 项和为3n 2－2n .

(1)若a 10＝b 10，求p 的值； p ＝36

(2)取数列{b n }的第1项，第3项，第5项，…，构成一个新数列{c n }，求数列{c n }的通项公式．(2)b 1＝S 1＝1，满足b n ＝6n －5.

∴数列{b n }的通项公式为b n ＝6n －5.

取{b n }中的奇数项，所组成的数列的通项公式为 b 2k －1＝6(2k －1)－5＝12k －11. ∴c n ＝12n －11.

15.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝c －1a n .设c ＝52，b n ＝1

a n －2，求数列{

b n }的通项公式．

b n ＝－

n －1

3－13

(完整版)必修5数列》-单元测试卷(有答案)

必修5 数列单元测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．) 1．S n 是数列{a n }的前n 项和，log 2S n ＝n (n ＝1,2,3，…)，那么数列{a n }( ) A ．是公比为2的等比数列 B ．是公差为2的等差数列 C ．是公比为1 2的等比数列 D ．既非等差数列也非等比数列 2．一个数列{a n }，其中a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 5＝( ) A ．6 B ．－3 C ．－12 D ．－6 3．首项为a 的数列{a n }既是等差数列，又是等比数列，则这个数列前n 项和为( ) A ．a n －1 B ．Na C ．a n D ．(n －1)a 4．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为( ) A ．63 B ．64 C ．127 D ．128 5．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)的值等于( ) A ．－8 B ．8 C ．－9 8 D.98 6．在－12和8之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成和为－10的等差数列，则n 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线的斜率为( ) A ．4 B.1 4 C ．－4 D ．－14 8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17＝10，则S 19＝( ) A ．55 B ．95 C ．100 D ．190 9．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＋a 4＋a 15是一个确定的常数，则在数列{S n }中也是确定常数的项是( ) A ．S 7 B ．S 4 C ．S 13 D ．S 16 10．等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝31，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝62，则通项是( ) A ．2 n －1 B ．2 n C ．2 n ＋1 D ．2 n ＋2 11．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是( ) A ．4或5 B ．5或6 C ．6或7 D ．不存在

数列综合教师版

★★★高考在考什么【考题回放】 1、（2008福建文）已知（a n ｝是整数组成的数列， a 〔 =1，且点（JO?,a n 书）（n ^ N *）在函数 2 a y=x +1的图像上：（1）求数列｛&｝的通项公式；（2）若数列（bn ｝满足b =1,加书= bn+2 n , 2 求证：b n b n 2 ：：： b n 1 .解：（1）由已知得：an+=an+1, 所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列；即a n =1+（n-1） 1 = n （2）由（1）知 b n 1 — b n =2a n =2n b n =（b n -b n.）（加」一加/）…*2 - 加）b n = 2n 「舟舟. ... 2 仁 =2n _1 1-2 b n b n 2 -b n 12 =(2n -1)(2 n 2 -1)-(2 n 1 -1)2 = -5 2n 4 2n =-2n ：： 0 所以：如灯.2如.12 1 3 2 - 2、(2008福建理)已知函数f(x)=3X +x -2 . (I) 设(a n ｝是正数组成的数列，前 n 项和为S n,其中a 1=3.若点(a n 应书- 2a n Q (n ￡ N*)在函数y=f' (x)的图象上，求证：点(n,S n)也在y=f' (x)的图象上； (口)求函数f(x)亲区间(a-1,a)内的极值. (I )证明：因为 f (x) = 1 x 3+x 2 - 2,所以 f ，(x )=x 2+2x , 3 由点(an,a ；士 —2a”)(nw N 4)在函数y =f' (x )的图象上, 又 a n 0(n N ),所以(a n 』- a n )(a n 1 - a n - 2) = 0, 所以 S n =3n + ~ K2= n 2 +2n ,又因为 f' (n )=n 2+2n ，所以 S n = f'(n), 2 故点（n, S ）也在函数y=f' （x ）的图象上. (n )解：f (x) =x 2 十2x =x(x + 2), 由 f (x) =0,得 x = 0或x = -2 . (a-1)—a =1 <2,从而 2 _ ① 当a —1<—2

五年级奥数-数列与数表

五年级奥数－数列与数表 1.计算：（2+5+8+......+194）÷（4+7+ (196) 2.一本600页的书，小明每天都比前一天多读一页，16天刚好读完这本书，那么他最后一天读了多少页？ 3.有一列数，前两个数分别是0和1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，……。那么这个数列的第2005个数除以8所得的余数是多少？ 4.把自然数按照下列规则排列，那么2008应该排在左起第几列？ 1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 14 18 19 20 21 25 24 23 22 26 27 28 29 …… …… 5.观察下面的一列有规律的算式：5+3，7+6，9+9，11+12，……则按照规律第 2008个算式的结果应该是多少？

五年级奥数－数列与数表答案 1.解析： 2，5，8，......，194是以3为公差的等差数列，共有（194-2）÷3+1=64项，则2+5+8+......+194=（2+194）×64÷2=98×64。4，7，10， (196) 每一项都比上面的等差数列中每一项多2，因此4+7+10+……+196=98×64+2×64=100×64。因此原式=98÷100=0.98。 2.解析：设小明最后一天读了x页，则第一天读了x-15页，由题意可得方程：（x-15+x）×16÷2=600，解得，x=45。 3.解析：这串除以8所得的余数依次是：0，1，1，2，3，5，0，5，5，2，7，1，0，1，1，2，……。余数数列从第1个开始，以0、1、1、2、3、5、0、5、5、 2、7、1这12个数为一组依次循环出现的，又2008=12×167+4，所以第2008 个数除以8所得的余数与第4个余数相同，即为2。 4.解析：观察数列可知，除了前5个数之外，后面的数以8为周期，由2008=8×250=8+8×249，所以2008与8在同一列，即2008在左边第2列。 5.解析：通过观察可以发现，题目中出现的算式的规律是：每一个算式的第一个加数比上一个算式的第一个加数多2，而每一个算式的第二个加数比上一个算式的第二个加数多3。以此推断，第2008个算式的两个加数分别是5+2×2007和3+3×2007，所以该算式的结果为5+2×2007+3+3×2007=10043。

数列单元测试卷含答案

数列单元测试卷注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填涂在答卷相应位置. 第Ⅰ卷(选择题) 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式a n等于() A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2n＋1 2．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是() A．1，1 2， 1 3， 1 4，… B．－1,2，－3,4，… C．－1，－1 2，－ 1 4，－ 1 8，… D．1，2，3，…，n 3．．记等差数列的前n项和为S n，若a1=1/2，S4＝20，则该数列的公差d＝________.() A．2 C．6 D．7 4．在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1－2a n＝1，则a101的值为() A．49 C．51 D．52 5．等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是() A．90 C．145 D．190 6．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝() A．1 C．4 D．8 7．等差数列{a n}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0()

A ．无实根 B.有两个相等实根 C ．有两个不等实根 D ．不能确定有无实根 8．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列? ?????11＋a n 是等差数列，则a 11等于( ) A ．0 D ．－1 9．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n － 1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( ) A ．第5项 B.第12项 C ．第13项 D ．第6项 10．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则 A ．1 033 034 C ．2 057 D ．2 058 11.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且28,171==S a ．记[]n n a b lg =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]199lg =.则b 11的值为（） C. 约等于1 12．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如下图所示：则第七个三角形数是( ) A ．27 C ．29 D ．30 第II 卷(非选择题) 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

-数列全国卷高考真题教师版

20１5-2017年全国卷数列真题 1、（２0１5全国1卷17题）n S 为数列{n a ｝的前n 项和.已知n a ＞0,2 n n a a +＝43n S +. (Ⅰ)求{n a }的通项公式； (Ⅱ）设1 1 n n n b a a += 错误!未定义书签。，求数列{n b }的前n 项和. 【答案】（Ⅰ)21n +(Ⅱ)11 646 n - + 【解析】试题分析:（Ⅰ)先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列{n a ｝的递推公式,可以判断数列{n a }是等差数列,利用等差数列的通项公式即可写出数列{n a }的通项公式;(Ⅱ)根据(Ⅰ）数列{n b ｝的通项公式,再用拆项消去法求其前n 项和．试题解析:（Ⅰ)当1n =时，2 11112434+3a a S a +=+=,因为0n a >,所以1a ＝3, 当 2 n ≥时, 2211 n n n n a a a a --+--＝ 14343 n n S S -+--= 4n a ，即 111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --＝2，所以数列{n a }是首项为3,公差为２的等差数列，所以n a ＝21n +；（Ⅱ）由（Ⅰ）知,n b = 1111 ()(21)(23)22123 n n n n =-++++，所以数列｛n b }前n 项和为12n b b b +++＝1111111 [()()( )]23557 2123 n n -+-+ +-++ = 11 646 n - +. 2、(2０15全国2卷4题)已知等比数列{}n a 满足ａ1=3,135a a a ++ =21,则357a a a ++= ( ） A ．21 Ｂ.4２ C ．63 D ．84 【解析】设等比数列公比为q ,则24 11121a a q a q ++=,又因为13a =,所以42 60q q +-=，解得2 2q =,所以2 357135()42a a a a a a q ++=++=，故选B. 考点：等比数列通项公式和性质．

四年级奥数找规律数列数表专题

数列与数表一、知识与方法归纳 1、等差数列的有关知识. （1）通项公式:末项=首项+(项数-1) ×公差（2）项数=(末项-首项)÷公差+1 （3）求和公式:和=(首项+末项) ×项数÷2 2、本讲主要包括两部分内容：规律较复杂的数列以及简单的数表二、经典例题例1.1，100，2，98，3，96，2 ，94，1，92，2 ，90，3 ，88，2，86，1， 84，…，0。请观察数列的规律并回答一下问题：（1）这个数列中有多少项是2？（2）这个数列所有项的总和是多少？解：例2. 1，2，3，4, 4, 5, 6, 7，7, 8，9 ，10，…，97, 98, 99, 100.请观察数列的规律并回答一下问题：（1）这个数列一共有多少个数？（2）50在数列中是第几个数？解：体验训练1 1, 2, 2， 4， 3， 6， 1， 8， 2， 10， 3， 12，…，100.观察数列的规律，请问：（1）数列中有多少个2？（2）数列中所有数的总和是多少？解：

例3．有一列数，第一个数是3，第二个数是4，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和的个位数。从这列数中取出连续的50个数，它们的和最大是多少？解：例4. 如图所示，将从5开始的连续自然数按规律填入下面的数阵中，请问：（1）123应该排在第几列？第1列第2列第3列 … （2）第2行、第20列的数是多少？ 5 10 15 … 6 11 16 … 7 12 17 … 8 13 18 … 9 14 19 … 解：体验训练2 将从1开始的自然数按某种规律填入方格表中，请问：（1）66在第几行、第几列？（2）第33行、第4列的数是多少？解： *例5.如图所示，将自然数有规律地填入方格表中，请问：

2014 暑假四年级精英班第2讲数列与数表教师版

第二讲数列与数表知识要点：数列与数表这一类题目种类繁多，其中数列包括了等差数列、周期数列等，数表中有我们比较常见的三角数表和一些行列数表，这些题目初看比较复杂，但其中都包含了一些规律性的变化，只要认真观察，并将其中的规律找出，那么解决起来就会变得简单许多，通常还会用到余数原理和等差数列相关公式和性质，方便我们找出数列、数表与余数之间的关系。一、基础应用：【例1】有一张纸片，第一次将它撕成6小片，第二次将其中的一张又撕成6小片，以后每一次都将其中的一小张撕成更小的6片，撕了五次后一共得到多少张纸片？【解析】每撕一次，把一张纸片撕成6小片，增加了5张；撕了六次后一共得到15526+?=张纸片。【例2】一列数1，4，7，10，13，…，从第二项起，后项减去它的前面一项的差都相等，从左往右数，第几个数是196？【解析】这是个等差数列，公差是3；从左往右数，第()19613166-÷+=个数是196。【例3】计算：6463626160595857565432-++-++-++++-+ 【解析】 6463626160595857565432-++-++-++++-+ ()()()()()646362616059585756765432=-++-++-+++-++-+ ()()121216360576312192021336932 +?=+++ ++=++ +++?=?= 【例4】有一列数：2、3、6、8、8、……从第三个数开始，每个数都是前两个数乘积的个位数字，那么这列数的第60个数应是多少？【解析】因为从第三个数开始，每个数都是前两个数乘积的个位数字，根据题意将接下来的数字表示出来，有2、3、6、8、8、4、2、8、6、8、8、……，后面会发现数列具有周期现象，且周期从第三个数字开始为6、8、8、4、2、 8，六个数字为一个周期，根据周期问题， (602)694-÷=……，第60个数为周期内的第4个数字，即为4。二、拓展训练：【例5】由三个数组成的数组按某种规律排成一列：(1,2,3)，(2,3,5)，(3,4,7)，(4,5,9)，……，那么其中第几个数组中的各数之和为1234？【解析】此题如果由数组中单一一个数去考虑，题目会变得比较复杂，因为问题是

数学教案：数列基础教师版

数列基础知识一、等差数列与等比数列等差数列等比数列文字定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。符号定义 1 n n a a d + -= 11 2 n n n a a a+- + = 1(0) n n a q q a +=≠ 2 11 (0) n n n n a a a a +- =?≠ 分类递增数列：0 d> 递减数列：0 d< 常数数列：0 d= 递增数列： 11 01001 a q a q >><<< ，或，递减数列： 11 01001 a q a q <<><< ，或，摆动数列：0 q< 常数数列：1 q= 通项 1 (1)() n m a a n d pn q a n m d =+-=+=+- 其中 1 , p d q a d ==- 1 1 n n m n m a a q a q -- ==（0 q≠）前n 项和 2 1 1 ()(1) 22 n n n a a n n d S na pn qn +- ==+=+ 其中 1 , 22 d d p q a ==- 1 1 (1) (1) 1 (1) n n a q q S q na q ?- ≠ ? =- ? ?= ? 中项 ,,2 a b c b a c =+ 成等差的充要条件:2 ,, a b c b ac = 成等比的必要不充分条件：主要性质等和性：等差数列{}n a 若m n p q +=+则 m n p q a a a a +=+ 推论：若2 m n p +=则2 m n p a a a += 2 n k n k n a a a +- += 12132 n n n a a a a a a -- +=+=+=??? 即：首尾颠倒相加，则和相等等积性：等比数列{}n a 若m n p q +=+则 m n p q a a a a ?=? 推论：若2 m n p +=则2 () m n p a a a ?= 2 () n k n k n a a a +- ?= 12132 n n n a a a a a a -- ?=?=?=??? 即：首尾颠倒相乘，则积相等 1、等差数列中连续m项的和，组成的新数列1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是

数列与数表(一)

2，100，3，98，5，96，4，94，1，92，2，90，3，88，5，86，4，84，1，…，0。请观察上面数列的规律，请问： ⑴这个数列有多少项是2？ ⑵这个数列所有项的总和是多少？下面的算式是按规律排列的：5＋1，3＋4，1＋7，5＋10，3＋13，1＋16，…，请观察上面数列的规律。请问：是否存在算式的运算结果是2012？是第几个？下面是按规律排列的三角形数阵：那么此数阵第2012行左起第三个数是多少？把正整数依次排成以下数阵：求 ⑴第20行第10列是哪个数？ ⑵第10行第20列是哪个数？数列与数表综合（一） (★★★) (★★★) (★★★) (★★★★)

从1开始的自然数按图所示的规则排列，并用一个正方形框出九个数，能否使这九个数的和等于：⑴2012；⑵2007；⑶2160。若能，请写出正方形的中心数；若不能，说明理由。本讲总结多重数列——拧麻花数表——行列联合，从问题入手等差数列家族——差等差整体考虑；快速判断时刻要谨慎；细节定成败重点例题：例1；例3；例5 在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！ 1．3，100，4，96，5，92，3，88，4，84，5，…，0请观察上面数列的规律，那么这个数列有( )项是4，所有项的总和是( )。 A．9，1303 B．9，1403 C．10，1303 D．10，1403 2．下面的各算式是按规律排列的：1＋1，2＋3，3＋5，4＋7，1＋9，2＋11，3＋13，4＋15，1＋17，……，那么其中第( )个算式的结果是2008。 A．997 B．1003 C．2005 D．2006 3．如图，从1开始的自然数按某种方式排列起来，那么136在第( )行。 A．14 B．15 C．16 D．17 (★★★★)

高中数学第二章数列数列复习1导学案教师版苏教版必修Word版

必修5 数列复习小结第1课时第 19 课时一、学习目标（1）进一步熟练掌握等差等比数列的通项公式和前n 项和公式；（2）提高分析、解决问题能力．二、知识点总结（一）数列的概念 1．数列的概念与简单表示法（1）从定义角度看：（2）从函数角度看：数列可以看成以正整数集N * 它的有限子集为定义域的函数a n =f(n)当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值. 2．数列的表示（1）列表法；（2）图象法：注意图象是，而不是_______；（3）通项公式：（4）递推公式：如果已知数列｛a n ｝的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 3．数列的分类 1）按数列项数的多少可以分为和。 2）按数列中相邻两项的大小可分为、、和 . 4．数列的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系对任一数列有a n =?? ?≥-=-2 ,1 ,11n S S n S n n （二）等差数列 1.等差数列的定义：若数列｛a n ｝为等差数列，则有a n -a n-1=d (其中n ≥2，n ∈N * ). 2.等差中项： 3.等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d ，其中a 1为首项，d 为公差. 当d >0时，数列｛a n ｝为递增数列；当d <0时，数列｛a n ｝为递减数列；当d =0时，数列｛a n ｝为常数列.

4.等差数列的前n 项和公式： 2)(1n n a a n S += ；d n n na S n 2 ) 1(1-+=. 5.等差数列的性质：（1）等差数列｛a n ｝中，a n -a m =(n -m )d ；（2）等差数列｛a n ｝中，若m+n=p+q (其中m,n,p,q ∈N * )，则a m +a n =a p +a q ；若 m+n=2p ，则a m +a n =2a p ，也称a p 为a m ，a n 的等差中项. （3）等差数列中依次k 项和成等差数列，即 K K K K K S S S S S 232--、、成等差数列，其公差为k q 。 6.已知三个数成等差数列，可设这三个数为___________________ 若四个数成等差数列，可设为_____________________________. 7.等差数列的判定方法： 1）定义法：d a a n n =-+1?{}n a 是等差数列。 2）中项公式法：212+++=n n n a a a （n * N ∈）?{}n a 是等差数列 3) 通项公式法：q pn a n +=?{}n a 是等差数列 4）前n 项和公式法：Bn An S n +=2 （A,B,为常数）?{}n a 是等差数列（三）等比数列 1.等比数列的定义：若数列｛a n ｝为等比数列，则有q a a n n =-1 (n ≥2, n ∈N *, q ≠0). 2.等比中项： 3.等比数列的通项公式：若等比数列的首项为a 1,公比为q ，则其通项公式为a n =a 1q n-1 . 4.等比数列的前n 项和公式：若等比数列的首项为a 1,公比为q ，则其前n 项和 ?? ???≠--==)1(,1) 1() 1(,11q q q a q na S n n . 5.等比数列的性质：若等比数列的首项为a 1,公比为q ，则有：（1）a n =a m q n-m ；

四年级第十七讲-数列与数表教师版

第17讲数列与数表内容概述通过观察数列或数表中的已知数据，发现规律并进行填补与计算的问题，注意数表形式的多样性，计算时常常考虑周期性，或进行合理估算. 典型问题兴趣篇 1．1，1，4，2，7，3，10，1，13，2，16，3，19，1，22，2，25，3，…，100．请观察上面数列的规律，问：(1)这个数列一共有多少项? (2)这个数列所有数的总和是多少? 答案：67；1783 解析：间隔是是等差数列。 2．观察数组(1，2，3)，(3，4，5)，(5，6，7)，(7，8，9)的规律，求： (1)第20组中三个数的和； (2)前20组中所有数的和．答案：120；1260 解析：（39，40，42），运用等差数列求和公式。 3．一个数列的第一项是l，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一项就等于前一项的两倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍．请问： (1)第100项是多少? (2)前100项的和是多少? 答案：8；975 解析：按规律写：1,2,4,8,16,12,4,8,16,12……四个数为一个周期 4. 如图17-1，方格表中的数是按照一定规律填人的．请观察方格表，并填出“?”处的数．答案：105 解析：四周数的差是一个等差数列。 5．如图17-2，数阵中的数是按一定规律排列的，请问： (1)100在第几行、第几列?

(2)第20行第3列的数是多少? 答案：（1）第25行第6列；（2）79 解析：两行为一个周期。观察除以8的余数与在第几列之间的关系。 6．如图17-3，从4开始的自然数是按某种规律排列的，请问： (1)100在第几行，第几列? (2)第5行第20列的数是多少? 答案：（1）第1第25列；（2）81 解析：两列为一个周期。 7. 如图17-4所示，把偶数2、4、6、8，排成5列．各列从左到右依次为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列，请问： (1)100在第几行，第几列? (2)第20行第2列的数是多少? 答案：（1）第15行第2列；（2）138 解析：八个数为一个周期，可以把每个数先除以2转化成简单数列。 8．如图17-5，从1开始的自然数按某种方式排列起来，请问： (1)100在第几行?100是这一行左起第几个数? (2)第25行左起第5个数是多少? 答案：（1）第14行左起第9个数；（2）321 解析：观察1，6，15…这样的数都是1加到行数之和。 3，10也是1一直加到行数之和。 9. 如图17-6，把从1开始的自然数排成数阵．试问：能否在数阵中放人一个3×3的方框，使得它围住的九个数之和等于： (1)1997；(2)2016；(3)2349．如果可以，请写出方框中最大的数．答案：只有2349是可以的，最大为269.

二项式与数列-教师版

1.求证：)12(1 1 C 11C 31C 21C 1210-+=++++++n n n n n n n n Λ．【答案】 )!()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n --=-?+=+11C 1 1)!()!1()!1(11+++=-++?+=k n n k n k n n ． ∴左边1 12111C 11C 11C 11++++++++++= n n n n n n n Λ =-+=++++=+++++)12(1 1)C C (C 111112111n n n n n n n Λ右边． 2.证明下列各式 (1)1+21 n C +42 n C + … +1 12 n n n C --+2n n n C =3n ； (2)(0 n C )2+(1n C )2+ … +(n n C )2=2n n C ； (3)1 n C +22 n C +33 n C + … +n n n C =1 2 n n -. 【答案】(1)在二项展开式(a +b )n =0 n C a n +1 n C a n -1b +2 n C a n-2b 2+ … +1 n n C -ab n -1+n n C b n 中，令a =1，b =2，得(1+2)n =1+21 n C +42 n C + … +2n -11 n n C -+2n n n C ，即 1+21 n C +42 n C + … +2n -11 n n C -+2n n n C =3n . (2)(1+x )n (1+x )n =(1+x )2n ， ∴(1+1 n C x +2 n C x 2+ … +r n C x r + … +x n )(1+1 n C x +2 n C x 2+ … +r n C x r + … +x n )=(1+x )2n . 而2n n C 是(1+x )2n 的展开式中x n 的系数，由多项式的恒等定理，得 0n C n n C +1n C 1n n C -+ … +1n C 1n n C -+C n n 0n C =2n n C . ∵m n C =n m n C -，0≤m ≤n ， ∴(0 n C )2+(1 n C )2+ … +(n n C )2=2n n C . (3)证法一：令S =1 n C +22 n C +3C 3n + … +n n n C . ① 令S =1 n C +22 n C + … +(n －1)1 n n C -+n n n C =n n n C +(n －1)1 n n C -+ … +22 n C +1 n C =n n n C +(n －1)1 n C + … +22 n n C -+1 n n C -. ② 由①+②得2S =n 1 n C +n 2 n C +n 3 n C + … +n n n C =n (n n C +1 n C +2 n C +3 n C + … +n n C )

《数列的概念》单元测试题百度文库

一、数列的概念选择题 1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（） A ．174 B ．184 C ．188 D ．160 2．在数列{}n a 中，11a =，11n n a a n +=++，设数列1n a ?? ? ??? 的前n 项和为n S ，若n S m <对一切正整数n 恒成立，则实数m 的取值范围为（） A ．()3,+∞ B ．[ )3,+∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞ 3．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ?∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．数列{}n a 满足()1 1121n n n a a n ++=-+-，则数列{}n a 的前48项和为（） A ．1006 B ．1176 C ．1228 D ．2368 5．已知数列{}n a 的前n 项和为( )* 22n n S n =+∈N ，则3 a =( ) A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 6．数列23451,,,,,3579 的一个通项公式n a 是（） A ． 21n n + B ． 23 n n + C ． 23 n n - D ． 21 n n - 7．在数列{}n a 中，已知11a =，25a =，() * 21n n n a a a n N ++=-∈，则5a 等于（） A ．4- B ．5- C ．4 D ．5 8．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（） A ．2072 B ．2073 C ．2074 D ．2075 9．3……，则） A ．第8项 B ．第9项 C ．第10项 D ．第11项 10．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现

数学高二(上)沪教版(数列的极限(三))教师版

(32n + -)n =5，求常数

变式练习：若3lim 2103n n an b n n →∞ ??---= ? +?? =5，求常数a 、b 、的值。 11 ,39a b ==- 例3、设无穷等比数列{}n a 满足135218 lim()3 n n a a a a -→∞ +++ +=，求首项1a 的取值围。解：2 112 88,01,0,133a q a q ??=<<∴∈ ?-?? 。变式练习：在等比数列中，a 1>1,前项和S n 满足1 1 lim n n S a →∞ = ，那么a 1的取值围是……………………（）（A ）（1，＋∞）（B ）（1，4）（C ）（1，2）（D ）（1，2）例4、以正方形ABCD 的四个顶点为圆心，以正方形的边长a 为半径，在正方形画弧，得四个交点1111,,,A B C D ，再在正方形1111A B C D 用同样的方法得到又一个正方形2222A B C D ，这样无限的继续下去，求所有这些正方形的面积之和（包括正方形ABCD ）. 解：（提示）2 2 1(31),23,2 n a a a q S +==-= 变式练习：设T 1，T 2，T 3……为一组多边形，其作法如下： T １是边长为1的三角形以T n 的每一边中间 3 1 的线段为一边向外作正三角形，然后将该1/3线段抹去所得的多边形为T n+1，如图所示。令a n 表示T n 的周长，A(T n )表示T n 的面积。 (Ⅰ)计算T 1，T 2，T 3的面积A(T 1)，A(T 2)，A(T 3) (Ⅱ)求∞ →n lim ( 11a +21a …+n a 1)的值。解：(Ⅰ)A(T 1)= 1 2 ·1·1·sin60°=34 A(T 2)=3· 12·13·13·sin60°++A(T 1)=4312=33 A(T 3)=12·12·19·19·sin60°+A(T 2)=10 327 (Ⅱ)由分析知 a n = 43a n-1(T n 的边数是T n-1边数的4倍且每边是原来的1/4)故 a n =3·(43)n-1∵1n a =13·(4 3 )n-1

六年级奥数优胜教育第2讲：数列与数表含答案

第二讲数列与数表例1：有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项? 例2：有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？例3：计算2+4+6+8+…+1990的和。例4：计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990) 例5：已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数。例6：小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。这本书共有多少页？例7：建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。例8：四（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？ A

1.有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。 2.求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。 3.计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。 4.计算(1+3+5+7+...+2003)-(2+4+6+8+ (2002) 5.有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少。 B 6.一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少? 7.计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。 8.文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？ 9.李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。这批零件共有多少个？ 10.有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次? C 11.一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有70根。一共有多少根圆木？ 12.用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒? 13.有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了? 14.学校进行书法大赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有16人参加比赛，一共要进行多少场比赛？ 15.在一次元旦晚会上，一共有48位同学和5位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少次手？

数列单元测试卷-含答案

。数列单元测试卷注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填涂在答卷相应位置. 第Ⅰ卷(选择题) 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式a n等于( ) A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2n＋1 。 2．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A．1，1 2 ， 1 3 ， 1 4 ，… B．－1,2，－3,4，… C．－1，－1 2 ，－ 1 4 ，－ 1 8 ，… D．1，2，3，…，n 3．．记等差数列的前n项和为S n，若a1=1/2，S4＝20，则该数列的公差d＝________.( )￥ A．2 C．6 D．7 4．在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1－2a n＝1，则a101的值为( ) A．49 C．51 D．52 5．等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是( ) A．90 C．145 D．190 …

6．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则a 5＝( ) A ．1 C ．4 D ．8 7．等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2 ＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根 B.有两个相等实根 C ．有两个不等实根 D ．不能确定有无实根 8．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列?? ?? ?? 11＋a n 是等差数列，则a 11等于( ) ： A ．0 D ．－1 9．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3 n －1 ，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( ) A ．第5项 B.第12项 C ．第13项 D ．第6项 10．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则 A ．1 033 034 C ．2 057 D ．2 058 《 11.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且28,171==S a ．记[]n n a b lg =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]199lg =.则b 11的值为（） C. 约等于1 12．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如下图所示：则第七个三角形数是( ) A ．27 C ．29 D ．30 <

等比数列专题(教师版)

等比数列专题复习（一）知识归纳： 1．概念与公式： 1°定义 2°.通项公式： 3°.前n 项和公式 2．中项定理与下标和定理（1）中项定理：（2）下标和定理：（3）前n 项积定理：记n n a a a a T ?????=321 则=-12n T 则=n T 2 3.等比数列的“灵活设元： 4、前n 项和n S 的性质：（1）（2）（3）例题与练习一、基本量计算例1．在等比数列{a n }中，已知S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，求S 20的值．解 ∵S 30≠3S 10，∴q ≠1. 由??? S 30＝13S 10S 10＋S 30＝140，∴??? S 10＝10S 30 ＝130， ∴? ???? a 11－q 10 1－q ＝10 a 1 1－q 30 1－q ＝130 ， ∴q 20＋q 10－12＝0. ∴q 10＝3， ∴S 20＝a 11－q 20 1－q ＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40. 练习： 1．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( C ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为____.1 3 ____．

3．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1 4 ，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于 ( C ) A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n ) D.32 3 (1－2－n ) 4、若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是__10______． 5．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1 a n }的前5项和为（C) A.15 8 和5 B.31 16 和5 C.31 16 D.158 6、一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？解用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度，由题意，得a n ＋1＝4 5 a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝4 5的等比数列．热气球在前n 分钟内上升的总高度为 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 11－q n 1－q ＝ 25×???? ? ?1－? ????45n 1－45 ＝125×???? ?? 1－? ????45n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n . 解当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1， S n ＝a 11－q n 1－q ＝31－2n 1－2 ＝3(2n －1)；当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1， S n ＝a 11－q n 1－q ＝21－3n 1－3 ＝3n －1. 二、中项定理和下标和定理例．已知等比数列{a n }，若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n . 解由等比数列的定义知a 2＝a 1q ，a 3＝a 1q 2代入已知得， ??? a 1＋a 1q ＋a 1q 2 ＝7 a 1·a 1q ·a 1q 2 ＝8 ，即??? a 11＋q ＋q 2 ＝7， a 31q 3 ＝8，